!& ÊÂÀÍT 2008/¹2 ñâåòëîãî ïÿòíà íà ýêðàíå ïëàâíî (ìîíîòîííî) óâåëè÷èâàåòñÿ è íà ðàññòîÿíèè L = 18 ñì îò ïåðåãîðîäêè äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ r1 = 3 ñì . Åñëè ëèíçó óáðàòü, îñòàâèâ ýêðàí íà ìåñòå, òî ðàäèóñ ïÿòíà íà ýêðàíå ñòàíåò r2 = 4,5 ñì . Îïðåäåëèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F ëèíçû. (4 áàëëà) Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Ëåäåíåâ, À.Ïè÷êóð Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé èíñòèòóò ýëåêòðîííîé òåõíèêè (òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò) ÔÈÇÈÊÀ Ïèñüìåííûé ýêçàìåí Âàðèàíò 1 1. Òåëî, äâèãàÿñü ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîçàìåäëåííî, ïðîøëî çà äâà îäèíàêîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðîìåæóòêà âðåìåíè τ = 2 ñ ïóòè s1 = 26 ì è s2 = 10 ì. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó a óñêîðåíèÿ òåëà. 2. Íà ñòîëå ñòîÿò ïðóæèííûå âåñû, íà âåñàõ öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ âîäîé (ðèñ.1). Êîãäà â ñîñóä äîëèëè íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî âîäû, ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü âîäû â ñîñóäå îñòàëàñü îòíîñèòåëüíî ñòîëà íà ïðåæíåì óðîâíå. Îïðåäåëèòå æåñòêîñòü k ïðóæèííûõ âåñîâ. Âíóòðåííèé ðàäèóñ ñîñóäà r = 8 ñì. 3. Âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè O ìîæåò âðàùàòüñÿ ëåãêèé æåñòêèé ñòåðÐèñ. 1 æåíü, íà êîòîðîì íà îäèíàêîâûõ ðàññòîÿíèÿõ l = 40 ñì îò îñè çàêðåïëåíû íåáîëüøèå ãðóçû ñ ìàññàìè m è M (ðèñ.2; îñü O ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ðèñóíêà). Ïåðâîíà÷àëüíî ñòåðæåíü óäåðæèâàëè â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè, à çàòåì áåç òîë÷êà îòïóñÐèñ. 2 òèëè. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü v ãðóçîâ, åñëè îòíîøåíèå èõ ìàññ M m = 3 . Òðåíèåì è ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 4. Âî ñêîëüêî ðàç îòëè÷àþòñÿ ñðåäíèå êâàäðàòè÷íûå ñêîðîñòè ìîëåêóë âîäîðîäà è êèñëîðîäà â âîçäóõå íàøåé àóäèòîðèè? 5. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q íóæíî ñîîáùèòü â èçîáàðíîì ïðîöåññå îäíîàòîìíîìó èäåàëüíîìó ãàçó, ÷òîáû óâåëè÷èòü åãî îáúåì â n = 2 ðàçà?  èñõîäíîì ñîñòîÿíèè îáúåì è äàâëåíèå ãàçà ðàâíû V = 0,1 ì 3 è p = 100 êÏà. 6. Êîíäåíñàòîð, çàðÿä êîòîðîãî q = 50 íÊë, ïîäêëþ÷èëè ê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèåì U = 100 Â.  ðåçóëüòàòå ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà óâåëè÷èëàñü â n = 4 ðàçà. Îïðåäåëèòå åìêîñòü Ñ êîíäåíñàòîðà. 7. Ïðè ðàáîòå óòþãà âèëêà ýëåêòðè÷åñêîãî øíóðà èç-çà ïëîõîãî êîíòàêòà ñ ðîçåòêîé íåìíîãî íàãðåâàåòñÿ. Îïðåäåëèòå ñîïðîòèâëåíèå r êîíòàêòà «âèëêà-ðîçåòêà», ñ÷èòàÿ, ÷òî ìîùíîñòü âûäåëåíèÿ òåïëà â êîíòàêòå Pê = 2 Âò, íàïðÿæåíèå íà ñïèðàëè óòþãà U = 220 Â, ìîùíîñòü ñïèðàëè P = 660 Âò. 8. Òîíêèé ìåòàëëè÷åñêèé ñòåðæåíü ïîäâåøåí â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå íà äâóõ ãèáêèõ ïðîâîäíèêàõ, ïîäêëþ÷åííûõ ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ. Ñíà÷àëà ñòåðæåíü óäåðæèâàëè òàê, ÷òî âåêòîð èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîñòàâëÿë óãîë α = 60° ñî ñòåðæíåì, à çàòåì ñòåðæåíü óñòàíîâèëè ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó èíäóêöèè. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèëàñü ïðè ýòîì ñèëà Àìïåðà, äåéñòâóþùàÿ íà ñòåðæåíü ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ? 9. Íàáëþäàòåëü ðîñòîì h = 170 ñì, íàõîäÿñü íà ðàññòî- ÿíèè L = 20 ì îò äåðåâà, âèäèò åãî âåðõóøêó â ìàëåíüêîì çåðêàëå, ðàñïîëîæåííîì ãîðèçîíòàëüíî íà çåìëå íà ðàññòîÿíèè l = 2 ì îò åãî íîã. Îïðåäåëèòå âûñîòó Í äåðåâà. 10. Ðàáîòà âûõîäà ýëåêòðîíîâ èç àëþìèíèÿ ðàâíà A1 = 3,74 ýÂ, à èç öåçèÿ A2 = 1,89 ýÂ. Âî ñêîëüêî ðàç îòëè÷àþòñÿ äëèíû âîëí, ñîîòâåòñòâóþùèå êðàñíûì ãðàíèöàì ôîòîýôôåêòà äëÿ ýòèõ ìåòàëëîâ? Ôèçè÷åñêèå ïîñòîÿííûå Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 Ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1000 êã ì 3 Ìîëÿðíàÿ ìàññà âîäîðîäà Μ â = 2 ã ìîëü Ìîëÿðíàÿ ìàññà êèñëîðîäà Μ ê = 32 ã ìîëü Âàðèàíò 2 (îëèìïèàäà-2007) 1. Ñ êàêîé ãîðèçîíòàëüíîé ñêîðîñòüþ v0 íóæíî áðîñèòü êàìåíü ñ âåðøèíû ãîðû, ñêëîí êîòîðîé îáðàçóåò óãîë α ñ ãîðèçîíòîì, ÷òîáû îí óïàë íà ñêëîí ãîðû íà ðàññòîÿíèè L îò âåðøèíû? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 2. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ëåæèò äîñêà (ðèñ.3). Íà äîñêó îïèðàåòñÿ ñâîáîäíûé êîíåö òîíêîé îäíîðîäíîé áàëêè, øàðíèðíî çàêðåïëåííîé ïîä óãëîì α ê âåðòèêàëè. Êàêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó F íóæíî ïðèëîæèòü ê äîñêå, ÷òîáû ìåäëåííî çàòÿãèâàòü åå ïîä áàëêó ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ? Ìàññà áàëêè m, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áàëêîé è äîñêîé µ , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g. Ðèñ. 3 3. Òåëî ìàññîé m = 1 êã áðîñèëè ïîä óãëîì ê ãîðèçîíòó. Íà âûñîòå h = 10 ì åãî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îêàçàëàñü ðàâíîé Eê = 100 Äæ. Êàêîé áûëà âåëè÷èíà v0 íà÷àëüíîé ñêîðîñòè òåëà? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 . Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 4. Íàéäèòå ïëîòíîñòü ρ âîäîðîäà â ñîñóäå îáúåìîì V = = 40 ë, åñëè ÷èñëî åãî ìîëåêóë â ñîñóäå âäâîå áîëüøå ÷èñëà Àâîãàäðî NA . Ìîëÿðíàÿ ìàññà âîäîðîäà Μ= Μ = 2 × 10 -3 êã ìîëü . 5. Èäåàëüíûé ãàç ïåðåâîäÿò èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2 â ïðîöåññå, ãðàôèê êîòîðîãî èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 4. Ñ÷èòàÿ èçâåñòíûìè äàâëåíèå p1 è îáúåìû V1,V2,V3 , îïðåäåëèòå äàâëåíèå p2 , ïðè êîòîðîì ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ãàçîì â äàííîì ïðîöåññå, ðàâíà Ðèñ. 4 íóëþ. 6. Òðè îäèíàêîâûõ íåçàðÿæåííûõ ìåòàëëè÷åñêèõ øàðèêà 1, 2 è 3 ðàñïîëîæåíû âäîëü îäíîé ïðÿìîé è ñâÿçàíû äâóìÿ îäèíàêîâûìè äëèííûìè èçîëèðóþùèìè íèòÿìè (ðèñ.5). ×åòâåðòûé òàêîé æå øàðèê çàðÿäèëè è ïî î÷åðåäè ïðèêîñíóëèñü èì ê ïåðâûì òðåì â ïîðÿäêå âîçÐèñ. 5 ðàñòàíèÿ èõ íîìåðîâ. Âî ñêîëüêî ðàç ïîñëå ýòîãî îòëè÷àþòñÿ ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé? 7. Ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 18 êÎì è âîëüòìåòð ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî è ïîäêëþ÷åíû ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ U = 24 Â. Âîëüòìåòð ïðè ýòîì ïîêàçûâàåò íàïðÿæåíèå U1 = 20 Â. Îïðåäåëèòå ñîïðîòèâëåíèå r âîëüòìåòðà. !' ÂÀÐÈÀÍÒÛ 8. Êàòóøêà èíäóêòèâíîñòüþ L ïðèñîåäèíåíà ê ïëîñêîìó êîíäåíñàòîðó ñ ïëîùàäüþ îáêëàäîê S è ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè d. ×åìó ðàâíà äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ε ñðåäû, çàïîëíÿþùåé ïðîñòðàíñòâî ìåæäó îáêëàäêàìè, åñëè àìïëèòóäà ñèëû òîêà â êîíòóðå Im , à àìïëèòóäà íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå Um ? Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ ε0 . Àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì êîíòóðà ïðåíåáðå÷ü. 9. Ïðåäìåò íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè d = 20 ñì îò òîíêîé ëèíçû, ïðè ýòîì ðàçìåð äåéñòâèòåëüíîãî èçîáðàæåíèÿ â à = = 3 ðàçà ïðåâîñõîäèò ðàçìåð ïðåäìåòà. Ïîñòðîéòå õîä ëó÷åé, ôîðìèðóþùèõ èçîáðàæåíèå, è îïðåäåëèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F ëèíçû. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Áåðåñòîâ, È.Ãîðáàòûé, Â.Ãóíäûðåâ, Ñ.Êóêëèí, È.Ôåäîðåíêî Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. Í.Ý.Áàóìàíà ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 21+ + 22 - x = 9 . x2 - 2x <3. 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log2 x-3 5. Êàêàÿ íàèáîëüøàÿ ïëîùàäü ìîæåò áûòü ó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, îñíîâàíèå êîòîðîãî ïàðàëëåëüíî îñè x, à êîîðäèíàòû âåðøèí óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ 2 y = 9 - ( x - 2) ? 6. Îïðåäåëèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå 2 4 x 2 - 8 x + ( 2a + x + x ) = 4 èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ. Óêàæèòå ýòè êîðíè ïðè êàæäîì èç íàéäåííûõ çíà÷åíèé a. 7. Îñíîâàíèåì ïèðàìèäû TABC ñëóæèò òðåóãîëüíèê ABC, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 4, à âûñîòà ïèðàìèäû, ðàâíàÿ 3, ñîâïàäàåò ñ áîêîâûì ðåáðîì TA. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïèðàìèäû ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíó ñòîðîíû îñíîâàíèÿ AB è öåíòð ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ïèðàìèäû, è ïàðàëëåëüíîé ìåäèàíå AD áîêîâîé ãðàíè TAB. x Ïèñüìåííûé ýêçàìåí ÔÈÇÈÊÀ Âàðèàíò 1 Ïèñüìåííûé ýêçàìåí 1. Ïåðâûé àâòîìîáèëü ïðîõîäèò â ìèíóòó íà 300 ì áîëüøå, ÷åì âòîðîé, ïîýòîìó âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ îäíîãî êèëîìåòðà ó íåãî íà 10 ñåêóíä ìåíüøå. Íà ñêîëüêî ìåòðîâ óâåëè÷èâàåòñÿ îòñòàâàíèå âòîðîãî àâòîìîáèëÿ îò ïåðâîãî çà âðåìÿ, ïîêà ïåðâûé ïðîõîäèò 1 êì? 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos 2x = 3 + 5 sin x . Óêàæèòå åãî êîðíè, ëåæàùèå â ïðîìåæóòêå [ - 3π 2; π 2] . 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 æ æ5 öö çè 2 + log2 çè 4 - x ÷ø ÷ø log x 2 = 1 . x x -1 3 > x+ . 8 x -1 5. Êàêóþ íàèáîëüøóþ ïëîùàäü ìîæåò èìåòü òðåóãîëüíèê, îãðàíè÷åííûé îñüþ Ox, ïðÿìîé x = 3 2 è êàñàòåëüíîé ê 2 ãðàôèêó ôóíêöèè y = 2x â òî÷êå ñ àáñöèññîé x0 , åñëè 0 < x0 < 3 ? 6. Óêàæèòå âñå çíà÷åíèÿ a, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 8 ( x - x) = 4 + a ( x - 8) èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü. Íàéäèòå ýòîò êîðåíü ïðè êàæäîì a. 7. Îñíîâàíèåì ïèðàìèäû TABC ñëóæèò òðåóãîëüíèê ABC, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 4, à âûñîòà ïèðàìèäû ñîâïàäàåò ñ áîêîâûì ðåáðîì TA. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïèðàìèäû ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû ñòîðîíû îñíîâàíèÿ AC è áîêîâîãî ðåáðà TB è ïàðàëëåëüíîé ìåäèàíå BD áîêîâîé ãðàíè BTC, åñëè ðàññòîÿíèå îò âåðøèíû ïèðàìèäû T äî ñåêóùåé ïëîñêîñòè ðàâíî 1/2. Âàðèàíò 2 1. Îäèí ðàáî÷èé âçÿëñÿ âûïîëíèòü çàêàç çà 15 äíåé ïðè óñëîâèè, ÷òî â òå÷åíèå 4 äíåé åìó áóäåò ïîìîãàòü âòîðîé ðàáî÷èé. Åñëè áû ýòîò çàêàç áûë ïîðó÷åí êàæäîìó ðàáî÷åìó îòäåëüíî, òî äëÿ åãî âûïîëíåíèÿ ïåðâîìó ïîòðåáîâàëîñü áû íà 6 äíåé ìåíüøå, ÷åì âòîðîìó. Çà ñêîëüêî äíåé êàæäûé èç íèõ ìîæåò âûïîëíèòü çàêàç? 2. Íàéäèòå âñå êîðíè óðàâíåíèÿ cos 3x + cos 5x + 2 cos 4 x = 0 , ïðèíàäëåæàùèå ïðîìåæóòêó [ π 2; π] . Âàðèàíò 1 1. Íàïèøèòå ôîðìóëèðîâêó çàêîíà Îìà äëÿ çàìêíóòîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Íàïèøèòå ôîðìóëó çàêîíà Îìà äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 1. Óêàæèòå åäèíèöû èçìåðåíèÿ âõîäÿùèõ â íåå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. 2. Êàêóþ ðàáîòó À íóæíî ñîâåðøèòü íàä îäíèì ìîëåì èäåàëüíîãî ãàçà äëÿ åãî èçîáàðíîãî ñæàòèÿ, ïðè êîòîðîì Ðèñ. 1 êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè â α = 3 ðàç áîëüøå, ÷åì â íà÷àëüíîì? Ïåðâîíà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà T1 = 400 Ê . 3. Ïðîòîí è ýëåêòðîí, äâèãàÿñü ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè, ïîïàäàþò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå. Âî ñêîëüêî ðàç ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè ïðîòîíà R1 áîëüøå ðàäèóñà êðèâèçíû òðàåêòîðèè ýëåêòðîíà R2 ? 4. Íàéäèòå íàèáîëüøèé ïîðÿäîê ñïåêòðà äëÿ æåëòîé ëèíèè íàòðèÿ ñ äëèíîé âîëíû 589 íì, åñëè ïåðèîä äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè 2 ìêì. 5. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü îïèðàåòñÿ î âåðòèêàëüíóþ ïëîñêîñòü, îáðàçóÿ ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ óãîë α = 60° (ðèñ.2). Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ñòåðæíåì è ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ µ1 = 0,25 . ×åìó ðàâíà ìèíèìàëüíàÿ âåëè÷èíà êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ µ2 ìåæäó ñòåðæíåì è âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòüþ, ïðè êîòîðîé ñòåðæåíü áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè? 6. Äâå áóñèíêè, èìåþùèå çàðÿäû +q è +3q, óäåðæèâàþòñÿ íà äëèííîì ãîðèçîíòàëüíîì èçîëèðóþùåì Ðèñ. 2 ñòåðæíå íà ðàññòîÿíèè L0 äðóã îò äðóãà (ðèñ.3). Áóñèíêó, èìåþùóþ çàðÿä +3q è ìàññó m, îòïóñêàþò, è îíà íà÷èíàåò ñêîëüçèòü ïî ñòåðæíþ. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ ðàâåí µ . Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå L ìåæäó áóñèíêàìè. 7. Ê îñè êîëåñà, ìàññà m êîòîðîãî ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà ïî îáîäó, ïðèñîåäèíåíà ïðóæèíà æåñòêîñòüþ k (ðèñ.4). Âòîðîé êîíåö ïðóæèíû Ðèñ. 3