Семинар 23-24. Экономика с производством нескольких товаров

Микроэкономика (исследовательский поток)
НИУ ВШЭ, Факультет экономики
Семинар 23-24. Экономика с производством нескольких товаров. Введение в международную торговлю.
𝐴
Задача -1. (С прошлого семинара) Пусть в условиях предыдущей задачи 𝑢𝐴 (𝑥𝐴
1 , 𝑥2 ) =
(︀ 𝐴 )︀2/3 (︀ 𝐴 )︀1/3
√
𝑥1
𝑥2
, а 𝑦2 = 2 𝑥1 . Начальный запас первого товара равен 7, второго — 1.
и) Правительство ввело потоварный налог на продажу второго блага. Налоговые сборы
в полном объеме перечисляются потребителю. Не вычисляя равновесие, покажите, что оно
не будет оптимальным по Парето, а благосостояние потребителя ухудшится по сравнению
с ситуацией без налога. Объясните, как такое может быть — ведь весь налог возвращается
потребителю!
к) Рассмотрите следующую схему налогообложения. Потребление первого блага индивидом облагается адвалорным налогом 𝜏1𝐴 (иначе говоря, цена, которую он платит,
увеличивается на эту долю), тогда как выпуск второго блага фирмой облагается адвалорным налогом 𝜏 (иначе говоря, цена, которую она получает, уменьшается на эту долю).
Все собранные средства передаются потребителю. Позволит ли такая схема реализовать
парето-оптимальное распределение как равновесие?
л) В результате обсуждений, налоговая политика была изменена, и правительство ввело
налог 13 % на прибыль фирмы. Доходы от сбора налога перечисляются потребителю. Будет
ли равновесное распределение после введения налога парето-оптимальным? Объясните,
почему ответ на этот вопрос отличается (или не отличается) от ситуации с потоварным
налогом.
Задача 0. (С прошлого семинара) Робинзон Крузо живет на острове, на котором растут
пальмы с бананами. Затратив 𝐿 часов, Робинзон сможет собрать 𝐿2 кг бананов. Предпочтения Робинзона представимы функцией полезности 𝑢𝑅 (𝑙𝑅 , 𝑐𝑅 ) = 2𝑙𝑅 + 𝑐𝑅 , где 𝑐𝑅 — бананы
(в кг), 𝑙𝑅 — время на досуг (в часах)1 .
а) В предположении, что на начало дня запас собранных бананов отсутствует, сколько
должен работать в отведенные для бодрствования 12 часов Робинзон, чтобы его благосостояние было максимальным? Приведите графическую иллюстрацию.
б) Волны выбросили на остров какую-то странную книгу, в которой Робинзон нашел
целую главу про себя. Прочитав эту главу, он подумал, что оптимальное для него распределение (из пункта а)) можно реализовать как равновесие по Вальрасу. Попытки подобрать
равновесные цены, однако, ни к чему не привели. Какую ошибку допустил Робинзон?
Задача 1. В стране Х производятся два товара, при изготовлении которых используются
труд и капитал. Первый товар производится по технологии 𝑦 1 (𝐾, 𝐿) = 𝐿1/3 𝐾 2/3 , а второй
— по технологии 𝑦 2 (𝐾, 𝐿) = 𝐿2/3 𝐾 1/3 .
а) Эффективно ли распределение ресурсов, в котором для производства первого товара
используется 6 единиц капитала и 3 единицы труда, а для производства второго товара
используется по 4 единицы труда и капитала? Если да, то обоснуйте, если нет, то укажите
способ перераспределения ресурсов, повышающий эффективность производства (то есть
повышающий производство какого-либо товара без уменьшения производства другого).
б) Изобразите в ящике Эджворта данное распределение, если известно, что страна
использует полностью все имеющиеся у нее ресурсы.
1
Заметьте: солнечная энергия, получаемая при отдыхе на пляже, является субститутом пищи.
2012—2013 уч. год
1
2-й курс, 2-й модуль
Микроэкономика (исследовательский поток)
НИУ ВШЭ, Факультет экономики
в) Запишите задачу на поиск границы производственных возможностей и найдите
условия первого порядка.
Задача 2. Рассмотрите экономику с производством двух товаров (кокосы и рыба) и одним
производителем (Робинзон). Пусть в некотором допустимом распределении предельная
норма замещения кокосов рыбой для Робинзона равна 3, а предельная норма трансформации
для этих двух товаров равна 1. Известно, что предпочтения Робинзона строго монотонны.
Является ли указанное распределение парето-оптимальным? Если да, то докажите, если
нет, то постройте парето-улучшение
Задача 3. Робинзон использует свой труд на
√ то, чтобы добывать кокосы и ловить рыбу.
√
Кокосы добываются по технологии 𝑦1 = 2 𝐿1 , а рыба — по технологии 𝑦2 = 4 𝐿2 .
Робинзон обладает запасом времени, равным 24. Функция полезности Робинзона имеет
вид 𝑢(𝑐1 , 𝑐2 , 𝑙) = ln 𝑐1 + ln 𝑐2 + ln 𝑙, где 𝑐1 и 𝑐2 — потребление кокосов и рыбы, а 𝑙 свободное
время.
а) Сформулируйте определение равновесия.
б) (Самостоятельно) Найдите равновесие.
Задача 4. Страны А и В, обладающие технологиями с постоянной отдачей от масштаба
по выпуску благ 𝑋 и 𝑌 , используют в производстве только один фактор — труд. Их
𝐴
𝐵
𝐵
предельные продукты труда таковы: 𝑀 𝑃 𝐿𝐴
𝑋 = 5, 𝑀 𝑃 𝐿𝑋 = 3; 𝑀 𝑃 𝐿𝑋 = 3, 𝑀 𝑃 𝐿𝑌 = 5.
Страны обладают одинаковыми трудовыми ресурсами, насчитывающими 20 человеко-лет
каждая. Кроме того, у граждан этих стран одинаковые предпочтения, и коллективные
функции полезности этих стран равны 𝑈 (𝑋, 𝑌 ) = min{𝑋, 𝑌 }.
а) Изобразите множества производственных возможностей обеих стран в условиях
автаркии на одной плоскости благ 𝑋 и 𝑌 .
б) Постройте общую кривую производственных возможностей при условии, что страны
согласованно выбирают объемы выпуска обоих товаров.
в) Найдите равновесие по Вальрасу при условии наличия свободной торговли между
странами.
Задача 5. Две страны, обладающие одинаковыми множествами производственных возможностей, заданными неравенством 𝑋 2 + 𝑌 2 6 200, имеют различные коллективные функции
полезности: 𝑈 𝐴 = 2𝑋 𝐴 + 3𝑌 𝐴 , 𝑈 𝐵 = 3𝑋 𝐵 + 2𝑌 𝐵 .
а) Каковы равновесные цены на товары у обеих стран, если страны находятся в
состоянии автаркии?
б) Заинтересованы ли страны в торговле друг с другом?
в) Найдите равновесие свободной торговли.
Задача 6. Жители маленькой страны S производят потребляют товары X и Y. Страна имеет
КПВ следующего вида: X2 + Y2 = 100. На мировом рынке в обмен на две единицы товара X
можно купить или продать 3 единицы товара Y. Известно, что товары X и Y для жителей
страны S являются совершенными комплементами в определенной пропорции. Найдите эту
пропорцию, если известно, что страна хоть и могла участвовать в международной торговле,
но не стала.
2012—2013 уч. год
2
2-й курс, 2-й модуль
Микроэкономика (исследовательский поток)
НИУ ВШЭ, Факультет экономики
Задачи для самостоятельного решения
Задача 7. В таблице приведены затраты труда (в часах) на производство сыра и вина для
двух стран.
Сыр (1 фунт) Вино (1 галлон)
Голландия
1
2
Италия
6
3
а) Имеется ли у какой-либо из стран абсолютное преимущество в производстве сыра
или вина?
б) Имеется ли у какой-либо из стран сравнительное преимущество в производстве сыра
или вина?
в) Пусть в обеих странах один фунт сыра стоит столько же, сколько один галлон вина.
Будет ли странам выгодна торговля друг с другом? Если да, то приведите пример выгодной
торговли, если нет, то обоснуйте почему.
Задача 8. Робинзон и Пятница производят кокосы (𝐶) и бананы (𝐵) и свободного времени.
Общий запас времени каждого — 10 часов. Спрос Робинзона на эти товары имеет вид
𝐶 𝑅 = 0,3𝐼 𝑅 /𝑃𝐶 , 𝐵 𝑅 = 0,7𝐼 𝑅 /𝑃𝐵 , а спрос Пятницы: 𝐶 𝐹 = 0,5𝐼 𝐹 /𝑃𝐶 , 𝐵 𝐹 = 0,7𝐼 𝐹 /𝑃𝐵 , где
𝐼 — доход. Производственные функции обоих заданы уравнениями 𝐶 𝑖 = 2𝐿𝑖𝐶 , 𝐵 𝑖 = 3𝐿𝑖𝐵 ,
𝑖 ∈ {𝑅, 𝐹 }. Пронормируем цены так, чтобы зарплата каждого была равна 1, так что доход
равен 10. Найдите равновесие.
Задача 9. В стране Z имеется два региона, A и B. Два товара (X и Y) производятся в обоих
регионах,
технологиям. Производственные функции региона А имеют вид
√︀ но по разным
√︀
𝐵
𝐴
𝐴
𝐴
𝑋 𝐵 = 𝐿𝐴
,
𝑌
=
𝐿
,
𝑋
𝑌 где 𝐿𝑋 и 𝐿𝑌 — количества труда, используемые при производстве
товаров X и Y. Всего в регионе
100 единиц труда. Производственные функции
√︀ А имеется√︀
𝐵
𝐵
𝐵
региона В имеют вид 𝑋 = 𝐿𝑋 /2, 𝑌 = 𝐿𝐵
𝑌 /2 . В регионе В также имеется 100 единиц
труда.
а) Найдите уравнение кривых производственных возможностей для каждого из регионов
и изобразите их на графике.
б) Пусть труд не мобилен, то есть не может перетекать из региона в регион. При каком
условии распределение ресурсов стране Z будет эффективным? Постройте общую кривую
производственных возможностей.
в) Постройте общую кривую производственных возможностей, предполагая, что труд
является мобильным.
Задача 10. Уравнение КПВ страны А имеет вид: 𝑋 2 + 𝑌 2 = 4900, а в стране В: 𝑋 + 𝑌 = 50.
Как выглядит суммарная КПВ?
Задача 11. Количества Икса и Игрека, которые производятся в странах А и В, могут
выражаться только целыми числами. КПВ стран заданы таблицами. Постройте суммарную
КПВ.
X
Y
2012—2013 уч. год
0
49
Таблица 1: КПВ А
1
2
3
4
5
48 45 41 34 25
3
6
15
7
0
2-й курс, 2-й модуль
Микроэкономика (исследовательский поток)
X
Y
0
51
НИУ ВШЭ, Факультет экономики
Таблица 2: КПВ В
1
2
3
4
5
49 46 41 35 27
6
14
7
0
Задача 12. 2 В стране A живет 100 жителей, в стране B — 300 жителей. Каждый житель
страны A может вырастить либо один килограмм апельсинов, либо два килограмма яблок.
Страна B расположена южнее, поэтому каждый ее житель может вырастить либо два
килограмма апельсинов, либо один килограмм яблок. В среднем жители обеих стран хотят
потреблять оба вида фруктов.
а) Выгодно ли большой стране B торговать с маленькой страной A? Почему?
б) Предположим, что в ходе экспорта/импорта 𝑥 % товара портится. При каком максимальном проценте 𝑥 портящихся товаров торговля будет выгодна обеим странам?
2
Заочный конкурс РЭШ, 2010
2012—2013 уч. год
4
2-й курс, 2-й модуль