1998

Областная олимпиада. 9 класс. Могилев. 1998 г.
Условия задач. Теоретический тур.
1. В коридоре длиной 11 м и с высотой потолка 3 м у самого начала ударяют о
пол мяч со скоростью 10 м/с под углом 60о к горизонту. На какой высоте от пола
ударяется мяч о торцевую стенку коридора?
2. Электроплитка содержит три спирали сопротивлением 120 Ом каждая, соединенные параллельно друг другу. Эта плитка включается в сеть последовательно с
резистором сопротивлением 500 Ом. Как изменяется время необходимое для нагревания на плитке чайника с водой, если одна из спиралей перегорит.
3. В стакане, доверху наполненном водой и закрытом сверху, плавает деревянный
шарик. Как изменится сила давления шарика на крышку, если стакан движется с ускорением a, направленным вверх.
4. Из ведра налили в кастрюлю некоторое количество воды, затем поставили кастрюлю на нагреватель и через 30 минут вода в ней закипела. Тогда из того же ведра
зачерпнули еще некоторое количество воды и долили в кастрюлю. При этом температура воды в кастрюле понизилась на 12 оС. Через 5 минут после этого вода в кастрюле закипела. Какова температура воды в вере. Теплообмен воды с внешней средой не учитывать.
5. Трактор «Беларусь» поворачивает так, что частота вращения одного из задних
колес равна n1 = 1,5 об/с, а другого n2 = 1,4 об/с. Расстояние между колесами равно l
= 1,9 м. Определите радиус разворота трактора.
Экспериментальный тур.
1. Определите экспериментально положение главных фокусов оптической системы двух линз расположенных на расстоянии L друг от друга.
Оборудование: собирающая линза Л1, рассеивающая линза Л2, вспомогательная
линза Л, батарейка, лампочка, экран, линейка.
2. Определить отношение масс сосудов.
Оборудование: два прозрачных сосуда из одинакового материала (стекла), ведро
с водой, липкая лента для отметки уровней воды, груша для переливания воды.
3. С поверхности горизонтального диска радиуса R = 1 м, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω = 0,50 с-1, на высоте H = 2 м над поверхностью Земли
случайно слетают водяные капли. Определите радиус мокрого пятна на поверхности
земли.
Областная олимпиада. 9 класс. Могилев. 1998 г.
Решение задач.
Решение 1. Определим максимальную высоту подъема мяча.
v 2 sin 2 α
H max = o
= 3,827 м,
2g
что больше высоты потолка. Запишем уравнение высоты H = vo sin α ⋅ t −
gt 2
и най2
vo sin α − vo2 sin 2 α − 2 gH
дем время подъема мяча до потолка t1 =
, t1 – время подъеg
ма мяча. Сопротивление воздуха не учитываем. Тогда дальность полета мяча
l1 = 2vo cos α ⋅ t1 . Оценим количество соударений мяча с полом. Дальность полета мяча, после подстановки значений, составит 4,79 м. Следовательно, мяч ударится 2
раза. Второй раз мяч отскочит на расстоянии l2 = 11 м – 2 × 4,79 м = 1,42 м. Записав
уравнение высоты, дальности полета найдем высоту удара мяча о стенку.
gt22
l2
l2
gl22
−
, l2 = vo cos α ⋅ t2 , t2 =
, h = vo sin α ⋅
.
h = vo sin α ⋅ t2 −
vo cos α 2vo2 cos 2 α
vo cos α
2
После вычислений, окончательно находим h = 2,03 м.
Решение 2. Три спирали исправны
9U 2
3R
Q( R + 3Ro ) 2
U
3U
2
⋅ t1 ⇒ t1 =
.
I1 R1t1 = Q , I1 =
и Q=
=
2
2
R
(
R
+
3
R
)
9
3
RU
R
+
R
3
o
o
+ Ro
3
Две спирали исправны
U
2U
4U 2
R
Q( R + 2 Ro ) 2
2
I 2 R2t2 = Q , I 2 =
.
=
и Q=
⋅ t2 ⇒ t2 =
2
2
R
(
R
+
2
R
)
2
2
RU
R
+
R
2
o
o
+ Ro
2
t2 Q( R + 2 Ro ) 2 3U 2 R 3 ( R + 2 Ro ) 2 3 (120 + 100) 2
=
=
=
= 0,9958 ≈ 1 .
t1 2U 2 RQ( R + 3Ro ) 2 2 ( R + 3Ro ) 2 2 (120 + 150) 2
Решение 3. Сила давления шарика на крышку, когда стакан неподвижен
Fд1 = Fa1 − mg = gV ( ρ ж − ρд ) .
Сила давления шарика на крышку в случае движения стакана
ma = Fa 2 − mg − Fд 2 ⇒ Fд 2 = Fa 2 − m(a + g ) .
Для жидкости Ma = − Mg + N , следовательно, N = M (a + g ) , Fa 2 = ρ жV (a + g ) .
Давление шарика на крышку равно Fд 2 = ρ жV (a + g ) − ρдV (a + g ) = V (a + g )( ρ ж − ρ д ) .
Найдем отношение давлений
Fд 2 V (a + g )( ρ ж − ρд )
a
=
=1+ .
Fд1
Vg ( ρ ж − ρд )
g
Областная олимпиада. 9 класс. Могилев. 1998 г.
Решение 4. При нагревании первой порции воды m1c(t2 − t1 ) = τ 1 N , N – полезная
мощность нагревателя. При нагревании второй порции воды m2c(t2 − t1 ) = τ 2 N . Отm τ
ношение масса воды 1 = 1 . При смешении двух порций воды
m2 τ 2
m t − Δt − t1
m1cΔt = m2 (t2 − Δt − t1 ) ⇒ 1 = 2
.
m2
Δt
Из последнего равенства находим t1:
m
τ
t1 = t2 − Δt (1 + 1 ) ⇒ t2 − Δt (1 + 1 ) .
m2
τ2
о
После вычислений, находим t1 = 16 С.
и
Решение 5. Обозначим ω – угловая скорость разворота середины трактора. Тогда
l
v1 = 2π n1r = ω ( R + )
2
l
v2 = 2π n2 r = ω ( R − ) .
2
Решая совместно этих два уравнения, найдем
n1 R + l / 2
l n +n
1,9 1,5 + 1,4
=
, n1R − n1l / 2 = n2 R + n2l / 2 ⇒ R = 1 2 . R =
= 27,6 м.
n2 R − l / 2
2 n1 − n2
2 1,5 − 1, 4
Экспериментальный тур.
Решение 1. Положение главных фокусов оптической системы можно найти, направив параллельный пучок света вдоль главной оптиL
ческой оси системы. Для этого нить лампочки устанавS/
ливается в главном фокусе вспомогательной линзы. По- S
F2
верка параллельности пучка света проводится с помо- F
щью измерения диаметра пятна на экране при перемещении последнего вдоль пучка.
Расположим данную систему двух линз и вспомогательную линзу так, чтобы их
L
главные оптические оси совпали, находим задний фокус
F2 оптической системы – место получения изображения
S
S/
на экране нити лампочки.
F
Направив параллельный пучок света с другой сторо- F1
ны системы, определим положение переднего фокуса F1.
Решение 2. В один из сосудов (назовем его первым) наливаем такое количество
воды, чтобы при опускании этого сосуда в ведро с водой он погружался до краев, но
не тонул. В соответствии с условием плавания тел имеем
m1 g + ρoVo g = ρo (Vo + V1 + VC ) g ,
Областная олимпиада. 9 класс. Могилев. 1998 г.
где m1 – масса 1-го сосуда, ρо – плотность воды, Vo – объем воды в сосуде, V1 – объем сосуда, не заполненный водой, VC – объем стекла, из которого изготовлен сосуд.
m
V1
Отсюда следует m1 = ρ o (V1 + VC ) = ρo (V1 + 1 ) =
, где ρС – плотность стекла.
1
1
ρC
−
ρo
ρC
Аналогично для массы второго сосуда получим m2 =
1
ρo
V2
−
1
. Следовательно,
ρC
m1 V1
= . Отношение объемов можно
m2 V2
определить разными способами, предварительно отметив липкой лентой, уровень
V n
жидкости в сосуде V1 = n1Vгр , V2 = n2Vгр , Vгр – объем груши. Следовательно, 1 = 1 ,
V2 n2
где ni – максимальное целое число объемов груши.
отношение масса равно отношению объемов
Решение 3. Время падения капли
τ=
2H
.
g
Дальность полета
S = ω R ⋅τ = ω R
2H
.
g
Радиус мокрого пятна равен
r = R2 + S 2 = R 1 +
2Hω 2
= 1,05 м.
g