Практическое занятие №13

Практическое занятие №13
Тема: Гипербола
План
1. Определение и каноническое уравнение гиперболы.
2. Геометрические свойства гиперболы.
3. Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр. Асимптоты
гиперболы.
4. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.
Основные факты
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых
модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами,
есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Расстояние F1F2между фокусами называется фокальным расстоянием и обозначается 2с.
Если M – точка данной гиперболы, то отрезки F1M и F2M называются фокальными
радиусами точки M.
По определению, для любой точки М гиперболы |F1M+F2M|=соnst. Эту величину
принято обозначать 2а. Из определения следует также, что a<c.
В прямоугольной системе координат
О i j , где О – середина отрезка F1F2, а
i ↑↑ OF1 , гипербола имеет уравнение:
(5)
х2 у2
−
= 1 , где
а2 b2
b2=с2–а2.
Уравнение (1) называется каноническим
уравнением гиперболы.
Геометрические свойства гиперболы:
(6)
1. Внутри полосы, ограниченной прямыми х=±а,
точек гиперболы нет.
2. Гипербола, заданная каноническим уравнением,
Рис. 3.
симметрична относительно начала координат и осей координат. Центр симметрии называется центром гиперболы, ось симметрии, проходящая через фокусы, – первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось, проходящая через центр, – второй или мнимой осью симметрии.
3. Фокальная ось симметрии пересекает гиперболу в двух точках A1(а,0), A2(–а,0). Вторая
ось симметрии не пересекает гиперболу. Точки A1 и A2 называются вершинами гиперболы, а отрезок A1A2 – действительной осью. Числа а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.
(7)
у=±
b
х – уравнения асимптот.
a
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокального расстояния гиперболы к ее большой оси:
(8) ε=
с
.
а
Отсюда следует, что ε>1.
227
Чем больше эксцентриситет, тем гипербола «шире».
Гипербола, полуоси которой равны (a=b), называется равносторонней. Ее каноническое уравнение имеет вид:
(9) x2–y2=a2.
Эксцентриситет любой равносторонней гиперболы равен 2 . Асимптотами равносторонней гиперболы являются биссектрисы координатных углов: y=x, y=–x.
Равносторонняя гипербола является графиком функции обратной пропорциональности.
Директрисами гиперболы называются две прямые,
параллельные второй оси и отстоящие от нее на расстоянии
а
ε
(4)
, где а – действительная полуось, а ε – эксцентриситет.
х=±
а
ε
– уравнения директрис.
Директрисы гиперболы d1 и d2 не пересекают гиперболу.
Рис. 4.
Теорема. Гипербола есть множество всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.
Примеры решения типовых задач
Задача 1
Найти уравнение гиперболы, если уравнения ее асимптот: 4у±3х=0, а уравнения
директрис: 5х±16=0.
Решение
Из условий задачи и формул (4), (7),(3) следует:
b 3 a а 2 16
= ,
=
= .
a 4 ε с 5
3
5 2
Отсюда b= a, c=
a
4
16
Учитывая, что для гиперболы выполняется формула (6): b2=с2–а2, имеем биквад-
ратное уравнение относительно а: (
3 2 5 22 2
a) =(
a ) –а .
4
16
Решением этого уравнения является а=0, а=–4, а=4. Условию задачи удовлетворяет только последнее значение: а=4.
3
a. Получим b=3.
4
х2 у2
−
= 1.
Итак, уравнение искомой гиперболы:
16 9
Малую полуось b найдем из условия b=
Задача 2
Найти траекторию точки, которая при своем движении остается все время в 1,5
раза дальше от точки F(0,6), чем от прямой d: у=
Решение
228
8
.
3
Пусть М – произвольная точка искомого множества.
По условию задачи MF=1,5 ρ(М,d).
По формуле расстояния между точками MF= ( х − 0) + ( у − 6) .
2
По формуле расстояния от точки до прямой ρ(М,d)=| у–
Имеем уравнение
( х − 0) 2 + ( у − 6) 2 =
2
8
|.
3
3
8
⋅| у– |, решая которое получим:
2
3
у2 х2
−
= 1.
4х –5у +80=0, или
16 20
2
2
Итак, искомая траектория – гипербола.
Задача 3
Найти площадь прямоугольника, вершины которого лежат на гиперболе
х2 у2
−
= 1 , а две стороны проходят через фокусы параллельно оси Оу.
20 10
Решение
Воспользуемся формулой (6): с =а
+b2=20+10=30.
Из условий задачи следует, что длина прямоугольника равна фокальному расстоя2
2
нию гиперболы 2с=2 30 .
Найдем ординаты вершин прямоугольника, учитывая что они лежат на данной гиперболе и что их абсциссы: ± 30 .
30 у 2
−
= 1 , у2=5, у=± 5 .
Имеем:
20 10
Тогда высота прямоугольника равна 2 5 .
Таким образом, искомая площадь равна: S=2 30 ⋅2 5 =20 6 .
Задачи для самостоятельного решения
x2 y2
−
=1
101. В репере (O, i, j ) задано уравнение гиперболы:
.
16 9
Найти координаты точек пересечения ее асимптот с директрисами.
102. В репере R = (O, i, j ) заданы канонические уравнения эллипса
x2 y2
+
=1 и
a 2 b2
x2 y2
−
= 1 . Выберем две новые системы координат: R' = ( A, i, j ) и R" =
a2 b2
( B, i, j ) , где А(-а, 0) и В (а, 0). Найти уравнение эллипса в системе координат R'
и
уравнение гиперболы в системе R".
103.
Дан
отрезок
[AB],
длина
которого
2а.
Найти
фигуру
π

F = M || MAB − MBA |= 
2

104. Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под
прямым углом.
гиперболы
229
105. В репере (O, i, j ) найти координаты фокусов гиперболы, если расстояние между фокусами равно 2 10 , уравнения асимптот в этом репере имеют вид: х + 2у + 4 = 0 и
2x - у + 2 = 0 и одна из ветвей гиперболы расположена в том из углов, образованных
асимптотами, где находится начало координат.
106. Выяснить, подобны ли гиперболы, уравнения которых в репере (O, i, j ) имеют
вид:
x2 y2
−
=1
2
2
50 18
1) 9 x − 25 y − 18 x − 100 y − 316 = 0
и
;
2)
x2 y2
−
=1
8
3
x2 − 4 y 2 + 6x + 5 = 0 .
и
107. В репере (O, i, j ) написать уравнение прямой, проходящей через фокус F
( a 2 , 0) гиперболы х2 - у2 = а2 и образующей при пересечении с ней хорду, делящуюся
точкой F в отношении λ=2.
108. Вычислить площадь параллелограмма, образованного асимптотами гиперболы
и прямыми, проходящими через точку М гиперболы параллельно ее асимптотам, если полуоси гиперболы равны а и b.
109. Точка М0 гиперболы лежит с ее фокусом F по одну сторону от мнимой оси.
Через М0 проведена прямая, параллельная асимптоте и пересекающая директрису d, соответствующую фокусу F, в точке D. Доказать равенство: |FM0| = |DM0|.
x2 y2
110. При каком условии асимптоты гиперболы 2 − 2 = 1 взаимно перпендикуa
b
лярны?
111. Какой вид примет уравнение равносторонней гиперболы x 2 − y 2 = a 2 , если ее
асимптоты принять за оси координат?
112. Написать каноническое уравнение гиперболы, если величина угла между
асимптотами равна 60°, а расстояние между фокусами 4 3
113. Написать уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом
2
2
x
y
5
−
= 1 , если ее эксцентриситет ε = .
49 24
4
114. Доказать, что директриса гиперболы проходит через ортогональную проекцию
соответствующего фокуса на асимптоту.
115. Найти угол между асимптотами гиперболы, у которой расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами.
x2 y2
116. На гиперболе
−
= 1 найти точку, фокальные радиусы которой взаимно
16 9
перпендикулярны.
x2 y2
117. Найти длину стороны квадрата, вписанного в гиперболу 2 − 2 = 1 . В какие
a
b
гиперболы возможно вписать квадрат?
118. Найти фигуру образованную центрами окружностей, касающихся данной
окружности и проходящих через данную точку вне этой окружности.
119. Найти фигуру, для каждой из точек которой произведение расстояний до двух
пересекающихся прямых равно данному положительному числу.
120. Найти фигуру, образованную центрами окружностей, касающихся двух данных неконгруэнтных окружностей, одна из которых лежит вне другой.
230
x2 y2
−
= ±1 кососимметричны
a2 b2
одна другой относительно одной из асимптот по направлению другой.
122.Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат,
зная, что:
1) расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами 10;
2) вещественная полуось равна 5 и вершины делят расстояния между центром и
фокусами пополам;
3) вещественная ось равна 6 и гипербола проходит через точку (+9;-4).
121. Доказать,
что
сопряженные
гиперболы
4) гипербола проходит через две точки Р (-5;+2) и Q (+2 5 ; 2 ).
123.Составить уравнение гиперболы, зная фокусы F1 (+10;0), F2 (-10;0) и одну из
точек гиперболы М (+12;+3 5 ).
124. Построить гиперболу, основываясь на ее определении.
125. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом
x2 y2
+
= 1 при условии, что эксцентриситет ее е=1,25.
49 24
126. Написать уравнение гиперболы, проходящей через фокусы эллипса
x2
y2
+
= 1 и имеющей фокусы в вершинах этого эллипса.
169 144
x2 y2
127. Построить фокусы и асимптоты гиперболы
−
= 1.
49 25
x2 y2
128. Дана гипербола
−
= 1 . Требуется:
9
16
1)
2)
3)
4)
вычислить координаты фокусов;
вычислить эксцентриситет;
написать уравнения асимптот и директрис;
написать уравнение сопряженной гиперболы и вычислить ее эксцентриситет.
129*. Зная уравнение асимптот гиперболы у=1/2х и одну из ее точек М(12,3 3 ),
составить уравнение гиперболы.
130. Доказать, что отрезки, отсекаемые директрисами на асимптотах (считая от
центра гиперболы), равны действительной полуоси. Пользуясь этим свойством, построить
директрисы гиперболы.
131*. Доказать, что директриса гиперболы проходит через основание перпендикуляра, опущенного из соответствующего фокуса на асимптоту гиперболы. Вычислить длину этого перпендикуляра.
132. Вычислить полуоси гиперболы, зная, что:
1) расстояние между фокусами равно 8 и расстояние между директрисами равно
6;
2) директрисы даны уравнениями х= ± 3 2 и угол между асимптотами – прямой;
3) асимптоты даны уравнениями у=± 2х и фокусы находятся на расстоянии 5 от
центра;
4) асимптоты даны уравнениями у=±5/3х и гипербола проходит через точку N(6;9).
133. Написать уравнения двух сопряженных гипербол, зная, что расстояние
между директрисами первой из лих равно 7,2 и расстояние между директрисами второй равно 12.8.
134*. Составить уравнение гиперболы, оси. симметрии которой совпадают с
231
осями координат, если дана точка пересечения Р (+3,2; +2,4) одной из асимптот с одной из директрис этой гиперболы.
135. Определить угол между асимптотами гиперболы, у которой:
1) эксцентриситет е = 2;
2) расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами.
136. Вычислить эксцентриситет гиперболы при условии, что:
1) угол между асимптотами равен 60°;
2) угол между асимптотами равен 90°;
3) действительная ось гиперболы видна из фокуса сопряженной гиперболы под углом в 60°.
137. Дана равносторонняя гипербола х2–у2 = 8. Найти софокусную гиперболу, проходящую через точку М(–5;3).
x2 y2
138. На гиперболе
−
= 1 взята точка, абсцисса которой равна 10 и ордина25 24
та положительна. Вычислить фокальные радиусы-векторы этой точки и угол между ними.
x2 y2
139. На гиперболе
−
= 1 найти точку, для которой:
16
9
1) фокальные радиусы-векторы перпендикулярны друг к другу;
2) расстояние от левого фокуса вдвое больше, чем от правого.
140. Какому условию должен удовлетворять эксцентриситет
гиперболы
x2 y2
−
= 1 для того, чтобы на ее правой ветви существовала точка, одинаково уда2
2
a
b
ленная от правого фокуса и от левой директрисы?
141. Доказать, что произведение расстояний любой точки гиперболы до двух
асимптот есть величина постоянная.
x2 y2
142. На гиперболе
−
= 1 найти точку, которая была бы в три раза ближе
49 16
от одной асимптоты, чем от другой.
x2 y2
143. Найти точки пересечения гиперболы
−
= 1 со следующими прямы90 36
ми: 1) х — 5у = 0;
3) х: —у + 5 = 0;
2) 2х + у — 18 = 0;
4) 10 х — 5у + 15 = 0.
144. Через точку (+2; —5) провести прямые, параллельные асимптотам гиперболы х2 — 4у2 = 4.
145*. Доказать, что геометрическое место середин параллельных хорд гиперболы
x2 y2
−
= 1 есть диаметр.
2
2
a
b
146. Проверить, что оси гиперболы
x2 y2
−
= 1 являются единственными диа2
2
a
b
метрами, перпендикулярными к тем хордам, которые они делят пополам.
147*. Доказать, что стороны любого прямоугольника, вписанного в гиперболу
232
x2 y2
−
= 1 параллельны ее осям.
a2 b2
x2 y2
148. Найти вершины квадрата, который вписан в гиперболу
−
= 1 и ис2
2
a
b
следовать, в какие гиперболы возможно вписать квадрат.
149. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) ее оси 2а=10 и 2b=8;
2) расстояние между фокусами 2с=10 и ось 2b=8;
3) расстояние между фокусами 2с=6 и эксцентриситет
4) ось 2а=16 и эксцентриситет
3
2
ε= ;
5
4
ε= ;
4
x и расстояние между фокусами 2с=26;
3
2
расстояние между директрисами равно 22
и расстояние между фокусами
13
5) уравнения асимптот y = ±
6)
2с=26;
32
и ось 2b=6;
5
3
8
8) расстояние между директрисами равно
и эксцентриситет ε = ;
3
2
3
4
9) уравнения асимптот y = ± x и расстояние между директрисами равно 12 .
4
5
7) расстояние между директрисами равно
150. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) ее полуоси а=6, b=18;
2) расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет
5
3
ε= ;
12
x и расстояние между вершинами равно 48;
5
1
7
4) расстояние между директрисами равно 7 и эксцентриситет ε = ;
7
5
3
2
5) уравнения асимптот y = ± x и расстояние между директрисами равно 6 .
4
5
3) уравнения асимптот y = ±
151.Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:
x2 y2
−
= 1;
1)
9
4
2
2
4) x − y = 1 ;
7) 9 x
x2
2)
− y 2 = 1;
16
2
2
5) 4 x − 9 y = 25 ;
2 − 64 y 2 = 1 .
233
3) x
2 − 4 y 2 = 16 ;
6) 25 x
2 − 16 y 2 = 1;
152. Дана гипербола 16х2-9у2=144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
153. Дана гипербола 16х2-9у2=-144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
154. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы
x2 y2
−
= 1 и прямой 9х+2у-24=0.
4
9
155. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
2 2
x − 9 ,2) y = −3 x 2 + 1
3
4 2
2 2
3) x = −
y + 9 , 4) y = +
x + 25
3
5
1) y = +
Изобразить эти линии на чертеже.
x2 y2
156. Дана точка М1 (10;- 5 ) на гиперболе
−
= 1 . Составить уравнения
80 20
прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М1.
x2 y2
157. Убедившись, что точка М1 (-5;9/4) лежит на гиперболе
−
= 1 , опреде16
9
лить фокальные радиусы точки М1.
158. Эксцентриситет гиперболы ε = 2 , фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней
с этим фокусом директрисы.
159. Эксцентриситет гиперболы ε = 3 , расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой
директрисой.
160. Эксцентриситет гиперболы ε = 2 , центр ее лежит в начале координат, один из
фокусов F(12;0). Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до
директрисы, соответствующей заданному фокусу.
161. Эксцентриситет гиперболы
3
2
ε = , центр ее лежит в начале координат, одна из
директрис дана уравнением х=-8. Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.
x2 y2
162. Определить точки гиперболы
−
= 1 , расстояние которых до правого
64 36
фокуса равно 4,5.
x2 y2
163. Определить точки гиперболы
−
= 1 , расстояние которых до левого
9
16
фокуса равно 7.
164. Через левый фокус гиперболы проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей
вершины. Определить расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра
с гиперболой.
x2 y2
165. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы
−
= 1 (счи16 25
тая, что оси координат изображены и масштабная единица задана).
234
166. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
1) точки М1 (6;-1) и М2 (-8;2 2 ) гиперболы;
2) точка М1 (-5;3) гиперболы и эксцентриситет
ε = 2;
2
x;
3
4
4) точка М1 (-3;5/2) гиперболы и уравнения директрис x = ± ;
3
4
16
5) уравнения асимптот y = ± x и уравнения директрис x = ± .
3
5
3) точка М1 (9/2;-1) гиперболы и уравнения асимптот y = ±
167. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
168. Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом 60 .
169. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса
x2 y2
+
= 1 . Составить
25
9
уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет ε = 2 .
170. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса
x2 y 2
+
= 1 , а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.
100 64
x2 y2
171. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы
−
= 1 до ее асимптоты
a2 b2
равно b.
172. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы
x2 y2
a 2b 2
−
= 1 до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная
.
2
2
2
2
a
b
a +b
173. Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гипер-
x2 y2
болы
−
= 1 и прямыми проведенными через любую ее точку параллельны асим2
2
a
b
ab
птотам, есть величина постоянная, равная
.
2
174. Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси а и b, центр С (х0,
у0) и фокусы расположены на прямой: 1) параллельной оси Ох; 2) параллельной оси Оу.
175. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и
найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения
директрис:
1)16 x 2 − 9 y 2 − 64 x − 54 y − 161 = 0;
2)9 x 2 − 16 y 2 + 90 x + 32 y − 367 = 0;
3)16 x 2 − 9 y 2 − 64 x − 18 y + 199 = 0.
176. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
235
2 2
x − 4 x − 5;
3
3 2
2) y = 7 −
x − 6 x + 13;
2
3) x = 9 − 2 y 2 + 4 y + 8;
3 2
4) x = 5 −
y + 4 y − 12.
4
1) y = −1 +
Изобразить эти линии на чертеже.
177. Составить уравнение гиперболы, зная, что:
1) расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть F1(-10;2), F2 (16;2);
2) фокус суть F1 (3;4), F2 (-3;-4) и расстояние между директрисами равно 3,6;
3) угол между асимптотами равен 90 и фокусы суть F1 (4;-4), F2 (-2;2).
178. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет
5
4
ε = , фо-
кус F (5;0) уравнение соответствующей директрисы 5х-16=0.
179. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет
ε=
13
,
12
фокус F (0;13) и уравнение соответствующей директрисы 12у-144=0.
180. Точка А (-3;-5) лежит на гиперболе, фокус которой F (-2;-3), а соответствующая директриса дана уравнением х+1=0. Составить уравнение этой гиперболы.
181. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε = 5 ,
фокус F (2;-3) и уравнение соответствующей директрисы 3х-у+3=0.
182. Точка М1 (1;-2) лежит на гиперболе, фокус которой F (-2;2), соответствующая
директриса дана уравнением 2х-у-1=0. Составить уравнение этой гиперболы.
183. Дано уравнение равносторонней гиперболы х2-у2=а2. Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты.
184. Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти
для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже: 1)
ху=18, 2) 2ху-9=0, 3) 2ху+25=0.
x2 y2
185. Найти точки пересечения прямой 2х-у-10=0 и гиперболы
−
= 1.
20
5
x2 y2
186. Найти точки пересечения прямой 4х-3у-16=0 и гиперболы
−
=1
25 16
.
x2 y2
−
=1
187. Найти точки пересечения прямой 2х-у+1=0 и гиперболы 9
.
4
188. Написать уравнение множества точек, для каждой из которых модуль разности
расстояний от точек F1 (4, 0) и F2 (—4, 0) равен 6.
189. Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих гипербол:
а) 9х2 — 4у2 — 36 = 0;
в) x2 — у2 — 5 = 0;
2
2
б) 25x — 16у —1=0;
г) 10x2 — 2у2 —10 = 0.
190. Найти площадь S прямоугольника, вершины которого лежат , на гиперболе
x2 y2
−
= 1 , а две стороны проходят через фокусы параллельно оси Оу. Вычислить S
a2 b2
для случая, когда а2 = 20 и b2 = 10.
236
191. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
а) расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами равно 10;
б) вещественная полуось равна 3 и гипербола проходит через точку (6, 2 3 );
в) расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет ε=3/2.
192. Определить полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот
и уравнения директрис следующих гипербол: а) 4х2–9у2=36; б) 16x2–9у2=144.
193. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
а) гипербола проходит через точки (4, 0) и (4 17 , 4);
б) гипербола проходит через точку (—5, 3) и имеет эксцентриситет е= 2
в) гипербола имеет асимптоты 4у ± 3х = 0 и директрисы 5х± 16 = 0;
г) гипербола является равнобочной и проходит через точку ( 2 , 1).
194. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:
а) угол между асимптотами равен 60˚ и гипербола проходит через точку
M1 (4 3 ,2);
б) угол между асимптотами равен 60° и гипербола проходит через точку М2(6,3).
195. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом
x2 y2
+
= 1 и проходящей через точку М (4
35 10
x2
196. Для равнобочной гиперболы
−
9
2 , 3).
y2
= 1 написать уравнение софокусной с
9
ней гиперболы, проходящей через точку М (4, 2 ).
x2 y2
−
= 1 . Написать уравнение сопряженной с ней гипер197. Дана гипербола
24 12
болы; найти эксцентриситеты, директрисы и асимптоты данной и сопряженной гипербол.
198. По данному эксцентриситету в каждом из следующих случаев определить угол
между асимптотами гиперболы: а) е = 2 ;
б) е = 2;
в) е =
2 3
.
3
199. Точка М называется внутренней точкой гиперболы, если любая секущая, проходящая через эту точку и не параллельная асимптотам, пересекает гиперболу в двух различных точках; внешней точкой гиперболы называется точка, не лежащая на гиперболе и
не являющаяся внутренней. Доказать, что точка М (х, у) является внутренней точкой ги-
x2 y2
перболы в том и только в том случае, если
−
− 1 > 0; точка N (х, у) является
a2 b2
x2 y2
внешней точкой гиперболы в том и только в том случае, если
−
− 1 < 0.
2
2
a
b
200. Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему координат, построить
области, определяемые следующими системами неравенств:
 х 2 − 4 у 2 − 4 > 0,
а)
4 x + 3 y − 12 < 0;
9 х 2 − 16 у 2 + 144 > 0,

б )2 x − y − 6 < 0,
3 x + y + 12 > 0;

237
.