ÓÄÊ 524.6-327, 524.6-34 Ïðèìåíåíèå âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé äëÿ êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà çâåçä çîííûõ êàòàëîãîâ Â.Â.Âèòÿçåâ∗ , À.Ñ.Öâåòêîâ∗∗ Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò Ðåøàåòñÿ çàäà÷à î ïðîâåäåíèè êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà òðåõìåðíîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé çâåçä çîííûõ êàòàëîãîâ, òî åñòü êàòàëîãîâ, â êîòîðûõ çâåçäû ïðåäñòàâëåíû ïî âñåì ïðÿìûì âîñõîæäåíèÿì â íåêîòîðûõ çîíàõ ñêëîíåíèÿ. Ïîñòðîåíà ñèñòåìà âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì ïîëíîòû è îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ âûáðàííîé çîíû ñêëîíåíèé. Ïðåäëîæåí ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé íà îñíîâå àíàëèçà ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé è ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé çâåçä â ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ïðîâîäèòü îöåíêó ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïîêàçàíû ñëåäóþùèå ïðåèìóùåñòâà âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïåðåä ñòàíäàðòíûì ïîäõîäîì, îñíîâàííîì íà íåïîñðåäñòâåííîì îöåíèâàíèè ïàðàìåòðîâ êîíêðåòíîé ìîäåëè ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Âî-ïåðâûõ, íîâûé ìåòîä â îòëè÷èå îò ñòàíäàðòíîãî ïîäõîäà ïîçâîëÿåò âûÿâèòü âñå ñèñòåìàòè÷åñêèå êîìïîíåíòû ïîëÿ ñêîðîñòåé íåçàâèñèìî îò êàêîé ëèáî ìîäåëè. Âî-âòîðûõ, îí ïîçâîëÿåò èçáàâèòüñÿ îò êîððåëèðîâàííîñòè èñêîìûõ ïàðàìåòðîâ, ÷òî ïðè îáû÷íîì ìåòîäå ïðåäñòàâëÿåò ñåðüåçíóþ ïðîáëåìó â ñëó÷àå çîííûõ êàòàëîãîâ.  òðåòüèõ, ìåòîä âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîçâîëÿåò îöåíèòü êèíåìàòè÷åñêèå ïàðàìåòðû, êàê ìèíèìóì, äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ñðàâíåíèå ýòèõ äâóõ ðåøåíèé äàåò âîçìîæíîñòü ïðîâåðÿòü ñîîòâåòñòâèå ñòàíäàðòíîé êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íàáëþäàòåëüíûì äàííûì. Ðàçðàáîòàííûé ìåòîä áûë ïðîâåðåí íà îñíîâå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ è ïðèìåíåí äëÿ êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä êàòàëîãà Tycho-2 â þæíîì ïîëóøàðèè, äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíî ïðîâåñòè îöåíêó ïàðàëëàêñîâ ïî äàííûì êàòàëîãà Tycho-2 Spectral Types. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñîáñòâåííûå äâèæåíèÿ çâåçä, ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè, àñòðîìåòðèÿ, çâåçäíàÿ êèíåìàòèêà PACS codes: 95.10.Jk, 95.75.Pq, 95.80.+p, 98.10.+z, 98.35.-a ∗ e-mail <ai@astro.spbu.ru> ∗∗ e-mail <tsvetkov@AC1072.spb.edu> 2 Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå 3 Âåêòîðíûå ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè äëÿ çîííîãî êàòàëîãà 4 Óðàâíåíèÿ Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â ãàëàêòè÷åñêîé è ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìàõ êîîðäèíàò 6 Ïðåäñòàâëåíèå ìîäåëüíîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé çâåçä ïî ñèñòåìå ÂÑÔ 8 Ìåòîä ÂÑÔ íà ïðàêòèêå 10 ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû 13 Ðåçóëüòàòû ïî ñîáñòâåííûì äâèæåíèÿì êàòàëîãà TYCHO-2/Spectral Type 16 Çàêëþ÷åíèå 18 3 Ââåäåíèå  íàñòîÿùåå âðåìÿ ñîçäàíèå çâåçäíûõ àñòðîìåòðè÷åñêèõ êàòàëîãîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ òðåìÿ ñïîñîáàìè. Ïåðâûé îïèðàåòñÿ íà âûïîëíåíèå èçìåðåíèé â êîñìîñå, âòîðîé íà ðåçóëüòàòû îïòè÷åñêèõ íàçåìíûõ èçìåðåíèé, òðåòèé ñïîñîá ýòî êîìáèíàöèÿ èçìåðåíèé, âûïîëíåííûõ íà èíñòðóìåíòàõ êîñìè÷åñêîãî è íàçåìíîãî áàçèðîâàíèÿ. Ðåçóëüòàòîì ýòîé äåÿòåëüíîñòè ÿâèëîñü ñîçäàíèå ìàññîâûõ çâåçäíûõ êàòàëîãîâ HIPPARCOS, Tycho-2, USAC-2, USNO, ÷òî äàåò êà÷åñòâåííî íîâûé ìàòåðèàë, â ÷àñòíîñòè, äëÿ èññëåäîâàíèÿ êèíåìàòèêè çâåçä Ãàëàêòèêè. Çàïëàíèðîâàííûå â áóäóùèõ êîñìè÷åñêèõ ïðîåêòàõ (GAIA) èçìåðåíèÿ âûñîêîòî÷íûõ ïàðàëëàêñîâ, ñîáñòâåííûõ äâèæåíèÿ è ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé äëÿ ìíîãèõ ñîòåí ìèëëèîíîâ çâåçä, ÿâëÿþòñÿ ìîòèâàöèåé äëÿ ðàçðàáîòêè íîâûõ ìåòîäîâ êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà çâåçä. Ýòîìó òðåáîâàíèþ îòâå÷àþò ñòàòüè (Âèòÿçåâ, Øóêñòî, 2005; Âèòÿçåâ, Öâåòêîâ, 2009), ïîñâÿùåííûå ïðèìåíåíèþ âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ÂÑÔ) ê çàäà÷àì çâåçäíîé êèíåìàòèêè. Îñîáåííî õîðîøî àïïàðàò âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîäõîäèò äëÿ àíàëèçà íûíåøíèõ è áóäóùèõ êàòàëîãîâ, ñîäåðæàùèõ âñå òðè êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè ñîáñòâåííûå äâèæåíèÿ ïî îáåèì êîîðäèíàòàì è ëó÷åâóþ ñêîðîñòü. Èñïîëüçîâàíèå ÂÑÔ ïîçâîëÿåò âûÿâèòü âñå ñèñòåìàòè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå â ïîëå ñêîðîñòåé çâåçä, íå ïðèâÿçûâàÿñü ê êîíêðåòíîé ôèçè÷åñêîé ìîäåëè. Ñîïîñòàâëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëåííîé êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ñ íàáëþäàòåëüíûìè äàííûìè ìîæåò âûÿâèòü íàëè÷èå ñèñòåìàòè÷åñêèõ êîìïîíåíò, íå îïèñûâàåìûõ äàííîé ìîäåëüþ.  ðàáîòå (Âèòÿçåâ, Öâåòêîâ, 2009) ïîêàçàíî, ÷òî â ñîáñòâåííûõ äâèæåíèÿõ è ëó÷åâûõ ñêîðîñòÿõ çâåçä êàòàëîãà HIPPARCOS èìåþòñÿ ñèñòåìàòè÷åñêèå êîìïîíåíòû, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü èíòåðïðåòèðîâàíû â ðàìêàõ ëèíåéíîé ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà. Ê àíàëîãè÷íûì ðåçóëüòàòàì (íà îñíîâå òîëüêî àíàëèçà ñîáñòâåííûõ äâèæåíèÿ çâåçä êàòàëîãà HIPPARCOS) ïðèøëè è àâòîðû ñòàòüè (Ìàêàðîâ, Ìåðôè, 2007). Êàê èçâåñòíî, èçìåðåíèÿ, ïðîèçâåäåííûå â êîñìîñå íà áîðòó àïïàðàòà HIPPARCOS, â ñî÷åòàíèè ñ ðåçóëüòàòàìè íàçåìíûõ íàáëþäåíèé ïîçâîëèëè ñîçäàòü êàòàëîã Tycho-2 (Õ¼ã è äð., 2000), êîòîðûé ñîäåðæèò êîîðäèíàòû è ñîáñòâåííûå äâèæåíèÿ 2.5 ìëí. çâåçä, íî íå ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ î ðàññòîÿíèÿõ äî çâåçä.  ðàáîòå (Ïîïîâ, Âèòÿçåâ, Öâåòêîâ, 2006) äëÿ 137 òûñÿ÷ çâåçä êàòàëîãà Tycho-2 áûëè ïîëó÷åíû ñïåêòðàëüíûå ïàðàëëàêñû çâåçä íà îñíîâå àñòðîôèçè÷åñêèõ äàííûõ, âçÿòûõ èç êàòàëîãà Spectral Type Catalogue (Ðàéò è äð. et al., 2003). Ñðàâíåíèå ñïåêòðàëüíûõ ïàðàëëàêñîâ ñ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ïàðàëëàêñàìè 53 òûñÿ÷ çâåçä, èçìåðåííûìè íà ñïóòíèêå HIPPARCOS, ïîêàçàëî,÷òî òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ ñïåêòðàëüíûõ ïàðàëëàêñîâ ñîñòàâëÿåò îò 1 äî 5 ìñä â çàâèñèìîñòè îò ñïåêòðàëüíîãî êëàññà çâåçäû. Òàêàÿ òî÷íîñòü âïîëíå ïðèåìëåìà äëÿ ïðîâåäåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Ê ñîæàëåíèþ, êàòàëîã Tycho-2 Spectral Types ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ î äâóìåðíîé ñïåêòðàëüíîé êëàññèôèêàöèè çâåçä ïðåèìóùåñòâåííî äëÿ çâåçä þæíîé ïîëóñôåðû ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íå ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè îöåíêè ðàññòîÿíèé äî çâåçä êàòàëîãà Tycho2 íà âñåé ñôåðå. Êàòàëîã, ñîäåðæàùèé èíôîðìàöèþ òîëüêî äëÿ çâåçä îäíîãî ïîëóøàðèÿ íåáåñíîé ñôåðû, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òàê íàçûâàåìûõ çîííûõ êàòàëîãîâ, òî åñòü êàòàëîãîâ, â êîòîðûõ çâåçäû ïðåäñòàâëåíû ïî âñåì ïðÿìûì âîñõîæäåíèÿì â íåêîòîðûõ çîíàõ ñêëîíåíèÿ. Çîííûå êàòàëîãè ïîÿâëÿþòñÿ çàêîíîìåðíî, åñëè íàçåìíûå íàáëþäåíèÿ âåäóòñÿ ëèáî íà îäíîì èíñòðóìåíòå, ëèáî íà ãðóïïå èíñòðóìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ òîëüêî â îäíîì èç ïîëóøàðèé Çåìëè. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ áûëà òèïè÷íîé äëÿ êëàññè÷åñêîé àñòðîìåòðèè. Òàê êàê ìàññîâûå àñòðîìåòðè÷åñêèå êàòàëîãè ñîçäàþòñÿ ïóòåì îáúåäèíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé, âûïîëíåííûõ íà Çåìëå è â êîñìîñå, òî è ñîâðåìåííûå êàòàëîãè ìîãóò áûòü çîííûìè. Ñ òàêîé ñèòóàöèåé ìû è ñòîëêíóëèñü íà ïðèìåðå êàòàëîãà Tycho-2 Spectral Types. Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà àäàïòàöèè ìåòîäà ÂÑÔ ê äàííîìó êîíêðåòíîìó ñëó÷àþ íà îñíîâå ðåøåíèÿ íîâîé çàäà÷è î ïðîâåäåíèè êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà òðåõìåðíîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé çâåçä çîííûõ êàòàëîãîâ.  íà÷àëå ñòàòüè ïîêàçàí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì ïîëíîòû è îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ ïðîèçâîëüíîé çîíû ñêëîíåíèé. Ïîñëå ýòîãî îïèñûâàåòñÿ ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà, îòíîñÿùèõñÿ ê ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ ïî ñèñòåìå çîííûõ ÂÑÔ ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä è ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé â þæíîì ïîëóøàðèè ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Äà- 4 ëåå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî çîííûå ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè ïðåäîñòàâëÿþò âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü îöåíêè ïàðàìåòðîâ, êàê ìèíèìóì, îñíîâíûì è àëüòåðíàòèâíûì ñïîñîáàìè. Ñðàâíåíèå îñíîâíîãî è àëüòåðíàòèâíîãî ðåøåíèé ïîçâîëÿåò ïðîâåðÿòü ñîîòâåòñòâèå ñòàíäàðòíîé êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè íàáëþäàòåëüíûì äàííûì. Ðàçðàáîòàííûé ìåòîä áûë ïðîâåðåí íà îñíîâå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ è ïðèìåíåí äëÿ êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà òåõ ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä êàòàëîãà Tycho-2 â þæíîì ïîëóøàðèè, äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíî ïðîâåñòè îöåíêó ïàðàëëàêñà ïî äàííûì êàòàëîãà Tycho-2 Spectral Types. Âåêòîðíûå ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè äëÿ çîííîãî êàòàëîãà Âåêòîðíûå ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè îáû÷íî îïðåäåëÿþòñÿ äëÿ âñåõ òî÷åê ñôåðû, ãäå îíè îáëàäàþò ñâîéñòâàìè îðòîãîíàëüíîñòè è ïîëíîòû (Àðôêåí, 1970). Êàê áûëî ñêàçàíî âûøå, â àñòðîìåòðèè íåðåäêè ñëó÷àè, êîãäà èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ òîëüêî â íåêîòîðîé çîíå ñêëîíåíèé.  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî òàêæå ââåñòè ïîëíóþ ñèñòåìó îðòîãîíàëüíûõ ôóíêöèé. Ïóñòü äàííûå íåêîòîðîãî çîííîãî êàòàëîãà ïðèíàäëåæàò ñëåäóþùåé îáëàñòè íåáåñíîé ñôåðû: ½ 0 ≤ α ≤ 2π, δmin ≤ δ ≤ δmax . Z= Ââåäåì ïðåîáðàçîâàíèå µ δ̂ = arcsin (1) 2 sin δ s2 + s1 − s2 − s1 s2 − s1 ¶ (2) , êîòîðîå ïðè s1 = sin δmin , (3) s2 = sin δmax (4) ïåðåâîäèò âñþ ñôåðó íà îáëàñòü Z . Ðàññìîòðèì â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ñôåðå ñèñòåìó âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ îðòîâ eα , eδ , er ñîîòâåòñòâåííî â íàïðàâëåíèÿõ èçìåíåíèÿ ïðÿìûõ âîñõîæäåíèé, ñêëîíåíèé è ëó÷à çðåíèÿ. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé, äàííûå â (Àðôêåí, 1970), ââåäåì ðàäèàëüíûå Vnkp (α, δ̂), òîðîèäàëüíûå Tnkp (α, δ̂) è ñôåðîèäàëüíûå Snkp (α, δ̂) âåêòîðíûå ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè ïîñðåäñòâîì ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé: Vnkp = Knkp (α, δ̂) er , Tnkp = α Tnkp α Snkp = α Snkp α e =p 1 e =p 1 e + b Tnkp δ e + b Snkp δ à n(n + 1) n(n + 1) ∂Knkp (α, δ̂) ∂ δ̂ à (5) 1 ∂Knkp0 (α, δ̂) eα − eδ ∂α cos δ̂ 1 ∂Knkp (α, δ̂) ∂Knkp (α, δ̂) eδ eα + ∂α cos δ̂ ∂ δ̂ ! , (6) . (7) ! Çäåñü ÷åðåç Knkp îáîçíà÷åíû ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè, äëÿ êîòîðûõ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå: k = 0, p = 1; Pn,0 (δ̂), Knkp (α, δ̂) = Rnk Pnk (δ̂) sin kα, k = 6 0, p = 0; P (δ̂) cos kα, k = 6 0, p = 1, nk (8) 5 r 2n + 1 a 4π Rnk = ( q 2(n−k)! (n+k)! , 1, k > 0; (9) k = 0.  ýòèõ ôîðìóëàõ ÷åðåç Pnk (δ̂) îáîçíà÷åíû ñîîòâåòñòâåííî ïîëèíîìû Ëåæàíäðà (ïðè k = 0) è ïðèñîåäèíåííûå ôóíêöèè Ëåæàíäðà ïðè k > 0. ßâíûé âèä ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ Pnk (δ̂) è êîìïîíåíòîâ Tnkp è Snkp ïðèâåäåíû â ñòàòüå (Âèòÿçåâ, Öâåòêîâ, 2009). Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî íàøè ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì: ZZ ZZ (Ti · Tj ) dω = Z Z ZZ (Si · Sj ) dω = 0, i 6= j; 1, i = j; (10) Z ZZ ZZ (Vi · Tj ) dω = Z ½ ZZ (Vi · Vj ) dω = (Vi · Sj ) dω = (Si · Tj ) dω = 0, ∀ i, j, Z (11) Z ãäå, íàïðèìåð, ZZ Z2π (Ti · Tj ) dω = δZ max ³ dα 0 Z ´ Tiα (α, δ̂) Tjα (α, δ̂) + Tiδ (α, δ̂) Tjδ (α, δ̂) cos δ dδ. (12) δmin  ýòèõ ôîðìóëàõ ÷åðåç i è j îáîçíà÷åíû ðàçëè÷íûå íàáîðû èíäåêñîâ (n, p, k). Äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêöèè Vnkp (α , δ̂), Tnkp (α , δ̂), Snkp (α , δ̂) îáðàçóþò íà ìíîæåñòâå Z îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ôóíêöèé. Ðàññìîòðèì òåïåðü ðåàëüíîå ïîëå ñêîðîñòåé çâåçä, çàäàííîå â îáëàñòè Z íà íåáåñíîé ñôåðå: U(α, δ) = Vr /r er + Kµα cos δ eα + Kµb eδ , (13) â êîòîðîì Vr ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü, µα , µδ êîìïîíåíòû ñîáñòâåííîãî äâèæåíèÿ çâåçä ïî ïðÿìîìó âîñõîæäåíèþ è ñêëîíåíèþ, r ðàññòîÿíèå äî çâåçäû, K = 4.738 ìíîæèòåëü ïåðåâîäà ðàçìåðíîñòè ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä ìñä/ãîä â êì/ñ · êïê−1 . Èñïîëüçóÿ ñèñòåìó îïðåäåëåííûõ âûøå âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ìû ìîæåì ðàçëîæèòü ïîëå ñêîðîñòåé ñëåäóþùèì îáðàçîì: X X X U(α, δ) = vnkp Vnkp (α, δ̂) + tnkp Tnkp (α, δ̂) + snkp Snkp (α, δ̂), (14) nkp nkp nkp ãäå â ñèëó îðòîíîðìèðîâàííîñòè áàçèñà êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ vnkp , tnkp è snkp âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì: ZZ Z2π (U · Vnkp ) dω = vnkp = ZZ Z2π (U · Tnkp ) dω = tnkp = 0 ZZ Z2π (U · Snkp ) dω = Ω δZ max ³ dα Z snkp = dα 0 Z Vr (α, δ)/r Vnkp (α, δ̂) cos δ dδ, (15) δmin ´ α δ Kµα cos δ Tnkp (α, δ̂) + Kµδ Tnkp (α, δ̂) cos δ dδ, (16) ´ α δ Kµα cos δ Snkp (α, δ̂) + Kµδ Snkp (α, δ̂) cos δ dδ. (17) δmin δZ max ³ dα 0 δZ max δmin 6 Óðàâíåíèÿ Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â ãàëàêòè÷åñêîé è ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìàõ êîîðäèíàò Ïðè èññëåäîâàíèè êèíåìàòèêè çâåçä ÷àñòî èñïîëüçóþò óðàâíåíèÿ ìîäåëè ÎãîðîäíèêîâàÌèëíà (Îãîðîäíèêîâ, 1965).  ýòîé ìîäåëè ïîëå ñêîðîñòåé çâåçä îòíîñèòåëüíî ïðÿìîóãîëüíîé ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ îðòàìè eX , eY , eZ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëèíåéíûì âûðàæåíèåì V = V0 + M r, (18) ãäå V îáùàÿ ñêîðîñòü çâåçäû, V0 ñêîðîñòü öåíòðîèäà íàáëþäàòåëÿ, M ìàòðèöà ñìåùåíèÿ, r ãåëèîöåíòðè÷åñêèé ðàäèóñ-âåêòîð çâåçäû. Îáû÷íî âåêòîð V0 èíòåðïðåòèðóþò êàê ýôôåêò äâèæåíèÿ Ñîëíöà îòíîñèòåëüíî âûáðàííîãî öåíòðîèäà çâåçä ñ êîìïîíåíòàìè U, V, W : V0 = −U eX − V eY − W eZ . (19) Êðîìå òîãî, ìàòðèöà ñìåùåíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå: M = M + + M −, (20) ãäå M + ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ëîêàëüíîé äåôîðìàöèè ïîëÿ ñêîðîñòåé M+ + M11 + = M21 + M31 + M12 + M22 + M32 + M13 + , M23 + M33 (21) à M − àíòèñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ëîêàëüíîãî âðàùåíèÿ M− 0 = Ω3 −Ω2 −Ω3 0 Ω1 Ω2 −Ω1 . 0 (22) Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëü Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà ñîäåðæèò 12 ïàðàìåòðîâ: U , V , W êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè äâèæåíèÿ Ñîëíöà îòíîñèòåëüíî öåíòðîèäà çâåçä V0 ; Ω1 , Ω2 , Ω3 êîìïîíåíòû âåêòîðà òâåðäîòåëüíîãî âðàùåíèÿ öåíòðèäà çâåçä Ω; + + + M11 , M22 , M33 ïàðàìåòðû òåíçîðà M+ , îïèñûâàþùèå ñæàòèå-ðàñòÿæåíèå ïîëÿ ñêîðîñòåé âäîëü ãëàâíûõ îñåé ñèñòåìû êîîðäèíàò; + + + + + + M12 = M21 , M13 = M31 , M23 = M32 ïàðàìåòðû òåíçîðà M + , îïèñûâàþùèå äåôîðìàöèþ ïîëÿ ñêîðîñòåé â îñíîâíîé è äâóõ ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê íåé ïëîñêîñòÿõ. Ââåäåì ìàòðèöó ïåðåâîäà îðòîâ eX , eY , eZ ïðÿìîóãîëüíîé ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â îðòû el , eb , er , íàïðàâëåííûå âäîëü íàïðàâëåíèÿ èçìåíåíèÿ ãàëàêòè÷åñêîé äîëãîòû, øèðîòû è ëó÷à çðåíèÿ: − sin l cos l A(l, b) = − cos l sin b − sin l sin b cos l cos b sin l cos b 0 cos b . sin b (23) 7 Ïðîåêòèðóÿ âåêòîð V íà îðòû el , eb , er , ïîëó÷èì: Kµl cos b U/r cos b cos l Kµb = −A(l, b) V /r + A(l, b) M cos b sin l . V /r W/r sin b (24) Ïðèâåäåì ÿâíûé âèä óðàâíåíèé ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: Kµl cos b = U/r sin l − V /r cos l − Ω1 sin b cos l − Ω2 sin b sin l + Ω3 cos b − + + + − M13 sin b sin l + M23 sin b cos l + M12 cos b cos 2l − 1 + 1 + M cos b sin 2l + M22 cos b sin 2l, − 2 11 2 Kµb = − − U/r cos l sin b + V /r sin l sin b − W/r cos b + Ω1 sin l − Ω2 cos l − 1 + + + M sin 2b sin 2l + M13 cos 2b cos l + M23 cos 2b sin l − 2 12 1 + 1 + 1 + M sin 2b cos2 l − M22 sin 2b sin2 l + M33 sin 2b, 2 11 2 2 Vr /r = − U/r cos l cos b − V /r sin l cos b − W/r sin b + + + + + M13 sin 2b cos l + M23 sin 2b sin l + M12 cos2 b sin 2l + + + M11 2 2 cos b cos l + + M22 2 2 cos b sin l + + M33 (25) (26) (27) 2 sin b. Òåïåðü çàïèøåì óðàâíåíèÿ Îãðîäíèêîâà-Ìèëíà â ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Äëÿ ýòîãî ââåäåì ìàòðèöó ïåðåâîäà ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò èç ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìû â ýêâàòîðèàëüíóþ (ESA, 1997): −0.0549 G = −0.8734 −0.4838 0.4941 −0.4448 0.7470 −0.8677 −0.1981 . 0.4560 (28) Ïðîåêòèðóÿ âåêòîð V íà îðòû eα , eδ , er , íàõîäèì: u/r cos δ cos α Kµα cosδ = −A(α, δ) v/r + A(α, δ) m cos δ sin α , Kµδ V /r w/r sin δ (29) ãäå ÷åðåç A(α, δ) îáîçíà÷åíà ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îðòîâ ex , ey , zr ïðÿìîóãîëüíîé ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê îðòàì eα , eδ , er â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ñôåðå ñîîòâåòñòâåííî â íàïðàâëåíèÿõ èçìåíåíèÿ ïðÿìîãî âîñõîæäåíèÿ, ñêëîíåíèÿ è ëó÷à çðåíèÿ. Ýòà ìàòðèöà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (23) c ôîðìàëüíîé çàìåíîé (l, b) íà (α, δ).  ôîðìóëå (29) ïàðàìåòðû ìîäåëè îáîçíà÷åíû ìàëûìè áóêâàìè â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ îáîçíà÷åíèÿìè, ââåäåííûìè äëÿ óðàâíåíèé (25) (27). Ïðè ýòîì äëÿ êîìïîíåíòîâ äâèæåíèÿ Ñîëíöà èìååì: u U v = G V . w W (30) 8 Êðîìå òîãî, ìåæäó ìàòðèöàìè ñìåùåíèÿ â îáåèõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò ñóùåñòâóåò ñîîòíîøåíèå m = G M G−1 , (31) èç êîòîðîãî ïîëó÷àåì ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè âðàùåíèÿ ω1 Ω1 ω2 = G Ω2 , ω3 Ω3 (32) à òàêæå ñâÿçè ìåæäó êîìïîíåíòàìè òåíçîðà äåôîðìàöèè: m+ 11 m+ 12 m+ 13 m+ 22 m+ 23 m+ 33 = 0.003 0.048 0.027 0.763 0.423 0.234 −0.054 0.095 0.244 −0.858 0.753 −0.407 0.768 −0.220 0.288 0.172 −0.280 0.395 0.369 −0.423 −0.395 0.777 0.346 0.198 0.176 0.039 −0.437 −0.302 −0.332 −0.351 −0.090 −0.723 −0.441 0.558 0.681 0.208 + M11 + M12 + M13 + M22 + M23 + M33 . (33) Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (24) è (29), ìû ïðèõîäèì ê âàæíîìó âûâîäó: â îáåèõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò çàâèñèìîñòü ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé è ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé çâåçä îò êîîðäèíàò îïèñûâàåòñÿ îäíèìè è òåìè æå ôóíêöèÿìè ñ çàìåíîé äîëãîòû è øèðîòû íà ïðÿìîå âîñõîæäåíèå è ñêëîíåíèå. Ðàçëè÷àþòñÿ ýòè óðàâíåíèÿ ëèøü êîýôôèöèåíòàìè ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèîíàëüíûõ ÷ëåíàõ. Ñâÿçü ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (30), (32) è (33). Îáû÷íî óðàâíåíèÿ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà çàïèñûâàþòñÿ â ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.  ýòîì ñëó÷àå ýëåìåíòû ìàòðèö M + è M − ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïàðàìåòðàìè Îîðòà: + − A = M12 , B = M21 = Ω3 . Åñëè çàïèñàòü óðàâíåíèÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, òî êèíåìàòè÷åñêèé ñìûñë íîâûõ ïàðàìåòðîâ îñòàåòñÿ ïðåæíèì (ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå, ëîêàëüíîå âðàùåíèå è äåôîðìàöèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé îòíîñèòåëüíî ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò), íî óòðà÷èâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííàÿ ñâÿçü ñ ïàðàìåòðàìè âðàùåíèÿ Ãàëàêòèêè. Òåì íå ìåíåå, êàê ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèé (30), (32), (33) ìåæäó ¾ãàëàêòè÷åñêèìè¿ è ¾ýêâàòîðèàëüíûìè¿, ïàðàìåòðàìè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Ïðåäñòàâëåíèå ìîäåëüíîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé çâåçä ïî ñèñòåìå ÂÑÔ Âîñïîëüçóåìñÿ èíâàðèàíòíîñòüþ ïðåäñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â ãàëàêòè÷åñêîé è ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, èñïîëüçóÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè ìàëûå áóêâû. Î÷åíü ÷àñòî êèíåìàòè÷åñêèé àíàëèç âûïîëíÿþò òîëüêî ïî ñîáñòâåííûì äâèæåíèÿì.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî îïðåäåëèòü äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû äåôîðìàöèé ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî m+ 22 (Êëóáå, 1972). Ó÷èòûâàÿ ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ + + + ∗ m∗11 = m+ 11 − m22 , m33 = m33 − m22 , 1 + 1 + + + + x = m+ 33 − (m11 + m22 ), y = (m11 + m22 + m33 ). 2 3 (34) Ñ ó÷åòîì ýòèõ îáîçíà÷åíèé çàïèøåì óðàâíåíèÿ Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: 9 Kµα cos δ = u/r sin α − v/r cos α − ω1 sin δ cos α − ω2 sin δ sin α + ω3 cos b − − − Kµδ = − − + + m+ 13 sin δ sin α + m23 sin δ cos α + m12 cos δ cos 2α − 1 ∗ m cos δ sin 2α, 2 11 u/r cos α sin δ + v/r sin α sin δ − w/r cos δ + ω1 sin α − ω2 cos α − 1 + + m sin 2δ sin 2α + m+ 13 cos 2δ cos α + m23 cos 2δ sin α − 2 12 1 1 ∗ m sin 2δ cos 2α + x sin 2δ, 4 11 2 Vr /r = − + + (35) (36) u/r cos α cos δ − v/r sin α cos δ − w/r sin δ + + + 2 m+ 13 sin 2δ cos α + m23 sin 2δ sin α + m12 cos δ sin 2α + 1 ∗ m cos2 δ cos 2α + x (sin2 δ − 1/3) + y. 2 11 (37)  îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïðîèçâåñòè ðàçëîæåíèå ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé è ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé çâåçä â óðàâíåíèÿõ (35) (37) ïî ÂÑÔ, îïðåäåëåííûì â ëþáîé çîíå ñêëîíåíèé. Ïðè ýòîì ñëåäóåò èìåòü â âèäó òî, ÷òî êîìïîíåíòû äâèæåíèÿ Ñîëíöà âõîäÿò â íàøè óðàâíåíèÿ c ìíîæèòåëåì 1/r. Åñëè ýôôåêòû äâèæåíèÿ Ñîëíöà íå èñêëþ÷åíû, òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ÂÑÔ âìåñòî êîìïîíåíòîâ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ Ñîëíöà ìû îïðåäåëèì ëèøü âåëè÷èíû û = uhπi, v̂ = vhπi, ŵ = whπi, ãäå hπi ñðåäíèé ïàðàëëàêñ çâåçä. Èñõîäÿ èç ñìûñëà íàøåé çàäà÷è, ìû ïðîèçâåëè ðàçëîæåíèå óðàâíåíèé (35) (37) ïî þæíîìó ïîëóøàðèþ íåáåñíîé ñôåðû (òàáëèöû 1, 2 è 3). Íà îñíîâàíèè ðåçóëüòàòîâ, ïðåäñòàâëåííûõ â òàáëèöàõ 1, 2 è 3, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðàçëîæåíèÿ óðàâíåíèé (35)-(37): • ìîäåëü Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà ïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ íàáîðîì ãàðìîíèê, ïîðÿäîê êîòîðûõ ïî èíäåêñó k íå ïðåâûøàåò äâóõ; • äëÿ çîííûõ êàòàëîãîâ çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ, êàê ïðàâèëî, ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ çàäàíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé íà âñåé ñôåðå (Âèòÿçåâ, Öâåòêîâ, 2009); • ëèíåéíûå êîìáèíàöèè îäíèõ è òåõ æå ïàðàìåòðîâ ôîðìèðóþò ðàçëè÷íûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè ïî ðàçëè÷íûì êîýôôèöèåíòàì ðàçëîæåíèÿ; • â ñâîþ î÷åðåäü, âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà ïî ðàçíûì êîýôôèöèåíòàì ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü òåñòû ñîîòâåòñòâèÿ ìîäåëè íàáëþäàòåëüíûì äàííûì; • â ìåòîäå ÂÑÔ çà èñêëþ÷åíèåì ïàðàìåòðîâ æåñòêîãî âðàùåíèÿ ðåøåíèå ïî ðàäèàëüíûì ôóíêöèÿì ïîëíîñòüþ ðåøàåò çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè ïàðàìåòðîâ ïîëÿ ñêîðîñòåé òîëüêî ïî ëó÷åâûì ñêîðîñòÿì íåçàâèñèìî îò ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä. Ýòî ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò ïðîâåðÿòü ñîâìåñòíîñòü ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé è ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. Òàêàÿ ïðîâåðêà âåñüìà æåëàòåëüíà, ïîñêîëüêó ëó÷åâûå ñêîðîñòè è ñîáñòâåííûå äâèæåíèÿ çâåçä îïðåäåëÿþòñÿ ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûìè ìåòîäàìè è ìîãóò èìåòü ñâîè ñèñòåìàòè÷åñêèå îøèáêè. 10 Òàáëèöà 1: Çíà÷åíèÿ òîðîèäàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ óðàâíåíèé (35) è (36) Êîýôôèöèåíò t101 t110 t111 Çíà÷åíèå 1.950 ω3 1.791 ω2 + 0.767 û − 0.256 m+ 13 1.791 ω1 − 0.767 v̂ + 0.256 m+ 23 t201 t210 t211 t220 t221 0.457 ω3 0.330 ω2 + 0.330 û − 0.330 m+ 13 0.330 ω1 − 0.330 v̂ + 0.330 m+ 23 −0.216 m∗11 0.432 m+ 12 t301 t310 t311 t320 t321 0.277 ω3 0.195 ω2 + 0.195 û − 0.195 m+ 13 0.195 ω1 − 0.195 v̂ + 0.195 m+ 23 −0.108 m∗11 0.216 m+ 12 t401 t410 t411 t420 t421 0.189 ω3 0.133 ω2 + 0.133 û − 0.133 m+ 13 0.133 ω1 − 0.133 v̂ + 0.133 m+ 23 −0.070 m∗11 0.140 m+ 12 t501 t510 t511 t520 t521 ... 0.148 ω3 0.098 ω2 + 0.098 û − 0.098 m+ 13 0.098 ω1 − 0.098 v̂ + 0.098 m+ 23 −0.050 m∗11 0.101 m+ 12 ... Ìåòîä ÂÑÔ íà ïðàêòèêå Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè èìååòñÿ çîííûé êàòàëîã çâåçä, äëÿ êîòîðûõ èçâåñòíû ïàðàëëàêñû, ëó÷åâûå ñêîðîñòè, ýêâàòîðèàëüíûå êîîðäèíàòû è êîìïîíåíòû ñîáñòâåííîãî äâèæåíèÿ ïî ïðÿìîìó âîñõîæäåíèþ è ñêëîíåíèþ. Îïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü øàãîâ êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëÿ ñêîðîñòåé çâåçä ñ ïîìîùüþ âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé. 1. Âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ vnkp , tnkp , snkp ïîëÿ ñêîðîñòåé ïî âåêòîðíûì ñôåðè÷åñêèì ôóíêöèÿì.  ïðèíöèïå, âû÷èñëåíèå ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ ìîæíî ïðîâîäèòü ñ ïîìîùüþ äèñêðåòíûõ àíàëîãîâ ôîðìóë (15 17), îäíàêî òàêîé ïîäõîä òðåáóåò ïðåäâàðèòåëüíîãî âûïîëíåíèÿ ïèêñåëèçàöèè äàííûõ íà âñåé ñôåðå èëè åå ÷àñòè. Âûïîëíèâ ñðàâíåíèå ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ ïèêñåëèçàöèè, ìû ïðèøëè ê âûâîäó, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ âûáîðîê, íàñ÷èòûâþùèõ äåñÿòêè òûñÿ÷ çâåçä, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ïî ñôåðå, ìîæíî âûïîëíèòü îïðåäåëåíèå èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé ïî âåêòîðíûì ñôåðè÷åñêèì ôóíêöèÿì ïðîñòî ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Vr /r = X nkp vnkp Vnkp (α, δ̂), (38) 11 Kµα cos δ = X tnkp Tα nkp (α, δ̂) + X tnkp Tδnkp (α, δ̂) + nkp snkp Sα nkp (α, δ̂), (39) nkp nkp Kµδ = X X snkp Sδnkp (α, δ̂) (40) nkp îáû÷íîé ïðîöåäóðîé ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü íå òîëüêî îöåíêè èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ, íî è èõ ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå îøèáêè. Âûáîð îáùåãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåí èç óñëîâèÿ òîãî, ÷òî îñòàòêè â êîìïîíåíòàõ ïîëÿ ñêîðîñòåé ïîñëå âû÷èòàíèÿ èç íèõ ñòàòèñòè÷åñêè çíà÷èìûõ ãàðìîíèê âåäóò ñåáÿ êàê ñëó÷àéíûå ÷èñëà (Áðîøå, 1966). 2. Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ êîíêðåòíîé êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. Ïîñëå òîãî, êàê âûïîëíåíî îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ vnkp ± σvnkp , tnkp ± σtnkp , snkp ± σsnkp , íà îñíîâàíèè òàáëèö 1 3 ìîæíî íàïèñàòü óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ñ èñêîìûìè ïàðàìåòðàìè ìîäåëè. ×èñëî òàêèõ óðàâíåíèé áåðåòñÿ ðàâíûì ÷èñëó îïðåäåëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêî (òåîðåòè÷åñêè áåñêîíå÷íî ìíîãî) îöåíîê ïàðàìåòðîâ ìîäåëåé. Íà ïðàêòèêå öåëåñîîáðàçíî ñòðîèòü ðåøåíèÿ äëÿ ìëàäøèõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ, òàê êàê äëÿ íèõ êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ èìåþò íå î÷åíü ìàëûå çíà÷åíèÿ, ÷òî ïðèâîäèò ïîòîì ê ðàçóìíûì îöåíêàì ñðåäíåêâàäðàòè÷íûõ îøèáîê îïðåäåëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ.  íàøåì ìåòîäå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü äâå îöåíêè Òàáëèöà 2: Çíà÷åíèÿ ñôåðîèäàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ óðàâíåíèé (35) è (36) Êîýôôèöèåíò s101 s110 s111 Çíà÷åíèå −1.950 ŵ − 0.873 x −1.791 v̂ + 0.767 ω1 − 1.279 m+ 23 −1.791 û − 0.767 ω2 − 1.279 m+ 13 s201 s210 s211 s220 s221 −0.457 ŵ + 0.274 x −0.330 v̂ + 0.330 ω1 + 0.727 m+ 23 −0.330 û − 0.330 ω2 + 0.727 m+ 13 1.338 m+ 12 0.669 m∗11 s301 s310 s311 s320 s321 −0.277 ŵ + 0.017 x −0.195 v̂ + 0.195 ω1 + 0.195 m+ 23 −0.195 û − 0.195 ω2 + 0.195 m+ 13 0.464 m+ 12 0.232 m∗11 s401 s410 s411 s420 s421 −0.189 ŵ + 0.007 x −0.133 v̂ + 0.133 ω1 + 0.133 m+ 23 −0.133 û − 0.133 ω2 + 0.133 m+ 13 0.284 m+ 12 0.147 m∗11 s501 s510 s511 s520 s521 ... −0.139 ŵ − 0.0036 x −0.098 v̂ + 0.098 ω1 + 0.098 m+ 23 −0.098 û − 0.098 ω2 + 0.098 m+ 13 0.209 m+ 12 0.105 m∗11 ... 12 ïàðàìåòðîâ, íàçûâàÿ èõ îñíîâíûì è àëüòåðíàòèâíûìè ðåøåíèÿìè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îñíîâíîãî è àëüòåðíàòèâíîãî ðåøåíèé ïî ñîáñòâåííûì äâèæåíèÿì çâåçä áóäåì ècïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå íàáîðû êîýôôèöèåíòîâ: cmain = (s101 , s110 , s111 , s201 , s210 , s211 , s220 , s221 , t101 , t110 , t111 )T , (41) calt = (s101 , s110 , s111 , s301 , t201 , t110 , t111 , t210 , t211 , t220 , t221 )T . (42) Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îäíîñòîëáöîâóþ ìàòðèöó èñêîìûõ êèíåìàòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìûõ ïî ñîáñòâåííûì äâèæåíèÿì çâåçä: + + ∗ ∗ T p = (û, v̂, ŵ, ω1 , ω2 , ω3 , m+ 13 , m23 , m12 , m11 , m33 ) . (43) Äëÿ èõ îïðåäåëåíèÿ â îñíîâíîì è àëüòåðíàòèâíîì ïðèáëèæåíèÿõ ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèå ìàòðè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ: pmain = a cmain ; palt = b calt . Âõîäÿùèå ñþäà ìàòðèöû a è b ëåãêî îïðåäåëÿþòñÿ íà îñíîâàíèè òàáëèö 1, 2. Òàáëèöà 3: Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ óðàâíåíèÿ (37) Êîýôôèöèåíò v001 v101 v110 v111 Çíà÷åíèå 1.253 ŵ + 2.507 y −0.724 ŵ − 0.724 x −1.379 v̂ − 1.235 m+ 23 −1.379 û − 1.235 m+ 13 v201 v210 v211 v220 v221 0.187 x −0.323 v̂ + 0.388 m+ 23 −0.323 û + 0.388 m+ 13 1.133 m+ 12 0.566 m∗11 v310 v311 v320 v321 −0.196 v̂ + 0.024 m+ 23 −0.196 û + 0.024 m+ 13 0.428 m+ 12 0.214 m∗11 v410 v411 v420 v421 −0.134 v̂ + 0.010 m+ 23 −0.134 û + 0.010 m+ 13 0.280 m+ 12 0.140 m∗11 v510 v511 v520 v521 ... −0.099 v̂ + 0.005 m+ 23 −0.099 û + 0.005 m+ 13 0.203 m+ 12 0.101 m∗11 ... (44) 13 Àíàëîãè÷íî, äëÿ ïîëó÷åíèÿ îñíîâíîãî è àëüòåðíàòèâíîãî ðåøåíèé ïî ëó÷åâûì ñêîðîñòÿì çâåçä áóäåì ècïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå íàáîðû êîýôôèöèåíòîâ: vmain = (v001 , v101 , v110 , v111 , v201 , v210 , v211 , v220 , v221 )T , (45) valt = (v001 , v101 , v201 , v210 , v211 , v310 , v311 , v320 , v321 )T . (46) Òåïåðü ââåäåì â ðàññìîòðåíèå îäíîñòîëáöîâóþ ìàòðèöó èñêîìûõ êèíåìàòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìûõ ïî ëó÷åâûì ñêîðîñòÿì çâåçä: + + + + + T r = (û, v̂, ŵ, m+ 13 , m23 , m12 , m11 , m33 , m22 ) . (47) Äëÿ èõ îïðåäåëåíèÿ â îñíîâíîì è àëüòåðíàòèâíîì ïðèáëèæåíèÿõ ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèå ìàòðè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ: rmain = c vmain ; ralt = d valt . (48) Âõîäÿùèå ñþäà ìàòðèöû c è d îïðåäåëÿþòñÿ ïî äàííûì òàáëèöû 3. Âû÷èñëåííûå óêàçàííûì ñïîñîáîì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà îòíîñÿòñÿ ê ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Îíè ìîãóò áûòü ïåðåâåäåíû â ãàëàêòè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (30), (32) è (33). 3. Àíàëèç âíåìîäåëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ. Êàê ñëåäóåò èç òàáëèö 1, 2 è 3, ìîäåëü Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà ïîëíîñòüþ îïèñûâàeòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ tnpk , snpk äî k ≤ 2. Âñå îñòàëüíûå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ ñî çíà÷èìûìè êîýôôèöèåíòàìè îïðåäåëÿþò ñèñòåìàòè÷åñêèå êîìïîíåíòû ïîëÿ ñêîðîñòåé çâåçä, íå âõîäÿùèå â ñòàíäàðòíóþ ìîäåëü. Óñòàíîâëåíèå ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ýòèõ ãàðìîíèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòäåëüíóþ çàäà÷ó, ñâîäÿùóþñÿ, ïî ñóùåñòâó, ê ïîñòðîåíèþ íîâûé êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû Äëÿ òåñòèðîâàíèÿ âîçìîæíîñòåé ìåòîäà ÂÑÔ ìû ïðîâåëè ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû.  íèõ èñïîëüçîâàëèñü ýêâàòîðèàëüíûå êîîðäèíàòû 27 557 çâåçä êàòàëîãà Tycho-2 ñ îòðèöàòåëüíûìè ñêëîíåíèÿìè (çâåçäû êëàññà ñâåòèìîñòè III â äèàïàçîíå ðàññòîÿíèé îò 100 äî 200 ïê). Ýòà âûáîðêà îáåñïå÷èëà íàì äîñòàòî÷íî ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå çâåçä. Âî âñåõ ýêñïåðèìåíòàõ ìû ìåíÿëè ñîáñòâåííûå äâèæåíèÿ, ëó÷åâûå ñêîðîñòè è ïàðàëëàêñû ýòèõ çâåçä, íî íå ìåíÿëè èõ êîîðäèíàòû. Èñïîëüçóÿ äàò÷èê ñëó÷àéíûõ ÷èñåë (ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå), êàæäîé çâåçäå áûëî ïðèïèñàíî èñêóññòâåííîå ðàññòîÿíèå â äèàïàçîíå îò 500 äî 2000 ïê. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (35) (37) äëÿ ýòèõ çâåçä áûëè âû÷èñëåíû ôèêòèâíûå ñîáñòâåííûå äâèæåíèÿ è ëó÷åâûå ñêîðîñòè ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè, ïîêàçàííûõ â òàáëèöå 4.  ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòèì çíà÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóþò ïàðàìåòðû ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà, ïîêàçàííûå â òîé æå òàáëèöå áîëüøèìè áóêâàìè. Òåñòèðîâàíèå ïðîâîäèëîñü â ïðåäïîëîæåíèè î òîì, ÷òî ýôôåêòû äâèæåíèÿ Ñîëíöà ñîîòâåòñòâóþò ñòàíäàðòíûì çíà÷åíèÿì ìîäóëÿ ñêîðîñòè è êîîðäèíàò àïåêñà â ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò v = 20 êì/ñ, A = 270◦ , D = 30◦ . Äëÿ ýòèõ çíà÷åíèé èìååì êîìïîíåíòû ñêîðîñòè u = 0, v = −17.3, w = 10 êì/ñ.  ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå èì ñîîòâåòñòâóþò êîìïîíåíòû U = 10.3, V = 15.2, W = 8.0 êì/c. Îòìåòèì, ÷òî âû÷èñëåíèå ìîäåëüíûõ ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé è ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé çâåçä ïðîèçâîäèëîñü ñ ïîìîùüþ çàäàâàåìûõ âåëè÷èí m∗11 , x, y . Ðåøåíèå óðàâíåíèé ïîëó÷àëîñü äëÿ ïàðàìåòðîâ m∗11 = −12.47, m∗33 = −22.5 â ñëó÷àå ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé è äëÿ ïàðàìåòðîâ m+ 11 = −0.81, + m+ = −10.48 , m = 11.66 â ñëó÷àå ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé. 33 22 14 Òàáëèöà 4: Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â êì/c · êïê−1 , ïðèíÿòûå äëÿ ãåíåðàöèè êàòàëîãà TEST â ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ìàëûå áóêâû) è â ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (áîëüøèå áóêâû) ω1 ω2 ω3 m+ m+ m+ m∗11 x y 13 23 12 13.02 2.97 −6.84 −4.20 −6.56 −6.11 −12.47 −16.26 0 Ω1 0 Ω2 0 Ω3 −15 + M11 0 + M12 15 + M13 0 + M22 0 + M23 0 + M33 0 Îáû÷íûé ïóòü âûïîëíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëÿ ñêîðîñòåé çâåçä ýòî ïðÿìîå îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà ñ ïîìîùüþ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì íàçûâàòü òàêîé ïîäõîä ¾Ìåòîäîì ìîäåëè¿. Âî âñåõ íàøèõ ýêñïåðèìåíòàõ ìû ðåøàëè óðàâíåíèÿ (38) (40) îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé ïî ÂÑÔ, à òàêæå óðàâíåíèÿ (35) (37) îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà. Ýòî äåëàëîñü äëÿ ñðàâíåíèÿ íàøåãî ìåòîäà ñî ñòàíäàðòíûì ¾Ìåòîäîì ìîäåëè¿. Ýêñïåðèìåíò 1.  ýòîì ýêñïåðèìåíòå òåñòîâûé êàòàëîã TEST ôîðìèðîâàëñÿ ïóòåì äîáàâëåíèÿ ê ìîäåëüíûì ñîáñòâåííûì äâèæåíèÿì øóìîâîé êîìïîíåíòû, ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé íà óðîâíå 3 ìñä/ãîä. Ðåçóëüòàòû ýòîãî ýêñïåðèìåíòà ïîêàçàëè, ÷òî â òîì ñëó÷àå, êîãäà èñõîäíûå äàííûå îòðàæàþò êèíåìàòè÷åñêèå ýôôåêòû ìîäåëè è ñîäåðæàò òîëüêî øóìîâóþ êîìïîíåíòó, ¾Ìåòîä ìîäåëè¿ è ìåòîä ÂÑÔ âîññòàíàâëèâàþò çàäàííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâî. Òàáëèöà 5: Ýêñïåðèìåíò 1. Âîññòàíîâëåíèå ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà Ìèëíà ïî êàòàëîãó TEST ¾Ìåòîäîì ìîäåëè¿ è ìåòîäîì âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé îñíîâíîå è àëüòåðíàòèâíîå ðåøåíèÿ. Çàäàííûå çíà÷åíèÿ û v̂ ŵ ω1 ω2 ω3 m+ 13 m+ 23 m+ 12 m∗11 m∗33 0 −17.3 10 13.02 2.97 −6.84 −4.20 −6.56 −6.11 −12.47 −22.50 Ìåòîä ìîäåëè ÂÑÔ îñíîâíîå ðåøåíèå àëüòåðíàòèâíîå ðåøåíèå 0.19 ± 0.27 −16.04 ± 0.27 9.39 ± 0.22 13.06 ± 0.24 2.90 ± 0.24 −6.86 ± 0.12 −4.32 ± 0.23 −6.10 ± 0.23 −5.82 ± 0.15 −12.30 ± 0.30 −22.81 ± 0.51 0.18 ± 0.32 −15.87 ± 0.32 9.36 ± 0.24 13.19 ± 0.25 2.84 ± 0.25 −6.89 ± 0.12 −4.28 ± 0.29 −6.20 ± 0.29 −5.89 ± 0.18 −12.54 ± 0.35 −22.87 ± 0.56 0.79 ± 0.53 −16.08 ± 0.53 9.46 ± 0.82 13.15 ± 0.36 2.50 ± 0.36 −6.36 ± 0.55 −4.94 ± 0.54 −6.03 ± 0.54 −5.57 ± 0.55 −12.22 ± 1.11 −22.95 ± 1.93 Îñòàíîâèìñÿ òåïåðü íà íåêîòîðûõ ñâîéñòâàõ ìåòîäà ÂÑÔ, êîòîðûìè íå îáëàäàåò ¾Ìåòîä ìîäåëè¿. Ýêñïåðèìåíò 2.  òåñòîâûé êàòàëîã, ïðèìåíÿâøèéñÿ â ïðåäûäóùåì ýêñïåðèìåíòå, â èñêóññòâåííûå ñîáñòâåííûå äâèæåíèÿ âíîñèëèñü êîìïîíåíòû ¾ñèñòåìàòè÷åñêîãî¿ øóìà âèäà 300 T551 , 300 S551 , íå âõîäÿùèå â ìîäåëü Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ÂÑÔ ñóììà êâàäðàòîâ íåâÿçîê âû÷èñëÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ âíåìîäåëüíûõ ÷ëåíîâ, à â ¾Ìåòîäå ìîäåëè¿ òàêîé ó÷åò ñäåëàòü íåëüçÿ. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ìåòîä ÂÑÔ íå òîëüêî îáíàðóæèâàåò âíåìîäåëüíûå ÷ëåíû, íî è ïîçâîëÿåò óñòðàíèòü èõ âëèÿíèå íà ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå îøèáêè îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ýòîìó, ¾Ìåòîä ìîäåëè¿ ñìåøèâàåò ñèñòåìàòè÷åñêèå øóìû ñî ñëó÷àéíûìè êîìïîíåíòàìè, ÷òî ïðèâîäèò ê çàâûøåíèþ îöåíîê ñðåäíåêâàäðàòè÷íûõ îøèáîê îïðåäåëÿåìûõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ìîäåëè.  íàøåì ýêñïåðèìåíòå ìû ïîëó÷èëè, ÷òî 15 ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå îøèáêè âîçðîñëè ïðèìåðíî â 10 ðàç. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ¾Ìåòîäå ìîäåëè¿ íåêîòîðûå ÌÍÊ-îöåíêè ñèëüíî êîððåëèðîâàíû. Òàê, àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ìåæäó âåëè÷èíàìè û è ω2 , à òàêæå ìåæäó v̂ è ω1 äîñòèãàþò 0.87, à ìåæäó û è m13 è v̂ è m23 0.75. Ïî ýòîé ïðè÷èíå çíà÷åíèÿ ìíîãèõ ïàðàìåòðîâ, âîçâðàùàåìûõ ¾Ìåòîäîì ìîäåëè¿, ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ îò çàäàííûõ (â íàøåì ñëó÷àå îêàçàëîñü ω1 = 3.22 ± 1.89 âìåñòî 13.02).  òî æå ñàìîå âðåìÿ, êàê ýòî ïîêàçàëè íàøè âû÷èñëåíèÿ, ìåòîä ÂÑÔ äàåò íåêîððåëèðîâàííûå îöåíêè â ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè èñïîëüçîâàííûõ íàìè âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé è íàäåæíî çàùèùàåò èñêîìûå ïàðàìåòðû îò âëèÿíèÿ ñèëüíûõ ïîìåõ ñèñòåìàòè÷åñêîãî õàðàêòåðà. Òàáëèöà 6: Ýêñïåðèìåíò 2. Âîññòàíîâëåíèå ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà Ìèëíà ïî êàòàëîãó TEST ¾Ìåòîäîì ìîäåëè¿ è ìåòîäîì âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé îñíîâíîå è àëüòåðíàòèâíîå ðåøåíèÿ. Çàäàííûå Ìåòîä ìîäåëè ÂÑÔ îñíîâíîå àëüòåðíàòèâíîå çíà÷åíèÿ ðåøåíèå ðåøåíèå û v̂ ŵ ω1 ω2 ω3 m+ 13 m+ 23 m+ 12 m∗11 m∗33 0 −17.3 10 13.02 2.97 −6.84 −4.20 −6.56 −6.11 −12.47 −22.50 10.06 ± 2.12 −24.98 ± 2.16 10.06 ± 1.77 3.22 ± 1.89 −3.45 ± 1.87 −6.44 ± 0.92 −9.16 ± 1.83 −2.33 ± 1.84 5.81 ± 1.18 −13.40 ± 2.34 −26.24 ± 4.02 0.18 ± 0.32 −15.87 ± 0.32 9.36 ± 0.24 13.19 ± 0.25 2.84 ± 0.25 −6.89 ± 0.12 −4.28 ± 0.29 −6.20 ± 0.29 −5.89 ± 0.18 −12.54 ± 0.35 −22.87 ± 0.56 0.79 ± 0.53 −16.08 ± 0.53 9.46 ± 0.82 13.15 ± 0.36 2.50 ± 0.36 −6.36 ± 0.55 −4.94 ± 0.54 −6.03 ± 0.54 −5.57 ± 0.55 −12.22 ± 1.11 −22.95 ± 1.93 Òàáëèöà 7: Ýêñïåðèìåíò 3. Âîññòàíîâëåíèå ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà Ìèëíà ïî êàòàëîãó TEST ¾Ìåòîäîì ìîäåëè¿ è ìåòîäîì âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé îñíîâíîå è àëüòåðíàòèâíîå ðåøåíèÿ. Çàäàííûå Ìåòîä ìîäåëè ÂÑÔ îñíîâíîå àëüòåðíàòèâíîå çíà÷åíèÿ ðåøåíèå ðåøåíèå û v̂ ŵ ω1 ω2 ω3 m+ 13 m+ 23 m+ 12 m∗11 m∗33 0 −17.3 10 13.02 2.97 −6.84 −4.20 −6.56 −6.11 −12.47 −22.50 0.11 ± 0.27 −16.03 ± 0.27 9.21 ± 0.23 13.14 ± 0.24 2.66 ± 0.24 −6.89 ± 0.12 −4.07 ± 0.23 −6.14 ± 0.23 −0.95 ± 0.15 −12.36 ± 0.30 −22.71 ± 0.51 0.18 ± 0.32 −15.79 ± 0.32 9.40 ± 0.24 13.25 ± 0.25 2.84 ± 0.25 −6.89 ± 0.12 −4.28 ± 0.29 −6.26 ± 0.29 0.23 ± 0.18 −12.55 ± 0.35 −22.97 ± 0.56 0.79 ± 0.53 −16.12 ± 0.53 9.65 ± 0.82 13.14 ± 0.36 2.50 ± 0.36 −6.40 ± 0.55 −4.94 ± 0.54 −5.96 ± 0.54 −13.67 ± 0.55 −12.19 ± 1.11 −23.37 ± 1.93 Ýêñïåðèìåíò 3.  ñîáñòâåííûõ äâèæåíèÿõ êàòàëîãà TEST ýôôåêò äåôîðìàöèè ïîëÿ ñêîðîñòåé, îïèñûâàåìûé ïàðàìåòðîì m+ 12 = −6.1 áûë çàìåíåí íà −6.1 T221 . Ðåçóëüòàòû ýòîãî ýêñïåðèìåíòà ïîêàçàíû â òàáëèöå 7. Îáà íàøèõ ìåòîäà è ¾Ìåòîä ìîäåëè¿, è ìåòîä ÂÑÔ íàñòðîåíû íà ïîèñê ïàðàìåòðà m+ 12 , íî â ýòîé ñèòóàöèè îíè âåäóò ñåáÿ ðàçëè÷íî. ¾Ìåòîä ìîäåëè¿ äàåò äëÿ çàâåäîìî íóëåâîé âåëè÷èíû ñòàòèñòè÷åñêè íàäåæíîå çíà÷åíèå m+ 12 = −0.95 ± 0.15, êîòîðîìó ïðèõîäèòñÿ ïðîñòî âåðèòü. Î÷åíü èíòåðåñíûì îêàçàëñÿ ðåçóëüòàò âîññòàíîâëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè ìåòîäîì ÂÑÔ. Çäåñü ìû âèäèì, ÷òî äëÿ ïàðàìåòðà m+ 12 îñíîâíîé è àëüòåðíàòèâíûé âàðèàíòû ðåøåíèé äàþò 16 ðàçëè÷íûå îöåíêè. Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò ïîëåçíîå ñâîéñòâî àëüòåðíàòèâíîãî ðåøåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå íåñîâïàäåíèå îñíîâíîãî è àëüòåðíàòèâíîãî ðåøåíèé ãîâîðèò î òîì, ÷òî â èññëåäóåìûõ äàííûõ íåò ýôôåêòà äåôîðìàöèè ïîëÿ ñêîðîñòåé â îñíîâíîé ïëîñêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä ÂÑÔ ïîçâîëÿåò íå òîëüêî îïðåäåëÿòü ïàðàìåòðû êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, íî è ïðîèçâîäèòü ïðîâåðêó ñîîòâåòñòâèÿ ìîäåëè íàáëþäàòåëüíûì äàííûì. Àíàëîãè÷íûå ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû áûëè ïðîäåëàíû è ñ êàòàëîãîì èñêóññòâåííûõ ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé. Ðåçóëüòàòû ýòèõ ýêñïåðèìåíòîâ îêàçàëèñü àíàëîãè÷íûìè. Ïîäâîäÿ èòîã ïðîäåëàííûì ýêñïåðèìåíòàì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî äëÿ êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä, çàäàííûõ íà ïîëóñôåðå, ìåòîä âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé îáëàäàåò áîëåå øèðîêèìè âîçìîæíîñòÿìè, ÷åì ¾Ìåòîä ìîäåëè¿. Ýòè âîçìîæíîñòè ïîçâîëÿþò íå òîëüêî îïðåäåëÿòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ çàäàííîé ìîäåëè, íî è òåñòèðîâàòü ðåàëüíûå äàííûå íà èõ ñîîòâåòñòâèå ñòàíäàðòíûì ìîäåëÿì.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ¾Ìåòîäó ìîäåëè¿, î÷åíü âàæíûì ñâîéñòâîì ìåòîäà ÂÑÔ ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü îáíàðóæåíèÿ òåõ ñòàòèñòè÷åñêè çíà÷èìûõ ãàðìîíèê ðàçëîæåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé, êîòîðûå íå âõîäÿò â ñòàíäàðòíûå ìîäåëè. Ðåçóëüòàòû ïî ñîáñòâåííûì äâèæåíèÿì êàòàëîãà TYCHO-2/Spectral Type Ìû ïðîâåëè îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ñôåðè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ñîáñòâåííûì äâèæåíèÿì çâåçä þæíîé ïîëóñôåðû êàòàëîãà Tycho-2 Spectral Types, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàçëè÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ. Äëÿ îöåíêè ñïåêòðàëüíîãî ïàðàëëàêñà çâåçäû íåîáõîäèìî çíàòü åå àáñîëþòíóþ è âèäèìóþ çâåçäíûå âåëè÷èíû. Âèäèìàÿ çâåçäíàÿ âåëè÷èíà ïðèâåäåíà â êàòàëîãå Tycho-2 ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè. Àáñîëþòíàÿ çâåçäíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ñïåêòðó è êëàññó ñâåòèìîñòè. Ïîëüçóÿñü ýòîé ìåòîäèêîé (ïîäðîáíî îïèñàííîé â íàøåé ðàáîòå (Ïîïîâ, Âèòÿçåâ, Öâåòêîâ, 2006)), ìû âû÷èñëèëè ñïåêòðàëüíûå ïàðàëëàêñû çâåçä, äëÿ êîòîðûõ â êàòàëîãå Tycho-2 Spectral Type ïðèâåäåíû êëàññû ñâåòèìîñòè. Âñåãî òàêèõ çâåçä îêàçàëîñü 137 406. Òàáëèöà 8: Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ñôåðè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé äëÿ þæíîé ïîëóñôåðû Tycho-2 Spectral Types 100-200 ïê 300-400 ïê 100-200 ïê 300-400 ïê t101 −19.53 ± 2.24 −8.33 ± 1.56 s101 2.78 ± 2.24 −5.12 ± 1.56 t110 15.05 ± 2.35 9.58 ± 1.64 s110 −0.35 ± 2.35 −2.19 ± 1.64 t111 11.23 ± 2.34 4.44 ± 1.52 s111 10.56 ± 2.34 4.54 ± 1.52 t201 −1.94 ± 2.35 −6.54 ± 1.58 s201 −6.40 ± 2.35 −9.69 ± 1.58 t210 −1.05 ± 2.34 3.59 ± 1.54 s210 −8.87 ± 2.34 −9.10 ± 1.54 t211 −4.18 ± 2.35 −0.47 ± 1.59 s211 −5.83 ± 2.35 −7.10 ± 1.59 t220 6.12 ± 2.27 8.60 ± 1.57 s220 −12.11 ± 2.27 −5.95 ± 1.57 t221 −5.30 ± 2.25 −1.38 ± 1.55 s221 −6.25 ± 2.25 −5.52 ± 1.55 t301 −6.20 ± 2.40 −1.73 ± 1.59 s301 −2.57 ± 2.40 −4.28 ± 1.59 t310 2.65 ± 2.33 2.44 ± 1.51 s310 0.37 ± 2.33 −0.03 ± 1.51 t311 −1.89 ± 2.36 −2.51 ± 1.60 s311 1.78 ± 2.36 0.67 ± 1.60 t320 0.18 ± 2.31 5.65 ± 1.58 s320 −3.08 ± 2.31 −3.52 ± 1.58 t321 −1.57 ± 2.31 −1.56 ± 1.56 s321 −6.41 ± 2.31 −4.35 ± 1.56 t330 4.05 ± 2.22 2.56 ± 1.56 s330 1.51 ± 2.22 3.34 ± 1.56 t331 4.94 ± 2.22 2.11 ± 1.54 s331 −2.07 ± 2.22 −6.42 ± 1.54 Ìû èñïîëüçîâàëè îêîëî äåñÿòêà ðàçíûõ âûáîðîê, íî çäåñü ïðèâîäèì ðåçóëüòàòû ëèøü äâóõ âûáîðîê: 100-200 è 300-400 ïê. Êîýôôèöèåíòû ñôåðè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ äëÿ þæíîé ïîëóñôåðû Tycho2 Spectral Types ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå 8. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ïðèâåäåíû â òàáë. 9. Ïîìèìî ýòèõ âûáîðîê ìû ïðîâåëè êèíåìàòè÷åñêèé àíàëèç ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä ãëàâ- 17 Òàáëèöà 9: Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò 100-200 ïê 300-400 ïê Îñíîâíîå Àëüòåðíàòèâíîå Îñíîâíîå Àëüòåðíàòèâíîå Û −15.18 ± 2.90 −16.22 ± 5.84 −16.69 ± 1.93 −10.68 ± 3.92 −5.64 ± 2.66 −7.98 ± 6.73 2.63 ± 1.79 8.76 ± 4.48 V̂ Ŵ 4.48 ± 2.92 13.76 ± 5.75 1.16 ± 1.97 5.52 ± 3.81 Ω1 −4.70 ± 2.17 −12.13 ± 3.89 −1.74 ± 1.49 2.84 ± 2.62 Ω2 −4.85 ± 1.81 −2.85 ± 4.46 −0.08 ± 1.22 −10.38 ± 3.01 Ω3 −19.02 ± 2.19 −17.48 ± 3.84 −11.09 ± 1.44 −11.37 ± 2.58 + M13 −1.93 ± 2.21 2.12 ± 6.16 1.35 ± 1.50 3.75 ± 4.17 + M23 1.56 ± 2.50 −0.75 ± 7.30 1.81 ± 1.69 3.79 ± 4.89 + M12 17.89 ± 2.52 22.90 ± 7.52 16.82 ± 1.70 21.45 ± 5.04 ∗ M11 −10.19 ± 5.13 −8.90 ± 11.46 −4.68 ± 3.43 24.61 ± 7.74 ∗ M33 −1.51 ± 5.10 −22.84 ± 11.60 6.16 ± 3.46 2.21 ± 7.76 íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (êëàññ ñâåòèìîñòè III) è êðàñíûõ ãèãàíòîâ (êëàññ ñâåòèìîñòè V).  îáîèõ ñëó÷àÿõ áûëè âûáðàíû çâåçäû ñ óäàëåíèåì îò Ñîëíöà áîëåå 100 ïê. Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ îñòàòî÷íûõ ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé ïî âåêòîðíûì ñôåðè÷åñêèì ôóíêöèÿì ïðèâîäÿòñÿ â òàáë. 10, à çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà, âû÷èñëåííûå ÷åðåç óêàçàííûå êîýôôèöèåíòû, â òàáë. 11. Ïåðåä ïðîâåäåíèåì êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä ñ ïðèìåíåíèåì âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé ìû èñêëþ÷èëè ýôôåêòû ñîëíå÷íîãî äâèæåíèÿ, ïàðàìåòðû êîòîðîãî ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëÿëèñü ïî èñïîëüçóåìûì âûáîðêàì ñ ó÷åòîì èíäèâèäóàëüíûõ ôîòîìåòðè÷åñêèõ ðàññòîÿíèé. Çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ ïðèâåäåíû â òàáëèöå 12. Ïîëó÷åííûå íàìè îöåíêè êîìïîíåíòîâ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ Ñîëíöà ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ïîëíóþ ñêîðîñòü Ñîëíöà, à òàêæå êîîðäèíàòû àïåêñà åãî äâèæåíèÿ. Ýòè çíà÷åíèÿ õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ïî âñåì ÷åòûðåì âûáîðêàì. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ïåðåä âûïîëíåíèåì êèíåìàòè÷åñêèì àíàëèçà ýôôåêòû äâèæåíèÿ Ñîëíöà îòíîñèòåëüíî êîíêðåòíûõ öåíòðîèäîâ çâåçä áûëè èñêëþ÷åíû, ïîëó÷åííûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ tnkp è snkp â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äàëè ñòàòèñòè÷åñêè íàäåæíûå íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ äëÿ äëÿ âåëè÷èí Û ,V̂ ,Ŵ (ñì. òàáëèöû 9 è 11). Òåì íå ìåíåå, íóæíî îòìåòèòü, ÷òî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðîÿâëÿåòñÿ íå äëÿ âñåõ âûáîðîê. Ïî âñåé âèäèìîñòè, îíî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì íèçêîé òî÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ ôîòîìåòðè÷åñêèõ ïàðàëëàêñîâ îòäåëüíûõ çâåçä, è íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ñâèäåòåëüñòâîì ðåàëüíûõ êèíåìàòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ðàññìîòðåííûõ âûáîðîê çâåçä. ×òî êàñàåòñÿ êèíåìàòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà, òî äëÿ âñåõ âûáîðîê + − çâåçä ìû ïîëó÷èëè çíà÷èìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ Îîðòà A = M12 , B = M21 = Ω3 è íåçíà÷èìûå çíà÷åíèÿ âñåõ îñòàëüíûõ ïàðàìåòðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü îñíîâíîé âûâîä: ìåòîä âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ïðèìåíåííûé äëÿ êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä, ðàñïîëîæåííûõ òîëüêî â þæíîì ïîëóøàðèè ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ïîêàçàë, ÷òî îñíîâíûìè ýôôåêòàìè â ñîáñòâåííûõ äâèæåíèÿõ óêàçàííûõ çâåçä ÿâëÿþòñÿ äâèæåíèå Ñîëíöà îòíîñèòåëüíî çâåçä è ïëîñêîå âðàùåíèå Ãàëàêòèêè. Çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ìíîãî÷èñëåííûìè ðåçóëüòàòàìè àíàëèçà, ïîëó÷åííûìè ïî âñåé ñôåðå (Îãîðîäíèêîâ, 1965), (Ìèõàëàñ, Áèííè, 1981). 18 Òàáëèöà 10: Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ñôåðè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä III è V êëàññîâ ñâåòèìîñòè äëÿ þæíîé ïîëóñôåðû êàòàëîãà Tycho-2 Spectral Types III, r>100 ïê V, r>100 ïê III, r>100 ïê V, r>100 ïê t101 −6.53 ± 1.11 −23.89 ± 1.40 s101 −10.07 ± 1.11 2.08 ± 1.40 t110 15.52 ± 1.17 12.59 ± 1.49 s110 16.10 ± 1.17 −1.55 ± 1.49 t111 12.22 ± 1.12 13.95 ± 1.43 s111 3.37 ± 1.12 10.10 ± 1.43 t201 −5.49 ± 1.14 −2.85 ± 1.46 s201 −11.09 ± 1.13 −4.49 ± 1.46 t210 1.84 ± 1.13 −1.06 ± 1.44 s210 −7.88 ± 1.13 −6.84 ± 1.44 t211 2.23 ± 1.16 −2.34 ± 1.46 s211 −11.06 ± 1.16 −6.35 ± 1.46 t220 11.74 ± 1.12 4.08 ± 1.42 s220 −6.51 ± 1.12 −14.08 ± 11.42 t221 −0.87 ± 1.11 −6.97 ± 1.40 s221 −3.81 ± 1.11 −6.90 ± 1.40 t301 0.17 ± 1.16 −6.26 ± 1.48 s301 −4.43 ± 1.16 −0.59 ± 1.48 t310 2.20 ± 1.11 0.41 ± 1.42 s310 −0.93 ± 1.12 −0.67 ± 1.42 t311 −1.17 ± 1.16 −1.97 ± 1.47 s311 0.07 ± 1.16 1.93 ± 1.47 t320 4.42 ± 1.13 0.63 ± 1.44 s320 −4.54 ± 1.13 −2.59 ± 1.44 t321 −3.86 ± 1.12 1.28 ± 1.43 s321 −3.77 ± 1.12 −4.99 ± 1.43 t330 0.57 ± 1.11 3.95 ± 1.39 s330 3.25 ± 1.11 −1.47 ± 1.39 t331 4.37 ± 1.10 1.36 ± 1.38 s331 −3.45 ± 1.10 −1.34 ± 1.38 Òàáëèöà 11: Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò III, r>100 ïê V, r>100 ïê Îñíîâíîå Àëüòåðíàòèâíîå Îñíîâíîå Àëüòåðíàòèâíîå Û −11.30 ± 1.41 −2.97 ± 2.86 −14.15 ± 1.79 −11.69 ± 3.63 V̂ 9.38 ± 1.30 10.11 ± 3.27 −5.70 ± 1.65 −11.20 ± 4.17 Ŵ 1.87 ± 1.43 13.19 ± 2.79 2.21 ± 1.82 9.84 ± 3.55 Ω1 −3.80 ± 1.08 −4.31 ± 1.89 −1.66 ± 1.37 −9.32 ± 2.42 Ω2 0.49 ± 0.89 −11.35 ± 2.17 −4.98 ± 1.12 −3.27 ± 2.78 Ω3 −12.20 ± 1.06 −12.34 ± 1.87 −20.47 ± 1.35 −18.21 ± 2.39 + M13 0.32 ± 1.08 7.45 ± 3.01 −4.96 ± 1.38 −6.06 ± 3.83 + M23 3.25 ± 1.22 7.29 ± 3.55 2.50 ± 1.55 −0.19 ± 4.52 + M12 18.73 ± 1.23 21.61 ± 3.66 16.44 ± 1.56 15.68 ± 4.66 ∗ M11 −7.13 ± 2.50 23.74 ± 5.62 −8.13 ± 3.18 −13.93 ± 7.12 ∗ M33 11.06 ± 2.51 −12.56 ± 5.65 −2.09 ± 3.18 −25.43 ± 7.18 Òàáëèöà 12: Çíà÷åíèÿ êîìïîíåíòîâ Vx , Vy , Vz , è ìîäóëÿ ñêîðîñòè V äâèæåíèÿ Ñîëíöà (êì/c), à òàêæå êîîðäèíàò àïåêñà äâèæåíèÿ Ñîëíöà (ãðàä.) â ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, îïðåäåëåííûå äëÿ çâåçä ðàçëè÷íûõ ðàññòîÿíèé è äëÿ çâåçä III è V êëàññîâ ñâåòèìîñòè. 100-200 ïê 300-400 ïê III, r>100 ïê V, r>100 ïê Vx 1.21 ± 0.15 2.35 ± 0.23 0.98 ± 0.11 3.00 ± 0.16 Vy −14.81 ± 0.15 −22.18 ± 0.24 −15.37 ± 0.11 −21.32 ± 0.17 Vz 7.82 ± 0.15 7.96 ± 0.25 7.24 ± 0.11 10.30 ± 0.17 V 16.79 ± 0.15 23.68 ± 0.23 17.02 ± 0.11 23.88 ± 0.17 A 274.67 ± 0.58 276.05 ± 0.59 273.65 ± 0.41 278.22 ± 0.45 D 27.76 ± 0.51 19.60 ± 0.56 25.17 ± 0.37 25.56 ± 0.41 Çàêëþ÷åíèå Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì äàííîé ðàáîòû ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòðîåíèå ìåòîäà âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé äëÿ ïðîâåäåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé è ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé çâåçä çîííûõ êàòàëîãîâ. Ñ ýòîé öåëüþ íàìè áûëà ïîñòðîåíà ñèñòåìà ÂÑÔ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâàìè ïîëíîòû è îðòîãîíàëüíîñòè â çàäàííîé çîíå ñêëîíåíèé. Îáû÷íî êèíåìàòè÷åñêèé àíàëèç 19 ïðè íàëè÷èè äàííûõ, çàäàííûõ íà âñåé ñôåðå, ïðîâîäÿò â ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Çîííûå êàòàëîãè, êàê ïðàâèëî, ñòðîÿòñÿ â ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ó÷èòûâàÿ ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, íàìè áûë ðàçðàáîòàí ïðèåì, ïîçâîëÿþùèé ïî ïðîâåäåííîìó ðàçëîæåíèþ ñîáñòâåííûõ äâèæåíèÿ è ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé çâåçä â ñôåðè÷åñêîé çîíå ýêâàòîðèàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ïîëó÷àòü ïàðàìåòðû êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà â ãàëàêòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïðåäëîæåííûé ìåòîä êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëÿ ñêîðîñòåé, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé, îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ïðåèìóùåñòâàìè ïåðåä íåïîñðåäñòâåííûì îöåíèâàíèåì ïàðàìåòðîâ êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ: 1. ìåòîä ÂÑÔ âûÿâëÿåò ëþáûå ñèñòåìàòè÷åñêèå êîìïîíåíòû ïîëÿ ñêîðîñòåé çâåçä íåçàâèñèìî îò êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè; 2. ìåòîä ÂÑÔ ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû ëþáîé êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè; 3. â îòëè÷èå îò îáû÷íîé ïðîöåäóðû îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ êèíåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ìåòîä ÂÑÔ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü, êàê ìèíèìóì, äâå îöåíêè èñêîìûõ ïàðàìåòðîâ (îñíîâíóþ è àëüòåðíàòèâíóþ); 4. ñðàâíåíèå îñíîâíîãî è àëüòåðíàòèâíîãî ðåøåíèé ïîçâîëÿåò ïðîâåñòè ïðîâåðêó ñîîòâåòñòâèÿ ìîäåëè íàáëþäàòåëüíûì äàííûì; 5. äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàíäàðòíîé ìîäåëè ïî ñèñòåìå âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà þæíîì èëè ñåâåðíîì ïîëóøàðèè íåáåñíîé ñôåðû, òðåáóþòñÿ ëèøü ôóíêöèè ñ èíäåêñàìè k ≤ 2. Âñå îñòàëüíûå ôóíêöèè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîèñêà ñèñòåìàòè÷åñêèõ êîìïîíåíòîâ, íå âõîäÿùèõ â ìîäåëü Îãîðîäíèêîâà-Ìèëíà. Âñå ýòè ñâîéñòâà áûëè ïîäòâåðæäåíû ÷èñëåííûìè ýêñïåðèìåíòàìè, ïîñëå ÷åãî ìû ïðèìåíèëè ìåòîä âåêòîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé äëÿ àíàëèçà ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä êàòàëîãà Tycho-2. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè íàáëþäàòåëüíûõ äàííûõ, ñîäåðæàùèõñÿ òîëüêî â þæíîì ïîëóøàðèè íåáåñíîé ñôåðû, íîâûé ìåòîä äàåò îöåíêè êèíåìàòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, íàõîäÿùèåñÿ â õîðîøåì ñîãëàñèè ñ êëàññè÷åñêèìè ðåçóëüòàòàìè êèíåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ñîáñòâåííûõ äâèæåíèé çâåçä, âûïîëíåííûõ ïî âñåé ñôåðå (Îãîðîäíèêîâ, 1965), (Ìèõàëàñ, Áèííè, 1981). Âñå ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî âåêòîðíûå ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà ðàçëè÷íûõ çîíàõ íåáåñíîé ñôåðû, ìîãóò ñ óñïåõîì ïðèìåíÿòüñÿ è â äðóãèõ çàäà÷àõ, íàïðèìåð, äëÿ èçó÷åíèÿ ëîêàëüíûõ ïàðàìåòðîâ âðàùåíèÿ Ãàëàêòèêè â óçêèõ çîíàõ ãàëàêòè÷åñêèõ øèðîò, à òàêæå â ñåâåðíîì è þæíîì ãàëàêòè÷åñêèõ ïîëóøàðèÿõ. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû European Space Agency, ESA, v.1. (1997) GAIA, http://www.rssd.esa.int/Gaia Ã.Àðôêåí Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ôèçèêå, ñòð. 493-498, Ì.: Àòîìèçäàò (1970) Áðîøå Ï. (Brosche P.), Vero, des Astron. Rechen-Inst. Heidelberg, N 17, pp. 127 (1966) Âèòÿçåâ Â.Â., Øóêñòî À.Ê. Âåñòí. Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà. Ñåð. 1, Âûï. 1. Ñ. 116-124 (2005) Âèòÿçåâ Â.Â., Öâåòêîâ À.Ñ.(Vityazev V. , Tsvetkov A.), Spherical Functions, Astron. Let., 35-2, p. 100-113 (2009). Êëóáå Ñ.Â.Ì. (Clube S. V. M.), Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 159, N 3, pp. 289314, (1972). Ìàêàðîâ Â.Â., Ìåðôè Ä.Â. (Makarov V.V., Murphy D.W.), Astron. J., 134, 367-375 (2007). Ìèõàëàñ Ä., Áèííè Äæ. (Michalas D., Binney J.). Galactic Astronomy, W.H.Freeman and Co, San Francisco, 597 p. (1981) 20 Ê.Ô.Îãîðîäíèêîâ, Äèíàìèêà çâåçäíûõ ñèñòåì, Ì.: Ôèçìàòãèç, (1965). Ïîïîâ À.Â., Âèòÿçåâ Â. Â., Öâåòêîâ À.Ñ. Âåñòí. Ñ.-Ïåòåðáóðãñêîãî óí-òà. Ñåð.1, âûï. 4, (2006). Ðàéò Å.Ë. (Wright E.L. et al.), Astron. J., 125, 359, (2003). Õåã Å. è äð., (Hog E. E. et al., Astronomy and Astrophysics, Vol. 355, pp. L27-L30. (2000).