Поверхностный интеграл I рода

§ ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА
(ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ)
Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является
по отношению к определенному интегралу.
1. Задача, приводящая к понятию поверхностного
интеграла I рода
Пусть (S ) – квадрируемая1) поверхность в пространстве Oxyz , по которой распределена масса. Определим массу поверхности (S ) , если
плотность распределения массы в каждой точке M ( x, y, z )  ( S ) равна
 ( x, y , z ) .
Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем поверхность
(S ) на n частей (S1 ) , (S 2 ) , …, (S n ) . На каждой части (Si ) выберем произвольную точку Pi (i ; i ;  i ) . Если часть (Si ) мала, то можно
считать ее однородной, с плотностью распределения массы  (i ; i ;  i ) .
Тогда приближенное значение массы mi части (Si ) будет равно
mi   (i ; i ;  i )  Si ,
где S i – площадь (Si ) . Так как масса m всей поверхности (S ) равна
сумме масс ее частей, то
n
n
i 1
i 1
m   mi    (i ; i ;  i )  Si .
n
Причем разность
m    (i ; i ;  i )  Si
будет тем меньше, чем мельче
i 1
разбиение поверхности (S ) . Следовательно, точное значение массы поверхности будет равно
m  lim
 0
n
  (i ; i ;  i )  Si ,
(1)
i 1
где  – наибольший из диаметров частей (Si ) .
1)
Напомним, что поверхность (S )
щадь.
называется квадрируемой, если она имеет пло-
1
К пределам вида (1) сводятся и ряд других задач математики и физики. Поэтому представляется целесообразным исследовать такие пределы,
отвлекаясь от их конкретного содержания.
2
2. Определение и свойства поверхностного интеграла I рода
Пусть (S ) – квадрируемая поверхность в пространстве Oxyz и на
поверхности (S ) задана функция u  f ( x, y, z ) .
1. Разобьем поверхность (S ) произвольным образом на n частей, не
имеющих общих внутренних точек:
(S1 ) , (S 2 ) , …, (S n ) .
2. На каждой части (Si ) выберем произвольную точку Pi (i ; i ;  i ) и
вычислим произведение f ( Pi )  Si  f (i ; i ;  i )  Si , где S i – площадь части (Si ) .
n
Сумму
I n (Si , Pi )   f ( Pi )  Si
назовем интегральной суммой
i 1
для функции f ( x, y, z ) по поверхности (S ) (соответствующей данному
разбиению поверхности (S ) и данному выбору точек Pi ). Очевидно, что
интегральная сумма I n (Si , Pi ) зависит от способа разбиения поверхности
(S ) и выбора точек Pi и, следовательно, для функции f ( x, y, z ) по поверхности (S ) можно записать множество различных интегральных
сумм.
Пусть d i – диаметр (Si ) ,   max d i .
1 i  n
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число I называется пределом интегральных
сумм I n (Si , Pi ) при   0 (обозначают lim I n (Si , Pi ) ), если для любо 0
го   0 существует   0 такое, что для любого разбиения поверхности (S ) у которого    , при любом выборе точек Pi выполняется
I n (Si , Pi )  I   .
неравенство
Если существует конечный предел интегральных сумм I n (Si , Pi )
при   0 , то его называют поверхностным интегралом I рода (по
площади поверхности) от функции f ( x, y, z ) по поверхности (S ) .
Поверхностный интеграл I рода от функции f ( x, y, z ) по поверхности (S ) обозначают
 f ( x, y, z)ds
(S )
( f ( x, y, z ) называют подынтегральной функцией, (S ) – областью интегрирования, x, y, z – переменные интегрирования, ds – дифференциал площади поверхности).
Если существует  f ( x, y, z )ds , то функция f ( x, y, z ) называется
(S )
3
интегрируемой по поверхности (S ) .
Достаточное условие существования поверхностного интеграла I рода
будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.
Определение поверхностного интеграла I рода по структуре такое же,
как и определение определенного интеграла. Поэтому поверхностный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл.
Приведем эти свойства без доказательства.
СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА
1.
 ds  S ,
где S – площадь поверхности (S ) .
(S )
2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла I рода, т.е.  c  f ( x, y, z )ds  c   f ( x, y, z )ds .
(S )
(S )
3. Поверхностный интеграла I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме поверхностных интегралов I рода от этих функций, т.е.
  f1( x, y, z)  f2 ( x, y, z)ds   f1( x, y, z)ds   f2 ( x, y, z)ds .
(S )
(S )
(S )
4. Если поверхность (S ) разбита на две части ( S1 ) и ( S 2 ) , не имеющие
общих внутренних точек, то
 f ( x, y, z)ds   f ( x, y, z)ds   f ( x, y, z)ds
(S )
( S1 )
(S2 )
(свойство аддитивности поверхностного интеграла I рода).
5. Если всюду на поверхности (S ) функция f ( x, y, z )  0 ( f ( x, y, z )  0 ),
 f ( x, y, z)ds  0 .
то
(S )
6. Если всюду на поверхности (S )
f ( x, y, z )   ( x, y, z ) ( f ( x, y, z )   ( x, y, z ) ),
то
 f ( x, y, z)ds   ( x, y, z)ds .
(S )
(S )
7. (следствие свойств 6 и 1) Если m и M – соответственно наименьшее и
наибольшее значения функции f ( x, y, z ) на поверхности (S ) , то
mS 
 f ( x, y, z)ds  M  S ,
(S )
где S – площадь поверхности (S ) .
4
8. (теорема о среднем для поверхностного интеграла I рода) Если функция
f ( x, y, z ) непрерывна на поверхности (S ) 1, то найдется такая точка
P0 ( x0 ; y0 ; z0 )  (S ) , что справедливо равенство
 f ( x, y, z)ds  f ( x0 ; y0 ; z0 )  S ,
(S )
где S – площадь поверхности (S ) .
3. Вычисление поверхностного интеграла I рода
Вычисление поверхностных интегралов I рода обычно производится
путем их сведения к двойным интегралам.
Пусть поверхность (S ) задана формулой
(2)
z   ( x, y) , ( x; y)  ( xy ) .
В этом случае, говорят, что поверхность задана явно. При этом поверхность называется гладкой, если функция  ( x, y) имеет непрерывные
частные производные  x ( x, y ) и  y ( x, y ) в области ( xy ) .
Явным заданием считается также задание поверхности формулой
x   ( y, z ) , ( y; z )  ( yz ) или y   ( x, z ) , ( x; z )  ( xz ) .
Если поверхность (S ) задана уравнением F ( x, y, z )  0 , не разрешенным относительно ни одной из переменных, то говорят, что поверхность
задана неявно. При этом поверхность называется гладкой, если для любой
ее внутренней точки существует такая окрестность, которая может быть
задана явно и является гладкой. Пусть функция u  F ( x, y, z ) имеет непрерывные частные производные Fx , Fy и Fz . Точка M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) поверхности (S ) называется особой, если в этой точке частные производные функции u  F ( x, y, z ) одновременно обращаются в нуль. Если на поверхности (S ) нет особых точек, то поверхность является гладкой.
С геометрической точки зрения, гладкость поверхности (S ) означает, что в каждой внутренней точке поверхности существует касательная
плоскость и нормаль.
Поверхность, составленная из нескольких гладких частей, называется
кусочно-гладкой.
1
Функция f ( x, y, z ) называется непрерывной в точке M 0 поверхности (S ) , если выполняется условие lim f ( M )  f ( M 0 ) . Функция, непрерывная в каждой
M M0
M ( S )
точке поверхности (S ) называется непрерывной на поверхности (S ) .
5
Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Если (S ) – гладкая поверхность, заданная уравнением
(2), ( xy ) – квадрируемая область в плоскости xOy и функция f ( x, y, z )
непрерывна на (S ) , то f ( x, y, z ) интегрируема по поверхности (S ) и
справедливо равенство
 f ( x, y, z)ds   f x, y, ( x, y) 
1  ( x ) 2  ( y ) 2 dxdy .
(3)
( xy )
(S )
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По определению
n
I n (Si , Pi )  lim  f (i ; i ;  i )  Si .
 f ( x, y, z)ds  lim
0
 0
i 1
(S )
Площадь S i можно вычислить с помощью двойного интеграла по формуле
Si 

1  ( x ) 2  ( y ) 2 dxdy ,
(  i )
где ( i ) – проекция (Si ) на плоскость xOy .
Согласно теореме о среднем для двойного интеграла, существует точка
( xi yi )  ( i ) такая, что

(  i )


1  ( x ) 2  ( y ) 2 dxdy  1   x ( xi ; yi ) 2   y ( xi ; yi ) 2   i ,
⇒ Si  1   x ( xi ; yi ) 2   y ( xi ; yi ) 2   i ,
(4)
где  i – площадь области ( i ) .
Таким образом,
n
 f (i ; i ;  i ) 
 f ( x, y, z)ds  lim
0
i 1


1   x ( xi ; yi ) 2   y ( xi ; yi ) 2   i .
(S )
Так как Pi (i ; i ;  i ) – любая точка области (Si ) , то выберем ее так,
чтобы ее координаты были равны
i  xi , i  yi ,  i   ( xi ; yi ) .
Тогда получаем
n
 f xi ; yi ; ( xi ; yi ) 
 f ( x, y, z)ds  lim
0
i 1


1   x ( xi ; yi ) 2   y ( xi ; yi ) 2   i .
(S )
Пусть d – наибольший из диаметров областей ( i ) . По условию поверхность (S ) – гладкая. Значит функции  x ( x, y ) и  y ( x, y ) на ( xy )
непрерывны и в силу (4) d  0 при   0 . Следовательно,
6
n
 f xi ; yi ; ( xi ; yi ) 
d 0
 f ( x, y, z)ds  lim
(S )



1   x ( xi ; yi ) 2   y ( xi ; yi ) 2   i 
i 1
 f x, y, ( x, y) 
∎
1  ( x ) 2  ( y ) 2 dxdy .
( xy )
ПРИМЕР. Найти интеграл

z
zdS , где (S ) – часть
(S )
поверхности конуса z  x2  y 2 , 1  z  2 .
x
zx 
Имеем:
x y
2
2
y
, zy 
x y
2
2
2
;

 
x
y
 
⇒ 1  zx  zy  1  
 x2  y 2   x2  y 2

 
2

  2.


y
Следовательно,
 zdS  
2

0
x 2  y 2  2dxdy 
1
( xy )
(S )
2
y
x
2
x
2
14 2
r3
.
d   r dr  2  2 

3
3
1
1
2
2
СЛЕДСТВИЕ 2. Если (S ) – гладкая поверхность, заданная уравнением x   ( y, z ) , ( y; z )  ( yz ) , ( yz ) – квадрируемая область в плоскости yOz и функция f ( x, y, z ) непрерывна на (S ) , то f ( x, y, z ) интегрируема по поверхности (S ) и справедливо равенство
 f ( x, y, z)ds   f  ( y, z ), y, z  
(S )
1  ( y ) 2  ( z ) 2 dydz .
( xy )
СЛЕДСТВИЕ 3. Если (S ) – гладкая поверхность, заданная уравнением y   ( x, z ) , ( x; z )  ( xz ) , ( xz ) – квадрируемая область в плоско7
сти xOz и функция f ( x, y, z ) непрерывна на (S ) , то f ( x, y, z ) интегрируема по поверхности (S ) и справедливо равенство
 f ( x, y, z)ds   f x,  ( x, z), z  
1  (  x ) 2  (  z ) 2 dxdz .
( xz )
(S )
В заключение этого пункта сформулируем теорему, которая очевидным образом следует из утверждений 1 – 3.
ТЕОРЕМА 4 (достаточные условия существования поверхностного
интеграла I рода). Пусть (S ) – кусочно-гладкая поверхность, которая
может быть явно задана, например, формулой z   ( x, y) , ( x; y)  ( xy ) .
Если ( xy ) – квадрируемая область в плоскости x O y и функция
f ( x, y, z ) непрерывна на (S ) , то f ( x, y, z ) интегрируема по поверхности
(S ) .
4. Геометрические и физические приложения
поверхностных интегралов I рода
1. Площадь S квадрируемой поверхности (S ) может быть найдена по
S
формуле
 ds .
(S )
Пусть (S ) – материальная квадрируемая поверхность в пространстве
Oxyz с плотностью  ( x, y, z ) . Тогда справедливы следующие формулы:
2.
  ( x, y, z)ds  m – масса поверхности
(S ) .
(S )
3. Статические моменты поверхности (S ) относительно плоскостей xOy ,
yOz и xOz равны соответственно:
S xy 
 z   ( x, y, z)ds ,
(S )
4. x0 
S yz
S yz   x   ( x, y, z )ds , S xz 
(S )
, y0 
m
сти (S ) .
 y   ( x, y, z)ds .
(S )
S xy
S xz
, z0 
– координаты центра тяжести поверхноm
m
8
5. Моменты инерции поверхности (S ) относительно осей Ox , Oy и Oz
равны соответственно:
I x   ( y 2  z 2 )   ( x, y, z )ds , I y   ( x 2  z 2 )   ( x, y, z )ds ,
(S )
(S )
Iz 
 ( y
2
 x )   ( x, y, z )ds .
2
(S )
6. I o  I x  I y  I z 
 ( x
2
 y 2  z 2 )   ( x, y, z )ds – момент инерции по-
(S )
верхности (S ) относительно начала координат.
9