Лекция 6. Поверхностные интегралы второго рода

1
С. А. Лавренченко
www.lawrencenko.ru
Лекция 6
Поверхностные интегралы второго рода
Рис. 1. Convertible in the rain.
Фото schroepfe: http://www.flickr.com/photos/schroepfer/5530723389/
Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить материал лекции 2. В
отличие от интегралов 1-го рода, которые определялись на лекции 2 как интегралы от
скалярных полей, поверхностные интегралы 2-го рода — интегралы от полей векторных.
1. Ориентированные поверхности
При определении поверхностного интеграла второго рода необходимо исключить из
рассмотрения неориентируемые поверхности, такие, как, например, лист Мѐбиуса на рис.
2. Эту поверхность нетрудно сделать самим, взяв достаточно длинную полоску бумаги и
склеив ее концы с предварительным переворотом одного из них на 180°. Если встать на
2
лист Мѐбиуса в точке M , и затем двигаться по середине полоски закрашивая ее от края до
края в зеленый цвет, то, в конце концов, вся поверхность окажется зеленой. Это говорит о
том, что лист Мѐбиуса — односторонняя поверхность. Такая поверхность неориентируема
в следующем смысле. На середине полоски отметим точку M (см. рис. 2), в ней выберем
единичный нормальный вектор, и будем двигать этот вектор по середине полоски так,
чтобы он все время оставался нормальным к поверхности. Тогда, вернувшись в M , вектор
изменит направление на противоположное. Такое свойство характеризует
неориентируемые, или односторонние, поверхности.
Рис. 2. Лист Мѐбиуса.
Мы будем рассматривать только ориентируемые, или двусторонние, поверхности. Пусть
поверхность  гладкая, т. е. имеет касательную плоскость в каждой ее точке M (кроме
граничных точек). В M существуют два единичных нормальных вектора: n1 и n 2  n1 .
Выберем единичный нормальный вектор n в M и произвольный замкнутый контур C на
 , не имеющий общих точек с границей. Будем двигать n непрерывно при обходе C .
Если, возвращаясь в M , вектор n не изменяет направление на противоположное, то 
называется ориентируемой поверхностью. Выбор n снабжает  ориентацией. Таким
образом, для каждой ориентируемой поверхности существуют две возможные
ориентации. Поверхность с фиксированной ориентацией называется ориентированной.
Ориентированные поверхности являются двусторонними, и выбор нормали n равносилен
выбору стороны поверхности, а именно той стороны, которая видна из конца вектора n .
2. Понятие поверхностного интеграла 2-го рода
Рис. 3. Мощность потока через одну ячейку.
3
Пусть  — ориентированная поверхность с выбранным единичным нормальным
вектором n . Представьте, что через  течет жидкость с плотностью  ( x, y, z ) и полем
скоростей v( x, y, z) . (Представляйте  как воображаемую поверхность, не
препятствующая течению жидкости, подобно рыболовной сети поперек течения реки.) Из
соображений размерности видим, что мощность потока, т. е. масса жидкости в единицу
времени, на единицу площади равна  v . Разобьем поверхность  на малые ячейки  i j .
На рис. 3 выделена одна такая ячейка. Предположим, что число ячеек велико, и каждая
ячейка  i j мала и поэтому близка к плоской. Тогда компонента вектора  v в
направлении единичного вектора n равна  v  n , и мощность потока через ячейку  i j в
направлении нормали n , приближенно равна
(  v  n)  i j .
(1)
где  i j обозначает площадь ячейки  i j , а  , v и n вычисляются в некоторой
промежуточной точке Pi j на  i j . Суммируя величины (1) и переходя к пределу, мы
получаем по определению 1.1 (лекция 2) поверхностный интеграл 1-го рода от скалярной
функции  v  n по  :

 v  n d    ( x, y, z) v( x, y, z)  n ( x, y, z) d .

Этот интеграл физически интерпретируется как мощность потока через всю поверхность
 . В общем случае вместо  v можно рассматривать произвольное векторное поле F в
R 3 , и рассматривать интеграл

F  n d .
Поверхностный интеграл такого вида часто возникает в физике, а не только в
рассмотренной модели, когда F   v .
Определение 2.1 (поверхностного интеграла 2-го рода). Пусть F — непрерывное
векторное поле, определенное на гладкой ориентированной поверхности  с выбранным
единичным нормальным вектором n . Поверхностный интеграл 2-го рода векторного
поля F по поверхности  обозначается и определяется так:


F  d 

F  n d .
Этот интеграл также называется потоком векторного поля F через поверхность  .
Перефразируя определение 2.1, поверхностный интеграл 2-го рода векторного поля по
поверхности  равен поверхностному интегралу 1-го рода нормальной компоненты
этого поля по  .
Для поверхностного интеграла 2-го рода также используются следующие обозначения:

P dydz  Q dxdz  R dxdy — часто используемое обозначение;

4

(F, d ) — устаревающее обозначение.
Ниже мы выведем две формулы для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода,
используя соответствующие формулы для поверхностного интеграла 1-го рода с лекции 2.
3. Формула в случае поверхности-графика
Выведем формулу для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода в случае, когда
поверхность  представляет собой график функции двух переменных и задается
уравнением вида z  g ( x, y) , где ( x, y )  D  R 2 ( x, y ) . Здесь D — проекция  на
плоскость Oxy .
Перепишем уравнение z  g ( x, y) в виде  g ( x, y )  z  0 . Тогда из модуля «Функции
нескольких переменных» известно, что единичный нормальный вектор n к  находится
так:
(  g ( x , y )  z )

(  g ( x , y )  z )
n

g
g
i
j k
x
y
2
 g   g 
      1
 x   y 
2
.
Поскольку компонента при k положительна, найденный единичный нормальный вектор
направлен вверх, что соответствует выбору верхней стороны поверхности  .
Пусть дано векторное поле
F ( x, y, z)  P( x, y, z) i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z) k .
Используем формулу (лекция 2) для вычисления поверхностного интеграла 1-го рода
скалярной функции f  F  n по поверхности  :


F  d 


F  n d 
 f ( x, y, g ( x, y ))
D

D

2
2

g
g
i
j k
x
y
 z   z 
1       dS 
 x   y 
  ( P i  Q j  R k ) 

f ( x, y, z ) d  [по формуле (6) с лекции 2]
g
2
 g   g 
      1
 x   y 
2
g
2
 g   g 
      1 dS 
 x   y 
2

   P x  Q y  R  dS .
D
Итак, получена формула для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода в
случае поверхности-графика:
5

(2)

F  d 

g

g
   P x  Q y  R  dS .
D
Необходимо помнить, что в формуле (2) поверхность  предполагается
ориентированной вверх. Если же выбрана единичная нормаль, имеющая отрицательную
компоненту по оси Oz , то этот интеграл надо умножить на  1 . Аналогичные формулы
имеют место в случаях, когда  задана как y  h( x, z ) :
(3)


F  d 

F  d 
h

h 
   P x  Q  R z  dS .
D
или как x  l ( y, z) :
(4)


l
l 
  P  Q y  R z  dS .
D
В формуле (3) предполагается, что нормаль n имеет положительную компоненту по оси
Oy , т. е. направлена вправо, а в (4) n имеет положительную компоненту по оси Ox , т. е.
направлена на смотрящего. Выводы этих формул аналогичны и оставляются в качестве
упражнений (упражнения 2 и 3 для самопроверки).
4. Формула в случае параметрической поверхности
Рассмотрим случай, когда гладкая ориентируемая поверхность  задается векторным
уравнением:
r(u, v)  x(u, v) i  y(u, v) j  z(u, v) k ,
(u, v)  D .
Векторы ru и rv являются касательными к поверхности  и определяют касательную
плоскость к  . Поэтому единичный нормальный вектор n к  находится так:
n 
(5)
ru  rv
.
ru  rv
Имеем


F  d 


[по определению 2.1]
F  n d 


F
[в силу (5)]
ru  rv
d 
ru  rv
[в силу формулы (14) с лекции 2]
6


  F(r(u, v)) 
D


ru  rv
ru  rv

 ru  rv dS 


 F  (r   r  ) dS .
u
v
D
Итак, получена формула для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода в
случае параметрической поверхности:
(6)


F  d 
 F  (r  r ) dS .
u
v
D
В заключение заметим, что в силу формулы (15) с лекции 2
rx  ry  
g
g
i
jk,
x
y
и, таким образом, формула (2) (а также формулы (3) и (4)) оказывается частным случаем
формулы (6).
Упражнения для самопроверки
1. Идет дождь в безветренную погоду. Найти зависимость мощность потока воды,
попадающей внутрь автомобиля с откинутым верхом, от скорости автомобиля. См.
рис. 1.
2. Вывести формулу (3).
3. Вывести формулу (4).