Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Б.М.Верников Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Вступительные замечания В предыдущих трех лекциях мы изучили три типа кривых второго порядка — эллипс, гиперболу и параболу. Цель данной лекции — указать все существующие типы таких кривых. Как мы увидим, кроме трех только что указанных, существуют лишь несколько вырожденных квадрик на плоскости, некоторые из которых вообще трудно считать кривыми в общепринятом смысле этого слова. Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Определение квадрики на плоскости Определение Квадрикой на плоскости (или кривой второго порядка) называется множество всех точек плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2-го порядка с двумя неизвестными, т. е. уравнению вида a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0, 2 2 2 где a11 + a12 + a22 6= 0. Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости (1) Примеры квадрик на плоскости Примерами квадрик на плоскости являются кривые, рассмотренные в трех предыдущих лекциях, — эллипс, гипербола и парабола. Рассмотрим еще несколько уравнений вида (1) и выясним, какие квадрики они задают. 1 x 2 − y 2 = 0. Это уравнение равносильно уравнению (x − y )(x + y ) = 0 и потому задает пару пересекающихся прямых с уравнениями x − y = 0 и x + y = 0. 2 x 2 − 1 = 0. Это уравнение равносильно уравнению (x − 1)(x + 1) = 0 и потому задает пару параллельных прямых с уравнениями x − 1 = 0 и x + 1 = 0. 3 x 2 = 0. Это уравнение, очевидно, равносильно уравнению x = 0 и потому задает на плоскости прямую (ось ординат). В теории квадрик на плоскости квадрику такого типа принято называть парой совпавших прямых. Этот термин объясняется следующими соображениями. Рассмотрим пару параллельных прямых x = ±a, где a > 0, задаваемую уравнением x 2 = a2 . Если a −→ 0, то прямые x = a и x = −a «сближаются» и в пределе, при a = 0, совпадают друг с другом. 4 x 2 + y 2 = 0. Это уравнение равносильно равенствам x = y = 0 и потому задает на плоскости точку (начало координат). 5 x 2 + 1 = 0. Точек, координаты которых удовлетворяли бы этому уравнению, не существует. Поэтому его геометрическим образом является пустое множество. Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Классификационная теорема Оказывается, что никаких других квадрик, кроме упомянутых на предыдущем слайде, не существует. А именно, справедлива следующая Теорема 1 Всякая квадрика на плоскости является или эллипсом, или гиперболой, или параболой, или парой прямых (пересекающихся, параллельных или совпавших), или точкой, или пустым множеством. Доказательство этой теоремы весьма длинное — ему будет посвящена вся оставшаяся часть данной лекции. Отметим, однако, что это доказательство несложно по своей сути (оно сводится к простым вычислениям и перебору большого числа возникающих при этом случаев). Еще более важно то, что это доказательство конструктивно: в нем, по сути дела, изложен алгоритм, следуя которому можно определить тип квадрики, заданной произвольным уравнением вида (1), и найти систему координат, в которой уравнение этой квадрики имеет наиболее простой вид. Последнее обстоятельство особенно ценно с точки зрения решения задач. Приведение уравнения произвольной квадрики к простейшему виду, описываемое в доказательстве теоремы 1, принято называть приведением квадрики к каноническому виду. Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 1 (1) Доказательство. Пусть в системе координат Oxy квадрика ` задается уравнением (1). Разобьем дальнейшие рассуждения на три шага. Шаг 1. Проверим прежде всего, что систему Oxy можно повернуть вокруг точки O на некоторый угол α так, что в новой системе координат уравнение той же квадрики ` не будет содержать слагаемого с произведением неизвестных. Если a12 = 0, то уже в исходной системе координат уравнение квадрики ` не содержит слагаемого с произведением неизвестных и в качестве искомого α можно взять угол 0◦ . Поэтому далее можно считать, что a12 6= 0. (2) Повернем систему Oxy на некоторый угол α. В новой системе координат квадрика будет иметь уравнение вида 0 0 0 a11 (x 0 )2 + 2a12 x 0 y 0 + a22 (y 0 )2 + 2a10 x 0 + 2a20 y 0 + a00 = 0. Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 1 (2) Используя формулы (9) из лекции 6, легко проверить, что 0 a11 = a11 cos2 α + 2a12 sin α cos α + a22 sin2 α, (3) 0 2a12 = 2a12 (cos2 α − sin2 α) − 2(a11 − a22 ) sin α cos α, (4) 0 a22 (5) 2 2 = a11 sin α − 2a12 sin α cos α + a22 cos α. 0 Докажем, что существует угол α такой, что 2a12 = 0. Из (4) вытекает, что 0 0 2a12 = 2a12 cos 2α − (a11 − a22 ) sin 2α. Таким образом, 2a12 = 0 тогда и только тогда, когда 2a12 cos 2α = (a11 − a22 ) sin 2α. (6) Ясно, что α 6= 0 (в противном случае, т. е. при «повороте» системы координат на 0◦ , коэффициент при xy останется без изменения и потому будет отличен от 0). Следовательно, и 2α 6= 0. Без ограничения общности можно считать, что 0 < α < π2 , и потому 0 < 2α < π (если найдется удовлетворяющий этому ограничению угол α такой, что выполнено равенство (6), то этого будет достаточно для наших целей). Следовательно, sin 2α 6= 0. (7) Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 1 (3) Неравенства (2) и (7) позволяют нам разделить обе части равенства (6) на 2a12 sin 2α. В результате мы получаем следующее уравнение относительно α: a11 − a22 ctg 2α = . (8) 2a12 Это уравнение всегда имеет решение. Повернув систему координат на угол α, являющийся решением этого уравнения, мы добьемся поставленной цели — «уберем» из уравнения квадрики слагаемое с произведением неизвестных. 0 Итак, после поворота на угол α, определяемый уравнением (8), a12 = 0. 0 0 Докажем, что при этом хотя бы один из коэффициентов a11 и a22 отличен 0 0 от нуля. Предположим, напротив, что a11 = a22 = 0. Складывая равенства (3) и (5), имеем 0 0 0 = a11 + a22 = a11 (cos2 α + sin2 α) + a22 (cos2 α + sin2 α) = a11 + a22 , откуда a22 = −a11 . Подставим −a11 вместо a22 в равенства (3) и (4). Получим: 0 a11 = a11 cos2 α + 2a12 sin α cos α − a11 sin2 α = a11 cos 2α + a12 sin 2α, 0 a12 = a12 (cos2 α − sin2 α) − 2a11 sin α cos α = a12 cos 2α − a11 sin 2α. Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 1 (4) Таким образом, a11 cos 2α + a12 sin 2α = 0, (9) a12 cos 2α − a11 sin 2α = 0. (10) Если a11 = 0, то из (9) вытекает, что a12 sin 2α = 0. Но это невозможно в силу (2) и (7). Следовательно, a11 6= 0. С учетом (2) и (7) из (9) вытекает 12 теперь, что ctg 2α = − aa11 , а из (10) — что ctg 2α = aa11 . Следовательно, 12 a11 a12 2 2 = − . Но тогда a + a = 0. Отсюда, в частности, вытекает, что 11 12 a12 a11 a11 = 0. Но, как отмечалось выше, это невозможно. Итак, если повернуть систему координат на угол α, являющийся решением уравнения (8), то в уравнении квадрики в новой системе координат коэффициент при xy будет равен 0, а хотя бы один из коэффициентов при x 2 и y 2 будет отличен от 0. Иными словами, в новой системе координат уравнение квадрики ` имеет вид a11 x 2 + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0, (11) где по крайней мере один из коэффициентов a11 и a22 отличен от 0. Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 2 (1) Шаг 2. Проверим теперь, что параллельным переносом системы координат можно избавиться от линейных слагаемых. Более точно, мы установим, что: а) если a11 6= 0, то сдвигом начала системы координат вдоль оси Ox можно получить новую систему координат, в которой в уравнении квадрики ` коэффициент при x равен 0; б) если a22 6= 0, то сдвигом начала системы координат вдоль оси Oy можно получить новую систему координат, в которой в уравнении квадрики ` коэффициент при y равен 0. Оба этих утверждения доказываются абсолютно аналогично. Поэтому мы ограничимся проверкой только первого из них. Итак, пусть a11 6= 0. В уравнении (11) выделим полный квадрат по x: a1 2 a2 a11 x + + a22 y 2 + 2a2 y + a0 − 1 = 0. a11 a11 Проведем замену неизвестных: 0 x = x + y0 = y Б.М.Верников a1 a11 , . Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 2 (2) Геометрически этой замене неизвестных соответствует параллельный перенос системы координат, при котором начало системы координат 1 переходит в точку с координатами (− aa11 , 0). В новой системе координат квадрика ` имеет уравнение a11 (x 0 )2 + a22 (y 0 )2 + 2a2 y 0 + a00 = 0, a2 1 . Коэффициент при x в этом уравнении равен 0. При где a00 = a0 − a11 необходимости, т. е. в случае, когда a22 6= 0, аналогичным образом (выделив полный квадрат по y ) можно обнулить коэффициент при y . Итак, мы можем считать, что уравнение квадрики ` имеет один из следующих видов: Ax 2 + By 2 + C = 0, где A 6= 0, B 6= 0, (12) Dx 2 + 2Ey + F = 0, где D 6= 0, (13) где D 6= 0. (14) 2 Dy + 2Ex + F = 0, Если квадрика имеет уравнение вида (13), то, сделав замену неизвестных 0 x = y, (15) y 0 = x, мы придем к уравнению (14). Поэтому далее можно считать, что квадрика имеет либо уравнение вида (12), либо уравнение вида (14). Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 3, случай 1 (1) Шаг 3. Дальнейшие рассмотрения естественно распадаются на два случая. Случай 1: квадрика задается уравнением вида (12). Здесь возможны два подслучая. Подслучай 1.1: C 6= 0. В этом случае уравнение (12) можно переписать в виде x2 y2 + = 1. (16) −C /A −C /B Предположим сначала, что числа − CA и − CB больше нуля. Введя q q 2 2 обозначения a = − CA и b = − CB , мы получаем уравнение xa2 + yb2 = 1. Если a > b, оно является каноническим уравнением эллипса. В противном случае мы получим тот же результат, сделав замену неизвестных (15). Пусть теперь числа − CA и − CB имеют разные знаки. Без ограничения общности можно считать, что − CA > 0 и − CB < 0 (в противном случае q следует сделать замену неизвестных (15)). Введя обозначения a = − CA , q 2 2 b = CB , мы получим уравнение xa2 − yb2 = 1, т. е. каноническое уравнение гиперболы. Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 3, случай 1 (2) Наконец, если числа − CA и − CB меньше нуля, то уравнение (16) не имеет решений, и потому его геометрическим образом является пустое множество. Подслучай 1.2: C = 0. При таком C уравнение (12) можно переписать в виде x2 y2 + = 0. (17) 1/A 1/B Если числа A1 и B1 имеют одинаковый знак, то уравнение (17) имеет единственное решение: x = y = 0. Следовательно, его геометрическим образом является точка (начало координат). Пусть теперь числа A1 и B1 имеют разные знаки. Умножив, если потребуется, наше уравнение на −1, можно добиться q выполнения q неравенств 1 A >0и 1 B 2 < 0. Введя обозначения a = 1 A иb= − B1 , мы 2 получим уравнение xa2 − yb2 = 0, которое можно переписать в виде ( xa + yb )( xa − yb ) = 0. Оно задает совокупность прямых xa + yb = 0 и x − yb = 0. Очевидно, что главные векторы этих прямых,т. е. векторы a ~n1 = ( 1a , − b1 ) и ~n2 = ( 1a , b1 ), не пропорциональны. Следовательно, наши прямые пересекаются (см. теорему 2 в лекции 7). Итак, в рассматриваемом случае квадрика есть пара пересекающихся прямых. Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 3, случай 2 (1) Случай 2: квадрика задается уравнением вида (14). Здесь также возможны два подслучая. Подслучай 2.1: E 6= 0. При таком E уравнение квадрики можно упростить, избавившись от свободного члена. Для этого перепишем уравнение (14) в виде F 2E F 2E x+ . y2 = − x− =− D D D 2E Сделаем замену неизвестных 0 F x = x + 2E , 0 y = y , которая соответствует параллельному переносу системы координат, при котором начало системы координат переходит в точку с координатами F (− 2E , 0). В новой системе координат квадрика имеет уравнение 2E · x 0. D E , получаем уравнение (y 0 )2 = 2px 0 . Если p > 0, то оно Полагая p = − D является каноническим уравнением параболы. Если же p < 0, то мы придем к тому же результату после замены неизвестных 00 x = −x 0 , y 00 = y 0 . (y 0 )2 = − Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Доказательство классификационной теоремы: шаг 3, случай 2 (2) Подслучай 2.2: E = 0. При таком E уравнение (14) можно переписать в виде F y2 = − . (18) D q F F Если − D > 0, то, полагая a = − D , мы получаем уравнение y 2 = a2 , геометрическим образом которого является пара параллельных прямых y = a и y = −a. F Если − D = 0, то уравнение (18) имеет вид y 2 = 0 и определяет пару совпавших прямых. F < 0, то уравнение (18) не имеет решений, и потому его Наконец, если − D геометрическим образом является пустое множество. Мы завершили разбор всех возможных случаев и подслучаев. Как видим, в процессе этого разбора возникли все восемь видов квадрик, упомянутых в формулировке теоремы, и не возникло никаких других. Теорема полностью доказана. Б.М.Верников Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости