Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 клас

Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса)
Предисловие для учителей
Перед вами курс по делимости чисел и простым числам, предназначенный школьникам 7-8
классов.
Большинство заданий взято из курсов, указанных в списке литературы, но переработано
и выстроено под следующие методические принципы:
Эксперимент. Мы старались по возможности не давать утверждений в готовом виде.
Так, вместо “Докажите, что для нечётных n выражение 5n + 2n делится на 7”, мы спрашивали “Для каких n. . . ”. Предполагается, что ученики перебирают несколько случаев, находят
закономерность и доказывают её. По нашему мнению, умение подмечать простые закономерности не менее важно для ученика, чем умение решать сложные задачи.
Конструктивность. Когда свойства данной конструкции уже исследованы, даются “обратные” задачи вида “придумай конструкцию с заданными свойствами”: например, написать
число, у которого ровно 7 делителей.
Памятуя об опасности ответов на незаданные вопросы, мы сначала давали частные примеры и контрпримеры, стимулируя потребность обобщить, а уж потом формулировали
общие задачи и утверждения.
Отношение к строгости изложения в этом курсе двоякое.
С одной стороны, в нём всего пять теорем, доказываемых учителем. Это те утверждения, для доказательства которых нужна специальная техника, до которой детям трудно
додуматься. Большинство остальных фактов разложено в последовательности задач. Предполагается, что решая задачи, ученики более-менее самостоятельно откроют эти факты.
С другой стороны, сделана попытка логически последовательного изложения материала,
без обычных пропусков и ссылок на очевидность. По мнению автора, сильные ученики 7-8
классов, имея уже перед глазами аксиоматическое изложение геометрии, вполне способны
осознать в таком же изложении и начала теории делимости. Это победит кашу в голове
(на что можно ссылаться, а что надо доказывать) и улучшит усвоение аксиоматического
метода как такового.
Основная теорема арифметики доказана по возможности раньше, так как с нею доказывать многие факты, связанные с общими делителями и общими кратными, гораздо легче и
нагляднее, чем без неё. Соответственно, до раздела 10 пользоваться этой теоремой нельзя.
Это непросто, так как обычно ученик бессознательно пользуется своим представлением о
каноническом разложении, считая его самоочевидным. Очень полезно учить анализировать
собственные обоснования, демонстрируя ученику эти пробелы.
Каждый раздел начинается с краткого перечня фактов, которые надо знать для усвоения
нового материала.
Задания, результат которых важен для дальнейшего и которые поэтому обязательно
следует решить, помечены как 2+ .
Подразделы, помеченные звёздочкой, являются дополнительными. Их можно пропустить без ущерба для понимания курса в целом.
1) упражнения, в которых надо применить известный алгоритм, 2) задачи, в которых надо применить какой-то алгоритм или комбинацию алгоритмов, 3) исследования, в которых
надо самостоятельно сформулировать факт и найти идею доказательства.
Разумеется, это не строгая классификация. Тип задания зависит от ученика и от контекста, в котором оно дано. То, что для одного задача, для другого может быть упражнением. Задачу и исследование бывает выполнить гораздо легче, если дана серия подводящих
1
упражнений — что мы часто и делали. К задачам, лишённым таких подпорок, нужны качественные подсказки, но это дело будущего. Пока указания были сделаны к 14 важным или
сложным задачам.
Наиболее характерные задачи помечены 48* , исследования — 15? .
Конец решения задачи или доказательства теоремы помечен знаком . Задачи, к которым имеется в конце указание, помечены знаком ↓.
В конце приведены примерные самостоятельные работы и вопросы к зачёту по теории.
Предисловие для школьников
Каждый раздел начинается с краткого перечня фактов, которые надо знать для усвоения
нового материала. Не поленитесь повторить эти факты — сэкономите кучу времени.
Задания, результат которых важен для дальнейшего и которые поэтому обязательно
следует решить, помечены как 2+ . По таким заданиям будут письменные опросы, как и
по теоремам!
Подразделы, помеченные звёздочкой, являются дополнительными.
Задания бывают трёх видов: 1) упражнения, в которых надо применить известный алгоритм, 2) задачи, в которых надо применить какой-то алгоритм или комбинацию алгоритмов, 3) исследования, в которых надо самостоятельно сформулировать факт и найти идею
доказательства.
Наиболее характерные задачи помечены 48* , исследования — 15? .
Конец решения задачи или доказательства теоремы помечен знаком . Задачи, к которым имеется в конце указание, помечены знаком ↓.
1
Теоремы о делимости целых чисел
Что нужно знать: арифметические действия с целыми числами, разложение an − bn и a2k+1 + b2k+1
на множители.
Определение. Говорят, что целое число a (нацело) делится на целое число b, если
найдётся такое целое число q, что a = b · q.
1 Делится ли число a на −a? Делится ли число −a на a? В каком случае два целых
числа a и b обладают таким свойством, что a делится на b и b делится на a?
2+ Пусть a 6= b. При каких n число an − bn делится на a − b?
3+ Пусть a 6= −b. При каких n число an + bn делится на a + b?
.
.
.
.
.
4+ Можно ли утверждать, что a + b .. m, если а) a .. m и b .. m, б) a .. m и b 6 .. m, в)
.
.
a 6 .. m и b 6 .. m? (Отличаются ли чем-нибудь случаи б) и в)?) Те же вопросы для a − b и
a · b.
.
.
.
5+ Верно ли, что если a .. m и b .. n, то ab .. mn?
.
.
.
.
.
.
6+ Верно ли, что а) если a .. b и a .. c, то a .. bc; б) если ab .. c, то либо a .. c, либо b .. c?
Замечание. Через некоторое время мы сможем сформулировать условия, при которых
утверждения задачи 6 будут верными.
7 При каких n число n(n + 1) делится на 2? (Подробнее см. раздел “Делимость произведений”.)
8 а) Петя считает, что если a2 делится на a − b, то b2 делится на a − b. б) Вася считает,
что если ab + cd делится на a − c, то ad + bc тоже делится на a − c. Правы ли они?
.
а) Рассмотрим разность двух Петиных выражений: a2 − b2 = (a − b)(a + b) .. (a − b).
Поскольку уменьшаемое и разность делятся на a − b, то по задаче 4 и вычитаемое должно
делиться на a − b. Поэтому Петя прав.
2
9 Дробь ab сократима. Сократима ли дробь a−b
? Сформулируйте и решите обратную
a+b
задачу.
10 Вася берёт любое трёхзначное число, вычитает из него число, записанное теми же
цифрами в обратном порядке и утверждает, что разность делится на 9. Прав ли он?
.
.
11 Настя заметила, что 555 .. 37 и 777 .. 37. Сформулируйте общее утверждение и
докажите его.
12 а) Маша показывает такой фокус: ей называют любое трёхзначное число, она приписывает к нему такое же, а потом в уме за секунду делит получившееся шестизначное
число на 1001. Как она это делает?
б) Саша заметила, что все шестизначные числа Маши делятся на 7. Почему? На какие
ещё два простых числа они делятся? Найдите как можно больше делителей.
Делимость сумм
13 Коля заметил, что суммы 1 + 2, 2 + 3, 3 + 4 — нечётные числа. Сформулируйте
общее утверждение и докажите его.
14 Вася заметил, что суммы 1 + 2 + 3, 2 + 3 + 4, 3 + 4 + 5 делятся на 3. Сформулируйте
общее утверждение и докажите.
15? Видим, что сумма двух последовательных натуральных чисел не делится на 2, а
сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3. Продолжите исследование
для четырёх, пяти и т.д. слагаемых. Сформулируйте общее утверждение. (Каким свойством
обладает сумма а) чётного числа, б) нечётного числа последовательных натуральных чисел?)
16? Каким свойством обладает а) сумма двух последовательных нечётных чисел,
б) сумма двух последовательных чётных чисел? Придумайте три свои суммы и найдите
их свойства.
.
.
.
.
.
17 При каких n а) 7n − 1 .. 6, б) 15n − 1 .. 7, в) 2n + 3n .. 5, г) 22n − 1 .. 3, д) 33n − 1 .. 13
.
.
.
.
е) 5n + 3 .. 4, ё) 7n + 5 .. 6, ж) 13n + 5 .. 6, з) 15n + 6 .. 7?
18? Какое число можно подставить вместо ∗, чтобы число 15n + ∗ делилось на 7 при
любом натуральном n? А чтобы оно делилось на 16 при всех нечётных n?
.
.
19 При каких n а) 7n − 5n .. 24, б) 5n − 3n .. 16?
.
.
20 При каких n а) 7n − 2n .. 5, б) 7n − 6 · 2n .. 5. Какие числа можно подставить вместо *,
чтобы 7n − ∗ · 2n делилось на 5 при любом натуральном n?
.
.
21 При каких n а) 7n + 3n+1 .. 4, б) 5n + 2n+1 .. 3?
22? Подставьте вместо многоточий два различных числа так, чтобы при всех натуральных n число (. . .)n + (. . .)n+1 делилось а) на 6, б) на 7, в) на 117. (Искомые числа не
должны быть кратны 6, 7 и 117 соответственно!)
23* При каких n число 11n+2 + 122n+1 делится на 133?
2
Деление с остатком
Что надо знать: арифметические действия с целыми числами.
2.1
Деление с остатком натуральных чисел
Представьте себе автомат, который разменивает данную ему сумму монетами по 5 рублей, а
когда остаток становится меньше 5 рублей, отдаёт остаток. С математической точки зрения
этот автомат выполняет деление на 5 с остатком.
3
24+ Можно ли равенство а) 19 = 3 · 5 + 4, б) 20 = 3 · 4 + 8 прочитать как запись деления
с остатком? Какое условие надо наложить на число r в равенстве a = b · q + r, чтобы это
было деление с остатком?
Определение. Пусть a и b — два целых числа, причём b > 0. Если число a можно
записать в виде a = b · q + r, где 0 ≤ r < b, то говорят, что a даёт при делении на b
частное q и остаток r.
Следующие две задачи — для педантов.
25+ Всегда ли можно осуществить деление с остатком? Иначе говоря, если даны целое
число a и натуральное число b, всегда ли можно подобрать такие целые числа q и r, что
0 ≤ r < b и a = bq + r?
26+ Единственным ли образом осуществляется деление с остатком? Иными словами,
если число a записано двумя способами в требуемом виде:
a = bq1 + r1 ,
0 ≤ r1 < b,
a = bq2 + r2 ,
0 ≤ r2 < b,
то обязательно ли обе записи совпадают (т.е. q1 = q2 и r1 = r2 )?
(Указание. Вычтите одно равенство из другого.)
27 Какой остаток даёт число 1234567891011121314 . . . 979899 при делении на 25?
28 Какой остаток даёт число 123321 при делении на 999?
29 Мама послала Васю в магазин купить кефира по 22 руб насколько хватит денег. На
сдачу Вася хочет купить себе леденцов по 5 руб. На какое наибольшее количество леденцов
он может рассчитывать?
30 Делитель и делимое увеличили в 3 раза. Как изменятся частное и остаток?
31 Известно, что остаток от деления на 7 числа a равен 2, а от числа b равен 3.
Определите остаток от деления на 7 чисел a + b, a − b, a · b. Те же вопросы, если остатки
равны 6 и 4 соответственно.
32 Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число,
что и в остатке.
33 а) Докажите, что если число a при делении на b даёт остаток r, то a − r делится
на b. б) Верно ли обратное? ↓
34 Число a кратно 3. Может ли остаток от деления числа a на 12 быть равным 2?
35 Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 9 даёт остаток 2,
а при делении на 6 — остаток 1?
36 Число a даёт остаток 6 при делении на 12. Может ли оно давать остаток 12 при
делении на 20?
37 Найдите наименьшее натуральное число (отличное от 1), которое даёт остаток 1
при делении: а) на 2 и на 3, б) на 2, на 3 и на 5, в) на 2, на 3, на 5 и на 7.
38 Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 7 и дающее в остатке 1 при
делении на 2, 3, 4, 5, 6. ↓
39 Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток
1, при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 4 дает остаток 3, при делении на 5 дает
остаток 4 и при делении на 6 дает остаток 5. ↓
40 Костя заметил, что в записи деления числа a на число b с остатком a = b · q + r
можно поменять местами b и q. Поэтому он считает, что при делении a на q частное равно
b, а остаток r. Когда этот способ работает?
41 Найдите все возможные частные и остатки при делении числа 57.
4
2.2
Деление с остатком целых чисел
42+ Отметьте на числовой прямой натуральные числа, которые при делении на 7
дают остаток 2. Какую закономерность вы видите? Продолжите её, не нарушая картины,
на отрицательные целые числа. Как надо определить деление с остатком отрицательного
числа a на положительное b, чтобы эта картина реализовалась?
(...0 ≤ r < b, как и для положительных чисел.)
43 Закончите фразу: “остаток от деления положительного целого числа на 10 — это
его. . . ”. Что можно сказать про отрицательные числа?
44 Число a даёт при делении на b остаток r. Какой остаток при делении на b даст
число −a?
45 Известно, что число a даёт при делении на mn остаток r. Можно ли сказать, что
a даёт при делении на m остаток r? В каком случае это будет верно?
46 Какие остатки может иметь при делении на 4 квадрат целого числа? А при делении
на 9?
3
Сравнения
47 Какой цифрой оканчивается произведение 121149 · 4135467? А какая цифра предпоследняя? Надо ли вычислять всё произведение, чтобы ответить?
48 Число a даёт остаток r при делении на m, а число b даёт остаток l при делении на
m. Можно ли утверждать, что число a + b даёт остаток r + l при делении на m, а число ab
даёт остаток rl при делении на m? Как надо изменить формулировку, чтобы получилось
верное утверждение?
Определение. Если два числа a и b имеют одинаковые остатки при делении на m, то
говорят, что a и b сравнимы по модулю m и пишут
a ≡ b( mod m).
Чтобы представить себе это определение геометрически, возьмём окружность, разделённую на m равных частей. Всякое целое число при делении на m даёт в качестве остатка
одно из чисел 0, 1, 2, . . . , m − 1; эти числа мы и расставим по окружности на равных расстояниях. Каждое число сравнимо с одним из этих чисел по модулю m и, следовательно,
представляется соответствующей точкой; два числа сравнимы, если изображаются одной и
той же точкой. Циферблат часов может также служить моделью.
.
49+
а) Докажите, что если a − b .. m, то a ≡ b( mod m). б) Верно ли обратное
утверждение?
50+ а) Докажите, что сравнения можно почленно складывать, т.е. если a ≡ b( mod m)
и c ≡ d( mod m), то a + c ≡ b + d( mod m). б) Запишите результат почленного вычитания,
умножения и деления этих сравнений. в) Можно ли сравнения почленно вычитать, умножать и делить? (Т.е. законны ли операции, проделанные в п. б)?)
.
.
.
(Указание. Для умножения докажите, что если a − b .. m и c − d .. m, то ac − bd .. m. Для
деления можно ли гарантировать целочисленность результата?)
51+ Можно ли сравнения возводить в степень?
52 Равносильны ли сравнения а) a ≡ b( mod m) и ac ≡ bc( mod mc),
б) a ≡ b( mod m) и ac ≡ bc( mod m)?
Итак, при сложении, вычитании, умножении и возведении в степень мы имеем право
заменять числа на другие, сравнимые с ними по данному модулю.
5
53+ Рассмотрим многочлен с целыми коэффициентами. Докажите, что если число a
сравнимо с числом b по модулю m, то значения этого многочлена при x = a и при x = b
также сравнимы по модулю m.
Из всех чисел, сравнимых по модулю, можно выбирать одного “представителя”. Как
правило, при решении задач в качестве представителя выбирают самое близкое к 0 число
(положительное или отрицательное).
54 Докажите, что при любом натуральном n число 122n+1 + 11n+2 делится на 133.
Сначала упростим задачу: приведём все числа к их наименьшим “представителям” по
модулю 133. Мы имеем:
122n+1 = 12 · 122n = 12 · 144n .
Но 144 ≡ 11( mod 133), и поэтому по задаче 51: 144n ≡ 11n ( mod 133). Умножая на 12,
получаем (по задаче 50): 12 · 144n ≡ 12 · 11n ( mod 133), так что 122n+1 ≡ 12 · 11n ( mod 133).
Далее, 11n+2 = 121 · 11n . А так как 121 ≡ −12( mod 133), то 121 · 11n ≡ −12 · 11n ( mod 133),
т.е. 11n+2 ≡ −12 · 11n ( mod 133). Складывая сравнения
122n+1 ≡ 12 · 11n ( mod 133),
11n+2 ≡ −12 · 11n ( mod 133)
(почему это можно делать?), получаем 122n+1 +11n+2 ≡ 0( mod 133), т.е. число 122n+1 +11n+2
делится на 133 при всех целых положительных n.
55 При каких n число 52n+1 · 2n+2 + 3n+2 · 22n+1 делится на 19?
56 Коля заметил, что числа 11, 1001, 100001 делятся на 11. Сформулируйте и докажите
общую закономерность.
57 Докажите, что ни при каком натуральном n число 3n − 1 не является точным
квадратом.
Предположим, что это число может быть точным квадратом: 3n − 1 = x2 . Тогда должно быть x2 ≡ −1 ≡ 2( mod 3). Проверим, возможно ли такое. Для этого нам достаточно
рассмотреть всего три случая: x ≡ 0( mod 3), x ≡ 1( mod 3), x ≡ 2( mod 3). Видим, что в
первом случае x2 ≡ 0, a в остальных x2 ≡ 1. Значит, такого числа x не существует, и 3n − 1
не может быть точным квадратом.
58 Могут ли числа 5n + 2 и 5n − 2 быть точными квадратами при каких-либо натуральных n?
59 При каких k из набора {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} число 7n + k не может быть точным квадратом ни при каких натуральных n?
60? * Остатки от деления квадратов натуральных чисел на число M называются
квадратичными вычетами числа M . Остальные числа в пределах от 0 до M −1 называются
квадратичными невычетами числа M . Найдите все квадратичные вычеты для чисел M =
2, 3, 5, 7, 11. Сформулируйте гипотезу для всех простых M и докажите её.
61 При каких k а) 1k +(n−1)k делится на n, б) 2k +(n−2)k делится на n, в) ak +(n−a)k
делится на n?
62* Докажите, что для любых натуральных n и l число 12l−1 + 22l−1 + . . . + (2n)2l−1
делится на 2n + 1.
4
Периодичность остатков при возведении в степень
63 Какой цифрой оканчивается число а) 5100 , б) 1245100 , в) 4100 , г)32009 ?
Циклы, которые вы обнаружили в этих примерах, не случайны, а являются частным
случаем общего факта: в последовательности степеней натурального числа последняя цифра периодически повторяется. Если число кончается на 0, 1, 5 или 6, то эта же цифра будет
6
стоять и на конце любой степени (длина цикла равна одному). Если это 4 или 9, будет последовательность из двух цифр (длина цикла равна двум), для 2, 3 и 7 длина цикла равна
четырём.
Как мы уже знаем, последняя цифра числа равна его остатку при делении на 10. Возникает вопрос: а что будет, если делить степени числа не на 10, а на другое число?
Например, найдём остатки от деления на 5 степеней числа 2:
21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , . . . .
Имеем: 21 ≡ 2, 22 ≡ 4, 23 = 8 ≡ 3, 24 = 16 ≡ 1. Степени двойки быстро возрастают и считать
становится труднее. Но можно находить остатки и не вычисляя степеней двойки. Для этого
воспользуемся результатом задачи 50. Именно, умножая сравнение 24 ≡ 1( mod 5) на 2,
получаем:
25 ≡ 2( mod 5).
Умножая полученное сравнение опять на 2, находим:
26 ≡ 4( mod 5).
Ещё раз умножив, получаем:
27 ≡ 4 · 2 ≡ 3( mod 5),
затем
28 ≡ 3 · 2 ≡ 1( mod 5)
и т.д. Таким способом можно быстро найти остатки от деления на 5 чисел вида 2n , не
вычисляя самих степеней. Запишем то, что получается, в две строки:
2 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 . . .
2 4 3 1 2 4 3 1 2 4
3
1
2
...
Сразу же видно, что остатки периодически повторяются.
64 Рассмотрите остатки от деления степеней тройки на 7.
Рассмотрим ещё один пример: остатки от деления степеней двойки на 48.
2 22 23 24 25 26 27 28 29 . . .
2 4 8 16 32 16 32 16 32 . . .
И здесь остатки повторяются, только не с самого начала: первые три остатка не повторяются, а затем идёт периодическое повторение: 16, 32, 16, 32, . . . .
Естественно возникает предположение, что при любых натуральных a и m остатки от
деления чисел a, a2 , a3 , a4 , a5 , . . . на m периодически повторяются (возможно, не с самого
начала). Докажем, что это действительно так. Для этого возьмём первые m + 1 степеней:
a, a2 , a3 , . . . , am , am+1
и рассмотрим их остатки при делении на m. Так как при делении на m может быть только
m остатков 0, 1, 2, . . . , m − 1, а чисел у нас m + 1, то среди них найдутся два числа, имеющие
одинаковые остатки при делении на m. Пусть, например,
ak ≡ ak+l ( mod m).
Умножая на an−k , получим: an ≡ an+l ( mod m) при n ≥ k. Но это означает, что начиная с
ak остатки периодически повторяются (т.е. начиная с ak идут l остатков, которые снова и
снова повторяются).
65+ Как будет вести себя последовательность остатков, если найдётся такой показатель l, что al ≡ 1( mod m)? ↓
66 Найти остаток от деления числа 222555 на 7.
7
222 ≡ 5( mod 7), поэтому 222555 ≡ 5555 ( mod 7). Теперь посмотрим, как повторяются
остатки степеней пятёрки при делении на 7. Находим: 52 = 25 ≡ 4( mod 7), 53 = 4 · 5 ≡
6( mod 7), 54 ≡ 6 · 5 ≡ 2( mod 7), 55 ≡ 2 · 5 ≡ 3( mod 7), 56 ≡ 3 · 5 ≡ 1( mod 7).
Изобразим найденный цикл геометрически:
5
.
-
4
↓
6
1
↑
3
&
%
2
Итак, 56 ≡ 1( mod 7). Возводя в степень k, получаем: 56k ≡ 1( mod 7) при любом натуральном k. Поэтому
5555 = 56·92+3 = 56·92 · 53 ≡ 6( mod 7).
(Геометрически это равенство означает, что мы проходим по кругу, стартуя от 5, девяносто
два цикла и ещё три числа.) Таким образом, число 222555 даёт при делении на 7 остаток 6.
67
68
69
70
Найдите остаток от деления числа 6592 на 11.
Найдите остаток от деления числа 7100 + 11100 на 13.
Делится ли число 1110 − 1 на 10? А на 100?
Какой цифрой оканчивается число 777777 ?
77
7
71 Делится ли число 77 − 77 на 10?
c
c
(Запись ab означает a(b ) .)
14
72 Какой цифрой оканчивается число 1414 ?
1967
73 Делится ли число 1110
− 1 на 101968 ?
74 Делится ли число 222555 + 555222 на 7?
75 Делится ли число 22225555 − 55552222 на 7?
76* Можно ли расставить все 12 чисел 1, 2, . . . , 12 по окружности так, чтобы для
любых трёх чисел a, b, c, стоящих подряд, число b2 − ac делилось на 13?
5
Взаимно простые числа
Что надо знать: свойства делимости.
Определение. Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют
никаких общих делителей, кроме 1 и −1.
77+ Найдите общие делители чисел n и n + 1.
Пусть d — общий делитель чисел n и n + 1. Тогда на d должна делиться и их разность
(n + 1) − n = 1. Значит, d = ±1. Значит, числа n и n + 1 — взаимно простые при любом
натуральном n.
78 Найдите общие делители чисел n и kn + 1.
79 Найдите общие делители чисел а) n и n + 2, б) n и n + 3. При каких n эти пары
чисел взаимно простые? Обобщите на n и n + k.
80 Найдите общие делители чисел 2n − 1 и 2n + 1. Сделайте вывод. Придумайте
формулу для пар взаимно простых чисел, отличающихся на 3, на 4, на k.
Докажем утверждение, носящее важный теоретический характер.
8
Теорема 1. Если числа a и b взаимно просты, то существуют такие два целых числа
x0 и y0 , что ax0 + by0 = 1.
Будем рассматривать всевозможные числа вида ax + by, где x и y — некоторые целые
числа. Среди чисел вида ax+by нам встретятся натуральные числа (почему?). Возьмём наименьшее натуральное число, которое можно записать в виде ax + by. Пусть это будет число
c = ax0 + by0 . Мы докажем, что c = 1, чем и будет установлена нужная теорема. Доказательство проведём от противного: предположим, что c > 1, и приведём это предположение
к противоречию.
Разделим число a на c с остатком: a = cq + r, где 0 ≤ r < c. Если бы было r 6= 0 (т.е.
если бы r было натуральным числом), то мы получили бы:
r = a − cq = a − (ax0 + by0 )q = a(1 − x0 q) + b(−y0 q),
т.е. натуральное число r, меньшее, чем c, нам удалось бы представить в виде r = ax + by.
Но это невозможно, т.к. c — наименьшее натуральное число такого вида. Значит, r = 0, так
что число a делится на c.
Совершенно так же можно доказать, что и b делится на c. Значит, числа a и b имеют
общий делитель c > 1, а это противоречит тому, что числа a и b взаимно просты. Полученное
противоречие и доказывает теорему.
Как мы помним (упр. 6), из делимости числа на два делителя не следует его делимость
.
.
.
на произведение этих делителей. (Например, 12 .. 6, 12 .. 4, но 12 6 .. (6 · 4).) Следующая
теорема показывает, в каком случае это верно.
Теорема 2. Если число n делится на каждое из двух взаимно простых чисел a и b, то
оно делится и на их произведение ab.
По условию n можно записать в виде n = ka = lb, где k и l целые числа. Так как a и
b взаимно просты, то по теореме 1 найдутся такие целые числа x0 и y0 , что ax0 + by0 = 1.
Умножив это равенство на l, мы получим:
l = lax0 + lby0 = lax0 + ny0 = lax0 + kay0 = a(lx0 + ky0 ).
Отсюда n = bl = ab(lx0 + ky0 ), а это означает, что n делится на ab.
Делимость сумм
81 При каких n число 2n + 2n+1 делится на 6?
82 На какое наибольшее число делится 2n + 2n+1 + 2n+2 при любом натуральном n?
(Иными словами, найдите наибольший общий делитель чисел вида 2n + 2n+1 + 2n+2 , где n
пробегает множество всех натуральных чисел.)
83 При каких a и n число an + an+1 делится на a(a + 1)?
84 Докажите, что n3 −n а) при всех натуральных n делится на 6, б) при всех нечётных
n делится на 24.
а) Достаточно доказать, что рассматриваемое выражение делится на 2 и на 3 (например,
перебирая остатки). Тогда по теореме 2 оно будет делиться и на 6.
85*
Докажите, что если n и k — натуральные числа, причем k нечётно, то число
k
2(1 + 2k + . . . + nk ) делится на n(n + 1). Попробуйте найти геометрическое истолкование
этого утверждения при k = 1, 3. ↓
Делимость произведений
86+ При каких n произведение n(n + 1) делится на 2? На какое наибольшее число
делится n(n + 1)(n + 2) при любом натуральном n? А n(n + 1)(n + 2)(n + 3)? Сколько скобок
9
такого вида надо перемножить, чтобы результат при любом n делился на 120? На 720?
Сформулируйте общее утверждение.
87 Найдите наибольший общий делитель всех чисел, вычисляемых по формуле а) n2 −
n, б) n3 − n, в) n(n2 − 1)(n2 − 4), г) n(n2 − 1)(n2 − 5n + 6), где n пробегает все целые числа.
88 Докажите, что а) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n делится на 24, б) n5 − 5n3 + 4n делится на 120.
в) На какое наибольшее число делится n5 − 125n3 + 4n? г) Придумайте другие выражения
с n, которые при любом n делились бы на 6, на 24, на 120.
89 Найдите наибольший общий делитель чисел вида n5 −n, где n пробегает множество
натуральных чисел.
Вычисляя значения данного выражения при n = 2, 3, 4, получаем соответственно 30, 240,
1020. Видим, что все эти числа делятся на 30. Попробуем доказать, что наибольший общий
делитель равен 30 = 2 · 3 · 5. Поскольку n5 − n = (n − 1)n(n + 1)(n2 + 1), то делимость на
2 и на 3 сразу же видна. Чтобы доказать делимость на 5 тем же способом, надо бы иметь
ещё скобки (n − 2)(n + 2). Заметим, что n2 + 1 = (n − 2)(n + 2) + 5. Следовательно, n5 − n
делится на 5, а значит, и на 30.
90 Петя заметил, что число a5 оканчивается на ту же цифру, что и a. Для всех ли натуральных чисел это верно? В каких системах счисления это верно? Для каких ещё степеней
это верно?
.
.
.
Замечание. Мы доказали, что a2 − a .. 2, a3 − a .. 3, a5 − a .. 5 при всех натуральных
.
a. Возникает гипотеза, что a4 − a .. 4 и так далее. Однако последнее равенство нарушается,
.
.
например, при a = 3 (проверьте). Оказывается, ak − a .. k, если k — простое число (и a 6 .. k).
Это утверждение называется малой теоремой Ферма.
*Делимость произведений: продолжение
91 При каких n произведение n(n + 2) делится на 4? А на 8?
92 При каких n произведение (n − 1)(n + 1) делится на 8?
93 На какое наибольшее число делится произведение n(n + 2)(n + 4) при всех чётных
n?
94 Докажите, что при любом нечётном x число x3 + 3x2 − x − 3 делится на 48.
95 При каких n произведение n(n + 3) делится на 9? А на 18? Сформулируйте утверждение для произведения n(n + k), n(n + k)(n + 2k) и так далее.
96 На какое наибольшее число делится a2 (a2 − 1) при любом целом a?
При a = 2 наше выражение равно 4 · 3 = 12, при a = 3 оно равно 9 · 8 = 72, при a = 4 —
16 · 15 = 240. Заметим, что a(a2 − 1) при всех целых a делится на 3, а на бо́льшую степень
3 может и не делиться (например, при a = 2). Далее, если a чётное, то a2 делится на 4, а
если a нечётное, то a2 − 1 делится на 4. Ответ: 12.
97 Мы знаем, что n(n2 − 1)(n2 − 4) делится на 120 при любых натуральных n. На
какую наименьшую степень n надо домножить это выражение, чтобы оно делилось на 360?
.
.
.
.
Заметим, что если n − 2 .. 3, то (n − 2)(n + 1) .. 9. А если n − 1 .. 3, то (n − 1)(n + 2) .. 9.
.
Значит, в обоих этих случаях наше выражение уже делится на 360. Остаётся случай n .. 3.
.
Очевидно, тогда n2 .. 9. Ответ: выражение достаточно домножить на n.
98 Докажите, что при любом целом a число a7 − 5a5 + 4a3 делится на 360. При каких
a это число делится на 1080?
99 Докажите, что при любом чётном n число n2 (n2 − 4)(n2 − 16) делится на 23 040.
100 Докажите, что при любом целом a число a3 (a6 − 1) делится на 504.
101 Докажите, что при любом нечетном n число n8 − n6 − n4 + n2 делится на 1152.
10
6
Остатки и принцип Дирихле
В разделе 4 мы пользовались тем, что набор остатков конечен, т.к. при делении на m может
быть всего m остатков 0, 1, 2, . . . , m − 1. Это означает, что если взять m + 1 натуральное
число, то они заведомо не могут все иметь разные остатки при делении на m (по принципу
Дирихле). Значит, по крайней мере у двух из них остатки при делении на m совпадают, т.е.
их разница делится на m.
С помощью этой несложной идеи можно решить много задач.
В следующих задачах надо правильно построить набор чисел, разность которых даст
нам желаемое.
102 Дано натуральное число n. Верно ли, что найдётся число, записываемое только
единицами и нулями, которое делится на n? ↓
103 Существует ли такое натуральное n, что число, состоящее из n единиц, делится
на 217? ⇓
104 Можно ли выбрать среди натуральных чисел 1, 2, ..., 100 такие 55 чисел, что
никакие попарные их разности а) не будут делиться на 9, б*) не будут равны 9?
7
Признаки делимости
Что надо знать: свойства делимости, теорема 2.
105 а) Чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы его последняя цифра была
чётной. Докажите. Выведите признак делимости на 4, связанный с двумя последними цифрами. Аналогично выведите признаки делимости на 8 и на 16.
б) Докажите признак делимости на 5. Выведите признак делимости на 25, на 125.
По приведённым примерам видна идеология признаков делимости: мы заменяем всё число некоторой его частью, которая делится (или не делится) на данное число одновременно с
исходным числом. Теперь можно проверять делимость не всего числа, а только этой части.
106 Петя заметил, что если из числа вычесть сумму его цифр, то получится число,
кратное 9. Докажите этот факт. Сформулируйте на его основе признаки делимости на 9 и
на 3.
107* Вася вычислил 100!. Потом он сложил все его цифры и получил новое число.
Так он делал, пока не получилось однозначное число. Какое это число могло быть?
108 Придумайте признак делимости на 11, связанный со знакопеременной суммой
цифр числа (например, для числа abcde это a − b + c − d + e).
109 Чтобы число делилось на 6, достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3, т.е. имело
чётную последнюю цифру и делящуюся на 3 сумму цифр. Комбинируя известные признаки
делимости, сформулируйте три новых.
110 В числе 65432789 вычеркните наименьшее число цифр так, чтобы оставшееся
число делилось на 36.
111 Вася взял большое число. С помощью признака делимости на 3 он проверил, что
число делится на 3. Далее с помощью признака делимости на 9 он проверил, что это число
делится на 9. Отсюда он сделал вывод, что это число делится на 27. Прав ли Вася?
112 Коля считает, что если число делится на 27, то и сумма его цифр делится на 27.
Петя считает, что верно обратное утверждение. Правы ли они?
113 Верно ли, что если число a + 4b делится на 13, то и число 10a + b делится на 13?
Верно ли обратное?
114 Верно ли, что если число 3a + 2b делится на 17, то и число 10a + b делится на 17?
Верно ли обратное?
115 Придумайте задачи, аналогичные двум предыдущим.
11
8
Общий взгляд на признаки делимости
Что нужно знать: сравнения по модулю.
Сейчас мы, используя сравнения по модулю, посмотрим на признаки делимости более
общим взглядом.
Но прежде условимся о способе записи чисел. Предположим, нас попросили написать
шестизначное число, первая цифра которого a, вторая b, третья c, четвёртая d, пятая e и
шестая f . Писать abcdef нельзя — это будет обозначать произведение. Поэтому, чтобы записать число, цифры которого обозначены буквами, мы условимся писать над этими буквами
черту:
abcdef = a · 105 + b · 104 + c · 103 + d · 102 + e · 10 + f.
Теперь докажем уже известный нам признак делимости на 3. Для примера будем рассматривать шестизначное число abcdef , но рассуждение имеет общий характер. Мы имеем:
10 ≡ 1( mod 3).
Возводя это сравнение в квадрат, в куб и т.д., получаем: 102 ≡ 1( mod 3); 103 ≡ 1( mod 3);
104 ≡ 1( mod 3); 105 ≡ 1( mod 3); . . . Следовательно, a · 105 ≡ a( mod 3), b · 104 ≡ b( mod 3),
c · 103 ≡ c( mod 3), d · 102 ≡ d( mod 3), e · 10 ≡ e( mod 3), f ≡ f ( mod 3). Складывая почленно
все эти сравнения, получаем:
a · 105 + b · 104 + c · 103 + d · 102 + e · 10 + f ≡ a + b + c + d + e + f ( mod 3),
или иначе:
abcdef ≡ a + b + c + d + e + f ( mod 3).
Мы доказали, таким образом, что натуральное число имеет тот же остаток от деления на 3, что и сумма его цифр. Из этого и вытекает сформулированный выше признак
делимости на 3.
116 Докажите признаки делимости на 9 и на 11.
Выведем таким же способом признак делимости на 7.
Мы имеем:
10 ≡ 3( mod 7);
102 ≡ 10 · 3 ≡ 2( mod 7);
104 ≡ 10 · (−1) ≡ −3( mod 7);
103 ≡ 10 · 2 ≡ −1( mod 7);
105 ≡ 10 · (−3) ≡ −2( mod 7);
106 ≡ 10 · (−2) ≡ 1( mod 7).
Так как 106 ≡ 1( mod 7), то дальше всё будет повторяться. Отсюда мы получаем (взяв для
примера шестизначное число abcdef ):
abcdef = a · 105 + b · 104 + c · 103 + d · 102 + e · 10 + f ≡ (−2)a + (−3)b + (−1)c + 2d + 3e + f ( mod 7).
Число имеет при делении на 7 такой же остаток, что и выражение справа.
117 Выведите признаки делимости на 13, на 37.
118 Сформулируйте признак делимости на 14.
119 Для тех, кто знаком с двоичной системой счисления. а) Придумайте признак
делимости на 102 . Какие ещё делители имеют простые признаки делимости? б) Придумайте
признак делимости на 112 , на 1012 .
12
*Признаки делимости, связанные с разбиением цифр числа на группы
Что надо знать: признаки делимости (общий взгляд), сравнения по модулю, периодичность остатков.
Вспомните, как мы доказывали признаки делимости на 9 и на 11 с помощью сравнений.
Обобщим наше построение. Выразим шестизначное число abcdef через степени 100:
abcdef = ab · 1002 + cd · 100 + ef .
Поскольку 100 ≡ 1( mod 11), 1002 ≡ 1( mod 11), 1003 ≡ 1( mod 11) и т.д., то
abcdef = ab · 1002 + cd · 100 + ef ≡ ab + cd + ef .
Таким образом, чтобы определить остаток от деления натурального числа на 11, можно
сделать так: разбить цифры числа на группы (начиная справа) по две цифры в каждой;
сумма полученных двузначных чисел имеет тот же остаток от деления на 11, что и взятое
число.
120 Выведите признак делимости на 101, разбивая число на группы по две цифры.
Можно разбивать цифры числа на другие группы, например, по три цифры в каждой.
Таким способом можно также получать различные признаки делимости.
121 Получите признаки делимости на 7, 11 и 13, разбивая число на группы из трёх
цифр.
Видим, что признак делимости на 11 при разбиении по две цифры выглядит проще, чем
при разбиении по три цифры.
Следующее предложение назовём “позиционным признаком делимости на m”: разобьём
цифры произвольного числа на группы по l цифр в каждой (считая справа) и сложим все
полученные l-значные числа; взятое число в том и только в том случае делится на m, если
эта сумма l-значных чисел делится на m.
Например, при l = 2 признак делимости на m = 11 получается позиционным, а при l = 3
— нет.
Встаёт задача: для каких чисел m найдётся позиционный признак делимости?
122+ Докажите, что если m взаимно просто с числом 10, то найдется число l, для
которого справедлив позиционный признак делимости на m.
(Указание: достаточно найти такое l, что 10l ≡ 1( mod m), см. задачу 158.)
Последняя формула показывает, как находить позиционные признаки делимости на данное число m: достаточно подобрать такое число l, что 10l ≡ 1( mod m).
123 Какое надо взять l, чтобы был справедлив позиционный признак делимости на 7?
Сформулируйте этот признак.
124 Сформулируйте и докажите позиционный признак делимости на 13.
125 Сформулируйте и докажите позиционный признак делимости на 37.
126 Сформулируйте и докажите позиционный признак делимости на 101.
127 Рассмотрим следующий способ проверки вычислений.
Пусть произведено сложение
4839 + 8947 + 9454 = 23340.
Для проверки правильности вычислений заменим каждое из слагаемых и предполагаемую
сумму их остатками от деления на 9:
4839 = 4 + 8 + 3 + 9 ≡ 6( mod 9),
8947 = 8 + 9 + 4 + 7 ≡ 1( mod 9),
13
9454 = 9 + 4 + 5 + 4 ≡ 4( mod 9),
23340 = 2 + 3 + 3 + 4 + 0 ≡ 3( mod 9).
Теперь вместо проверяемого примера напишем сравнение, взяв найденные остатки:
6 + 1 + 4 ≡ 3( mod 9).
Это сравнение неверно; значит, и первоначальный пример на сложение выполнен неверно.
Обоснован ли такой способ проверки? Иначе говоря, если полученное сравнение оказалось
неверным, можно ли утверждать, что и первоначальный пример решен неверно? Можно ли
утверждать, что первоначальный пример решен верно, если получилось верное сравнение?
128 Можно ли применять способ проверки, описанный в предыдущем упражнении,
используя не признак делимости на 9, а какой-либо другой признак?
129 Можно ли применять способ проверки, описанный в двух предыдущих упражнениях, не к сложению, а к умножению? К делению? К сложному вычислению, в котором
участвуют сложение, вычитание, умножение, деление?
130 Произведено сложение целых чисел (или более сложное действие, включающее
сложения, вычитания, умножения), причем в результате получается некоторое четырехзначное число. Произведена проверка по способу, указанному в предыдущих упражнениях,
причем при применении признаков делимости на 4, 5, 7, 9 и 11 ошибки обнаружить не
удалось. Можно ли утверждать, что результат первоначального вычисления верен?
9
Простые числа
Что нужно знать: формулы разложения на множители, остатки.
Определение. Натуральное число p > 1 называется простым, если, кроме 1 и p, оно
не имеет других натуральных делителей. Натуральное число, большее единицы, имеющее
больше двух натуральных делителей, называется составным числом.
131+ Петя хочет узнать, простое число 2503 или составное. Для этого он делит его
последовательно на натуральные числа 2, 3, 4, 5 и т.д. Если на какое-то число оно разделится
нацело, значит, оно составное. а) Согласны ли вы, что необходимо делить на все подряд
натуральные числа? б) На каком числе можно остановиться и признать 2503 простым?
Обобщите для числа N .
132 Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом?
133 Число a при делении на 35 даёт остаток 14. Может ли a быть простым числом?
134 При каких n является составным число: а) n2 − 1, б) n2 − 2n + 1, в) 6n − 1, г) 2n + 1?
(В пп. в) и г) укажите случаи, которые легко разобрать.)
135 При каких a число a4 + 4 простое, а при каких составное? ↓
136 56a = 65b, где a и b — целые. Может ли число a + b быть простым?
137+ а) Какие остатки при делении на 6 может иметь простое число, большее, чем 3?
б) Известно, что числа p, p + 10 и p + 14 простые. Чему равно p?
в) Известно, что числа p и 8p2 + 1 простые. Чему равно p?
138 Найдите простое число p, если известно, что число 13p+1 является точным кубом.
139? Остатки от деления всех простых чисел на 30 обладают интересным свойством.
Найдите и докажите это свойство. ↓
140 При каких k число 24k+2 + 1 является составным?
141* Число p простое. Может ли многочлен
1 + x + x2 + . . . + xp−2 + xp−1
14
разлагаться в произведение многочленов меньшей степени, имеющих целые неотрицательные коэффициенты?
142+ Рассмотрим множество всех простых чисел. Обозначим их через p1 , p2 , . . . , pn .
Построим такое число:
p1 · p2 · . . . · pn + 1.
Очевидно, оно не делится ни на одно из простых чисел. Значит, оно тоже простое. Однако
оно не входит в наше множество всех простых чисел, так как больше их всех. Получили
противоречие. В чём ошибка?
Всё рассуждение проведено безупречно, кроме одного места. Это — предположение о
конечности множества простых чисел. Поскольку мы пришли к противоречию, значит, простых чисел бесконечно много (а наше рассуждение — на самом деле доказательство от
противного).
*Бесконечность множества простых чисел
При желании можно усилить это утверждение: оказывается, что простых чисел бесконечное
множество не только среди всех натуральных чисел, но и среди некоторых их подмножеств.
143
Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида а) 3k − 1, ↓
б) 4k − 1, в) 6k − 1. Какие ещё выражения можно подставить?
Это частные случаи более общего факта, утверждающего, что любая последовательность чисел a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . ., где a и d взаимно просты, содержит бесконечное
множество простых чисел (теорема Дирихле).
144 Почему в теореме Дирихле существенно условие взаимной простоты a и d (т.е.
почему нельзя его отбросить)?
*Две ещё не решённые задачи о простых числах
1. Гольдбах заметил, что любое чётное число (кроме 2) удаётся представить в виде суммы
двух простых чисел. Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7,
14 = 7 + 7, 16 = 13 + 3, 18 = 11 + 7, . . . , 100 = 97 + 3, и т.д. Гипотеза Гольдбаха до сих пор
не доказана.
2. Простые числа нередко встречаются парами в виде p и p + 2. Таковы 3 и 5, 11 и 13,
29 и 31, и т.д. Бесконечно ли множество таких “близнецов”?
10
Основная теорема арифметики
Что нужно знать: определение простых и составных чисел, теоремы 1 и 2.
По определению, составное число раскладывается в произведение двух меньших чисел.
Эти числа не обязаны быть простыми. Если они составные, то их можно разложить дальше
— до тех пор, пока не останутся только простые множители.
Скажем, число 1001 — составное: 1001 = 7·143. Число 7 простое и дальше не разлагается,
а вот 143 разлагается в произведение двух простых чисел: 143 = 11 · 13. В итоге получаем
1001 = 7 · 11 · 13.
Мы могли бы действовать иначе, заметив для начала, что 1001 = 11 · 91. Число 11
простое, а 91 — нет: 91 = 7 · 13. Получаем
1001 = 11 · 91 = 11 · 7 · 13,
и дальше уже ничего не разлагается.
Мы двумя способами получили одно и то же разложение. Но всегда ли так будет?
15
Ответ даёт следующее утверждение.
Основная теорема арифметики. А. Каждое натуральное число, большее единицы,
может быть разложено на простые множители. Б. Любые два разложения одного и того
же числа могут отличаться только порядком множителей.
145 Докажите эту теорему самостоятельно, пользуясь определением простого числа
и следующей теоремой.
Теорема 3. Если произведение ab делится на простое число p, то или a или b делится
на p. (Ср. упражнение 6.)
Если a делится на p, то цель достигнута. Предположим, что a не делится на p; тогда a
и p взаимно просты (почему?). В таком случае по теореме 1 найдутся такие целые числа
x0 , y0 , что ax0 + py0 = 1. Умножим это равенство на b:
b = abx0 + bpy0 .
Оба слагаемых в правой части делятся на p (почему?), а потому и их сумма, т.е. b, делится
на p.
Таким образом, либо a, либо b заведомо делятся на p.
Заметим, что условие простоты множителей является существенным, т.е. без него основная теорема арифметики неверна. В самом деле, если разрешить составные числа в
разложении, то, например, число 12 можно представить как 12 = 3 · 4 и 12 = 2 · 6 — в виде
двух различных разложений.
Если в разложении собрать одинаковые простые множители в одну степень, то получим
канонический вид числа.
146 Сколько натуральных делителей имеет число pk (где p — некоторое простое число)?
147? Числа a и b взаимно просты, причём a имеет m натуральных делителей, а b имеет
n натуральных делителей. Сколько натуральных делителей имеет число ab? Как изменится
результат, если числа a и b не являются взаимно простыми?
148 Разложим число a на простые множители:
a = pk11 pk22 . . . pks s
Рассмотрим число
b = pl11 pl22 . . . plss
При каких значениях степеней l1 , l2 , . . . , ln число a делится на число b?
149+ Найдите количество делителей числа
а) pq, б) p2 q, в) p2 q 2 , г) pn q m , д*) pk11 pk22 . . . pks s .
150? * Что можно сказать о каноническом виде числа, имеющего ровно l делителей?
(Задача, обратная к предыдущей.)
151 Докажите, что квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.
Верно ли обратное утверждение?
152 Может ли число, имеющее ровно 15 делителей, делиться на 100? А на 1000?
153+ Назовём натуральное чётное число чётнопростым, если его нельзя представить
в виде произведения двух меньших чётных чисел. Сформулируйте аналог основной теоремы
арифметики для чётных чисел, заменяя слова “натуральный” на “чётный”, а “простой” на
“чётнопростой”. Проверьте обе части получившегося утверждения.
154? Рассмотрим натуральные числа вида 4k + 1. Докажите, что произведение двух
чисел такого вида также является числом такого вида. Если число не представимо в виде
16
произведения двух меньших чисел, назовём его неразложимым. Сформулируйте и проверьте аналог основной теоремы арифметики для этих чисел. Конечно или бесконечно множество неразложимых чисел? Исследуйте другие множества подобного вида, например, 3k +1.
(См. также задачу 143.)
Замечание. Свойство, выраженное во второй фразе задачи, называется замкнутостью
множества относительно операции умножения. При каких n и m множество чисел вида
nk + m замкнуто относительно операции умножения?
155* Ваш друг задумал несколько произвольных натуральных чисел, а вы хотите все
их угадать, причём именно в том порядке, в каком он эти числа задумал. Вам разрешается
попросить друга сделать произвольное вычисление, связанное с его числами, например,
попросить его найти произведение или сумму некоторых из них, или же более сложную
комбинацию. Каждое такое вычисление будем называть ходом. За какое наименьшее число
ходов вы сможете наверняка определить задуманные числа? ↓
*Ещё одна теорема о взаимно простых числах
По аналогии с теоремой 3 нетрудно доказать следующее утверждение, также полезное при
решении задач.
156+ Если произведение ac делится на b и если числа a и b взаимно просты, то c
делится на b.
157 Когда сравнения a ≡ b( mod m) и ac ≡ bc( mod m) равносильны?
158 Докажите, что если числа a и b взаимно просты, то найдётся натуральное m, для
которого am ≡ 1( mod b).
Замечание. Это означает, что для взаимно простых a и b последовательность остатков
n
a ( mod b) периодична с самого начала (см. задачу 65).
План доказательства.
а) Докажите, что если a и b взаимно просты, то при любых натуральных m и n числа
m
a и bn тоже взаимно просты.
б) Пусть k и m — такие натуральные числа, что ak ≡ ak+m ( mod b) (почему такие числа
найдутся?). Тогда ak+m − ak ≡ 0( mod b), т.е. ak (am − 1) ≡ 0( mod b). Выведите отсюда
желаемое.
159
а) Докажите, что если числа a и n взаимно просты, то найдётся такое k, что
.
1 + a + a2 + . . . + ak .. n.
б) Для каких n найдётся число, кратное n, записываемое одними единицами?
в) Зная, что 1018 ≡ 1( mod 19), определите, при каких k число 111 . . . 1 (k единиц) кратно k?
11
Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
Что нужно знать: основная теорема арифметики.
Наибольший общий делитель двух чисел m и n будем обозначать через (m, n). Если
(m, n) = 1, то числа, как мы уже знаем, называют взаимно простыми.
160 Найдите все возможные значения при натуральных n а) (n, n + 12), б) (n, n + 1),
в) (n, n + 6), г) (2n + 3, 7n + 6), д) (n2 , n + 1).
161+ Петя взял какие-то два числа a и b и посчитал (a, b) = 36. Затем он нашёл ещё
один общий делитель этих чисел — 15. Не ошибся ли Петя?
Петя ошибся, так как его результат противоречит следующей теореме, легко выводимой
из основной теоремы арифметики:
17
Пусть m и n — два целых числа, хотя бы одно из которых отлично от нуля, и d =
(m, n) — их наибольший общий делитель. Число c в том и только в том случае является
общим делителем чисел m и n, если оно является делителем числа d.
Наибольший общий делитель можно находить непосредственным перебором, а можно
использовать разложение на множители:
162 Найдите наибольший общий делитель чисел (25 · 133 , 23 · 56 · 13).
Это удобно делать, когда разложение на простые множители уже есть. Если же его нет,
то самый быстрый способ найти наибольший общий делитель — это алгоритм Евклида. Он
основан на следующей лемме:
Лемма. Пусть a и b — натуральные числа, и r — остаток от деления a на b. Тогда
наибольший общий делитель чисел a и b равен наибольшему общему делителю чисел b и r,
т.е. (a, b) = (b, r).
Из условия следует, что a = b · q + r, где q — некоторое целое число. Пусть c — некоторый
общий делитель чисел a и b. Так как r = a−bq, то r тоже делится на c, т.е. c является общим
делителем чисел b и r. Обратно, пусть c0 — некоторый общий делитель чисел b и r. Тогда
число a = bq + r тоже делится на c0 , т.е. c0 является общим делителем чисел a и b. Таким
образом, числа a и b имеют те же общие делители, что и числа b и r. Значит, наибольший
общий делитель чисел a и b совпадает с наибольшим общим делителем чисел b и r.
163 Найдите с помощью алгоритма Евклида а) (846, 246), б) (1960, 588), в) (15283, 10013).
а)
846 = 3 · 246 + 108, 246 = 2 · 108 + 30, 108 = 3 · 30 + 18,
30 = 1 · 18 + 12,
18 = 1 · 12 + 6,
12 = 2 · 6 + 0.
Ответ: 6 (т.е. последнее число перед 0).
Замечание. Конечно, где-то на числах 30 и 18 уже можно сообразить, какой ответ
получится, и не доводить вычисления до конца.
164 Сократите дробь:
21120
,
30720
9061
,
10127
377
,
261
4853
.
5697
165 Сравните (a, b), (a, a + b) и (a, a − b).
166 Найдите (2n, 2n + 2), где n — целое.
167 Числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . определяются равенством ϕn+2 = ϕn+1 + ϕn .
Найдите (ϕ100 , ϕ101 ).
168 Докажите, что (a, b) = (5a + 3b, 13a + 8b). Продолжите цепочку равенств.
169 Докажите, что наибольший общий делитель трёх отличных от нуля чисел a, b, c
равен ((a, b), c). Как ещё можно его записать?
170 Обобщите утверждение предыдущей задачи на n чисел.
171* Докажите, что если ни одно из чисел a, a + d, a + 2d, . . . , a + (n − 1)d не делится
на n, то (d, n) 6= 1.
172? На листе бумаги в клеточку обвели прямоугольник размером 199 · 991 клеток.
Сколько клеток пересекает диагональ этого прямоугольника? Через сколько узлов (т.е. вершин клеточек) проходит диагональ? Ответ объясните. Попробуйте дать ответ для произвольного размера прямоугольника - размером M · N клеток. Примечание. Диагональ пересекает клетку, если она заходит “внутрь” этой клетки, а не просто проходит через вершину.
*Скорость работы алгоритма Евклида
173 Какое наибольшее число шагов по алгоритму Евклида надо сделать, чтобы вычислить
наибольший общий делитель двух двузначных чисел?
18
Прикинем, с какой скоростью уменьшаются числа. На каждом шаге мы заменяем a на
r, при этом известно, что r < a2 . Значит, за два шага оба числа уменьшатся более чем в
два раза. За 4 шага — более чем в 4 раза, за 6 шагов — более чем в 8 раз, и т.д. За 2n
шагов — более чем в 2n раз. В худшем случае наименьший общий делитель равен 1, а числа
близки к 100. Уменьшать придётся менее чем в 27 = 128 раз. Значит, понадобится меньше 14
шагов. Это оценка с запасом, так как числа могут уменьшаться быстрее. В действительности
наибольшее число шагов, достигаемое на двузначных числах — 8.
174 Найдите два двузначных числа, вычисление наибольшего общего делителя которых требует 8 шагов по алгоритму Евклида.
Геометрическая интерпретация
Возьмём два отрезка длины a и b. Отложим меньший отрезок в большем столько раз, сколько уложится. Остаток отложим в меньшем, второй остаток в первом и т.д. Если на каком-то
шаге текущий отрезок уложится в предыдущем без остатка, значит, это и есть общая мера
двух последних отрезков, а значит, и двух предыдущих, и так далее до исходных отрезков,
т.е. это наибольший общий делитель.
*Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной
Работая с целочисленными отрезками, мы заведомо знаем, что
алгоритм Евклида остановится (хотя бы на единичном отрезке).
Если же отрезки имеют произвольную длину, то может случиться так, что не существует отрезка, который бы целое число
раз укладывался и там, и там, т.е. процесс дробления отрезков
длится без остановки. В этом случае говорят, что отрезки несоизмеримы.
Докажем, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной или, что то же, гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника
несоизмерима с катетом. (Это будет означать,
√
что число 2 иррационально.) Давайте отложим отрезок, равный катету BC, на гипотенузе AB. Для этого перегнём наш
треугольник по биссектрисе угла B (см. рис.). Образовался “остаток” AD. Дальше нужно бы этот “остаток” отложить на катете, но легко видеть, что он уже “уложен” (отрезок
CE). Новые остатки входят в треугольник ADE — опять равнобедренный и прямоугольный! Продолжая процесс, проделаем с новым треугольником точно такую же операцию,
как и с большим, в результате чего появится ещё меньший треугольник, и т.д. Получаем
бесконечный процесс с бесконечным же уменьшением отрезка. Значит, катет и гипотенуза
несоизмеримы.
12
Наименьшее общее кратное
Что нужно знать: основная теорема арифметики, наибольший общий делитель, алгоритм Евклида.
Наименьшее общее кратное чисел a и b будем обозначать [a, b].
175 Найдите [25 · 133 , 23 · 56 · 13].
Если числа a и b взаимно простые, то (a, b) = 1, [a, b] = ab. Т.е. в этом случае (a, b)[a, b] =
ab. С помощью основной теоремы арифметики нетрудно доказать, что это же соотношение
справедливо для любых a и b:
Теорема 5. Для любых двух натуральных чисел a и b верно равенство: (a, b)[a, b] = ab.
19
176+ Докажите.
С помощью этого соотношения нетрудно найти [a, b], вычислив ab непосредственно, а
(a, b) по алгоритму Евклида.
177 Найдите [846, 246]; [1920, 588].
111
1237
178 Приведите дроби 21120
и 30720
к общему знаменателю.
7
187
179 Сложите дроби 192 и 1620 .
180+ Коля взял два числа a и b, и нашёл, что (a, b) = 12, a [a, b] = 35. Не ошибся
ли он? (Делится ли [a, b] на (a, b)? Продолжение: достаточно ли делимости одного числа на
другое, чтобы это были чьи-то НОК и НОД?)
181 Найдите все пары натуральных чисел, у которых НОД на 10 меньше, чем НОК.
182 Решите систему: a) (x, y) = 5, [x, y] = 31; б) (x, y) = 5, [x, y] = 10; в) (x, y) = 1, [x, y] = 4;
г) (x, y) = 5, [x, y] = 30; д) (x, y) = 1, [x, y] = 30.
183 Верно ли, что если число c делится на каждое из двух чисел a и b, то оно делится
и на [a, b]?
184? Докажите, что [a, b, c] = [[a, b], c]. Придумайте другие выражения для [a, b, c].
Обобщите на несколько чисел.
185 Чему может быть равно [n, n + 1, n + 2]?
186 Сравните [1, 2, 3, . . . , 2n − 1, 2n] и [n + 1, n + 2, . . . , 2n].
187? Верно ли, что (a, b, c)[a, b, c] = abc? Как можно исправить эту формулу?
20
Указания
33. Обратное неверно!
36. На какое число должно делиться a, судя по первой фразе?
38. Подумайте о числе на 1 меньше искомого.
39. Подумайте о числе на 1 больше искомого.
62. 2n ≡ −1( mod (2n + 1)).
65. Каждые l остатков периодически повторяются с самого начала.
85. Докажите отдельно делимость на n и на n + 1. См. задачу 61.
102. Рассмотрите числа 1, 11, 111, . . .. Сколько таких чисел надо взять, чтобы разность
каких-то двух из них заведомо делилась на n?
103. Рассмотрим числа 1, 11, 111, 1111, . . . , 11...11 (218 единиц). Среди них найдутся два
числа, имеющие одинаковые остатки при делении на 217 (почему?). Рассмотрим разность
этих двух чисел. Она имеет вид 11...1100...00 = 11...11 · 10k . По доказанному это число
делится на 217. Остаётся применить теорему 3: так как числа 10k и 217 взаимно просты, то
число 11...11 (k единиц) должно делиться на 217. (Какие числа в этом рассуждении можно
поставить вместо 217?)
135. a4 + 4 = (a4 + 4a2 + 4) − 4a2 .
138. Все остатки — простые числа или 1.
143 а) Предположите, что чисел вида 3k − 1 лишь конечное множество и p1 , p2 , . . . ps —
все такие числа; рассмотрите число вида 3p1 p2 . . . ps .
155. Достаточно одного хода!
159. а) (1 + a + a2 + . . . + ak )(a − 1) = ak+1 − 1. Формула проверяется непосредственным
умножением. б) Как из выражения п. а) получить число, записываемое одними единицами?
21
Самостоятельные работы
Самостоятельная работа по делимости N 1: делимость целых чисел,
деление с остатком
На решение даётся 40 мин. Последний номер необходим для оценки “отл”.
1 В верхней строке таблицы указано то, что дано. В левом столбце — то, что спрашивается. Заполните пустые клетки: если “да”, поставьте +, если “нет” −, если данных не
хватает, то ?.
.
.
a .. m и b .. m
.
.
a .. m и b 6 .. m
.
.
a 6 .. m и b 6 .. m
.
a + b .. m?
.
a − b .. m?
.
a · b .. m?
Докажите два утверждения на Ваш выбор. Почему в таблице нет строчки про a : b?
2 Петя считает, что если a2 делится на a − b, то b2 делится на a − b. Вася считает, что
если ab + cd делится на a − c, то ad + bc тоже делится на a − c. Правы ли они?
.
.
3 При каких n а) 8n − 5n .. 3, б) 8n + 2 · 5n .. 3. Какие числа можно подставить вместо *,
чтобы 8n + ∗ · 5n делилось на 3 при любом натуральном n?
4 Делитель и делимое уменьшили в 2 раза. Как изменятся частное и остаток?
5 Число b даёт остаток 3 при делении на 9. Может ли оно давать остаток 5 при делении
на 12?
6 Какие остатки может иметь при делении на 4 квадрат целого числа? А при делении
на 9?
7* При каких n число 11n+2 + 122n+1 делится на 133?
Самостоятельная работа по делимости N 2: сравнения по модулю и
циклы остатков степеней
На решение даётся 30 мин. Последний номер необходим для оценки “отл”.
1 Какой цифрой оканчивается число 248156 ?
2 Найдите остаток от деления числа 5218 на 14.
3 При каких k число, составленное из k нулей, справа и слева от которых поставили
по единице, делится на 11?
4 Может ли число 7n + 2 быть точным квадратом? При каких k число 7n + k может
являться точным квадратом, а при каких k — нет?
5* Можно ли расставить все 16 чисел 1, 2, . . . , 16 по окружности так, чтобы для
любых трёх чисел a, b, c, стоящих подряд, число b2 − ac делилось на 17?
Самостоятельная работа по делимости N 3: взаимно простые числа
На решение даётся 40 мин. Один из двух последних номеров необходим для оценки “отл”.
1 При каких n пары чисел n и n + k взаимно простые?
2 Верно ли, что если n делится на a и делится на b, то n делится и на ab? Приведите
(контр)пример и уточните условие, если это необходимо.
3 На какое наибольшее число делится 3n + 3n+1 + 3n+2 , где n пробегает множество всех
натуральных чисел?
22
4 На какое наибольшее число делится n3 + 3n2 + 2n, где n пробегает множество всех
натуральных чисел?
5* При каких k число 2(1k + 2k + . . . + nk ) делится на n(n + 1)?
6* Докажите, что при любом целом n выражение n3 (n6 − 1) делится на 504.
Самостоятельная работа по делимости N 4: признаки делимости
На решение даётся 40 мин.
1 Сформулируйте и докажите признак делимости на 9.
2 Сформулируйте и докажите признак делимости на 2k .
3 а) Верно ли, что если число a + 4b делится на 13, то и число 10a + b делится на 13?
Верно ли обратное? б) Придумайте и докажите также аналогичное утверждение.
4 Выведите признак делимости на 13.
5* У числа 19100 вычисляют сумму цифр, после этого у полученного числа подсчитывают сумму цифр и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Какое
оно?
6* Получите признак делимости на 7, разбивая число на группы из 3 цифр.
Самостоятельная работа по делимости N 5: простые числа, основная
теорема арифметики
На решение даётся 40 мин.
1 Число c при делении на 18 даёт остаток 6. Может ли оно быть простым?
2 Числа p, 2p + 1 и 4p + 1 — простые. Чему может быть равно p?
3 Верно ли, что если произведение двух чисел делится на число n, то хотя бы одно из
этих чисел делится на n? Приведите (контр)пример и уточните условие, если это нужно.
4 а) Верно ли, что квадрат натурального числа имеет нечётное число натуральных
делителей? б) Сформулируйте и проверьте обратное утверждение.
5 34x = 43y. Может ли число x + y быть простым?
6* p и p2 + 2 — простые числа. Верно ли, что p3 + 2 — также простое число?
Самостоятельная работа по делимости N 6: НОК и НОД, алгоритм
Евклида
На решение даётся 40 мин.
1 Найдите НОД и НОК чисел 35 · 58 · 173 и 33 · 711 · 173 (можно в виде произведения).
2 Найдите с помощью алгоритма Евклида (944, 1182).
3 Решите систему уравнений: (x, y) = n, [x, y] = 36 при n = 1, 2, 3, 4, 5.
111
1237
4 Приведите дроби 21120
и 30720
к общему знаменателю.
5* Докажите, что если ни одно из чисел a, a + d, a + 2d, . . . , a + (n − 1)d не делится
на n, то (d, n) 6= 1.
6* Найдите два трёхзначных числа, НОД которых находится за наибольшее число
шагов по алгоритму Евклида. * Обоснуйте максимальность.
23
Вопросы к зачёту
Определения
1. Что значит “целое число a (нацело) делится на целое число b”?
2. Что значит "разделить число a на число b с остатком"?
3. Дайте определение сравнения по модулю.
4. Дайте определение взаимно простых чисел.
5. Дайте определение простого числа и составного числа. Приведите несколько аргументов, почему 1 не стоит относить к простым числам.
Формулировки теорем
1. Если числа a и b взаимно просты, то существуют...
2. Если число n делится на каждое из двух...
3. ... то или a или b делится на p.
4. Основная теорема арифметики.
5. ..., то (a, b) = (b, r).
6. Для любых двух натуральных чисел a и b верно равенство (a, b) · [a, b] =??
Доказательства теорем
Выберите и докажите три теоремы из предыдущего списка. Если хотите получить “отл” пусть одна из них будет Теорема 1.
Список литературы
[1] В.Г. Болтянский, Г.Г. Левитас. Делимость чисел и простые числа. // В книге: Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для
учащихся 7-8 классов. М., Просвещение, 1974.
[2] А. Шень. Простые и составные числа. М., МЦНМО, 2005.
[3] Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? М., МЦНМО, 2004.
[4] Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам математического класса 57 школы
(выпуск 2000 года, класс "В") / Под ред. А. Шеня. - М.: МЦНМО, 2000.
[5] Задачи по математике, предлагавшиеся ученикам математического класса 57 школы
(выпуск 2004 года, класс "Д") / Под ред. В. Доценко. - М.: МЦНМО, 2004.
24