PUBLICATIONS DE L'INSTITUT MATHEMATIQUE Nouvelle serie, tome 38 (52), 1985, pp. 153{156 OCENKA KOFFICIENTOV FUR^E FUNKCI PRINADLEAWIH KLASSAM BESOVA Muharem Berixa Rezme. V to rabote opredeleny dostatoqnye uslovi kotorym dolny udovletvort~ kofficienty Fur~e funkcii f (x) qtoby ona prinadleala klassu B (p; ; ). 0. V rabote [1] byli poluqeny neobhodimye i dostatoqnye uslovi (v terminah kofficientov Fur~e) dl prinadlenosti qetnyh funkci s monotonnymi kofficientami Fur~e klassam funkci tipa Besova. V rabote [2] byli opredeleny neobhodimye uslovi kotorye dolny udovletvort~ kofficienty Fur~e qtoby funkci prinadleala klassu B (p; ; k; ). V nastowe rabote ukazany dostatoqnye uslovi kotorym dolny udovletvort~ kofficienty Fur~e qtoby v obwem sluqae funkci f (x) 1 X = 1 c exp(ix) gde c = 1=(2) prinadleala klassu tvoret uslovi: ( ) Z 2 0 f (t) exp( it)dt; B (p; ; ). V dannom sluqae funkci (t) udovle- ZÆ 0 (t)t dt CÆ Z 2Æ 0 (t)dt dl vseh Æ 2 (0; Æ0 ). Otmetim, qto v nastowe rabote utverdeni dokazyvac pri pomowi nailuqih priblieni. Neobhodimye opredeleni smotri v rabote [2]. AMS Subject Classication (1980): Primary 42A32. Berixa 154 1. metrike t.e. Qerez En (f )p oboznaqim nailuqxe priblienie funkcii f (x) v Lp pri pomowi trigonometriqeskih polinomov ne vyxe qem n, En (f )p = inf kf (x) Tn (x)kp Tn Budem govorit~ qto nekotora funkci (t) est~ funkci tipa , esli ona izmerima na [0; 1], summiruema na [Æ; 1] dl lbogo Æ 2 (0; 1) i esli suwestvut destvitel~nye qisla ; Æ > 0 i qislo Æ0 2 (0; 1) takie qto: 1. (t) C dl vseh t 2 [0; 1] RÆ 2. 0 (t)ts dt < 1 dl vseh s < i Æ 2 (0; Æ0 ) RÆ 3. 0 (t)ts dt = 1 dl vseh s < i Æ 2 (0; Æ0 ). Budem govorit~, qto f (x) 2 B (p; ; ) esli: 1. f (x) 2 Lp , dl nekotorogo p iz promeutka 1 p 1 2. nekotoroe qislo iz promeutka 0 < < 1 3. (t) funkci tipa R1 4. I = 0 (t)!k0 (f; t)p dt < 1, gde k nekotoroe natural~noe qislo udovletvorwee k > =. Uslovie k > garantiruet, qto klass B (p; ; ) sastoit ne tol~ko iz konstant [5]. Dl dokazatel~stva osnovnyh rezul~tov raboty nam ponadobc sleduwie lemmy 2 1 1 Lemma 1. [5] Pust~ f (x) Lp , 1 p , 0< < i (t) funkci tipa , togda dl lbogo natural~nogo qisla k udovletvorwego k < = spravedlivo neravenstvo: Z1 0 gde C1 (t)!k0 (f; t)p dt C1 fE0 (t)p + E10 (t)p + ne zavisit ot f (x ) i Z 2=2 ( ) = 1 X =1 ( )E2 (f )p g (t)dt; 1; (0) = 1: 1=2 0 Lemma 2. [4, T. 19, str. 43] Pust~ qisla ; i a < < < 1, togda spravedlivo neravenstvo: 1 !1= 1 !1= X X a a =1 =1 takovy, qto a 0, 3. [7] Pust~ qisla a ; b i takovy, qto a 0, b 0 i P1 aLemma 1 = an n , togda dl p iz promeutka 1 p < 1 spravedlivo neravenstvo: 1 X 1 !p 1 X X b pp a (b )p =1 =1 =1 Ocenka kofficientov Fur~e funkci prinadleawih klassam. . . 2. 155 Teorema 1. Dl togo qtoby periodiqeska funkci f (x) 1 X = 1 c exp(ix) 1 prinadleala klassu B (p; ; ) pri 2 p , dostatoqno qtoby e kofficienty Fur~e udovletvorli sleduwim uslovim: dl p: dl p: 1 X j j=1 1 X jc j j j jc j j j j j=1 Z 1= A gde = 1= +1 2=p 2=p b(j j) < 1 b(j j)fb(j j)=A(j j)g=p (t)dt i b = Z1 1= +1 1 <1 (t)dt 3 Dokazatel~stvo . Ispol~zu lemmu 1 i neravenstvo [ ]: 1 X =1 ( )E2 (f )p C2 P A( )E (f ) . imeem I C3 1 p =1 Dl p 2 imeem: 1 X =1 Esli A( )E (f ) C 4 1 X =1 1 X =1 A( )E (f )p 01 1=p X A(j j) @ jcn jp jnjp 2 A : jnj= p, togda primen lemmu 2 imeem: 1 1 1 X X X I C5 A( ) jcn j jnj 2=p A( ) = =1 =1 j j=1 1 X 2=p = jcn j jnj b(jnj): =1 p, togda primen lemmu 3 imeem: 1 X I C6 A(j j)[ (j j)jc jp j jp 2 ]=p j j=1 P gde b(n) = 1 =1 A( ) = A(n) (n). Znaqit, 1 X I C7 jc j j j 2=pb(j j)fb(j j)=A(j j)g=p 1 : j j=1 Esli Berixa 156 Teorema 2. Dl togo qtoby periodiqeska funkci f (x) 1 X ck exp(ikx) 1 B (p; ; ) pri 1 < p 2 dostatoqno = prinadleala klassu cienty Fur~e udovletvorli sleduwim uslovim: dl dl 1 X 2 1 X 2 j j=1 j j=1 qtoby e koffi- jcn j b(jnj) < 1 jcn j b(jnj)fb(jnj)=A(jnj)g=2 1 < 1 Dokazatel~stvo. Pust~ 1 < p 2, togda oqevidno, qto En (f )p C8 En (f )2 Na osnovanii ravenstva Parseval sleduet I C9 Esli 1 X =1 A( )E C10 =1 01 1=2 X A( ) @ jcn j2 A : j j=1 2, primen lemmu 2 imeem: I C11 1 X =1 01 1 1 1 X X X A( ) @ jcn j A = C11 jcn j A( ) = j j=1 = Esli 1 X C11 1 X j j=1 j j=1 =1 jcn j b(jn): 2, togda na osnovanii lemmy 3 imeem: 1 X I C12 A( )[ (j j)jc j2 ]=2 = j j=1 1 X = jc j A1 =2 (j j)b=2 (jnj) = j j=1 1 X = jc j b(j j)fb(j j)=A(j j)=2 1 : j j=1 LITERATURA [1] M. Berixa, O koficientah Fur~e nekotoryh klassov funkci, Glasnik Mat. 16(36) (1981, 75{90. Ocenka kofficientov Fur~e funkci prinadleawih klassam. . . 157 [2] M. Berixa, Neobhodimye uslovi kofficientov Fur~e periodiqeskih funkci prinadleawih B (p; ; k; ) klassam tipa Besova, Publ. Inst. Math. (Beograd)(N.S.) 35(49)(1984), 87{91. [3] M. Berixa, O koficientah Fur~e periodiqeskih funkci prinadleawih B (p; , k; ) { klassam, Mat. Balkanica, (v peqti). [4] G.B. Hardi, D.E. Lit~vud, G. Polia, Neravenstva, GIIL Moskva, 1984. [5] K.M. Potapov, O vloenii i sovpadenii nekotoryh klassov funkci, Izv. AN SSSR 4(1969), 840{860. [6] K.M. Potapov, Ob odno teoreme vloeni, Matematica (Cluj), 14(37)(1972), 123{ 146. Prirodno-matematiqki fakultet 38000 Prixtina Jugoslavija (Postupila 28 09 1984)