ФТД.5 Аналитическая геометрия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ ГЕОМЕТРИЯ
ФТД 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Основная образовательная программа подготовки специалиста по
специальности 080116 Математические методы в экономике
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _______________О.М. Мартынов
Структура учебно-методического комплекса дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Автор программы: доцент, кандидат физико-математических наук Мостовской А.П.
1.2 Рецензенты: доцент, кандидат физико-математических наук Верещагин
Б.М.
1.3 Пояснительная записка:

Цель: Заложить фундаментальные знания, необходимые для
применения математических методов. Развивать профессиональную компетентность, определяемую как совокупность теоретических и практических
навыков, способность осуществлять профессиональные функции. В ходе
изучения курса осуществляется математическая подготовка студентов на
уровне, необходимом и достаточном для:
 усвоения материала специальных дисциплин;
 развития точного научного мышления, повышения математической
культуры;
 практической работы по специальности;
 формирования умения исследовать математические модели, обрабатывать и анализировать экспериментальные данные.
 Задачами преподавания курса являются:
 формирование математической культуры и развитие логического
мышления;
 формирование практических навыков решения задач по алгебре и
геометрии, включая решение олимпиадных задач.
 решение прикладных задач математическими методами;
 формирование базы математического образования, позволяющей в
дальнейшем продолжить математическое образование (самообразование);
 формирование умения ставить математические задачи, формулировать задания по реализации их решения.
 Данная программа составлена в соответствии с Примерным учебным
планом. Целесообразное соотношение между теоретической и практической составляющими содержания образования – 1:1.
 место курса в общей системе подготовки специалиста
Курс "Аналитическая геометрия" является факультативным курсом. В
профессиональной подготовке математика данная дисциплина даёт научное
обоснование основных разделов математики, ее приложений и большинства
факультативных курсов по геометрии. Для усвоения курса необходимым
условием является прочное усвоение курса элементарной математики,
предусмотренного школьной программой.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами
геометрии, линейной алгебры, математического анализа.
 требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате изучения курса студенты
должны знать:
понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины, доказательства
теорем.
должны уметь:
решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных условиях и ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
 ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке.
При подготовке программы использовались учебники Базылева В.Т., Атанасяна Л.С., Прасолов В.В.
Программа составлена на основе государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования по специальности
080116 Математические методы в экономике, утверждённого 14.04.2000 г.
1.4 Извлечение (в виде ксерокопии) из ГОС ВПО
Курс аналитическая геометрия является для данной специальности факультативным курсом.
1.5 Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех специальностей,
на которых читается данная дисциплина):
080116 Математические методы в экономике
1
Виды учебной работы в часах
Семестр
Шифр и
наименование
специальности
Курс
№
п/п
2
3
Трудоемкость
Всего
аудит.
62
30
ЛК ПР/ ЛБ Са
СМ
м.
работа
14
16
32
Вид
итогового контроля (форма
отчетности)
зачет
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1 Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:
№
Наименование
п/п
1
2
раздела, темы
Аналитическая геометрия на
плоскости
Аналитическая геометрия в
пространстве.
Всего
аудит.
14
ЛК
6
ПР/
СМ
8
16
8
8
ЛБ
Сам.
раб.
16
16
1.6.2 Содержание разделов дисциплины.
Аналитическая геометрии на плоскости
Векторы. Равенство векторов.
Операции над векторами.
Линейная зависимость векторов. Базис векторов плоскости.
Ориентация плоскости. Скалярное произведение векторов.
Аффинная система координат на плоскости. Преобразование аффинной системы координат.
Уравнение множества точек. Различные способы задания прямой на плоскости.
Общее уравнение прямой.
Эллипс.
Гипербола. Парабола.
Директориальные свойства кривых второго порядка.
Классификация кривых второго порядка.
Определение преобразования. Примеры. Примеры преобразований плоскости.
Движения плоскости.
Классификация движений плоскости.
Аффинные преобразования плоскости. Подобия плоскости.
Аналитическая геометрия в пространстве.
Базис. Координаты вектора.
Ориентация пространства. Аффинная система координат в пространстве.
Преобразование аффинной системы координат.
Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех векторов.
Уравнение множества точек. Различные способы задания плоскости.
Общее уравнение плоскости.
Уравнение прямой в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых.
Расстояние от точки до прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Движения пространства. Примеры движений пространства. Классификация
движений пространства.
Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Поверхности вращения.
Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка.
Квадратичные формы. Классификация поверхностей второго порядка.
Аффинное n-мерное пространство.
Различные способы задания k-плоскости. Взаимное расположение kплоскостей.
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
2
Наименование
Форма
раздела
самостоятельной
дисциплины.
работы
Тема
Аналитическая
контрольные работы:
геометрия на плос- 1). Векторная алгебра на плоскости;
кости
2). Прямая на плоскости.
Подготовка к экзаменам – изучение
всего курса
Аналитическая
контрольные работы:
геометрия в про- 1). Векторная алгебра в пространстве;
странстве.
2). Прямая и плоскость в пространстве.
Подготовка к экзаменам – изучение
всего курса
Кол-во
часов
16
16
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
проверка
контрольных работ,
проверка экзаменационных работ
проверка
контрольных работ,
проверка экзаменационных работ
1.7 Методические рекомендации по организации изучения
дисциплины.
1.7.1 Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу:
Две последние задачи обычно отводятся на самостоятельную работу.
1. Аналитическая геометрия на плоскости.
2. Аналитическая геометрия в пространстве.
1.8 Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1 Литература:
Основная:
1. Мостовской А.П. Лекции по геометрии. Электронный
конспект лекций.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.II.-М.:
Просвещение,1986.
3. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Части 1,2.М.:Наука, 1991.
4. Любой учебник по дифференциальной геометрии.
5. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрию.-М.:,1958.
6. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского.-М.:Наука, 1983.
7. Ефимов Н.В. Высшая геометрия.-М.:"Наука",1978.
8. Берже М. Геометрия, т.1,2.- М.:Мир, 1984.
9. Адамар Ж. Элементарная геометрия, ч. 1,2.-М.:1957.
10. Трайнин Я.Л. Основания геометрии.-М.:1961.
11. Смилга В.С. В погоне за красотой.- М.:1968.
12. Франгулов С.А., Совертков П.И. Геометрия Лобачевского.- С.:Пб.,1992.
Дополнительная:
11. Каган В.Ф. Великий русский ученый Н.И.Лобачевский и
его место в мировой
науке. - ГТТИ,1948.
12. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.М.:Наука,1990.
13. Погорелов А.В. Основания геометрии.-М.:1979.
14. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.II.-М.:
Просвещение,1986.
15. Егоров И.П. Геометрия.-М.: Просвещение,1979.
16. Погорелов А.В. Геометрия 6-10.-М.: Просвещение,1981.
17. Александров А.Д. Основания геометрии.-М.:
Наука,1987.
18. Глейзер Г.И. История математики в школе.М.:Просвещение, 1983.
19. Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.-М.: Просвещение, 1968.
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Электронная библиотека кабинетов вычислительной математики (ауд.
313,314)
1.10 Зачетные тестовые задания.
Аналитическая геометрия на плоскости
Вариант 1.
1. В правильном шестиугольнике ABCDEF AB=a, AE=b.
Найти координаты AC в базисе a, b.
2. Найти |-2a+4b|,
если
a(3,2), b(0,-1).
3. Точки A(-1,2), C(2,-2) - диагональные точки ромба ABCD.
Найти координаты вершин B и D, если BD=10.
Вариант 2.
1. В правильном шестиугольнике ABCDEF AB=a, AE=b.
Найти координаты AD в базисе a, b.
2. Найти |2a+b|, если
\angle(a,b)=60^\circ.
|a|=1, |b|=3,
3.Точки A(1,-1), B(-2,3) - смежные вершины прямоугольника ABCD,
AD=10. Найти координаты вершин C, D.
Вариант 3.
1. В треугольнике \bigtriangleup ABC отрезки AA_1, BB_1 - медианы. Найти
координаты вектора AB в базисе a=AA_1, b=BB_1.
2.Найти угол между векторами a+2b, a-b, если
|a|=1, |b|=2, \angle(a,b)= 30^\circ.
3. Точки A(3,4), O(1,2) - вершина и центр квадрата. Найти координаты
лстальных вершин квадрата.
Вариант 4.
1. Даны уравнения двух сторон треугольника 3x+y-8=0, 3x+4y-2=~0
и уравнение x-y+2=0 его биссектрисы. Написать уравнение третьей стороны
треугольника.
2. При каком значении m прямая x+my+1=0
касается окружности x^2+y^2=1.
Вариант 5.
1. Чере точку A(2,-1) проходит прямая, отрезок которой, заключенный между
осями
координат, делится точкой A пополам. Написать уравнение такой прямой.
2. Составить уравнение касательных к окружности (x-1)^2+(y+3)^2=~40,
перпендикулярных прямой 3x+y-4=0.
Вариант 6.
1. Высота 2x-3y+12=0 и медиана 2x+3y=0 треугольника
\bigtriangleup ABC проходят через одну вершину, C(4,-1).
Составить уравнение строн \bigtriangleup ABC.
2.При каком значении C прямая x+y+C=0 касается окружности (x-1)^2+(y+2)^2=4.
Аналитическая геометрия в пространстве
Вариант 1.
1. Вершинами тетраэдра F являются центры тяжести граней тетраэдра T.
Найти объем тетраэдра F, если объем T равен 1.
2. Вычислить площадь треугольника \bigtriangleup ABC, если
AB=2p-3q, AC= p+2q, где векторы p, q
перпендикулярны и имеют единичную длину.
Вариант 2.
1. Найти отношение объема пирамиды ABCD к объему пирамиды GACD,
где G - цетр тяжести пирамиды ABCD.
2. Вычислить длину высоты треугольника \bigtriangleup ABC, если
A(3,4,-1), B(2,0,3), C(-3,5,4).
Вариант 3.
1. ABCD - пирамида, AA_1 - медиана пирамиды, точка K\in [AA_1]
AK\over KA_1=1\over 4. Найти объем пирамиды ABCD, если объем
пирамиды KABC равен 1.
и такая, что
2. Точки A,B,C принадлежат боковым ребрам куба и удалены от основания на
1\over 2, 1\over 3, 1\over 4 длины ребра куба.
Длина ребра куба равна 12. Найти высоту AK \bigtriangleup ABC.
Вариант 4.
1. Исследовать взаимное расположение прямых (пересекаются,
параллельны, скрещиваются, найти расстояние между прямыми):
а) \casesx=t, \cr y=-8-4t, \cr z=-3-3t;\,\,\,\,\,\, б)
\casesx+y-z =0,\cr 2x-y+2z =0.
2. Написать уравнение прямой, содержащей биссектрису AD треугольника
\bigtriangleup ABC, если
A(4,1,-2), B(2,0,0), C(-2,3,-5).
Вариант 5.
1. Исследовать взаимное расположение прямых (пересекаются,
параллельны, скрещиваются, расстояние между прямыми):
а)
x=1+2t, y=2-2t, z=-t; б) x=-2t, y=-5+3t, z=4t.
2. Дана прямая l:x=2t, y=1-t, z=3+t и плоскость \pi:x+y+z-10=0.
Написать уравнение прямой l'\in \pi, перпендикулярной прямой l и прходящей
через
точку M=\pi\cap l.
Вариант 6.
1. Исследовать взаимное расположение прямых (пересекаются,
параллельны, скрещиваются, расстояние между прямыми):
а) \cases2x+3y=0,\cr x+z-8=0; \,\,\,\,\,\,б)
\casesz-4=0,\cr
2x+3z-7=0.
2. Найти ортогональную проекцию прямой
\casesx-3y+ z-11=0,\cr
2x-8y+3z-30=0
на координатную плоскость YOZ.
1.11 Вопросы к зачету.
Аналитическая геометрия на плоскости
1. Определение вектора, соноправленность векторов, свойства соноправленности
векторов.
2. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки.
Угол между векторами.
3. Сложение векторов. Свойства сложения векторов.
4. Задачи. Разность векторов.
5. Умножение вектора на число. Свойства умножения.
6. Линейная зависимость векторов. Базис векторов плоскости. Координаты
вектора.
7. Теорема о координатах линейной комбинации векторов.
Условия коллинеарности векторов в координатах.
8. Ориентация базисов. Свойства отношения одинаковой ориентированности.
Ориентация плоскости.
9. Ориентированниые углы и их свойства.
10.
Скалярное произведение векторов. Свойства ориентированных углов.
11. Определение аффинной системы координат, базис системы координат.
Различные способы задания системы координат. Задачи.
12. Преобразование аффинной системы координат.
13. Преобразование декартовой системы координат. Ориентация систем координат.
14. Уравнение множества точек. Алгебраические линии.
15. Уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором, двумя точками.
16. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, заданной точкой и
нормальным вектором.
17. Общее уравнение прямой, исследование общего уравнения прямой.
18. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C.
19. Расстояние от точки до прямой.
20. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
21. Вывод уравнения эллипса.
22. Исследование эллипса по каноническому уравнению.
23. Касательная к эллипсу. Оптическое свойство эллипса.
24. Вывод уравнения гиперболы.
25. Исследование гиперболы
по его каноническому уравнению.
26. Касательная к гиперболе. Оптическое свойство гиперболы.
27. Уравнение параболы. Исследование параболы.
28. Уравнение параболы. Оптическое свойство параболы.
29. Эксцентриситет, директрисы.
30. Приведение уравнения кривой к каноническому виду.
31. Классификация кривых второго порядка .
32. Определение преобразования плоскости. Тождественное отображение, обратное
преобразование.
33. Примеры преобразований: параллельный перенос, осевая симметрия, скользящая
симметрия, сжатие к прямой.
34. Вращение плоскости.
35. Определение движения плоскости, свойства движения.
36. Аналитическое задание движения. Род движения.
37. Классификация движений 1-го рода.
38. Классификация движений 2-го рода.
39. Группа движений плоскости. Евклидова геометрия.
40. Аналитическое задание аффинного преобразования.
41. Свойства аффинного преобразования.
42. Подобия плоскости.
Аналитическая геометрия в пространстве
1. Базис. Координаты вектора.
2. Координаты линейной комбинации векторов. Условия коллинеарности и компланарности
векторов.
3. Скалярное произведение векторов.
4. Ориентация пространства.
5. Аффинная система координат в пространстве.
Задачи.
6. Преобразование аффинной и декартовой систем координат. Примеры.
7. Векторное произведение векторов.
8. Смешанное произведение трех
векторов.
9. Уравнение множества точек.
10. Различные способы задания плоскости в пространстве.
11. Общее уравнение плоскости.
12. Геометрческий смысл знака четырех члена Ax+By+Cz+d.
13. Уравнения прямой в пространстве.
14. Взаимное расположение двух плоскостей.
15. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых.
16. Расстояние от точки до прямой, плоскости.
17. Цилиндрические поверхности.
18. Конические поверхности.
19. Поверхности вращения.
20. Эллипсоид.
21. Гиперболоиды.
22. Параболоиды.
23. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка.
24. Классификация поверхностей второго порядка.
25. Линейное векторное пространство. Евклидово векторное пространство.
26. Аффинное n-мерное пространство. Следствия из аксиом.
Система координат. Координаты точек.
Евклидово n-мерное пространство.
27. Определение k-плоскости и ее свойства.
28. Параметрическое задание
29. Уравнение
k-плоскости.
k-плоскости, заданной
k+1 точкой общего положения.
30. Общее уравнение k-плоскости.
31. k-плоскости, заданная точкой и нормальным подпространством.
32.
Взаимное расположение k-плоскостей.
1.12. Экзаменационные билеты.
Форма контроля – зачет (см. вопросы к зачету)
Аналитическая геометрия на плоскости
Билет 1.
1. Определение аффинной системы координат, базис системы координат,
равенство координат точки и ее радиус-вектора.
2. Вывод уравнения эллипса.
Билет 2.
1. Различные способы задания системы координат. Задачи.
2. Приведение уравнения кривой к каноническому виду.
Билет 3.
1. Преобразование аффинной системы координат.
2. Определение вектора, соноправленность векторов и ее свойства.
Билет 4.
1. Преобразование декартовой системы координат. Ориентация систем координат.
2. Исследование эллипса по его каноническому уравнению.
Билет 5.
1. Уравнение множества точек.
Алгебраические линии.
2. Классификация кривых второго порядка .
Билет 6.
1. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки.
веторами.
Угол между
2. Вывод уравнения гиперболы.
Билет 7.
1. Уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором, двумя точками.
2. Уравнение параболы. Исследование параболы.
Билет 8.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, заданной точкой и
нормальным вектором.
2. Исследование гиперболы
по его каноническому уравнению.
Билет 9.
1. Общее уравнение прямой, исследование общего уравнения прямой.
2. Сложение векторов. Свойства сложения векторов.
Билет 10.
1. Геометрический смысл знака трехчлена Ax+By+C.
2. Уравнение параболы. Оптическое свойство параболы.
Билет 11.
1. Расстояние от точки до прямой.
2. Эксцентриситет, директрисы и их свойства.
Билет 12.
1. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
2. Умножение вектора на число и его свойства.
Билет 13.
1. Ориентация базисов. Свойства отношения одинаковой ориентированности.
Ориентация плоскости.
2. Вращение плоскости.
Билет 14.
1. Линейная зависимость векторов. Базис векторов плоскости. Координаты
вектора.
2. Уравнение параболы.
Билет 15.
1. Преобразование аффинной системы координат.
2. Примеры преобразований: параллельный перенос, осевая симметрия, скользящая
симметрия, сжатие к прямой.
Билет 16.
1. Преобразование декартовой системы координат. Ориентация систем координат.
2. Вращение плоскости.
Билет 17.
1. Уравнение множества точек.
Алгебраические линии.
2. Определение движения плоскости и его свойсвта.
Билет 18.
1. Ориентированные углы и их свойства.
2. Аналитическое задание движения. Род движения.
Билет 19.
1. Уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором, двумя точками.
2. Классификация движений 1-го рода.
Билет 20.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, заданной точкой и
нормальным вектором.
2. Классификация движений 2-го рода.
Билет 21.
1. Общее уравнение прямой, исследование общего уравнения прямой.
2. Теорема о координатах линейной комбинации векторов. Условия коллинеарности
векторов в координатах.
Билет 22.
1. Скалярное произведение векторов. Теорема о скалярном произведении.
Следствия.
2. Аналитическое задание аффинного преобразования.
Билет 23.
1. Расстояние от точки до прямой.
2. Свойства аффинного преобразования.
Билет 24.
1. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
2. Подобия плоскости.
Аналитическая геометрия в пространстве
Билет 1.
1. Базис. Координаты вектора.
2.
Взаимное расположение k-плоскостей.
Билет 2
1. Координаты линейной комбинации векторов.
Условия коллинеарности и компланарности
векторов.
2. k-плоскость, заданная точкой и нормальным подпространством.
Билет 3
1. Скалярное произведение векторов.
2. Общее уравнение k-плоскости.
Билет 4
1. Ориентация пространства.
2. Уравнение
k-плоскости, заданной
k+1 точкой общего положения.
Билет 5
1. Аффинная система координат в пространстве.
2. Параметрическое задание
Задачи.
k-плоскости.
Билет 6
1. Преобразование аффинной и декартовой систем координат. Примеры.
2. Определение k-плоскости и ее свойства.
Билет 7.
1. Векторное произведение векторов.
2. Конические поверхности.
Билет 8
1. Смешанное произведение трех
векторов.
2. Аффинное n-мерное пространство. Следствия из аксиом.
Система координат. Координаты точек.
Евклидово n-мерное пространство.
Билет 9
1. Уравнение множества точек.
2. Поверхности вращения.
Билет 10
1. Различные способы задания плоскости в пространстве.
2. Эллипсоид.
Билет 11
1. Общее уравнение плоскости.
2. Гиперболоиды.
Билет 12
1. Геометрческий смысл знака четырех члена Ax+By+Cz+D.
2. Параболоиды.
\newpage
Билет 13
1. Уравнения прямой в пространстве.
2. Классификация поверхностей второго порядка.
Билет 14
1. Взаимное расположение двух плоскостей.
2. Линейное векторное пространство. Евклидово векторное пространство.
Билет 15
1. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых.
2. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка.
Билет 16
1 Расстояние от точки до прямой, плоскости.
2. Цилиндрические поверхности.
1.13 Тематика рефератов.
1. Радикальная ось двух окружностей. [1], ч.1, стр. 65
2. Геодезические на поверхности вращения, ( например, [3], стр. 211).
3. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского$^*,$ (например, [5], стр. 159).
4. Прямая Симпсона, [1], ч.1.
5. Цепочки окружностей, [1], ч.2, стр. 190.
6. Геометрические места точек, [1], ч.1.
7. Теорема Паскаля, [1], ч.1, стр. 160.
8. Чердачные сферы, [7], т.2 или [6], т.1, стр. 353.
9. Вычисление объема треугольной пирамиды через длины ее ребер,
[6], т.1, стр.353.
1.14. Тематика курсовых работ.
1. Локсодромии.
2. Пересечение тора и плоскости.
3. Геометрические задачи на максимум и минимум, [1], ч.1.
4. Геометрические неравенства, [1], ч.1.
5. Неравенства для элементов треугольника, [1], ч.1.
6. Центр масс. Барицентрические координаты, [1], ч.2.
7. Теорема Родрига. Параллельные поверхности, [2].
8. Теорема Морли [1], ч.1, [6], т.1, стр. 345.
9. Принцип Дирихле [1], ч.2.
10. Теорема Менелая, [1], ч.1.
11. Теорема Чевы, [1], ч.1.
12. Прямая Эйлера и окружность девяти точек, [1], ч.1.
13. Точки Брокара, [1], ч.1.
14. Точки Лемуана, [1], ч.1.
15. Программа вычисления полной и средней кривизны в Математике $4.0^*$
\footnote{$*$ - работу могут выполнять два студента}.
16. Программа вычисления полной и средней кривизн в Математике 4.0
для поверхностей, заданных неявно.
17. Построение трубчатой поверхности в Математике 4.0$^*.$
18. Изучение плоских кривых в Математике 4.0$^*.$
19. Программирование математики в
Математике 4.0
1.15. Примерная тематика дипломных работ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Теоремы Менелая и Брианшона на сфере.
Инверсия на сфере.
Решение натуральных уравнений.
Оценка снизу диаметра поверхности через нормальную кривизну поверхности.
Дифференциальная геометрия и пакет Mathematica.
Геометрия тетраэдра.
Геометрические построения в модели Пуанкаре.
Линейное программирование и пакет Mathematica.
и так далее.
1.16. Методика исследования.
Фундаментальные методы исследования
1.17. Система оценки работ студентов.
Все работы студентов оцениваются по пятибалльной системе.
2. Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания для студентов заочной
формы обучения.
По данной дисциплине нет заочной формы обучения
3. Содержательный компонент теоретического материала.
Аналитическая геометрии на плоскости
Лекция 1.
Векторы. Равенство векторов.
Операции над векторами.
Линейная зависимость векторов. Базис векторов плоскости.
Ориентация плоскости. Скалярное произведение векторов.
Аффинная система координат на плоскости. Преобразование аффинной системы координат.
Лекция 2.
Уравнение множества точек. Различные способы задания прямой на плоскости.
Общее уравнение прямой.
Эллипс.
Гипербола. Парабола.
Директориальные свойства кривых второго порядка.
Лекция 3. Классификация кривых второго порядка.
Определение преобразования. Примеры. Примеры преобразований плоскости.
Движения плоскости.
Классификация движений плоскости.
Аффинные преобразования плоскости. Подобия плоскости.
Аналитическая геометрия в пространстве
Лекция 1.
Базис. Координаты вектора.
Ориентация пространства. Аффинная система координат в пространстве.
Преобразование аффинной системы координат.
Лекция 2.
Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех векторов.
Уравнение множества точек. Различные способы задания плоскости. . Общее
уравнение плоскости.
Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых.
Расстояние от точки до прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Лекция 3.
Движения пространства. Примеры движений пространства. Классификация
движений пространства.
Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Поверхности вращения.
Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка.
Квадратичные формы. Классификация поверхностей второго порядка.
Лекция 4.
Аффинное n-мерное пространство.
Различные способы задания k-плоскости. Взаимное расположение kплоскостей.
Раздел 4. Глоссарий.
(страницы указаны в соответствии с учебником: Л.Ф. Тот Расположения на
плоскости, на сфере и в пространстве. М., 1958 г.)
Д
длина аффинная 75
вариационная задача 84
свойства ее 77
К
касательная 17
круг вписанный 18
- описанный 18
М
многогранник выпуклый 18, 38
многогранники
- равногранные 39
- равноугольные 38
- правильные 38
многоугольник вписанный 18
- выпуклый 18
- описанный 18
- правильный 18
О
объем многогранника вписанного 199, 201
- описанного 195
овал 17
окружность большая 35
П
площадь множества элементов 93
поверхности аффинная 234
преобразование аффинное 20
- подобия 20
Р
расстояние между линейными элементами аффинное 157
- между выпуклыми фигурами (линейное) 58, 61
Т
тело выпуклое 18
У
угол многогранный правильный 38
Ф
фигура выпуклая 17
фигуры аффинно-параллельные 78
- расстояние между ними 58
Ш
шар вписанный 18
- описанный 18
Раздел 5. Практикум по решению задач.
Примеры решения задач.
Тексты задач по семестрам.
Задачи для самостоятельной работы
Построить
окружность
данного
радиуса,
касающуюся
двух данных
окружностей.
Найти
точку,
из
которой
два данных отрезка были бы видны под
данными углами.
Вписать в данную окружность прямоугольный треугольник, катеты ко
торого проходили бы через две данные точки.
Даны три окружности
одинакового радиуса.
Построить окружность,
касающуюся внешним образом трех данных.
Построить точку, из которой стороны данного треугольника видны под
углом 120°.
Построить окружность, которая пересекает под прямым углом три дан
ные окружности.
Построить точку, из
которой данные три окружности видны под оди
наковыми углами.
Дана прямая
АС
и
точка
В вне ее. Построить на прямой АС такую
точку X, чтобы АХ-{-ХВ было равно данному отрезку /.
Даны две концентрические окружности и точка Р. Требуется провести
через
точку
Р
прямую так, чтобы
отрезок ее, заключенный между окруж
ностями, был виден из их
центра
под данным углом а.
Даны две пары параллельных прямых и точка Р. Провести через точ
ку Р
прямую так,
чтобы обе
пары
параллельных прямых отсекали на
ней
равные отрезки.
Даны две окружности и Уочка. Провести через эту точку прямую, на
которой окружности отсекают хорды заданной длины.
Вписать в данный четырехугольник параллелограмм с заданным нап
равлением сторон.
Построить квадрат по сумме его стороны и диагонали.
В данный треугольник вписать квадрат.
В окружности
даны два
радиуса. Построить хорду окружности, ко
торая данньши радиусами делится на три равные ча.сти.
В
данный
четырехугольник
вписать
ромб,
стороны которого парал
лельны диагоналям четырехугольника.
Построить окружность, касающуюся данной прямой, проходящую че
рез данные две точки.
Построить треугольник по заданным его высотам.
Построить треугольник по углу, высоте и
биссектрисе,
проведенным
из вершины этого угла.
Построить
треугольник
по медиане и высоте, проведенным из одной
вершины, и радиусу описанного круга.
Построить треугольник по стороне, сумме двух других сторон и высоте,
опушенной на одну из этих сторон.
Построить треугольник по стороне, противолежащему ей углу и
сум
ме двух других сторон.
Через точку пересечения двух окружностей провести прямую так, что
бы сумма отсекаемых на ней хорд была наибольшей (когда хорды не налегают
друг на друга).
Построить треугольник по периметру, радиусу описанного круга и од
ному из углов.
Построить треугольник по трем медианам.
Построить параллелограмм по диагоналям и углу между ними.
Дан
треугольник.
Описать
около него равносторонний треугольник
наибольшей площади.
Построить четырехугольник,
зная его стороны и отрезок, соединяю
щий середины диагоналей.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли
после утверждения программы.
Характер
изменений в
программе
Номер и дата
протокола заседания кафедры, на котором было
принято данное решение
Подпись заведующего кафедрой,
утверждающего
внесенное
изменение
Подпись декана
факультета (проректора по
учебной работе),
утверждающего данное
изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень препоУчебный
давателя
год
Верещагин Б.М., доцент, кандидат фи2007/2008
зико-математических наук
Маренич А.С., доцент, кандидат физи- 2008/2009
ко-математических наук
Будкин К.А.
2010/2011
Факультет
Богданова Е.А., кандидат экономиче- 2011/2012
ских наук, доцент
ФМОИП
ПМПЭ
ПМПЭ
ФМОИП
Специальность
Математические
экономике
Математические
экономике
Математические
экономике
Математические
экономике
методы в
методы в
методы в
методы в
Указания по использованию формы программы учебной дисциплины:
 программа составляется по каждой из закрепленных за кафедрой дисциплин;
 форма программы хранится на кафедре в электронном варианте и на
бумажном носителе, на котором ставятся подписи лиц, утверждающих
программу (распечатывается кафедрой).