Âàðèàíò 2 (ôàêóëüòåòû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè) 1 1. Ïåðâûé ÷ëåí àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâåí , ðàç5 1 íîñòü ïðîãðåññèè ðàâíà − . Áåç ïîìîùè êàëüêóëÿòîðà íàéäèòå 3 38 ÷ëåí ïðîãðåññèè, áëèæàéøèé ê ÷èñëó − . Íàéäèòå íîìåð ýòîãî 3 ÷ëåíà â ïðîãðåññèè. 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3x + 7 = x 4 − 4 x 3 − 10 x2 + 42x + 49 . 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 13 31 log2− x x 3 − 3x 2 − x + + 2 log 2− x 2 ( x + 3 ) = 1 . ( ) 8 8 4.  âûïóêëîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF óãëû ïðè âåðøèíàõ Ñ è F ïðÿìûå, à îñòàëüíûå óãëû ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Íàéäèòå ïëîùàäü øåñòèóãîëüíèêà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî åãî ïåðèìåòð ðàâåí 14 + 4 2 , AF = 3, CD = 1, EF = 4. 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå 5 sin 3x + 2 6 cos 3x = 7 sin 7x . 6. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à óðàâíåíèå 2 log a x + 3 log ax2 a + 5 = 0 èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ìåíüøå 6/25? Âàðèàíò 3 (ôàêóëüòåòû ñïåöèàëüíîé òåõíèêè è èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè) 1.  6 ÷àñîâ óòðà èç Ì â N âûåõàë âåëîñèïåäèñò. Ñïóñòÿ ïîë÷àñà èç N â Ì âûåõàë ìîòîöèêëèñò. Îïðåäåëèòå âðåìÿ èõ âñòðå÷è, åñëè èçâåñòíî, ÷òî â ïóíêò íàçíà÷åíèÿ ìîòîöèêëèñò ïðèáûë íà 2 ìèíóòû ïîçæå âåëîñèïåäèñòà è ÷òî ñêîðîñòü âåëîñèïåäèñòà â òðè ðàçà ìåíüøå ñêîðîñòè ìîòîöèêëèñòà. 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 1 sin 2x − cos 2x = tg x − . 2 2 41 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå log2x + 6 ( x + 5 ) = log28 − x ( x + 5 ) . 4. Ïëîùàäü òðàïåöèè ABCD ðàâíà S, à îñíîâàíèå À â òðè ðàçà áîëüøå îñíîâàíèÿ CD. Íà áîêîâîé ñòîðîíå AD âûáðàíà òî÷êà K òàê, ÷òî ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ ÀBK è BCK ðàâíû. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà CDK. 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 2+x <5 x−4 . 6. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé xy = 2, log x − y 2 x + y = xy + 1. Âàðèàíò 4 (ôàêóëüòåòû ñïåöèàëüíîé òåõíèêè è èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè) 1.  12 ÷àñîâ äíÿ èç À â  âûåõàë ìîòîöèêëèñò. Ñïóñòÿ 24 ìèíóòû èç  â À âûåõàë àâòîìîáèëü. Îïðåäåëèòå âðåìÿ èõ âñòðå÷è, åñëè èçâåñòíî, ÷òî â ïóíêò íàçíà÷åíèÿ àâòîìîáèëü ïðèáûë íà 6 ìèíóò ðàíüøå ìîòîöèêëèñòà è ÷òî ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ â äâà ðàçà áîëüøå ñêîðîñòè ìîòîöèêëèñòà. 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 1 sin 2x − cos 2x = ctg x + . 2 2 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå log12− x ( x + 3 ) = log2x + 7 ( x + 3 ) . 4. Ïëîùàäü òðàïåöèè ABCD ðàâíà S, à îñíîâàíèå ÂÑ â äâà ðàçà ìåíüøå îñíîâàíèÿ AD. Íà áîêîâîé ñòîðîíå À âûáðàíà òî÷êà Ì òàê, ÷òî ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ ADM è ÂÑÌ ðàâíû. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà CDM. 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå 4−x <5 2+x . 6. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé 3xy + 1 = 2, log x + y 2 x − y = xy − 1. 42 Çàäà÷è åæåãîäíîé îëèìïèàäû (âñå ôàêóëüòåòû) 1 (3 áàëëà). Ê Àíäðåþ íà äà÷ó äîëæåí ïðèåõàòü äðóã, ÷òîáû ïîìî÷ü åìó âûêîïàòü êàðòîøêó. ×òîáû âñòðåòèòü äðóãà, Àíäðåé âûåõàë ñ äà÷è íà ìàøèíå òàê, ÷òîáû ïðèåõàòü íà ñòàíöèþ ê ýëåêòðè÷êå, ïðèáûâàþùåé â 13.00. Ïî ïóòè îí âñòðåòèë äðóãà, èäóùåãî ê äà÷å ïåøêîì, ïîñêîëüêó îí ïðèåõàë íà ýëåêòðè÷êå, ïðèáûâøåé íà ÷àñ ðàíüøå, è ðåøèë ñàì èäòè ê äà÷å.  ðåçóëüòàòå äðóçüÿ ïðèåõàëè íà äà÷ó íà 30 ìèí ðàíüøå. Îïðåäåëèòå âðåìÿ âñòðå÷è Àíäðåÿ ñ äðóãîì. 3 2 (3 áàëëà). Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà cos − 2 83 − 4 x − x 2 ≥ 0 , ëåæàùèå â èíòåðâàëå − ; 0 . 20 3 (4 áàëëà).  ïàðàëëåëîãðàììå ñî ñòîðîíàìè 3 è 5 ïðîâåäåíû áèññåêòðèñû ÷åòûðåõ âíóòðåííèõ óãëîâ. Íàéäèòå îòíîøåíèå ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêà, îáðàçîâàâøåãîñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè áèññåêòðèñ, ê ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà. 4 (4 áàëëà). Îïðåäåëèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå x + x (a − x ) = 1 èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå. 5 (5 áàëëîâ). Èçâåñòíî, ÷òî íàòóðàëüíûå ÷èñëà à, b óäîâëåòâîðÿþò äâóì óñëîâèÿì: i ñóììà à è b ðàâíà 555, i íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå à è b â 26 ðàç áîëüøå, ÷åì èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Íàéäèòå à è b. 6 (5 áàëëîâ). Íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé îòëîæåíû òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè ak = k 2 , k = 1, 2, 3 Âïðàâî îò òî÷êè 0 îòêëàäûâàåòñÿ îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ìåíÿåòñÿ, ïðè÷åì êàæäûé ñëåäóþùèé ðàç îòðåçîê îòêëàäûâàåòñÿ îò êîíöà ïðåäûäóùåãî îòðåçêà. Íà÷àëüíàÿ äëèíà îòðåçêà ðàâíà 1. Åñëè îòðåçîê, îòëîæåííûé â î÷åðåäíîé ðàç, çàêðûâàåò ìåíåå 5 òî÷åê ak , òî äëèíà îòðåçêà óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1, åñëè áîëåå 5 òî÷åê óìåíüøàåòñÿ íà 1, åñëè æå îòðåçîê çàêðûâàåò ðîâíî 5 òî÷åê ak , òî åãî äëèíà îñòàåòñÿ ïðåæíåé. Âåðíî ëè, ÷òî íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíè äëèíà îòêëàäûâàåìîãî îòðåçêà áóäåò ïîñòîÿííîé? Îòâåò îáîñíóéòå. 43 ÔÈÇÈÊÀ Çàäà÷è åæåãîäíîé îëèìïèàäû (âñå ôàêóëüòåòû) 1 (3 áàëëà). Ñêîðîñòü ñâåòà â íåïîäâèæíîì âåùåñòâå ðàâíà u = c/n, ãäå c ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå, n àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà. Íàéäèòå ñêîðîñòü ñâåòà u1 â âåùåñòâå, äâèæóùåìñÿ ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ v îòíîñèòåëüíî èñòî÷íèêà ñâåòà òàê, ÷òî âåùåñòâî óäàëÿåòñÿ îò èñòî÷íèêà. 2 (3 áàëëà). Äâà øêèâà ñîåäèíåíû ðåìåííîé ïåðåäà÷åé, ïåðåäàþùåé âðàùåíèå îò îäíîãî øêèâà ê äðóãîìó (ðèñ.1). Âåäóùèé øêèâ âðàùàåòñÿ ñ ÷àñòîòîé ν1 = 3000 îá/ìèí, âåäîìûé øêèâ ñ ÷àñòîòîé ν2 = 600 îá/ìèí. Âåäîìûé øêèâ èìååò äèàìåòð D2 = = 500 ìì. Êàêîé äèàìåòð D1 èìååò Ðèñ. 1 âåäóùèé øêèâ? 3 (3 áàëëà). Ñ ëîäêè ìàññîé Ì = 200 êã, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 1 ì/ñ, íûðÿåò ìàëü÷èê ìàññîé m = 50 êã, ïåðâîíà÷àëüíî äâèãàÿñü â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè. Êàêîé ñòàíåò ñêîðîñòü ëîäêè v2 ïîñëå ïðûæêà ìàëü÷èêà, åñëè îí ïðûãàåò ñ êîðìû ñî ñêîðîñòüþ v1 = 4 ì/ñ â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ëîäêè? 4 (3 áàëëà). Ïðè êàæäîì õîäå ïîðøíåâîé íàñîñ çàõâàòûâàåò V0 = 20 ë âîçäóõà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ ( p0 = 1 àòì, T0 = = 273 Ê) è íàãíåòàåò åãî â ðåçåðâóàð îáúåìîì V = 2 ì 3 . Òåìïåðàòóðà âîçäóõà â ðåçåðâóàðå ïîääåðæèâàåòñÿ ðàâíîé Ò = 300 Ê. Ñêîëüêî õîäîâ n äîëæåí ñäåëàòü ïîðøåíü íàñîñà, ÷òîáû ïîâûñèòü äàâëåíèå â ðåçåðâóàðå îò p0 = 1 àòì äî ð = 8 àòì? 5 (4 áàëëà). Ê òî÷êàì 1 è 2 ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñîñòîÿùåé èç èñòî÷íèêà òîêà ñ ÝÄÑ - è ïðåíåáðåæèìî ìàëûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì è ðåçèñòîðîâ ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 è R2 , äëèííûìè òîíêèìè ïðîâîäíèêàìè ïîäñîåäèíèëè ïåðâîíà÷àëüíî íåçàðÿæåííûå ìåòàëëè÷åñêèå øàðû ñ ðàäèóñàìè a1 è a2 ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.2). Íàéäèòå çàðÿäû Q1 è Q2 , óñòàíîâèâøèåñÿ íà êàæäîì èç øàðîâ. ÐàñÐèñ. 2 ñòîÿíèå ìåæäó øàðàìè ìíîãî áîëüøå èõ ðàçìåðîâ, çàðÿä íà ñàìîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäíèêàõ ïðåíåáðåæèìî ìàë. 44 6 (3 áàëëà). Ïîä êàêèì óãëîì α äîëæåí ïàäàòü ñâåòîâîé ëó÷ èç âîçäóõà íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà, ÷òîáû óãîë ïðåëîìëåíèÿ áûë â äâà ðàçà ìåíüøå óãëà ïàäåíèÿ? Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà ñ÷èòàòü ðàâíûì 1, àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà n = 1,6. 7 (3 áàëëà). Ïîä êîëîêîëîì âîçäóøíîãî íàñîñà íàõîäèòñÿ âîäà, ìàññà êîòîðîé m1 = 40 ã, à òåìïåðàòóðà 0 °C . Âîçäóõ èçïîä êîëîêîëà áûñòðî îòêà÷èâàþò. Áëàãîäàðÿ èíòåíñèâíîìó èñïàðåíèþ ÷àñòè æèäêîñòè âñÿ îñòàâøàÿñÿ âîäà çàìåðçàåò. Îïðåäåëèòå ìàññó m îáðàçîâàâøåãîñÿ ëüäà, åñëè åãî òåìïåðàòóðà òàêæå 0 °C . Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà λ = 330 êÄæ/êã, óäåëüíàÿ òåïëîòà èñïàðåíèÿ âîäû r = 2300 êÄæ/êã. Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Âàðèàíò 1 (ôàêóëüòåòû ñïåöèàëüíîé òåõíèêè è èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè) 1. Êîëîííà àâòîìàøèí äëèíîé L = 2 êì äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v1 = 36 êì/÷. Èç íà÷àëà êîëîííû âûåçæàåò ìîòîöèêëèñò, êîòîðûé, äîñòèãíóâ åå êîíöà, âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî. Ñêîðîñòü ìîòîöèêëèñòà ïîñòîÿííà è ðàâíà v2 = 54 êì/÷. Êàêîé ïóñòü s ïðîéäåò ìîòîöèêëèñò, ïîêà îí íàãîíèò íà÷àëî êîëîííû? 2. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè òåëà, äâèæóùåãîñÿ ïî ãëàäêîìó ãîðèçîíòàëüíîìó ñòîëó, îò çíà÷åíèÿ v äî çíà÷åíèÿ 2v òðåáóåòñÿ ñîâåðøèòü ðàáîòó À = 3 Äæ. Êàêóþ äîïîëíèòåëüíóþ ðàáîòó A′ íàäî ñîâåðøèòü äëÿ óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè ýòîãî òåëà îò çíà÷åíèÿ 2v äî çíà÷åíèÿ 3v? Òåëî äâèæåòñÿ íå îòðûâàÿñü îò ïîâåðõíîñòè ñòîëà. 3. Îïðåäåëèòå ñóììàðíóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ Eñóì òåïëîâîãî ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà â áàëëîíå åìêîñòüþ V = 10 ë, íàõîäÿùåãîñÿ ïîä äàâëåíèåì p = 4 ⋅ 105 Ïà . 4. Ëèíèè èíäóêöèè îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè êîëüöà äèàìåòðîì D = 20 ñì, èçãîòîâëåííîãî èç ìåäíîé ïðîâîëîêè äèàìåòðîì d = 2 ìì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ϕ = ∆B ∆t äîëæíà èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ Â, ÷òîáû ñèëà èíäóêöèîííîãî òîêà â êîëüöå ðàâíÿëàñü I = 10 À? Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìåäè ρ = 1,75 ⋅ 10−8 Îì ⋅ ì . 5. Íà êàêîé óãîë δ îòêëîíèòñÿ ëó÷ ñâåòà îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ, óïàâ ïîä óãëîì α = 45° èç âîçäóõà íà ïîâåðõ45 íîñòü ñòåêëà? Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà n = = 1,60. Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà ñ÷èòàòü ðàâíûì 1. Çäåñü α óãîë ìåæäó ïàäàþùèì ëó÷îì è íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè ñòåêëà, ïðîâåäåííîé â òî÷êå ïàäåíèÿ. Âàðèàíò 2 (ôàêóëüòåòû ñïåöèàëüíîé òåõíèêè è èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè) 1. Ïàññàæèð ïîåçäà çàìåòèë, ÷òî äâå èäóùèå íàâñòðå÷ó ïîåçäó ýëåêòðè÷êè ïðîì÷àëèñü ìèìî íåãî ñ èíòåðâàëîì t1 = = 6 ìèí. Ñ êàêèì èíòåðâàëîì t2 ïðîøëè ýòè ýëåêòðè÷êè ìèìî ñòàíöèè, åñëè ïîåçä, â êîòîðîì íàõîäèëñÿ ïàññàæèð, øåë ñî ñêîðîñòüþ v1 = 100 êì/÷, à ñêîðîñòü êàæäîé èç ýëåêòðè÷åê v2 = 60 êì/÷? 2. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ äåôîðìàöèè ëåãêîé ïðóæèíû îò íóëÿ äî âåëè÷èíû l òðåáóåòñÿ ñîâåðøèòü ðàáîòó À = 1 Äæ. Êàêóþ äîïîëíèòåëüíóþ ðàáîòó A′ íàäî ñîâåðøèòü äëÿ óâåëè÷åíèÿ äåôîðìàöèè ýòîé ïðóæèíû îò l äî 2l? 3. ×åìó ðàâíà ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ Eñð òåïëîâîãî äâèæåíèÿ àòîìîâ àðãîíà, åñëè ýòîò ãàç ìàññîé m = 2 êã, íàõîäÿñü â ñîñóäå îáúåìîì V = 2 ì 3 , ñîçäàåò äàâëåíèå p = 3 ⋅ 105 Ïà ? Ìîëÿðíàÿ ìàññà àðãîíà Ì = 0,040 êã/ìîëü, ÷èñëî Àâîãàäðî NA = 6,02 ⋅ 1023 ìîëü −1 . 4. Êâàäðàòíàÿ ðàìêà ñî ñòîðîíîé à = 6,8 ìì, ñäåëàííàÿ èç ìåäíîé ïðîâîëîêè ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S = 1 ìì2 , ïîìåùåíà â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì èíäóêöèè. Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíîìåðíî èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó ∆B = 2 Òë çà âðåìÿ ∆t = 0,1 ñ. ×åìó ðàâíà ïðè ýòîì ñèëà òîêà I â ðàìêå? Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìåäè ρ = 1,7 ⋅ 10−8 Îì ⋅ ì . 5. Ëó÷ ñâåòà ïàäàåò èç âîçäóõà íà ïîâåðõíîñòü âîäû ïîä óãëîì α = 40° . Ïîä êàêèì óãëîì δ äîëæåí óïàñòü ëó÷ èç âîçäóõà íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà, ÷òîáû óãîë ïðåëîìëåíèÿ îêàçàëñÿ òàêèì æå, êàê äëÿ âîäû? Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû n1 = = 1,33, ñòåêëà n2 = 1,60. Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà ñ÷èòàòü ðàâíûì 1. Çäåñü α è δ óãëû ìåæäó ïàäàþùèì ëó÷îì è íîðìàëüþ ê ñîîòâåòñòâóþùåé ïîâåðõíîñòè, ïðîâåäåííîé â òî÷êå ïàäåíèÿ. 46 Âàðèàíò 3 (ôàêóëüòåòû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè) 1. Ïðèãîðîäíûé ïîåçä îòïðàâëÿåòñÿ ñòðîãî ïî ðàñïèñàíèþ ðîâíî â 12 ÷àñîâ äíÿ ïî òî÷íûì ÷àñàì è äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì. Ïàññàæèð, ÷àñû êîòîðîãî îòñòàþò, âûáåãàåò íà ïëàòôîðìó ðîâíî â 12 ÷àñîâ ïî ñâîèì ÷àñàì è âèäèò óæå äâèæóùèéñÿ ïîåçä, ïðè÷åì çà âðåìÿ t = 6 ñ ìèìî íåãî ïðîõîäèò îäèí âàãîí, à çà ñëåäóþùèå t = 6 ñ óæå 2 âàãîíà. Íà êàêîé âðåìåííîé èíòåðâàë τ îòñòàþò ÷àñû ïàññàæèðà? 2. Íà ãëàäêîì ñòîëå íàõîäèòñÿ òåëî, ïðèêðåïëåííîå ê êîíöó ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k = = 0,05 Í/ì. Âòîðîé êîíåö ïðóæèíû çàêðåïëåí íåïîäâèæíî. Òåëî ñîâåðøàåò ìàëûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé À = 10 ñì.  òîò ìîìåíò, êîãäà ñêîðîñòü òåëà ðàâíà v = 4 ñì/ñ, ñìåùåíèå òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ðîâíî x = 6 ñì. Íàéäèòå ìàññó òåëà m. 3. Èäåàëüíîìó îäíîàòîìíîìó ãàçó â êîëè÷åñòâå ν = 2 ìîëü ñîîáùèëè êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = 9,5 êÄæ. Ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà ãàçà óìåíüøèëàñü íà ∆T = = 200 Ê. Íàéäèòå ðàáîòà ãàçà À â ýòîì ïðîöåññå. Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,31 Äæ (ìîëü ⋅ Ê ) . 4. Ïðè ðàçîìêíóòîì è çàìêíóòîì êëþ÷å K íà ó÷àñòêå ab öåïè (ðèñ.3) âûäåëÿåòñÿ îäíà è òà æå ìîùíîñòü. Íàéäèòå âåëè÷èíó ñîïðîòèâëåíèÿ Rx , åñëè R0 = 28,2 Îì, à íàïðÿæåíèå íà Ðèñ. 3 çàæèìàõ èñòî÷íèêà ïîñòîÿííî. 5. Ïðåäåëüíûé óãîë ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ ïðè ïåðåõîäå ñâåòîâîãî ëó÷à èç æèäêîñòè â âîçäóõ ðàâåí θïð = 30° . Äëèíà ñâåòîâîé âîëíû â âîçäóõå λ â = 600 íì. Íàéäèòå äëèíó ñâåòîâîé âîëíû â æèäêîñòè λ æ . Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîçäóõà ñ÷èòàòü ðàâíûì 1. Âàðèàíò 4 (ôàêóëüòåòû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè) 1. Ïåðâûé âàãîí ïîåçäà ïðîøåë ìèìî íàáëþäàòåëÿ, ñòîÿùåãî íà ïëàòôîðìå, çà âðåìÿ t1 = 1 ñ, à âòîðîé çà âðåìÿ t2 = 1,5 ñ. Äëèíà âàãîíà l = 12 ì. Íàéäèòå óñêîðåíèå ïîåçäà à. Äâèæåíèå ïîåçäà ñ÷èòàòü ðàâíîïåðåìåííûì. 47 2. Íà ãëàäêîì ñòîëå íàõîäèòñÿ òåëî ìàññîé m = 0,6 êã, ïðèêðåïëåííîå ê êîíöó ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k = 0,15 Í/ì. Âòîðîé êîíåö ïðóæèíû çàêðåïëåí íåïîäâèæíî. Òåëî ñîâåðøàåò ìàëûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, ïðè ýòîì ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè òåëà ðàâíî vm = = 5 ñì/ñ. Íàéäèòå ñìåùåíèå õ òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â òîò ìîìåíò, êîãäà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òåëà ðàâíà v = 4 ñì/ñ. 3. Èäåàëüíîìó îäíîàòîìíîìó ãàçó â êîëè÷åñòâå ν = 2 ìîëü ñîîáùèëè êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = 8400 Äæ.  ýòîì ïðîöåññå ãàç ñîâåðøèë ðàáîòó À = 4600 Äæ. Íà êàêóþ âåëè÷èíó ∆T èçìåíèëàñü ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà ãàçà? Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,31 Äæ (ìîëü ⋅ Ê ) . 4. Äâà ñîïðîòèâëåíèÿ ïî R = 100 Îì ïîäêëþ÷àþòñÿ ê èñòî÷íèêó ÝÄÑ ñíà÷àëà ïîñëåäîâàòåëüíî, à çàòåì ïàðàëëåëüíî.  îáîèõ ñëó÷àÿõ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿåìàÿ íà êàæäîì ñîïðîòèâëåíèè, îêàçàëàñü îäíîé è òîé æå. Íàéäèòå ÝÄÑ èñòî÷íèêà - , åñëè òîê, ïðîòåêàþùèé â öåïè ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì âêëþ÷åíèè ñîïðîòèâëåíèé, ðàâåí I = 1 À. 5. Ëó÷ ñâåòà ïàäàåò íà ïëîñêóþ ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà äâóõ ñðåä 1 è 2, ïðè ýòîì óãîë ïàäåíèÿ α = 30° , à óãîë ïðåëîìëåíèÿ β = 60° . Äëèíà ñâåòîâîé âîëíû â ïåðâîé ñðåäå λ1 = 350 íì. Íàéäèòå äëèíó âîëíû λ2 âî âòîðîé ñðåäå. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Ëåäåíåâ, À.Ïè÷êóð 48 ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ ÝËÅÊÒÐÎÍÍÎÉ ÒÅÕÍÈÊÈ (ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ) ÔÈÇÈÊÀ Èíòåðíåò-îëèìïèàäà «Ïîâåðü â ñåáÿ!» Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé èíñòèòóò ýëåêòðîííîé òåõíèêè (ÌÈÝÒ) (òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò) íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò ïðîâîäèò äëÿ ó÷àùèõñÿ îäèííàäöàòûõ êëàññîâ îëèìïèàäû ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå, êîòîðûå ïîëüçóþòñÿ áîëüøîé ïîïóëÿðíîñòüþ ñðåäè øêîëüíèêîâ Ìîñêâû è Ìîñêîâñêîé îáëàñòè. ×òîáû ðàñøèðèòü êðóã ó÷àñòíèêîâ, âåñíîé 2010 ãîäà ÌÈÝÒ ïðîâåë îëèìïèàäó ïî ôèçèêå äëÿ ó÷àùèõñÿ 1011 êëàññîâ â çàî÷íîé ôîðìå, èñïîëüçóÿ èíòåðíåò-òåõíîëîãèè. Îëèìïèàäà íå ñîäåðæàëà ñâåðõñëîæíûõ çàäà÷, êîòîðûå ìîãóò ðåøàòü òîëüêî ñïåöèàëüíî ïîäãîòîâëåííûå øêîëüíèêè. Ïî÷òè âñå çàäà÷è îëèìïèàäû äîïóñêàþò ïðîñòûå ðåøåíèÿ áåç ãðîìîçäêîé ìàòåìàòèêè íà îñíîâå çíàíèé îáû÷íîé øêîëüíîé ïðîãðàììû. Îäíàêî íàðÿäó ñ âïîëíå ñòàíäàðòíûìè çàäà÷àìè â çàäàíèÿõ îëèìïèàäû ìîæíî íàéòè è íîâûå, ðåøåíèÿ êîòîðûõ ñðàçó íå î÷åâèäíû. Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà â äâà òóðà.  îëèìïèàäå ïðèíÿëè ó÷àñòèå îêîëî 300 øêîëüíèêîâ èç 49 ðàçëè÷íûõ íàñåëåííûõ ïóíêòîâ Ðîññèè è çàðóáåæüÿ. Ïðèãëàøàåì âñåõ æåëàþùèõ ïðèíÿòü ó÷àñòèå â îëèìïèàäå «Ïîâåðü â ñåáÿ!» âåñíîé 2011 ãîäà (http://www.abiturient.ru/, (499) 734-02-42, (499) 720-89-58). Çàäà÷è ïåðâîãî òóðà îëèìïèàäû 2010 ãîäà 10 êëàññ 1. Êàìåíü, áðîøåííûé ñ ïîâåðõíîñòè çåìëè ïîä óãëîì α = 60° ê ãîðèçîíòó ñî ñêîðîñòüþ v = 20 ì/c, óïàë íà êðûøó äîìà ÷åðåç âðåìÿ t = 2 ñ. Îïðåäåëèòå âûñîòó äîìà h. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 . Îòâåò îêðóãëèòå äî öåëîãî. 2. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ñèëû ìàãíèòíîãî âçàèìîäåé49 ñòâèÿ íàìàãíè÷åííîé øàéáû è æåëåçíîé ïëèòû øàéáó çàïóñêàëè ñ îäíîé è òîé æå íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ ñíà÷àëà ïî âåðõíåé ïîâåðõíîñòè ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîé ïëèòû, à çàòåì ïî íèæíåé ïîâåðõíîñòè (ðèñ.1). Âî ñêîëüêî ðàç ìàãíèòíàÿ ñèëà áîëüøå ñèëû òÿæåñòè, åñëè ñìåùåíèå øàéáû ïðè ñêîëüæåíèè âî âòîðîì ñëóÐèñ. 1 ÷àå â n = 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â ïåðâîì? 3. Äâå øàéáû â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ðàçëåòåëèñü â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2. Íàéäèòå âåëè÷èíó îòíîøåíèÿ ñêîðîñòåé øàéá ïåðåä ñòîëêíîâåíèåì v1 v2 , åñëè èõ ìàññû ðàâíû m1 = 100 ã è m2 = = 200 ã. 4.  îäíîì èç äâóõ áàëëîíîâ ñîäåðæèòñÿ óãëåêèñëûé ãàç, à â äðóãîì âîäîðîä. Îáúåìû, òåìïåðàòóÐèñ. 2 ðû è äàâëåíèÿ ãàçîâ îäèíàêîâû. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ ìàññà ãàçà â áàëëîíå, ãäå ïåðâîíà÷àëüíî áûë âîäîðîä, åñëè áàëëîíû ñîåäèíèòü òîíêîé òðóáêîé? Ìîëÿðíàÿ ìàññà óãëåêèñëîãî ãàçà 44 ã/ìîëü, ìîëÿðíàÿ ìàññà âîäîðîäà 2 ã/ìîëü. 5.  äëèííîì öèëèíäðè÷åñêîì òåïëîèçîëèðîâàííîì ñîñóäå (ðèñ.3) íàõîäèòñÿ 1 ìîëü îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà, óäåðæèâàåìûé ïîðøíåì ìàññîé m = 0,83 êã. Íà êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ âåëè÷èíó ∆T óâåëè÷èòñÿ òåìïåðàòóðà ãàçà, åñëè ïîðøíþ ñîîáùèòü íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v = = 3 ì/ñ? Òåïëîåìêîñòüþ ïîðøíÿ è ñîñóäà ïðåíåáðå÷ü. Ïðîöåññ ñ÷èòàòü êâàçèñòàòè÷åñêèì. Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,3 Äæ (ìîëü ⋅ Ê ) . 6. Òî÷å÷íûé çàðÿä Q ðàñïîëîæåí Ðèñ. 3 ïîñåðåäèíå ìåæäó çàðÿäàìè 2q è q íà îäíîé ñ íèìè ïðÿìîé. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå Q/q, ïðè êîòîðîì ýëåêòðè÷åñêèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà çàðÿäû 2q è q â ýòîé ñèñòåìå, ðàâíû ïî âåëè÷èíå. 7. Íà òîíêîå íåïðîâîäÿùåå êîëüöî ðàäèóñîì R = 0,2 ì íàäåòà áóñèíêà ìàññîé m = 1 ã è çàðÿäîì q = 1 ìêÊë. Êîëüöî ïîìåùåíî 4 â îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âåëè÷èíîé E = 10  ì , âåêòîð íàïðÿæåííîñòè êîòîðîãî E ëåæèò â ïëîñêîñòè êîëüöà 50