Открытое соревнование по решению математических задач
реклама
Otkrytoe sorevnovanie po rexeni» matematiqeskih zadaq 22 fevral 2004 g. Mladxa gruppa VremÂ, otvodimoe dl rexeniÂ: 5 qasov. Vernoe i dostatoqno obosnovannoe rexenie ka¼do$ i zadaqi daet 7 ballov. Pol~zovat~s kal~kulÂtorom ne razrexaetsÂ. 1. Dany 100 natural~nyh qisel, summa kubov kotoryh delits na 3 . Mo¼no li tverdo utver¼dat~, qto a) summa dannyh qisel delits na 3 ; b) summa kvadratov dannyh qisel delits na 3 ? 2. Na planete Lgunov god sostoit iz 2004 dne$ i i u ka¼dogo ¼itel planety vse dni goda podeleny na dni pravdy i dni l¼i: v dni pravdy on govorit tol~ko pravdu, v dni l¼i — tol~ko lo¼~(qislo dne$ i pravdy ili dne$ i l¼i ¼itel mo¼et byt~ i 0 ). V teqenii odnogo goda trem ¼itelÂm planety ka¼dy$ i den~ zadavali vopros “Skol~ko dne$ i v godu vy l¼ete?” V pervy$ i den~ goda pervy$ i ¼itel~ otvetil, qto on l¼et rovno 1 den~ v godu, vtoro$ i otvetil, qto on l¼et ne menee qem 1 den~ v godu, a treti$ i otvetil, qto on l¼et ne bolee qem 1 den~ v godu. Vo vtoro$ i den~ goda pervy$ i ¼itel~ otvetil, qto on l¼et rovno 2 dn v godu, vtoro$ i, qto ne menee qem 2 dn v godu, a treti$ i, qto ne bolee qem 2 dn v godu, i t.d., nakonec v posledni$ i, 2004 den~ goda pervy$ i ¼itel~ otvetil, qto on l¼et rovno 2004 dn v godu, vtoro$ i, qto ne menee qem 2004 dn v godu, a treti$ i, qto ne bolee qem 2004 dn v godu. Skol~ko dne$ i v godu l¼et ka¼dy$ i iz opraxivaemyh na samom dele? 3. Na$ idets li takoe natural~noe qislo, 33 - stepen~ kotorogo ÂvlÂets 33 -znaqno$ i? 4. Okru¼nosti c1 i c2 , centrami kototryh Âvl»ts sootvetstvenno toqki O1 i O2 , pereseka»ts v toqkah A i B , priqem centr ka¼do$ i iz okru¼noste$ i nahodits vne drugo$ i okru¼nosti. PrÂma O1 A peresekaet okru¼nost~ c2 vo vtoro$ i raz v toqke P2 , a prÂma O2 A peresekaet okru¼nost~ c1 vo vtoro$ i raz v toqke P1 . Dokazat~, qto toqki O1 , O2 , P1 , P2 i B raspolo¼eny na odno$ i okru¼nosti. 5. Andre$ i, Dima i Paxa sorevnovalis~ me¼du sobo$ i v raznyh disciplinah, v tom qisle v matematike i v ly¼nyh gonkah. Pobeda v ka¼do$ i discipline davala x , vtoroe mesto y i tret~e mesto z oqkov, gde x, y, z polo¼itel~nye celye qisla i x > y > z ; dva uqastnika ni razu ne delili odno i to ¼e mesto. Andre$ i poluqil vsego 20 , Dima 10 i Paxa 9 oqkov. Kto zanÂl vtoroe mesto v ly¼nyh gonkah, esli v matematike vtoroe mesto zanÂl Andre$ i? Otkrytoe sorevnovanie po rexeni» matematiqeskih zadaq 22 fevral 2004 g. Starxa gruppa VremÂ, otvodimoe dl rexeniÂ: 5 qasov. Vernoe i dostatoqno obosnovannoe rexenie ka¼do$ i zadaqi daet 7 ballov. Pol~zovat~s kal~kulÂtorom ne razrexaetsÂ. 1. Dany 13 polo¼itel~nyh celyh qisel, summa kotoryh ravna 2004 . Kakovo maksimalnoe vozmo¼noe znaqenie naibol~xego obxego delitel ®tih 13 qisel? 2. Na$ iti vse takie funkcii f , kotorye opredeleny dl polo¼itel~nyh de$ istvitel~nyh qisel, prinima»t de$ istvitel~nye znaqeni i udovletvor»t to¼destvu f (x)f (y) = f (xy) + 1 1 + x y pri l»byh polo¼itel~nyh de$ istvitel~nyh qislah x i y . 3. Na okru¼nosti raspolo¼eno N lamp, kotorye po qasovo$ i strelke pronumerovany qislami ot 1 do N . Snaqala ni odna iz lamp ne gorit. Zatem dl ka¼dogo polo¼itel~nogo delitel d qisla N (vkl»qa 1 i N ) postupa»t sledu»wim obrazom: naqina s lampy 1 i dvigaÂs~ po qasovo$ i strelke, izmen»t sostoÂnie ka¼do$ i d -$ i lampy, t.e. lampu za¼iga»t, esli ona ne gorit, ili tuxat, esli ona gorit, dela ®to rovno N raz. (Naprimer, pri N = 6 i d = 3 posledovatel~no za¼iga»t ili tuxat lampy 3, 6, 3, 6, 3, 6 .) Pri kakom znaqenii N v konce, kogda opisanna procedura proizvedena dl vseh delitele$ i d qisla N , vse lampy budut goret~? 4. Na opisanno$ i okolo treugol~nika ABC okru¼nosti berut toqku P tak, qto provedenny$ i iz toqki P k prÂmo$ i AC perpendikulÂr peresekaet okru¼nost~ vo vtoro$ i raz v nekotoro$ i toqke Q , provedenny$ i iz toqki Q k prÂmo$ i AB perpendikulÂr peresekaet okru¼nost~ vo vtoro$ i raz v nekotoro$ i toqke R , a provedenny$ i iz toqki R k prÂmo$ i BC perpendikulÂr peresekaet okru¼nost~ vo vtoro$ i raz v naqal~no$ i toqke P . Pust~ O centr ®to$ i okru¼nosti. Dokazat~, qto 6 P OC = 90◦ . 5. Snaqala v kvadrate, sostoÂwem iz n × n kletok, zakraxiva»t zelenym cvetom nekotorye k kletok. Ka¼dym sledu»wim hodom mo¼no zakrasit~ zelenym cvetom odnu taku» kletku, u kotoro$ i po kra$ ine$ i mere dve sosednie kletki (t.e. kletki, ime»wie s ne$ i obwu» storonu) u¼e zelenye. Pri kakom naimen~xem znaqenii k mo¼no vybrat~ zakraxivaemye snaqala k kletok tak, qto posledu»wimi hodami mo¼no zakrasit~ zelenym cvetom ves~ kvadrat?
