Статья №3. Законы Ньютона.

Дистанционная подготовка Abitu.ru
ФИЗИКА
Статья №3. Законы Ньютона.
Теоретический материал.
В этой статье мы рассмотрим задачи на применение законов Ньютона.
Первый закон Ньютона (закон инерции) утверждает о том, что существует инерциальные системы отсчёта,
относительно которых тело движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела, или
действие этих тел скомпенсировано.
Этот закон утверждает о существовании инерциальных систем отсчёта, в которых, в основном, мы и будем решать
задачи. В этих системах отсчёта было сформулировано ещё два закона.
Второй закон Ньютона утверждает о том, что векторная сумма всех сил (равнодействующая сил), действующих на
тело, равна произведению массы тела на вектор ускорения этого тела.
В такой формулировке этот закон работает только в случае, если масса тела не меняется.
Третий закон Ньютона утверждает о том, что тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и
противоположными по направлению.
Стоит отметить, что в задачах будут встречаться две различные силы трения: сила трения покоя (действует на тело,
когда оно покоится) и сила трения скольжения (действует на тело, когда оно скользит по шероховатой
поверхности). Стоит отметить закон Кулона-Амонтона, который утверждает, что значение силы трения покоя
Fтр .п. , действующей на тело, не превышает значение силы трения скольжения Fтр.ск . , действующей на это же
тело: Fтр .п.  Fтр .ск . . По определению силы трения скольжения Fтр. ск .    N , где  - коэффициент трения
скольжения тела о поверхность, а N - сила реакции опоры, действующая на тело, относительно этой поверхности,
поэтому Fтр .п.    N .
Как применять вышеуказанные законы иллюстрируют примеры решения задач.
Ниже будет использоваться следующая аббревиатура: 2ЗН – второй закон Ньютона.
Примеры решения задач.
Пример 1.
На неподвижную наклонную плоскость с углом наклона к горизонту   300
помещена плоская плита массой m2  10 кг , а на неё брусок массой m1  5 кг
(рис.1). Коэффициент трения скольжения между бруском и плитой 1  0,15 , а между
плитой и плоскостью 2  0,3 .
рис.1
Решение:
1) Определить ускорения обоих тел.
2) При каком коэффициенте трения  2 плита не будет двигаться?
ЧАСТЬ 1
Будем решать задачу в системе отсчёта, связанной с землёй. Это инерциальная система отсчёта. Предположим,
что плита будет скользить вниз по наклонной плоскости, брусок будет скользить вниз по плите.
Пусть a1 - ускорение бруска, a2 - ускорение плиты. Предположим, что и плита,
и брусок движутся с ускорением направленным вниз вдоль наклонной
плоскости.
На рисунке указаны все силы, действующие на брусок, а также все силы
действующие на плиту.
Силы, действующие на брусок:
1) m1 g - сила тяжести (направлена всегда вниз);
2) N - сила реакции опоры относительно поверхности соприкосновения с плитой (направлена всегда
перпендикулярно поверхности);
3) f ТР - сила трения скольжения относительно поверхности соприкосновения с плитой (действует именно такая
сила трения, т.к. мы предположили скольжение).
Силы, действующие на плиту:
1) m2 g - сила тяжести (направлена всегда вниз);
2) N - сила реакции опоры относительно поверхности соприкосновения с плитой (направлена всегда
перпендикулярно поверхности); по третьему закону Ньютона для плиты и бруска эта сила по модулю такая же,
направление противоположное;
3) f ТР - сила трения скольжения относительно поверхности соприкосновения с плитой (действует именно такая
сила трения, т.к. мы предположили скольжение); по третьему закону Ньютона для плиты и бруска эта сила по
модулю такая же, направление противоположное;
4) FТР - сила трения скольжения относительно поверхности соприкосновения с наклонной плоскостью (действует
именно такая сила трения, т.к. мы предположили скольжение);
5) R - сила реакции опоры относительно поверхности соприкосновения с наклонной плоскостью (направлена
всегда перпендикулярно поверхности).
В выбранной системе отсчета рассмотрим декартовую систему координат, ось x направим вдоль наклонной
плоскости вниз, ось y направим перпендикулярно наклонной плоскости вверх.
2 ЗН для бруска:
в проекции на ось x: m1 g sin   f ТР  m1a1 ;
в проекции на ось y: N  m1 g cos   0 , значит, N  m1 g cos  .
По определению силы трения скольжения f ТР  1 N , откуда f ТР  1 N  1m1 g cos  , значит,
a1  g   sin   1 cos   . Численно: a1  3,6 м/с 2 .
Видим, что a1  0 , значит, предположение о выбранном направлении ускорения верное.
2 ЗН для плиты:
в проекции на ось x: m2 g sin   f ТР  FТР  m2 a2 ;
в проекции на ось y: R  N  m2 g cos   0 , значит, R  N  m1 g cos  .
По определению силы трения скольжения FТР   2 R , откуда FТР  2   m1  m2   g cos  , значит,

 m     2 

a2  g   sin   cos    1 1
 2   . Численно: a2  1, 7 м/с 2 .


m2



Видим, что a2  0 , значит, предположение о выбранном направлении ускорения верное.
Поскольку при решении никаких противоречий не возникло, то предположение о скольжении и плиты, и бруска
правомерно.
ЧАСТЬ 2
Найдём коэффициент трения скольжения  2 , при котором плита не будет двигаться.
Пусть  2 такое, что плита неподвижна. Тогда FТР - сила трения покоя, кроме того a2  0 . Мы уже получали, что
m2 g sin   f ТР  FТР  m2 a2 , откуда сила трения, действующая на плиту FТР  fТР  m2 g sin  .
По закону Кулона-Амонтона FТР   2 R , т.е. FТР  2   m1  m2   g cos  . Итого:
1m1 g cos   m2 g sin   2   m1  m2   g cos  , откуда  2 
 m2 sin   1m1 cos   .
 m1  m2   cos 
При таких  2 плита будет покоиться. Численно:  2  0, 44 . Отметим, что в первой части задачи  2  0,3  0, 44 ,
поэтому плита действительно будет скользить в первой части задачи.
Ответ:
1) ускорение бруска равно g   sin   1 cos   и направлено вниз вдоль наклонной плоскости;



 m1   1  2 
ускорение плиты равно g   sin   cos   
2) при  2 

m2

 2   и направлено вниз вдоль наклонной плоскости;


 m2 sin   1m1 cos   , т.е. при   0, 44 .
2
 m1  m2   cos 
Комментарий 1:
Пример 1 является классической вступительной задачей МФТИ по механике. Подобного
рода задачи необходимо уметь решать.
Комментарий 2:
В основе решения задачи лежат второй и третий законы Ньютона, а также закон КулонаАмонтона. Второй вопрос задачи направлен именно на применение закона Кулона-Амонтона.
Комментарий 3:
Данная задача находится под номером 1.69 в задачнике по физике С.М.Козела. Когда-то она
приводилась на вступительных испытаниях МФТИ. Похожие задачи в том же задачнике: 1.35, 1.36, 1.65.
Пример 2. [МФТИ 1998]
К концам нити, перекинутой через невесомый блок, привязаны бруски с массами m и
M=4m, находящиеся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту  =300
(рис.2). При каком минимальном значении коэффициента трения скольжения между
брусками они будут покоиться относительно земли? Нить считать невесомой и
нерастяжимой.
рис.2
Решение:
N - сила реакции опоры между брусками;
R - сила реакции опоры, действующая на брусок массой M, со стороны наклонной
плоскости; T - сила натяжения нити; Fтр - сила трения покоя.
Предположим, что сила трения покоя направлена так, как на рисунке.
Из 2 ЗН для бруска массой m  N  mg cos  , T  Fтр  mg sin  ;
(1)
Из 2 ЗН для бруска массой M  T  Fтр  Mg sin  .
(2)
3
Из (1) и (2) получаем, что 2 Fтр  Mg sin   mg sin   3mg sin  , откуда, Fтр  mg sin   0 , значит, предположение
2
3
3
3
верное. По закону Кулона-Амонтона: Fтр  Fтрmax   N   mg cos  , следовательно,   tg 
.
  min 
2
2
2
3
3
 min  tg 
2
2
Ответ:
.
Пример 3. [МФТИ 2003]
Два небольших по размерам шарика связаны нитью и прикреплены к оси OO1 другой
нитью в
3 раз меньшей длины. Система вращается с постоянной угловой скоростью
вокруг вертикальной оси OO1 (рис.3). Нити составляют углы   30 0 и   60 0 с
вертикалью. Найти отношение масс m2/m1 шариков. Нити считать невесомыми и
нерастяжимыми.
рис.3
Решение:
Пусть l – длина нити, связывающей шарик массой m1 с точкой О1. Тогда длина нити,
связывающей шарики, равна l 3 . Силы, действующие на шарики, показаны на





рисунке. Здесь T1 , T2 и T3 - силы натяжения нитей, причём T2  T3  T2 , поскольку
нити невесомые и нерастяжимые.
Пусть  - угловая скорость системы шариков (т.е. каждого из шариков).


Центростремительное ускорение первого шарика равно  2 l sin  , второго -  2 l 3 sin   l sin  . Полное
ускорение каждого из шариков равно соответственному центростремительному ускорению, потому что каждый из
шариков движется равномерно по окружности.
2 ЗН для шарика массой m1:
T1 cos   T2 cos   m1 g  0,

2
m1 l sin   T1 sin   T2 sin .
(1)
T2 cos   m2 g  0,
2
m2 l 3 sin   l sin   T2 sin  .
2 ЗН для шарика массой m2: 

Решая системы уравнений (1) и (2), получаем, что
Ответ:

m2 1

m1
8
(2)
.
m2 1
 .
m1
8
Пример 4.
На нерастяжимой невесомой нити длиной L висит шарик массой m. Шарик толкнули горизонтально, сообщив ему
при этом минимальный импульс, необходимый для того, чтобы он совершил полный круговой оборот в
вертикальной плоскости вокруг точки крепления нити.
1) Найти скорость, которую ему сообщили.
2) Чему равно полное ускорение шарика в момент, когда его скорость направлена вертикально?
Решение:
Пусть V - искомая скорость. Тогда по закону сохранения энергии:
mV 2 mu 2

 mg  2 L , где u - скорость шарика
2
2
в верхней точке траектории. Скорость u найдем из того условия, что сила реакции опоры, действующая на шарик в
верхней точке траектории, равна нулю (это и гарантирует условие минимальности скорости V ). Из 2 ЗН в этом
положении шарика maцен 
mu 2
 mg , откуда u 2  gL . Значит, V  5 gL .
L
Найдём полное ускорение a шарика в момент, когда его скорость направлена вертикально. Величину скорости в
этот момент времени обозначим за V1 . Разложим это ускорение на две составляющих: центростремительную a1цен
и касательную aкас . Заметим, что aкас  g , a1цен 
V12
2
2
, a  a1цен  aкас .
L
mV 2 mV12
Из закона сохранения энергии:

 mg  L , откуда V12  3 gL . Следовательно, a  10  g .
2
2
Ответ:
1)
5gL ;
2) g 10 .
Домашнее задание.
Задача 1. [МФТИ 2001] Доску массой m2 с находящимся на ней бруском массой m1 удерживают в покое на
неподвижной наклонной плоскости с углом наклона к горизонту  (рис.4). Расстояние от бруска до края доски S.
Доску и брусок одновременно отпускают, и доска начинает скользить по наклонной
плоскости, а брусок по доске. Коэффициент трения скольжения между бруском и
доской μ1, а между доской и наклонной плоскостью μ2.
1) Определить ускорения a1 и a2 бруска и доски соответственно относительно
наклонной плоскости.
рис.4
2) Определить силу давления R доски на наклонную плоскость.
3) Через какое время t1 брусок достигнет края доски?
4) Определить расстояние L, которое за это время пройдет доска?
Задача 2. На горизонтальном столе лежит лист бумаги. На листе бумаги лежит монета массой m. С каким
максимальным горизонтальным ускорением можно тянуть лист бумаги, чтобы монета с него не соскользнула,
если коэффициент трения монеты о бумагу равен k? Как при этом направлена сила трения, действующая на
монету?
Задача 3. [МФТИ 1991] На наклонной плоскости с углом наклона   60
неподвижно удерживают доску. На верхней гладкой поверхности доски лежит
брусок, прикрепленный с помощью нити к гвоздю, вбитому в доску (рис.5). Нить
параллельна наклонной плоскости. Если доску отпустить, то она начинает
скользить по наклонной плоскости, и сила натяжения нити уменьшается в 10 раз.
Найти значение коэффициента трения скольжения между доской и наклонной
плоскостью.
рис.5
Задача 4. [МФТИ 1990] К вершине прямого кругового конуса прикреплена небольшая
шайба с помощью нити длины L. Вся система вращается вокруг оси конуса,
расположенной вертикально (рис.6). При каком числе оборотов в единицу времени
шайба не будет отрываться от поверхности конуса? Угол при вершине конуса
2  120 .
рис.6
23 сентября 2009 г.
Межвузовский центр воспитания и развития
талантливой молодежи в области
естественно-математических наук
"Физтех-центр"
Составители: Пенкин М.А., Шимко О.В., Шувалов Н.Д.
E-mail: abitu@phystech.edu, fmicky@gmail.com
Сайт: www.abitu.ru