ЛЕКЦИЯ 14 ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ). ДЕЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 14
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ). ДЕЛЕНИЕ
ЯДЕР
Задача 8.11. Энергия нейтронов
Исследование структуры жидкого или твердого 3 He с помощью пропускания нейтронов через слой вещества затруднено из-за большой величины сечения экзотермической реакции 3 He(n,p)3 H, и для нейтронов с энергией 300 К оно равно 𝜎0 = 5400 бн.
Определить энергию нейтронов, с помощью которых можно изучать слои 3 He толщиной
𝑑 = 1 мм, чтобы проходило не менее 10% от потока падающих нейтронов. Концентрация
ядер 3 He 𝑛 = 1022 см −3 .
Решение.
Процесс нерезонансный.
Запишем закон Бете:
1
1
𝜎∝ ∼√ .
𝑣
𝜖
Нарисуем картинку прохождения потока нейтронов через слой.
Рис. 14.1
После прохождения через слой поток нейтронов ослабляется.
Напишем формулу для отношения потоков:
𝑗
= e−u�u�u� ,
𝑗0
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
где 𝜎 — сечение соответствующей реакции.
Отсюда находим 𝜎:
1
𝑗
𝜎=
⋅ ln .
𝑛𝑑
𝑗0
Требуется, чтобы через этот слой проходило 10 процентов нейтронов:
𝜎 = ln
10
= 2,3 ⋅ 10−21 см 2 .
⋅ 0,1
1022
Исходя из закона Бете можем написать:
𝐸
𝜎 2
= ( 0)
𝐸0
𝜎
⇒
𝐸 = 𝐸0 (
𝜎0 2
) = 0,14 эВ.
𝜎
Это соответствует температуре 𝑇 = 1625 K.
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
2
3
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Задача 8.59. К-захват
Время жизни ядра 37
18 Ar из-за 𝐾-захвата составляет 𝜏0 = 32 суток. На основе этого
факта оценить эффективное сечение 𝜎 слабого взаимодействия в реакции.
p+e− →
7
n + 𝜈е .
Решение.
37
18 Ar имеет 18 протонов и 19 нейтронов.
В результате слабого взаимодействия протона с электроном p+e− → n + 𝜈u� . Слабое
взаимодействие характеризуется малым сечением реакции. Сечение — это на самом деле
есть вероятность этого процесса, выраженное в см 2 .
Нарисуем плотность вероятности К-электрона в атоме водорода.
Рис. 14.2
Как видно, электрон может оказаться внутри ядра. Электрон «размазан» по ядру, а
не вращается на какой-то конкретной орбите. А максимум этой вероятности находится
на боровской орбите.
Найдем концентрацию протонов в ядре.
𝑛=
𝑧
4
𝜋𝑅Я3
3
=
𝑧
4
𝜋𝑟03 𝐴
3
≈ 5,3 ⋅ 1037 см −3 .
Напишем формулу для концентрации, сечения процесса и длины свободного пробега:
𝑛𝜎𝜆 = 1
⇒
𝜎
1
1
=
.
𝑛𝜆
𝑛⋅𝑣⋅𝜏
Это записано для одного электрона. А в данной задаче два К-электрона. Исходя из
этого, длина свободного падения меняется:
𝜆 = 2𝑣𝜏 .
Соответственно, формула для сечения реакции меняется:
𝜎=
1
,
𝑛⋅2⋅𝑣⋅𝜏
𝜏 — это есть проведенное время электрона в ядре за 32 дня.
Для 𝜏 можем записать:
𝑅3
𝜏 = 𝜏0 3я .
𝑟1
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Оценим радиусы:
4
1
𝑅я = 1,3 ⋅ 10−13 𝐴 3 = 4,3 ⋅ 10−13 см,
𝑟
𝑟1 = Б = 3,1 ⋅ 10−10 см.
𝑧−1
В последней формуле вместо 𝑧 пишется 𝑧 − 1 из-за частичной экранировки вторым
электроном.
Посчитаем 𝜏 :
𝜏 = 7,4 ⋅ 10−3 с.
Оценим скорость электрона:
𝑚𝑣2
= 𝑅u� 𝑧 − 12
2
𝑣=√
⇒
2𝑅u�
см
(𝑧 − 1) = 3,7 ⋅ 109
.
𝑚
с
Вычислим 𝜎:
1
= 3,4 ⋅ 10−46 см 2 .
2𝑛𝑣𝜏
Получена правдоподобная оценка 𝜎 ∝ 10−46 см 2 .
𝜎=
Задача 9.4. Эффективное сечение деления
Оценить эффективное сечение деления ядра 235
92 U нейтронами с энергиями 0,025 эВ
(тепловые нейтроны) и 10 кэВ. Считать, что сечение деления равно сечению образования
составного ядра. Ядерный потенциал аппроксимировать прямоугольной потенциальной
ямой глубиной 40 МэВ.
Решение.
Характер этих явлений нерезонансный. Значит, можно воспользоваться законом Бете. Эти реакции проходят через составное ядро.
𝑛 + 𝑥 → 𝐶 → деление,
где 𝐶 — составное ядро.
Запишем дебройлевскую длину волны электрона.
𝜆̄ √
ℏ
= 8,6 ⋅ 10−10 см.
2𝑚𝜖
Посчитаем радиус урана:
1
𝑅u� = 1,3 ⋅ 10−13 𝐴 3 = 8 ⋅ 10−13 см.
Видно, что:
𝜆̄ ≫ 𝑅u� .
Сечение этого процесса определяется исключительно длиной волны нейтрона.
Сечение образования составного ядра:
неупр
𝜎 = 𝜎max
⋅ 𝐷,
неупр
𝜎max
= 𝜋𝜆̄ 2 =
Найдем коэффициент прохождения.
!
𝜋
.
𝑘2
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
5
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Для этого нарисуем потенциальную яму. Она представлена на рисунке (14.3).
Рис. 14.3
Ранее был получен коэффициент прохождения:
𝐷=
где
4𝑘𝑘
′
𝑘 + 𝑘′
2,
√
√2𝑚(𝐸 + 𝑈0)
2𝑚𝐸
′
; 𝑘 =
.
ℏ
ℏ
Энергия 𝐸 ничтожна по сравнению с 𝑈0 , поэтому можно принять:
𝑘=
′
𝑘 =
√2𝑚𝑈0
≫ 𝑘.
ℏ
Отсюда следует, что:
𝐷≈
′
Подсчитаем 𝑘 и 𝑘 :
√
𝑘=
′
4𝑘
.
𝑘′
2𝑚𝐸
= 0,35 ⋅ 109 см −1 ,
ℏ
√2𝑚(𝐸 + 𝑈0)
= 13,9 ⋅ 1012 см −1 .
ℏ
Таким образом, для коэффициента прохождения получаем оценку:
𝑘 =
𝐷≈
4𝑘
= 10−4 .
𝑘′
Это есть вероятность пролетания через яму за один раз.
Тогда искомое сечение будет:
𝜎=
𝜋 4𝑘
4𝜋
−22
=
см 2 = 2600 бн.
′
′ = 26 ⋅ 10
2
𝑘 𝑘
𝑘𝑘
По условию задачи предполагается, что сечение образования составного ядра, что
представляет из себя сечение захвата, равно сечению деления. Было рассчитано сечение
образования составного ядра. В действительности максимальное сечение, полученное
через закон Брейта – Вигнера, надо также умножить на вероятность попасть в ядро.
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
6
Причем присутствуют другие понижающие явления (центробежные барьеры, и т. д.), но
эти эффекты в законе Брейта – Вигнера не учитываются.
Кстати, если система вернется к начальному состоянию после образования составного ядра (т. е. если нейтрон войдет в составное ядро, и выйдет из него), то нужно
максимальное сечение умножить на 𝐷2 вместо 𝐷, потому что нейтрон после выхода из
составного ядра должен снова преодолеть этот барьер. Записывается это таким образом:
𝜎u� = 𝜎сост ⋅ 𝐷2 .
Задача 9.5. Эффективное сечение деления
Сечение деления 238 U быстрыми нейтронами с энергией 𝜖 = 5 МэВ равно 𝜎(𝑛, 𝑓) =
0, 5 бн. Какова относительная вероятность этого нерезонансного процесса по отношению
ко всем процессам, идущим через компаунд-состояние? Глубину потенциальной ямы ядра урана принять равной 𝑈 = 50 МэВ.
Решение.
Обозначим 𝜎(𝑛, 𝑓) — сечение деления нейтронами.
Помимо 235 U, который является актуальным для реакций деления, существует 238 U.
В природе 235 U встречается в 0,7 % случаев. Поэтому уран обогащают. Это означает
добывание 235 U (более легкие ядра) из 238 U.
Радиус 238 U:
√
3
𝑅 = 1,3 ⋅ 238 = 8,1 фм = 8,1 ⋅ 10−13 см.
Длина волны нейтрона:
ℏ
𝜆̄ = √
= 2 фм.
2𝑚𝐸
Распишем коэффициент прохождения:
𝐷=
4𝑘1 𝑘2
.
(𝑘1 + 𝑘2 )2
Для нахождения коэффициента прохождения найдем 𝑘1 и 𝑘2 :
1
√2𝑚(𝐸 + 𝑈0 ) = 16,3 ⋅ 1012 см −1 ,
ℏ
1√
𝑘2 =
2𝑚𝐸 = 4,9 ⋅ 1012 см −1 .
ℏ
Подсчитаем коэффициент прохождения:
𝑘1 =
𝐷=
4𝑘1 𝑘2
= 0,71.
(𝑘1 + 𝑘2 )2
Так как радиус и длина волны нейтронов соизмеримы, то геометрическое сечение
образования составного ядра рассчитывается по формуле:
𝜎u� = 𝜋(𝑅 + 𝜆)̄ 2 𝐷 = 2,3 бн.
Очевидно, что
!
Γдел
𝜎
= дел ≈ 0,2.
Γсост
𝜎сост
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
7
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
1. Резонансные реакции
Теперь рассмотрим резонансные явления.
Нарисуем состояния ядра.
Рис. 14.4
Обычно возбужденное состояние имеет свою ширину. Эта ширина определяет время
жизни в этом состоянии. Если окажется, что налетающий нейтрон, попавший в данное
ядро, обладает такой энергией, которая достаточна для перевода ядра из основного
состояния в возбужденное, то это будет называться резонансным процессом.
Для описания этих резонансных явлений удобна формула Брейта – Вигнера для
сечения таких процессов:
Γu� Γu�
𝜎u�,u� = 𝜋𝜆̄ 2
2 ,
(𝐸 − 𝐸рез )2 + Γ4
Γ = Γu� + Γu� ,
где a и b — это два разных процесса.
Сечения упругих и неупругих процессов даются формулами:
𝜎упр = 𝜋𝜆̄ 2
Γ2упр
(𝐸 − 𝐸рез )2 +
𝜎неупр = 𝜋𝜆̄ 2
Γ2
4
,
Γупр Γнеупр
(𝐸 − 𝐸рез )2 +
Γ2
4
.
где Γ — это вероятность соответствующих каналов:
Γ = Γупр + Γнеупр .
Упругие реакции встречаются в чистом виде. А неупругие процессы сами по себе не
бывают, их обязательно сопровождает упругий процесс.
В случае, когда 𝐸 = 𝐸рез , можем написать:
упр
неупр
𝜎max
= 4𝜋𝜆̄ 2 𝜎max
= 𝜋𝜆̄ 2 .
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
8
Задача 8.68. Распад
При облучении ядра 115 In нейтронами с энергией 𝜖u� = 1,44 эВ происходит их резонансное поглощение. Распад составного ядра происходит по двум каналам — радиационному (с испусканием 𝛾-квантов) и упругому (с вылетом нейтрона). Полное сечение этой
реакции равно 𝜎полн = 2,7 ⋅ 104 бн. Ширина нейтронного канала распада Γu� = 1,2 ⋅ 10−3 эВ.
Оценить среднее время жизни составного ядра относительного испускания 𝛾-квантов,
считая, что Γu� ≫ Γu� . Частицы считать бесспиновыми.
Решение.
Будем считать, что 𝐸 = 𝐸рез :
𝜎u�,u� = 𝜋𝜆̄ 2
𝐸 = 𝐸рез
Γu� Γu�
(𝐸 − 𝐸рез )2 +
⇒
𝜎u�,u� = 𝜋𝜆̄ 2
Γ2
4
,
Γu� Γu�
Γ2
4
.
Это соотношение можно вывести из простых соображений, рассматривая колебательный контур. В случае колебательного контура при резонансных явлений присутствует
резонансная кривая. Энергия (частота) резонирует. Процессы идентичны.
В конце концов, получается:
𝜎u�,u� = 4𝜋𝜆̄ 2
Γu� Γu�
.
(Γu� + Γu� )2
По условию Γu� ≫ Γu� .
⇒ 𝜎u�,u� ≈ 4𝜋𝜆̄ 2
Γu�
= 𝜎полн .
Γu�
Возможны два процесса. Требуется найти 𝜎u� 𝜎u� — сечение образования составного
ядра.
Γu�
𝜎u� = 𝜎с ⋅ 𝑊u� = 𝜎с ⋅
= 𝜎с = 𝜎полн ,
Γu� + Γu�
𝜎полн ≈ 𝜎с ≈ 4𝜋𝜆̄ 2
Γu�
Γu�
⇒
Γu� = 4𝜋𝜆̄ 2
Γu�
.
𝜎полн
Напишем оценку для времени жизни в этом состоянии:
𝜏u� =
ℏ
.
Γu�
Можно также написать написать следующую оценку:
𝜏u� =
ℏ
.
2Γu�
Так как это является оценкой, то разница между этими двумя формулами для оценки
для времени жизни не существенна.
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
9
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
Подставим Γu� в формулу для оценки для времени жизни в этом состоянии:
𝜏u� =
ℏ
ℏ𝜎полн
=
.
Γu�
24𝜋𝜆̄ 2 Γu�
Напомним, что
𝜆̄ =
Время жизни:
𝜏u� =
!
ℏ
ℏ
=√
.
𝑝
2𝑚𝜖
𝑚𝐸𝜎полн
= 4 ⋅ 10−15 с.
4𝜋ℏΓu�
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu