ЛЕКЦИЯ 6 НЕИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ

ЛЕКЦИЯ 6
НЕИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Тема этой лекции — сверхпроводимость. Это явление имеет место в металлах, когда
электронная подсистема обладает сверхтекучими свойствами. Казалось бы, электронная
подсистема сильно отличается от бозе-газа, сверхтекучесть которого изучалась на прошлой лекции, хотя бы потому, что это электроны — это ферми-частицы. Тем не менее,
сверхтекучесть наблюдается и в ферми-газах. Явление сверхпроводимости значительно
интереснее, поскольку электроны обладают зарядом, и их сверхтекучесть сопровождается незатухающим электрическим током.
В сверхпроводниках ток течёт с равным нулю сопротивлением. Сначала учёные полагали, что сверхпроводник — это вещество с очень маленьким, но положительным сопротивлением. Но в 1933 году был открыт эффект Мейснера, который заключается
в том, что магнитное поле выталкивается из сверхпроводящего вещества. В обычных
металлах магнитное поле свободно проникает в толщу вещества, поэтому эффект Мейснера типичен только для металлов в состоянии сверхпроводимости.
В данной лекции будет доказано, что в электронной подсистеме может возникать
сверхтекучесть, будет показано сходство и различие сверхтекучести ферми- и бозе-газов.
Рис. 6.1
Рассмотрим решётку из ионов, между которыми движутся электроны проводимости
(рис. 6.1). Может произойти такое явление: электрон проводимости с импульсом 𝑝⃗ вир-
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
2
туально возбуждает ион, обладающий дипольным моментом. Потом другой электрон с
импульсом −𝑝⃗ поглощает это возбуждение.
Это процесс т. н. второго порядка, который можно изобразить на диаграмме 6.2.
На этой диаграмме электроны обмениваются фононом. В этом процессе два взаимодействия, которые можно считать либо дипольными, либо экранированными кулоновскими. Известно, что процессы второго порядка всегда приводят к понижению энергии,
следовательно, есть энергия взаимодействия 𝑈0 < 0, и есть эффективное притяжение
электронов друг к другу. Отрицательное кулоновское отталкивание между электронами
заэкранировано ионами. При 𝑇 > 𝑇c взаимодействие с фононами в электронном газе не
играет большой роли, оно только даёт небольшую добавку к сопротивлению (это будет
изучаться в курсе, посвящённом кинетике). Так что в этом курсе при 𝑇 > 𝑇c газ будет
считаться идеальным ферми-газом, который не обладает свойствами сверхтекучести.
Рис. 6.2
Убедимся в том, что при 𝑇 = 0 в веществе имеются куперовские пары — пары
электронов с противоположными импульсами, которые образуют связанное состояние с
отрицательной энергией. Куперовская пара является бозе-системой, она способна создавать бозе-конденсат, и в конечном счёте приводит к сверхпроводимости.
Когда речь идёт о взаимодействии двух электронов при низких температурах, нужно иметь в виду, что рассматриваются два электрона, находящиеся в непосредственной
близости от поверхности Ферми, потому что электроны под поверхностью Ферми двигаться не могут: все состояния уже заняты. При нулевой температуре 𝜇 = 𝜖F > 0. Спины
у пары электронов, естественно, противоположные, потому что если бы они были параллельными, электроны не cмогли бы подойти друг к другу, и взаимодействие бы отсутствовало. То есть речь идёт о синглетном состоянии электронов. Также ограничимся
локальным приближением, когда электроны расположены близко друг к другу.
С учётом вышесказанного, запишем уравнение Шрёдингера для двух электронов:
𝐻Ψ(𝑟1 , 𝑟2 ) = [(
𝑝12
𝑝2
⃗ − [ℎ]
⃗ ) = 𝐸Ψ(𝑟 , 𝑟 ).
− 𝜇) + ( 2 − 𝜇)] Ψ(𝑟1 , 𝑟2 ) + 𝑈0 𝛿([ℎ]
1
2
1 2
2𝑚
2𝑚
(6.1)
В импульсном представлении
Ψ(𝑟1 , 𝑟2 ) = ∑ Ψ(𝑝1 , 𝑝2 ) eu�u�u� eu�(u�+u�2 )u�2 ,
(6.2)
u�1 , u�2
где 𝑟 = 𝑟1 − 𝑟2 .
𝑝12
𝑝22
∑ Ψ(𝑝1 , 𝑝2 ) [(
− 𝜇) + (
− 𝜇) − 𝐸 + 𝑈0 𝛿(𝑟)] eu�u�u� eu�(u�1 +u�2 )u�2 = 0.
2𝑚
2𝑚
u� , u�
1
(6.3)
2
Интегрируя по 𝑟2 , находим 𝑝1 = −𝑝2 .
𝑝12
∑ Ψu�1 [(
− 𝜇) − 𝐸 + 𝑈0 𝛿(𝑟)] eu�u�1 u� = 0.
2𝑚
u�
(6.4)
1
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
3
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
⃗ Однородные по [ℎ]
⃗ члены дают 𝑝 = 𝑝,
Умножим на e−u�u�u� и возьмём интеграл по [ℎ].
1
а член с 𝛿(𝑟) сохраняет сумму ∑u� .
1
Ψu� [2 (
𝑝2
− 𝜇) − 𝐸] + ∑ 𝑈0 Ψu�1 = 0.
2𝑚
u�
(6.5)
1
Равенство (6.5) справедливо для всех импульсов. Просуммируем по 𝑟1 − 𝑟2 .
Ψu� =
1
2
𝑝
2(
− 𝜇) − 𝐸
2𝑚
|𝑈0 | ∑ Ψu� .
(6.6)
u�>u�F
Просуммируем по 𝑝 > 𝑝F .
∑ Ψu� =
u�>u�F
1
2
𝑝
2(
− 𝜇) − 𝐸
2𝑚
1= ∑
u�>u�F
2
|𝑈0 | ∑ Ψu� ,
|𝑈0 |
(6.7)
u�>u�F
𝑝
2(
− 𝜇) − 𝐸
2𝑚
.
(6.8)
𝑝2
− 𝜇. Также обозначим как 𝜈(𝜉) число состояний с кине2𝑚
тической энергией 𝜉. Суммирование производится по ширине зоны Ферми (𝜉0 ). Тогда
Введём обозначение 𝜉 ≝
u�0
1 = |𝑈0 | ∫
0
u�0
1
1 = |𝑈0 | ∫ 𝑑𝜉
2
𝑑𝜉 𝜈(𝜉)
,
2𝜉 − 𝐸
(6.9)
1
𝜈(𝜉).
(6.10)
𝐸
𝜉−
0
2
Энергия 𝐸 отрицательна, так что интеграл (6.10) сходится. Наибольший вклад в этот
интеграл дают состояния на поверхности Ферми, так как для них знаменатель мал.
1
2𝜉
1 = |𝑈0 |𝜈(0) ln 0 ,
2
𝐸
2
|𝐸| = 2𝜉0 e |𝑈0 |𝜈 (0) .
−
(6.11)
(6.12)
Равенство (6.12) определяет эффект Купера, говорящий о том, что два электрона на
поверхности Ферми с противоположными импульсами могут объединиться в связанное
состояние — куперовскую пару с энергией, определяемой выражением (6.12). Видно,
что эта энергия экспоненциально зависит от энергии взаимодействия. Если |𝑈0 | мала, то
под знаком экспоненты стоит большая отрицательная величина, и модуль энергии связи
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
4
тоже очень мал. Напоминаем, что пока не рассматривались внешние электромагнитные
поля.
Нужно показать, что состояние является сверхтекучим. Для этого снова запишем
гамильтониан. Он состоит из кинетической энергии и потенциальной энергии локального
парного взаимодействия.
𝐻 = ∫ 𝑑3𝑟 (Ψ+
u� (𝑟) (
𝑝2
1
+
− 𝜇) Ψu� (𝑟) − |𝑈0 | ∑ Ψ+
u� (𝑟)Ψ−u� (𝑟)Ψ−u� (𝑟)Ψu� (𝑟)) .
2𝑚
2
u�
(6.13)
Поскольку из эффекта Купера известно, что существуют связанные состояния пар
электронов, нужно ввести бозе-газ, состоящий из куперовских пар, и упростить нелинейную систему, определяемую гамильтонианом (6.13).
Удобнее воспользоваться уравнением Шрёдингера.
𝜕Ψ
= [Ψ,̂ 𝐻].
𝜕𝑡
(6.14)
̂
̂+
̂+
̂
{Ψ̂ ↑ (𝑟), Ψ̂ +
↓ (𝑟’)} = Ψ↑ (𝑟)Ψ↓ (𝑟’) + Ψ↓ (𝑟’)Ψ↑ (𝑟) = 𝛿(𝑟 − 𝑟’),
(6.15)
𝑖
Учтём, что
+
+
̂
̂ ̂+ ̂
̂+ ̂ ̂
[Ψ̂ 1 , Ψ̂ +
2 Ψ2 ] = Ψ1 Ψ2 Ψ2 − Ψ2 Ψ2 Ψ1 = (𝛿(𝑟−𝑟’)Ψ2 −Ψ2 Ψ1 Ψ2 )+Ψ2 Ψ1 Ψ2 = 𝛿(𝑟−𝑟’)Ψ2 . (6.16)
𝑖
𝜕 Ψ̂
𝑝2
=(
− 𝜇) Ψ̂ − |𝑈0 |Ψ+
−u� (𝑟)Ψ−u� (𝑟)Ψu� (𝑟).
𝜕𝑡
2𝑚
(6.17)
Когда речь идёт о связанном состоянии двух частиц, волновая функция этого состояния равна произведению волновых функций этих частиц. Поэтому выражение Ψ̂ −u� (𝑟)Ψ̂ u� (𝑟)
можно интерпретировать как число куперовских пар в точке 𝑟. Так как число частиц
макроскопическое, то можно пренебречь флуктуациями и ввести аномальное среднее:
𝑖
<Ψ̂ −u� (𝑟)Ψ̂ u� (𝑟)> = 𝜎𝐶.
(6.18)
𝜕 Ψ̂
𝑝2
=(
− 𝜇) Ψ̂ u� − |𝑈0 |𝜎𝐶 Ψ̂ −u� (𝑟).
𝜕𝑡
2𝑚
(6.19)
Итак, уравнение стало линейным. Чтобы его решить, перейдём в импульсное представление.
⃗
Ψ = ∑ 𝑎u� eu�u�⃗[ℎ] ,
(6.20)
u�
𝜕 𝑎u�u�
̂
= 𝜉 𝑎u�u�
̂ − |𝑈0 |𝜎𝐶 𝑎+
̂
.
−u�−u�
𝜕𝑡
Обозначим как Δ произведение |𝑈0 |𝐶. Тогда
𝑖
𝜕 𝑎u�u�
̂
= 𝜉 𝑎u�u�
̂ − 𝜎Δ𝑎+
̂
.
(6.22)
−u�−u�
𝜕𝑡
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
𝑖
!
(6.21)
5
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
В этом линейном уравнении есть как операторы рождения, так и операторы поглощения, поэтому следует воспользоваться преобразованием Боголюбова, чтобы диагонализовать его.
𝑎u�u�
̂ = 𝑢u� 𝑏̂u�u� − 𝜎𝑣u� 𝑏̂−u�−u� .
(6.23)
Здесь операторы 𝑏̂ соответствуют квазичастицам, множитель 𝜎 введён для того, чтобы облегчить вычисления для ферми-газа. Поскольку 𝑏̂ — это квазичастица, то она
является собственным состоянием гамильтониана, то есть 𝑏 = e−u�u�u� , и
𝜕 𝑏̂u�u�
= 𝜖u� 𝑏̂u�u� ,
𝜕𝑡
(6.24)
+
𝜕 𝑏̂−u�−u�
+
= −𝜖u� 𝑏̂−u�−u�
.
𝜕𝑡
(6.25)
𝑖
𝑖
+
+
+
𝜖u� (𝑢𝑏u�u� + 𝜎𝑣𝑏−u�−u�
) = 𝜉(𝑢𝑏u�u� − 𝜎𝑣𝑏−u�−u�
) − 𝜎Δ(𝑢𝑏−u�−u�
+ 𝜎𝑣𝑏u�u� ).
(6.26)
Это уравнение справедливо для всех импульсов, значит, справа и слева должны совпадать коэффициенты при 𝑏 и 𝑏+ .
(𝜖 − 𝜉)𝑢 = −Δ𝑣,
(6.27)
(𝜖 + 𝜉)𝑣 = −Δ𝑢.
(6.28)
Перемножим выражения (6.27) и (6.28).
(𝜖2 − 𝜉 2 )𝑢𝑣 = Δ2 𝑢𝑣.
(6.29)
Поскольку 𝑢 и 𝑣 — величины, отличные от нуля, то их можно сократить, и тогда
получим, что
𝜖2 = 𝜉 2 + Δ 2 ,
(6.30)
2
𝑝2
𝜖 = √(
− 𝜇) + Δ2 .
2𝑚
(6.31)
Подстановка преобразования Боголюбова (6.23) диагонализует гамильтониан (6.13)
+
𝐻0 = 𝐸0 + ∑ 𝜖u� 𝑏u�u�
𝑏u�u� .
(6.32)
u� u�
Итак, равенство (6.31) задаёт спектр элементарных возбуждений. Вычисления практически такие же, как при неидеальном ферми-газе.
График спектра показан на рис. 6.3. Если Δ = 0, то график энергии — это парабола,
пересекающая ось абсцисс в точках 𝑝F и −𝑝F (чёрная кривая). Если же Δ ≠ 0, то при
𝑝F2
= 𝜇 = 𝜖F 𝜖u� = Δ. При |𝑝| < 𝑝F это будет перевёрнутая парабола, а при |𝑝| > 𝑝F будет
2𝑚
вести себя, как будто Δ = 0 (красная кривая).
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
6
Рис. 6.3
Вспомним, что параметр Δ = |𝑈0 |𝐶. 𝐶 — это аномальное среднее, произведение двух
операторов поглощения электрона. Для нормального газа оно тождественно равно нулю,
поскольку в среде, где число частиц сохраняется, поглощение сразу двух частиц в одном
процессе невозможно. Только если есть процессы непрерывного поглощения и испарения
квазичастиц, то 𝐶 ≠ 0.
Общая теория Ландау гласит, что если в среде есть сверхпроводимость, необходимо,
чтобы в среде были возбуждения с незатухающими степенями свободы, и для этих воз𝜖
буждений min должно иметь конечную величину. Последнее условие связано с тем,
𝑝
что в подвижной системе координат, двигающейся со скоростью 𝑉 ⃗ , 𝜖 ̃ = 𝜖u� − 𝑝⃗𝑉 ⃗ . Чтобы
в ней все возбуждения имели положительную энергию, нужно, чтобы 𝜖 − 𝑝𝑉 > 0, или
𝜖
𝜖
Δ
> 𝑉 . Таким образом, 𝑉max = min =
— максимальное значение скорости, при
𝑝
𝑝
𝑝F
которой ещё есть сверхтекучесть. Если рассмотреть процесс взаимодействия этой среды
с тяжёлой частицей, то видно, что эта частица не может самопроизвольно возбуждать
𝜖
квазичастицы, если она движется со скоростью, меньшей, чем min .
𝑝
Таким образом, в системе ферми-частиц благодаря образованию куперовских пар
имеются бозе-конденсат и сверхтекучие свойства. Их бы не было без эффекта Купера, и тогда аномальное среднее равнялось бы нулю. Подчёркиваем, что энергия связи
куперовских пар очень мала по сравнению с 𝜖F . Если это так, то истинно связанного
состояния в системе быть не может, есть только так называемые корреляции. То есть
куперовская пара является не квазичастицей, а интерпретацией наличия аномального
среднего на классическом языке. В практике на это можно не обращать внимания, поскольку эти корреляции долгоживущие. Несмотря на то, что сами куперовские пары не
является частицами, благодаря корреляции из электронов можно составить волновой
пакет, для которого |Ψ|2 = 𝐶, и его время жизни будет велико.
Кроме спектра, следует вычислить коэффициенты 𝑢 и 𝑣 преобразования Боголюбова. На первый взгляд, поскольку формула связи между коэффициентами 𝑎 и 𝑏 (6.23)
линейна, кажется, что 𝑢 и 𝑣 определены с точностью до константы. В действительности нужно потребовать, чтобы и сами операторы 𝑎 представляли собой ферми-частицы
(их антикоммутатор равен единице), и операторы 𝑏 представляли собой квазичастицы.
Поэтому если составить антикоммутатор {𝑎u� , 𝑎+
u�’ } для уравнения (6.23), то он должен
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu
7
!
Конспект не проходил проф. редактуру, создан студентами и,
возможно, содержит смысловые ошибки.
Следите за обновлениями на lectoriy.mipt.ru.
равняться единице. Это выполняется только в том случае, если
𝑢2 + 𝑣2 = 1.
(6.33)
В геометрическом смысле преобразование Боголюбова для ферми-частиц является
поворотом в декартовой системе координат, 𝑢 и 𝑣 выполняют роль sin 𝜑 и cos 𝜑, где 𝜑 —
угол поворота. А для бозе-частиц, как известно из прошлой лекции, 𝑢2 − 𝑣2 = 1, значит,
𝑢 и 𝑣 выполняют функции гиперболических синуса и косинуса. Сами значения 𝑢 и 𝑣
будут вычислены на семинарах.
!
Для подготовки к экзаменам пользуйтесь учебной литературой.
Об обнаруженных неточностях и замечаниях просьба писать на
pulsar@ phystech. edu