Задача 221 ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Введение Теплоемкость тела определяется соотношением CV (U / T )V , где Uвнутренняя энергия тела, включающая кинетическую энергию движения атомов и потенциальную энергию их взаимодействия между собой. В твердом теле внутренняя энергия – это энергия колебаний атомов. Причем следует учитывать не только независимые колебания каждого атома в отдельности около своего положения равновесия, но и коллективные колебания атомов при распространении упругих волн в твердом теле. Для вычисления теплоемкости необходимо определить энергию атомов при таких колебаниях. В сплошном твердом теле может одновременно возбуждаться много типов колебаний (мод) с различными частотами. Например, в тонком стержне длины L с незакрепленными концами могут возникать нормальные продольные колебания, описываемые уравнением стоячей волны 0 cos nt cos kn x , где – отклонение колеблющейся точки от положения равновесия, kn n / L (1) – волновое число n-ой нормальной моды колебаний, n = 1, 2... – целые числа, n Cпр kn – частоты колебаний, Cпр – скорость распространения волны по стержню. Каждому значению n соответствует своя мода с частотой колебаний n . Чем больше атомов в теле N, тем больше нормальных мод может в нем возбуждаться, максимальное число нормальных мод равно числу степеней свободы 3 N . Из формулы (1) следует, что одна мода нормальных колебаний приходится на интервал волновых чисел k , равный k / L , поэтому число мод на единичный 3 интервал значений k равно L / . Тогда для трехмерного тела объемом L число мод n в интервале волновых чисел k x , k y , k z определяется выражением n nx n y nz L3 3 k x k y k z , (2) где nx , n y , nz - числа мод, соответствующих колебаниям по осям x, y, z . Для изотропного тела, используя сферические координаты, можно записать dk x dk y dk z (4 / 8)k dk . Далее, выражая k через , получим из (2) число мод с 2 частотами колебаний между и d 4 L3 1 2 2 d , dn 3 3 (2 )3 Cпр Cпп (3) где Спр и Спп – скорости продольной и поперечной (с учетом двух поляризаций) волн соответственно. Число мод в единичном частотном интервале называется плотностью мод ( ) . Из (3) следует, что ( ) V 1 2 2 , 3 3 2 2 Cпр Cпп (4) где V L – объем тела. Согласно квантовой теории и закону Больцмана каждая нормальная мода колебаний атомов с частотой имеет среднюю энергию при температуре Т. 3 E . exp( / KT ) 1 (5) Здесь К – постоянная Больцмана . Средняя энергия для dn мод равна E dn . Используя формулы (3) и (5) получим выражение для внутренней энергии тела объема V V 1 2 max 3 U E dn 2 3 3 d . 2 Cпр Cпп 0 exp( / KT ) 1 (6) Здесь max - максимальная частота колебательных мод, которая определяется из условия равенства полного числа нормальных мод числу степеней свободы системы, равному 3N: 3N max ( )d . 0 Тогда из (4) получаем 1/ 3 max 1 2 2 9 N 4 V 3 3 . C пр Cпп (7) Максимальная частота (7) определяет важный параметр теории твердого тела – температуру Дебая (8) max / K . Если температура тела T , то при расчете его параметров необходимо учитывать квантовые эффекты, если же T , то твердое тело можно представить как совокупность классических осцилляторов. Характерные значения 100 1000 K . Выражение для средней внутренней энергии одного моля ( N N A ) вещества (6) удобно представить в виде T U 9 RT 3 /T 0 X3 dX , exp( X ) 1 (9) где X / kT . Дифференцируя это выражение по температуре Т и учитывая зависимость X (T ) получим соотношение CV 3RF T . (10) Функция F является универсальной функцией температуры Дебая . Она позволяет определить теплоемкость тела, если известна величина /T . График функции CV (T / ) (10) приведен на рис. 1. При больших температурах, когда T , величина X 1 и интеграл (9) стремится к 3RТ, а теплоемкость CV - к величине классической теплоемкости 3R. При T , X 1 интеграл в (9) X 3 /(exp X 1)dX 4 /15 и теплоемкость 0 определяется выражением 3 12 T CV 4 R . 5 Приведенные соотношения не учитывают вклад электронов в теплоемкость тела и ряд других факторов. Поэтому приведенная теория теплоемкости тоже является приближенной. В данной работе производится измерение скоростей продольной и поперечной акустических волн в металлах латунь и алюминий. Используя приведенные соотношения рассчитывается характеристическая температура Дебая. По универсальной кривой рис 1 находится теплоемкость тела. Экспериментальная установка Скорость звуковых волн измеряется с помощью прибора ДУК -13. Прибор состоит из двух блоков. Один блок является источником напряжений, а второй служит для возбуждения ультразвуковых импульсов с помощью излучающей головки ,приема отраженного импульса и измерения времени запаздывания эхо – импульса. Акустическая головка генерирует импульсы длительности 3 мкс на частоте 2 МГц. Измерение скорости продольной волны Спр производится следующим образом. Стержни из алюминия и латуни закреплены в вертикальной стойке