Тема Игровые задачи Исследования операций

ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ
ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в задачах
сводящихся к игровым моделям.
Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих
борьбу за реализацию своих интересов.
Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая
может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других
игроков.
Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других
участниках, их ресурсах и их возможных поступках.
Методы теории игр находят применение в экономике, социологии, политологии,
психологии и т.п.
С 1970-х годов методы теории игр применяются при решении задач
искусственным интеллектом, экспертными системами.
Игры представляют собой строго определённые математические объекты.
Игра образуется:
игроками,
набором стратегий для каждого игрока,
указанием выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий.
Характеризующие признаки игры :
наличие нескольких участников;
неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них
нескольких вариантов действий;
различие (несовпадение) интересов участников;
взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый
каждым из них, зависит от поведения всех участников;
наличие правил поведения, известных всем участникам.
Формальное математическое описание игры состоит в следующем
U  u, S , Пи
u  { A, B}

для 2х игроков
U  u, S  S A , S B , Пи
множество конфликтующих (конкурирующих сторон)
S A  {S A1, S A2 , }, SB  {SB1, SB 2 , }
Пu  {ПA(uij ), ПB(uij )}
совокупности стратегий сторон
выигрыши сторон
Формы представления игр
Экстенсивная форма
Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде
ориентированного дерева.
Каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии.
Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин.
Экстенсивная форма удобна для представления игры с более чем двумя игроками и
игры с последовательными ходами.
Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо
соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.
Нормальная форма
Математическую
модель
игры
удобно представлять в виде таблицы –
матрицы игры (m×n).
На
пересечении
указываются выигрыши
стратегий
П(u)={ПА(uij), ПА(uij)}
Между ПА(u) и ПВ(u) могут
устанавливаться
функциональные
соотношение, например
ПА(uij)= - ПВ(uij) = aij
(антагонистическая игра – выигрыш
одного означает проигрыш другого).
В
А
S1B
S1B
.....
SnB
S1A
Au12
Au11
Bu12
Bu11
.....
Au1n
Bu1n
S2A
Au21
Au22
Bu21
Bu22
.....
Au2n
Bu2n
.....
.
.
.....
Aumn
Bumn
.
.
SmA
.
.
.
.
Aum1
Aum2
Bum1
Bum2
Если же в качестве aij рассматривается какая-либо комбинация ПА(uij), ПВ(uij) –
среднее, сумма и т.д. – то тем самым предусматривается возможность объединения
усилий сторон, ведение переговоров, соглашение и т.д.
Главным в теории игр является принцип рационального выбора оперирующими
сторонами своих действий.
Решающая роль принадлежит информации, которой располагают стороны.
Классификацию игр можно проводить по:
количеству игроков,
количеству стратегий,
характеру взаимодействия игроков,
характеру выигрыша,
количеству ходов,
состоянию информации и т.д.
В зависимости от количества игроков различают игры двух и n-игроков.
Наиболее изучены игры двух.
По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные.
Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она
называется конечной.
Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных
стратегий игра называется бесконечной.
По характеру взаимодействия игры делятся на:
бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в
образовывать коалиции;
коалиционные (кооперативные) – могут вступать в коалиции.
соглашения,
По характеру выигрышей игры делятся на:
игры с нулевой суммой ПА(u)-ПВ(u)=0 (общий капитал всех игроков не
меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех
игроков равна нулю) (пример: покер, борьба за рынок услуг, сбыта продукции)
игры с ненулевой суммой (выигрыш какого-то игрока не обязательно означает
проигрыш другого. Пример: торговля, выполнение работ (заказчик-исполнитель,
производитель –посредник-покупатель)).
По виду функций выигрыша игры делятся на:
матричные,
биматричные,
непрерывные,
выпуклые,
Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой. Для
матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть
найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в
которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для
соответствующего игрока.
Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока
является непрерывной в зависимости от стратегий.
Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой.
По характеру ходов участников игры:
параллельные
последовательные
По отношению играков к функции выигрыша:
симметричные (антагонистические) (пример: «Орел или решка»)
несимметричные (пример: покупатель - продавец)
По объему информации о проитивнике:
с полной (пример: шашки, шахматы)
с неполной информацией (пример: конкуренция на рынке сбыта продукции)
Матричная игра двух игроков с нулевой суммой
Оптимальные стратегии игроков. Стратегия игрока является оптимальной, если
применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный
выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока.
Стратегия игрока А
1.Игрок А исследует матрицу выигрышей
следующим образом: для каждого значения
i
(i=1,m) определяется минимальное
значение выигрыша в зависимости от
применяемых стратегий игрока В
α i = minaij
j
2.Из этих
минимальных
выигрышей
отыскивается такая стратегия , при которой
этот
минимальный
выигрыш
будет
максимальным
maxminaij = maxα i = α.
i
j
i
В
S1B S2B
.....
SnB
S1A
a11
a12
.....
a1n
S2A
a21
a22
.....
a2n
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.....
amn
А
SmA
am1 am2
Гарантированный минимум
Число α называется нижней чистой ценой игры (максиминным выигрышем) и
показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок А,
применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока В.
Стратегия игрока В. Игрок В при оптимальном поведении должен стремится по
возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока А (т.к
ПВ = – ПА = – а).
β j = max aij ,
β = minβ j = minmax aij
Гарантированный максимум
i
 
j
j
i
 
Число β называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой
максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок А.
Стратегия игрока А и стратегия игрока В симметричны поэтому общее название
стратегии - «минимаксная стратегия» α  β .
пример последовательности ходов
Стратегия
игрока В
Пример 1
Аi
Bj
Стратегия
игрока А
α=2
β6
8
2
1 
 
 0 
6 9
a11
a11
a21
a23
2 5 4
8 6 1 


 5 0 9 
a33
a32
a22
a23
a33
a32
……
……
Игра не имеет решения в чистых
минимаксных стратегиях
Если в игре с матрицей [aij]: v = α = β, то игра имеет седловую точку и чистую
цену игры.
Седловая точка - элемент apq, который одновременно оказывается
минимальным в p – строке и максимальным q – столбце.
Седловых точек может быть несколько.
Если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой
точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться такой
же стратегии.
Стратегии при которых этот
выигрыш
достигается,
называются
оптимальными чистыми стратегиями , а их совокупность — решением
игры.
Пример 2
Седловая точка v =2
Пример 3. Двоичный выбор с взаимным влиянием
Пусть имеется много идентичных игроков. Каждый из них должен выбрать одну из
двух стратегий: 1 (общественный транспорт с приоритетом движения , стратегия T1)
или 0 (использовать собственный автомобиль, стратегия T0).
Пусть γ (0< γ <=1) - доля игроков, использующих стратегию 1, функции T1 (γ) и T0 (1-γ)
обозначают соответственно выигрыши любого игрока, использующего стратегию 1 и
стратегию 0.
T1 (  ), при xi  1
ui  
T0 (1   ), при xi  0
1 n
   xi
n i 1
T1 ( * )  T0 (1   * )
T0 (1)
Tmax
Рассмотрим возможность
переключения стратегий.
Δ – доля переключившихся
T1(γ-Δ)
T1 (1)
T0(1-γ +Δ)
T0 (0)
T1 (0)
γ=0
Δγ
γ=1
T1(γ -Δ+ Δ)= T1(γ)
γ
T ( (t ))
T0 (1   (t ))
Пусть γ* найдено, тогда
Tопт (  * )
РЕШЕНИЕ
Tопт (  * )
 xi  1, при    *

*
 xi  0, при   
T1 (  (t ))
t
Пример T1 (  * )  T0 (1   * )
T1 (  )  Tmax  , при xi  1
ui  
T0 (1   )  Tmax (1   ), при xi  0, 0<  1

 *
 * 1


 



1 
2
ЕСЛИ


1,
то



T (  * ) 
T (  * )  Tmax
T
max
 опт
 опт
1 
2
ИГРЫ С ПРИРОДОЙ
Отличительная особенность игры - в ней имеется один
активный игрок. Термин «природа» характеризует некую
объективную действительность.
Матрица игры с природой имеет вид
Методы принятия решений в играх с природой зависят от
характера неопределенности в поведении игрока 2.
Таким образом, имеем либо ситуацию риска либо –
полной неопределенности.
Поэтому иногда игру с природой задают в виде матрицы
рисков или матрицы упущенных возможностей
Риском rij игрока 1 при использовании им i-й стратегии и при jм состоянии среды называется разность между выигрышем,
который игрок получил бы, если бы он знал, что наступит j-е
состояние среды и выигрышем, который игрок получит, не
обладая этой информацией.
β = 6, 5, 9, 7 
rij = max aij - aij
i=1,m
rij = β j - aij
1.Критерий максимакса (критерий крайнего
оптимизма)
α = max maxaij = 92
2.Максиминный критерий (критерий крайнего
ессимизма) рассматривает природу как
антагонистического игрока
α = maxminaij = 33
i=1,m j=1,n
i
j
α  minmaxrij = 33
3.Критерий минимаксного риска
i
j
4.Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица рекомендует руководствоваться
некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним
пессимизмом и крайним оптимизмом (р – коэффициент пессимизма)
α = max pminaij + (1 - p)maxaij 
i
j
 j

Если р=0  1.Критерий максимакса
Если р=1  2.Максиминный критерий
Пример. р=0.5
 4 
 5 
 
1

α i = mina ij + maxa ij = 5.5 
  
j
2  j
 4 
4.5 
α = .5.53
Игры со смешенными стратегиями
Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает
оптимального решения игры (пример 1 α ≠ β).
В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом
чередуя чистые стратегии.
В условиях непредсказуемости хода противника каждому выбору определенной
стратегии Six соответствует некоторая вероятность pix.
Смешанной стратегией (SA, SB) игрока (А,B) называется применение чистых
стратегий (A1,...,Am), (B1,...,Bn) с вероятностями (piA, pjB).
p
iА
1
i
p
jB
1
j
Смешанные стратегии игрока (А и B) записываются в виде матриц
или в виде строк
PA   p1A , p2 A ,
pmA
PB   p1B , p2 B ,
pnB 
При выборе стратегий поведения
сторон пользуются усреднением, т.е.
принцип минимакса сохраняется и в
этом случае
M aij =  aijpiAp jB = M AB
i
j
M AB

α = maxmin
j
i


piA  PA , p jB  PB

AB
β = minmaxM
j
i


piA  PA , p jB  PB
Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных.
На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или
решение) игры: это пара оптимальных стратегий (S*A , S*B).
S A*   p*1 A , p*2 A ,
p*mA
SB*   p*1B , p*2 B ,
p*nB 
Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v.
Цена игры удовлетворяет неравенству: α ≤ v ≤ β.
Теорема Неймана. Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное
решение, возможно, среди смешанных стратегий.
Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от
нуля вероятностью, то она называется активной.
Теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей
оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным
цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.
Пример 4. Нахождение смешанных стратегий
B1(p1B)
B2(p2B)
A1(p1A)
а11=2
а12=1
A2(p2A)
а21=-3
а22=4
α = max{1,-3} = 1 β = min{2,4} = 2
i
j
Согласно теореме об активных стратегиях
неизвестные значения p1*A , p2* A , p1*B , p2*B могут быть
получены из следующих соотношений
  a11 p1*A  a21 p2* A ( PA* действует против S1B ),

*
*
*


a
p

a
p
(
P

12 1 A
22 2 A
A действует против S 2 B ),
  a p*  a p* ( P* действует против S ),

11 1B
12 2 B
B
1A

*
*
*


a
p

a
p
(
P

21 1B
22 2 B
B действует против S 2 A ),
 p*  p*  1,
2A
 1A
 p1*B  p2* B  1.
a22  a21
,

a22  a12
*
p1B 
,

a a a a
  22 11 21 12 ,

  a11  a22  a21  a12
p1*A 
p2* A  1  p1*A ,
p2* B  1  p1*B
Оптимальные
смешанные стратегии
*
P2B
=
*
P1A
=
5
8
B1
B2
A1
а11=2
а12=1
A2
а21=-3
а22=4
7
8
7 1  * 3 5 
S   ,  , SB   , 
8 8
8 8 
*
A
ОБЩИЙ
СЛУЧАЙ
По столбцам
По строкам
a1 j p1*A 


*
a
p
i
1
1
B 


*
 amj pmA
 v,
*
p
 iA  1,
i
*
 ain pnB
 v,
p
*
jB
j
Введем в рассмотрение функции
  a p 
 amj pmA , j  1,...n,
j
1 j 1A

 ain pnB , i  1,...m,
 i  ai1 p1B 
 '  min( ),  ''  max( ).
j
i

j
i
 amj xm  1,
a1 j x1 

 ain yn  1,
ai1 y1 

1
x


x

(

')
,
m
 1
 y   y  ( '') 1 ,
n
 1
(*)
где обозначено
xi  piA /  '  0, y j  p jB /  ''  0.
 1.
Стремление стороны А максимизировать свой выигрыш ν’ равносильно требованию
минимизации 1/ν’.
Вторая сторона конфликта В преследует противоположную цель – достичь
максимума 1/ν’’ т.е. минимизировать ν’’.
Задачу (*) можно решить с помощью линейного программирования. Постановка
задачи линейного программирования в этом случае выглядит так:
Замечание. Если матрица [aij] имеет некоторые элементы элемнты akp <0,
то необходимо выполнить преобразование [aij] =[aij]+ С*I,
где I – единичная матрица, С=|min [aij]|.
После решения задачи цена игры v=v-C.
Пример 5. Нахождение смешанных стратегий как задача
линейного программирования
Предлагается
закупить
4
типа
технологических линий. Каждая линия
универсальна
и
может
быть
использована для обработки 5-ти
изделий.
Расходы, связанные с деятельностью
цеха оплачивают заказчики.
Платежи
–
условные
стоимости
обработки изделия сведены в таблицу.
Задачу решить, используя линейное
программирование.
Вид
изделия
Тип
линии
1
3
4
5
1
200
400 600 400 700
2
300
400 600 500 800
3
400
500 600 500 800
4
700
300 500 200 100
  max{200,300,400,100}  400,
i
  min{700,500,600,500,800}  500,
j
2
Вид
издели
я
1
2
3
4
5
1
200
400
600
400
700
2
3
4
300
400
700
400
500
300
600
600
500
500
500
200
800
800
100
Тип
линии
Полученное решение
5 1

S A*  0,0, ,  ,
6 6

Комплектовать цех надо линиями
№3 и №4 в пропорции p4A/p3A=1/5
1 
1
S B*   ,0,0, ,0 
2 
2
Цех следует ориентировать на
изделия №1 и №4.
  400    450    500,
КООПЕРАТИВНОЕ ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИИЙ
Принцип единогласия - выбранный (найденный) вектор полезностей должен быть
оптимальным по Парето
Классическая утилитарная программа заключается в максимизации суммы
индивидуальных полезностей.
Эгалитаризм - уравнивание индивидуальных полезностей.
Пример
B
A
δ
ACBε
AC
AB
ε
BCAδ
Возникает дилемма: можно выбрать размещение либо оптимальным по Парето,
либо выравнивающим полезности, но нельзя добиться одновременного выполнения
этих условий.
Пример
Определить утилитарное и эгалитарное решение места постройки объекта
N(Х) – распределение жителей по длине улицы X
 x,0  x  2
N ( x)  
6  2 x, 2  x  3
2
1
1
2
3
X
3
1.Без учета N(X)
(X  X
R( x) 
) dx  min
* 2
0
1
X 
2
*
2.Утилитарное решение Х*=2
X*
3.Эгалитпрное решение

0
3
N ( X )dx 

X*
N ( X )dx
X*  2
КООПЕРАТИВНОЕ ИГРЫ
Кооперативная игра — совместная игра, сокращённо co-op или coop.
Кооперативной называется игра, в которой группы игроков — коалиции — могут
объединять свои усилия.
Этим кооперативная игра отличается от игр, в которых коалиций нет.
Примеры игр в которых возможны коалиции:
Карточные игры,
Проведение рекламных компаний
Конкуренция за рынок сбыта
Закупка оборудования
Финансирование проектов и т д
Некооперативная теория игр изучает то, как должны действовать игроки, чтобы
прийти к тому или иному результату.
Кооперативная теория игр изучает какие исходы достижимы и условия достижения
этих исходов.
Примеры с выигрышем от кооперации
(согласованности деятельности)
Пример . Дилемма заключенного
(A – агрессия, P - мир).
Пример . Игра «перекресток»
Неотрицательное число ε соответствует
неудовольствию от уступки дороги
Кооперативной игрой называется пара (N,v), где N — это множество игроков, а v
— функция: 2N → R, из множества всех коалиций в множество вещественных
чисел (так называемая характеристическая функция).
Предполагается, что пустая коалиция зарабатывает ноль, то есть v(∅) = 0.
Характеристическая функция описывает величину выгоды, которую данное
подмножество игроков может достичь путем объединения в коалицию.
Подразумевается, что игроки примут решение о создании коалиции в
зависимости от размеров выплат внутри коалиции.
Свойства характеристической функции
Монотонность — свойство, при котором
у больших (в смысле включения) коалиций
выплаты больше
Супераддитивность — свойство, при
котором
для
любых
двух
непересекающихся коалиций A и B сумма
их выгод по отдельности не больше их
выгоды при объединении
Выпуклость
—
характеристическая
функция является выпуклой:
Простые игры — особый вид кооперативных игр, где все выплаты это 1 или 0, то есть
коалиции либо «выигрывают», либо «проигрывают». Простая игра называется
правильной, если:
Коалиция выигрывает тогда и только тогда, когда дополняющая коалиция
(оппозиция) проигрывает.
Решение кооперативных игр
В соответствии с определением кооперативной игры, множество игроков N в
совокупности обладает некоторым количеством определенного блага, которое
надлежит разделить между участниками.
Принципы этого деления и называются решениями кооперативной игры.
Решение может быть определено как для конкретной игры, так и для класса игр.
Наибольшей важностью обладают принципы, которые применимы для обширного
класса игр.
Решение может быть как однозначным (в этом случае для каждой игры решением
является единственное распределение выигрышей), так и многозначным (когда для
каждой игры могут быть определены несколько распределений).
Примерами однозначных решений служат N-ядро и вектор Шепли, примерами
многозначных — C-ядро.
N-ядро — решения основанные на минимизации степени неудовлетворённости
выигрышем подмножеств участников игры (коалиций).
С-ядро — принцип оптимальности, представляющий собой множество эффективных
распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков
Вектор Шепли — представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого
игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при
определенном механизме ее формирования.
Пример. Распределение затрат на объект
Затраты на объект N={A,B,C}:
город А отдельно: 120, город В: 140, город С: 120,
коалиция {А,В}- 170, коалиция {В,С} - 190, коалиция {А,С}: 160,
три города вместе: 255.
S - любая коалиция (подмножество) агентов
c(S) - - минимальные затраты на обслуживание S наиболее эффективным
способом.
Найдем распределение затрат из ядра (N,c)
N – ядро
кооперативной
игры
65  x1  120,
95  x2  140,
85  x3  120,
Предварительное решение уравнивающее «затраты»
min( x1 )  min( x2 )  min( x3 )  245  x*  [68.3 98.3 88.3]
Коалиция (А+В)
Затраты для А
Затраты для В
Общая экономия
с(А)+с(В)-с(АВ)=120+140-170=90
сА=120-0.5*90=75
сВ=140-0.5*90=95
Коалиция (А+В+С)
Затраты для А
Затратыдля В
Затраты для С
Общая экономия
с(А)+с(В)+с(С)-с(АВС)=125
сА=78.(3)
сВ=98.(3)
сВ=78.(3)
сА+сВ=78.(3)+98.(3)=176.(6)>c(AB)=170
A
B
C
A
B
C
С-ядро
Для того чтобы делёж x принадлежал С-ядру кооперативной
игры с характеристической функцией
v, необходимо и
достаточно, чтобы для любой коалиции S выполнялось
неравенство
v( S ) 
 xi
i S
С-ядро может оказаться пустым, например, когда есть слишком сильные
коалиции.
Если С-ядро пусто, то требования всех коалиций одновременно не могут
быть удовлетворены.
Пример. Найти С-ядро в кооперативной игре 3-х сторон, если максимальные
гарантированные выигрыши семи коалиций
v(1, 2, 3)=9,
v(2, 3)=7, v(1, 3)=4, v(1, 2)=4,
v(1) =v(2) =v(3) =0.
Составляем 4 системы по 3 уравнения,
Решение.
решая которые получаем
x + x + x ≥9
1
2
3
x2 + x3≥7
x1 + x3≥4
x1+ x2 ≥4
x1≥0, x2 ≥0, x3≥0
(x1=2, x2 =5, x3 =2),
(x1=2, x2 =2, x3 =5),
(x1=0, x2 =4, x3 =5),
(x1=0, x2 =5, x3 =4)
Вектором Шепли игры с характеристической функцией v
называется n-мерный
вектор  (v) = ( 1(v),  2(v), ...,  n(v)).
 i(v) − представляет полезность (выигрыш) i-го игрока в кооперативной игре в
результате соглашения или решения арбитра.
(t  1)! (n  t )!
i (v)   i (T ) v(T )  v(T \ {i})   
v(T )  v(T \ {i})
n
!
T N
T N
i T
i T
где t - число элементов в коалиции T;
(v(T)  v(T \{i}) выигрыш i-го игрока;
i (v) - средний выигрыш i-го игрока
Если кооперативная игра простая
0,

v(T )  v(T \ {i})  1,


i (T ) 
(t  1)! (n  t )!
n!
если T и T \ {i} - выигрывающие коалиции
если T выигрывающая коалиция,
а T \ {i} - не выигрывающая коалиция.
i (v)    i (T )  
T
T
(t  1)! (n  t )!
n!
i (T) это вероятность того, что i-й игрок вступит в коалицию T \{i};
Суммирование по T распространяется на все выигрывающие коалиции из T, для
которых коалиция T \{i} не является выигрывающей.
Пример. Рассматривается корпорация из четырёх акционеров, имеющих акции в
следующих размерах: a1 = 10, a2 = 20, a3 = 30, a4 = 40. Решение утверждается акционерами,
имеющими в сумме большинство акций. Это решение считается выигрышем, равным 1.
Поэтому это простая игра четырёх игроков, в которой выигрывающими для v(N)=100
являются следующие коалиции :
{2; 4}=60, {3; 4}=70,
{1; 2; 3}=60, {1; 2; 4}=70, {2; 3; 4}=90, {1; 3; 4}=80,
{1; 2; 3; 4}=100,
т.е для них выполняется условие v[T]>v[N\T]
Решение.
1.Найдем коалиции для которых исключение a1
делает их проигрывающими - {1; 2; 3}.
В коалиции Т имеется t=3 игрока
1 
(t  1)! (n  t )! 2!  1! 1


n!
4!
12
1!  2!
2!  1! 3
2. Найдем коалиции для которых исключение a2
2 
2

делает их проигрывающими - {2; 4}, {1; 2; 3}, {1; 2; 4}.
4!
4!
12
В коалициях Т имеется t=2 и t=3 игрока
3,4. Проводим аналогичные действия с игроками a3 и a4 .
Получаем
Анализ. Компоненты 2-го и 3-го игроков равны,
хотя a2<a3. Это объясняется равенством
возможностей образования коалиций с их
участием. Для 1-го и 4-го игрока ситуация
отвечает силе их капитала.
3 
3
5
, 4 
12
12
Замечание. Если считать вес голоса
пропорциональным акциям, то вектор
1 2 3 4
10 , 10 , 10 , 10 


ОСНОВЫ КОЛЛЕКТИВНОГО ВЫБОРА
3
5
6
7
A
A
B
C
B
C
D
B
C
B
C
D
D
D
A
A
Правило относительного большинства A: 3+5=8,
B: 6,
D: 0,
C: 7
A>B: 3+5=8
A>C: 3+5=8
A>D: 3+5=8
3
5
6
7
A
A
B
C
B
C
D
B
C
B
C
D
D
D
A
A
B>A: 6+7=13
C>B: 5+7=12
B>C: 3+6=9
C>A: 6+7=13
B>D: 3+5+6+7=21 C>D: 3+5+7=15
D>A: 6+7=13
D>B: 0
D>C: 6
Поскольку
B=13>A=8
C=12>B=9
C=15>D=6
Побеждает С
Парадокс Кондорсе
A>B: 8+6=14
B>C: 8+7=15
C>A: 7+6=13
A>B
B>A: 7
C>B: 6
A>C:8
B>C
C>A
Ранг
3
5
6
7
3
A
A
B
C
2
B
C
D
B
1
C
B
C
D
0
D
D
A
A
A= 3+3=6
B=2+1+3+2=8
C=1+2+1+3=7
D=2+1=3
Победитель B