Базовые понятия о фотонных кристаллах. Закон дисперсии и

Базовые понятия о фотонных кристаллах.
Закон дисперсии и фотонная запрещенная зона
• понятие о фотонных кристаллах
• аналогии между фотонными кристаллами и
«атомными» кристаллами
• плотность мод электромагнитного поля
• закон дисперсии фотонных кристаллов
• фотонная запрещенная зона
Понятие о фотонных кристаллах
одномерные ФК
двумерные ФК
трехмерные ФК
Диэлектрическая проницаемость представляет
собой периодическую функцию
ε(r) = ε(r + R 0)
с периодом R 0 , равным вектору (векторам)
решетки фотонного кристалла:
Твердотельные аналогии
1.
Состояние электрона внутри кристалла задается решением уравнения Шрёдингера,
распространение
света в¶фотонном кристалле подчиняется волновому уравнению:
µ
h̄2
−
∇ + U(r) ψE (r) = EψE (r),
2m
1
ω2
∇×
∇ × Hω(r) = 2 Hω (r).
ε(r)
c
2. Состояние электрона описывается скалярной волновой функцией ψ(r, t), состояние
электромагнитной волны описывается векторными полями - напряженностью магнитной или
электрической компонент, H(r, t) или E(r, t) .
3. Волновая функция электрона может быть разложена в ряд по собственным состояниям ψE (r),
каждому из которых соответствует собственная энергия E. Напряженность электромагнитного
поля может быть представлена суперпозицией монохроматических компонент (мод)
электромагнитного поля Hω(r), каждой из которой соответствует собственное значение - частота
моды:
X
X
ψ(r, t) =
c Eψ E (r)e
iE
h̄ t
,
cω Hω (r)e iωt
H(r, t) =
ω
E
4. Атомный потенциал и диэлектрическая проницаемость представляют собой периодические
функции с периодами, равными любым векторам решетки кристалла и фотонного кристалла:
U (r) = U (r + R),
ε(r) = ε(r + R)
5. Для волновой функции электрона и напряженности электромагнитного поля выполняется
теорема Блоха
ψ k(r) = uk(r)eik·r,
с периодическими функциями
uk
и
uk
Hk(r) = uk (r)e ik·r
Твердотельные аналогии
6. Возможные значения волновых векторов заполняют зону Бриллюэна кристаллической
решетки или элементарной ячейки фотонного кристалла, задаваемую в пространстве обратных
векторов.
7. Энергия электрона, являющаяся собственным значением уравнения Шрёдингера, и
собственное значение волнового уравнения - частота моды - связаны со значениями
волновых векторов блоховских функций законом дисперсии E(k) и ω(k) .
8. Примесный атом, нарушающий трансляционную симметрию атомного потенциала, является
дефектом кристалла и может создавать примесное электронное состояние, локализованное в
окрестности дефекта. Изменения диэлектрической проницаемости в определенной области
фотонного кристалла нарушают трансляционную симметрию и приводит к появлению
разрешенной моды внутри фотонной запрещенной зоны, локализованной в ее
пространственной окрестности.
Плотность мод электромагнитного поля
(напоминание)
Напомним, что при разложении произвольного электромагнитного
поля внутри ящика квантования с размером L
по плоским волнам (модам поля)
E(r, t) =
X
Ek (t)e ik·r
k
с волновыми векторами, принимающие
дискретные значения
k=
2π
L {l , m, n}
и амплитудами
1
E k(t) =
V
Z
E(r, t)e −ik·rdr
V
было введено понятие фазового пространства волновых векторов мод
электромагнитного поля
Фазовое пространство волновых векторов мод
с расстоянием между модами
в фазовом пространстве, равном
2π/L
и объемом фазового пространства,
приходящегося на одну моду, равном
(2π)3/V
При этом число мод поля с частотами,
меньшими
, записывается в виде
2
ω
V
N(ω) = 2 ×
(2π)3
Z
2
k=ω /c
dk
2
k =0
что для однородного пространства со связью между
|k(ω)| =
kи ω
в виде
ω
1/2
(εµ)
c
дает выражение
ω3V
N(ω) =
3π2c 3
для числа мод и
для плотности мод (числе мод в интервале частот)
ω
и
ω 2V
D(ω) = 2 3
π c
ω + dω
Число мод и плотность мод
Однако, при интегрировании в явном виде
предполагалась линейная связь
между волновым вектором и частотой:
Иными словами, закон дисперсии
k(ω)
2
ω
dk = 4πk 2dk = 4π 3 dω
c
, или (что более верно)
ω(k)
брался для однородного пространства.
Напомним:
закон дисперсии
в вакууме:
В средах, в которых
k(ω)
ω = ck
ε = ε(r)
волновое число:
в однородной среде:
k ≡ |k| = 2π/λ
v = c/n
, полученные выражения НЕ работают !
Закон дисперсии фотонных кристаллов
Рассмотрим одномерный случай (многослойная среда).
Диэлектрическая проницаемость
периодична вдоль координаты z ,
ε(z + a) = ε(z)
с периодом
a
Запишем волновое уравнение в среде
без источников (линейный случай):
4πc 2 ∂ 2E
∂2 E
=
2
ε(z) ∂z
∂t2
Разложим в ряд Фурье обратную (!) диэлектрическую проницаемость:
¶
µ
∞
X
2πm
−1
z
ε (z) =
ηm exp i
a
m=−∞
с амплитудами фурье-гармоник в приближении прозрачной среды:
η−m = η∗m
Закон дисперсии. Одномерный случай
По теореме Блоха, решение волнового уравнения с периодическим потенциалом
(диэлектрической проницаемостью) ищется в виде волны
Ek (z, t) = uk (z) exp (i(kz − ωk t))
с периодической амплитудой
ωk
при этом частота моды
Поскольку амплитуда моды
Ek (z, t) =
uk (z + a) = uk(z)
является собственным значением волнового уравнения.
uk (z) - периодична, то ее можно разложить в ряд Фурье:
∞
X
m=−∞
Подставим
Ek (z, t)
и
µ µ
¶
¶
2πm
Em exp i k +
z − iω k t
a
ε−1 (z)
в волновое уравнение
Волновое уравнение для мод. Одномерный случай
Возьмем только 3 первых члена
¶
¶
µ
µ
2π
2π
−1
ε (z) ≈ η0 + η1 exp i z + η−1 exp −i z
a
a
Ek (z, t) имеют вид:
µ µ
¶
µ
¶2
¶
∞
2
X
∂ Ek
2πm
2π m
=−
Em exp i k +
k+
z − iω k t
2
∂z
a
a
вторые производные
m= −∞
∂2 Ek
∂t2
= −ω 2k
∞
X
m=−∞
µ µ
¶
¶
2πm
E m exp i k +
z − iω k t
a
Волновое уравнение для мод. Одномерный случай
Подставим в волновое уравнение и приравняем члены с одинаковым
фазовым множителем. Помним, что разложении в ряд поля и диэлектрической
проницаемости есть фазовые множители вида
¶
µ
2π
exp ±i z
a
и
µ µ
¶ ¶
2πm
exp i k +
z
a
Волновое уравнение для отдельной фурье-гармоники запишется как
µ
µ
¶2
¶2
2(m − 1)π
2(m + 1)π
η1 k +
E m−1 + η−1 k +
Em+1
a
a
Ã
!
µ
¶
2
ωk2
2mπ
≈
− η0 k +
Em
2
4πc
a
(знак примерного равенства указывает всего лишь на приближенную запись разложения
диэлектрической проницаемости)
Закон дисперсии. Одномерный случай
продолжение
Итак, волновое уравнение распалось на систему линейных уравнений,
каждое из которых завязывает три соседних фурье-гармоники поля (три моды)
E m−1, E m, Em+1
Нас будет интересовать уравнения для низкочастотных мод, т.е. мод с малыми m
для m=0
c2
E0 ≈ 2
(ωk − η0c 2k 2)
Ã
¶2
¶2 !
µ
µ
2π
2π
η1 k −
E−1 + η−1 k +
E1
a
a
для m=-1
E−1 ≈
c2
(ωk2 − η0 c2(k −
2π )2 )
a
Ã
η1
µ
4π
k−
a
¶2
Формально, это два уравнения с четырьмя неизвестными.
Однако, есть выделенная
область частот
в окрестности которой
можно пренебречь
ωk ≈
η1/2
0 ck
E0 , E −1
и
ωk ≈
E −2 + η− 1k 2E0
1/2 ¡
η0 c k
доминируют и вкладами амплитуд
−
!
2π
a
¢
E−2 , E1
Закон дисперсии. Одномерный случай
продолжение
Тогда система уравнений для четырех неизвестных преобразуется в систему
связанных уравнений для амплитуд E0 , E−1 :
µ
¶2
2π
(ω2k − η0c 2k 2)E0 − η1c 2 k −
E−1 = 0,
a
Ã
¶2 !
µ
2π
E− 1 = 0
η−1 c2k 2E 0 + ωk2 − η0 c2 k −
a
заметим, что
1. знак приближенного равенств уже потерян, поскольку уравнения и так
получены в рамках довольно узких ограничений на область определения
2. множитель
тоже не выписан, его можно внести в определение m
η
4π
Можно показать, что указанные области волновых векторов эквивалентны:
|k| = |k − 2π/a|
Позднее
2π/a
будем называть вектором обратной решетки фотонного кристалла
Для решения этой системы уравнений ищем детерминант
детерминант
Характеристическое уравнение
¯
¡
¢
¯ ω 2 − η c2 k2
2
2π 2
−η1c k − a
¯ k
0
¡
¢2
¯
2π
2
2
2
2
¯ −η− 1c k
ω k − η 0c k − a
наличие решения системы уравнений требует равенства его нулю:
¯
¯ 2
2 2
¯ ωk − η0 c k
¯
¯ −η− 1c2 k2
¡
¢
2
2π 2
−η1c k − a
¡
¢
2π 2
2
2
ω k − η0c k − a
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯=0
¯
что эквивалентно квадратному уравнению, называемому характеристическим.
заменим переменные:
тогда
k2 =
µ
π
µ=k−
a
µ+
¶
π 2
a
и
µ
k−
¶2
2π
a
µ
π
= µ−
a
¶2
при условии
Характеристическое уравнение (2)
π
|µ| ¿
a
решение характеристического уравнения (закон дисперсии):
πc √
ac
ω± (k) =
η0 ± η1 ±
a
πη1
диапазон волновых чисел
!
наличие двух ветвей
разрыв в точке
Ã
2
η
η02 − 1
2
!µ
¶
π 2
k−
a
k ≈ k − 2π/a ⇒ k ≈ π/a
ω− (k), ω+(k)
k = π/a
Фотонная запрещенная зона
разрыв закона дисперсии
при k = π/a
в диапазоне частот
πc √
πc q
η0 − η1 < ω <
η0 + η1
a
a
- фотонная запрещенная зона
групповая скорость
2ac
vg±(k) = ±
πη1
µ
η02 −
2¶³
η1
2
k−
π´
a
при
vg =
∂ω
∂k
k → π/a
vg → 0