ВОПРОСЫ к экзамену по геометрии 1 к., 1 с. ОЗО

ВОПРОСЫ
к экзамену по геометрии 1 к., 1 с. ОЗО
(Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Преобразования плоскости. Равенство преобразований. Композиция преобразований.
Система аксиом Вейля. Понятие векторного пространства.
Система аксиом Вейля. Понятие n-мерного векторного пространства.
Система аксиом Вейля. Понятие n-мерного евклидова векторного пространства, точечновекторное пространство.
Примеры векторных пространств (на множестве троек действительных чисел).
Вектор – направленный отрезок на плоскости. Равенство векторов. Свойства отношения
равенства. Свободные векторы на плоскости.
Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Критерий равенства
векторов.
Понятие базиса. Аффинная система координат. Понятие ортонормированного базиса.
Декартова прямоугольная система координат.
Координаты вектора на плоскости в АСК. Действия над векторами в координатах в АСК.
Модуль вектора в координатах в ДСК.
Коллинеарные векторы. Основная теорема для коллинеарных векторов..
Критерий коллинеарности векторов в координатах. Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам.
Деление отрезка в данном отношении. Простое отношение 3-х точек прямой.
Скалярное произведение векторов. Определение. Инвариантность скалярного
произведения векторов относительно выбора ДСК. Первая инвариантная форма.
Понятие угла между двумя векторами на плоскости. Вторая инвариантная форма.
Критерий ортогональности 2-х векторов.
Неравенство Коши-Буняковского.
Критерий коллинеарности двух векторов в координатах в АСК.
Матрица и определитель перехода от одного базиса к другому.
Ориентация базисов.
Понятие направленного угла между двумя векторами на ориентированной плоскости.
Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Преобразование координат точки при переходе от одной АСК к другой.
Формула преобразований координат точки при переходе от одной ДСК к другой.
Полярные координаты. Связь полярных координат с ДСК.
24. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений прямой (векторное и скалярное
параметрические уравнения; каноническое уравнение прямой; уравнение прямой,
проходящей через две заданные точки).
25. Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений прямой (уравнение прямой с
угловым коэффициентом; общее уравнение прямой; уравнение прямой с нормальным
вектором).
26. Частные случаи расположения прямой относительно ДСК.
27. Задание полуплоскости с помощью неравенств в АСК.
28. Взаимное расположение двух прямых, заданных своими общими уравнениями.
29. Расстояние от точки до прямой в ДСК.
30. Направленный угол упорядоченной пары прямых на плоскости в ДСК
31. Линии второго порядка. Эллипс (вывод формулы, свойства).
32. Линии второго порядка. Гипербола (вывод формулы, свойства).
33. Линии второго порядка. Парабола (вывод формулы, свойства).
34. Линии второго порядка как конические сечения.
35. Диаметры и хорды линии второго порядка. Сопряженные диаметры эллипса.
36. Диаметры и хорды линии второго порядка. Сопряженные диаметры гиперболы.
37. Общее уравнение линии второго порядка. Классификация линий второго порядка.