1 Óñëîâèÿ çàäà÷è Ðåøèòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà ∆U = 0 (1) U |r=a = A sin ϕ (2) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì à) âíóòðè á) ñíàðóæè îêðóæíîñòè 2 r = a. Ïåðåâîä ëàïëàñèàíà â ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû U = U (r, ϕ) U (r, ϕ) = U (r, ϕ + 2π) 2 2 Uxx = Urr (rx ) + 2Urϕ rx ϕx + Uϕϕ (ϕx ) + Ur rxx + Uϕ ϕxx x = r cos ϕ y = r sin ϕ (3) (4) (5) Íàõîäèì ïðîèçâîäíûå: 1 = rx cos ϕ − r sin ϕϕx | · cos ϕ 0 = rx sin ϕ + r cos ϕϕx | · sin ϕ rx = cos ϕ (7) 0 = cos ϕ sin ϕ + r cos ϕϕx (8) ϕx = − sin ϕ r ∂ ∂ sin ϕ sin2 ϕ rx = cos ϕ = − sin ϕϕx = − sin ϕ − = ∂x ∂x r r ∂ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin 2ϕ ∂ sin ϕ sin ϕ ϕx = − =− ϕx + 2 rx = − = − + 2 cos ϕ = ∂x ∂x r r r r r r r2 rxx = ϕxx (6) (9) (10) (11) Ïîäñòàâëÿåì â 2 sin ϕ sin ϕ sin2 ϕ sin 2ϕ 2 Uxx = Urr (cos ϕ) + 2Urϕ cos ϕ − + Uϕϕ − + Ur + Uϕ = r r r r2 = Urr cos2 ϕ − sin 2ϕ sin2 ϕ sin2 ϕ sin 2ϕ Urϕ + Uϕϕ 2 + Ur + Uϕ . r r r r2 Àíàëîãè÷íî Uyy = Urr sin2 ϕ + cos2 ϕ cos2 ϕ sin 2ϕ sin 2ϕ Urϕ + Uϕϕ + Ur − Uϕ 2 r r r r2 (12) (13)  ñóììå ∆U = Uxx + Uyy = Urr + 1 1 1 ∂ 1 Uϕϕ + Ur = (rUr ) + 2 Uϕϕ r2 r r ∂r r 1 (14) 3 Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ 3.1 Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ 1 ∂ 1 (rUr ) + 2 Uϕϕ = 0 r ∂r r U (r, ϕ) = R (r) Φ (ϕ) ∆U = (15) (16) Èç (3) Φ (ϕ) = Φ (ϕ + 2π) (17) 2 r 1 00 1 ∂ 0 (rR ) Φ + R 2 Φ = 0 r ∂r r RΦ (18) Ïîäñòàâëÿåì â (15) r ∂ Φ00 (rR0 ) = − = µ, R ∂r Φ 3.2 µ = const (19) Óãëîâàÿ ÷àñòü − Φ00 =µ Φ (20) Φ00 + µΦ = 0 (21) λ2 + µ = 0 (22) Φ = C1 eαϕ + C2 e−αϕ (23) C1 eαϕ + C2 e−αϕ = C1 eα(ϕ+2π) + C2 e−α(ϕ+2π) (24) ÕÓ: Ñëó÷àé µ < 0 : µ = −α2 λ = ±α Èç (17) Äèôôåðåíöèðóåì ïî ϕ è äåëèì íà α: C1 eαϕ − C2 e−αϕ = C1 eα(ϕ+2π) − C2 e−α(ϕ+2π) (25) C1 eαϕ = C1 eα(ϕ+2π) C1 e2πα − 1 = 0 (26) Ñêëàäûâàåì 2πα 6= 0 Èç (24) è (28) C2 =⇒ C1 = 0. C2 e−αϕ = C2 e−α(ϕ+2π) 1 − e−2πα = 0 =⇒ C2 = 0 Φ=0 2 (27) (28) (29) (30) (31) Ñëó÷àé µ = 0 Ñëó÷àé µ > 0 : : Φ00 = 0 (32) Φ = C1 ϕ + C2 (33) C1 ϕ + C2 = C1 (ϕ + 2π) + C2 (34) 2πC1 = 0 (35) Φ = C2 (36) µ = α2 λ2 + α2 = 0, λ = ±iα (37) Φ = C1 cos (αϕ) + C2 sin (αϕ) (38) C1 cos (αϕ) + C2 sin (αϕ) = C1 cos (α [ϕ + 2π]) + C2 sin (α [ϕ + 2π]) , (39) −2C1 sin (πα) sin (αϕ + πα) + 2C2 sin (πα) cos (αϕ + πα) = 0, (40) sin (πα) (C1 sin (αϕ + πα) − C2 cos (αϕ + πα)) = 0. (41) C1 sin (αϕ + πα) − C2 cos (αϕ + πα) = 0. (42) C1 cos (αϕ + πα) + C2 sin (αϕ + πα) = 0. (43) Èç (17) Ïóñòü Äèôôåðåíöèðóåì ïî Óìíîæèì 42 íà ϕ è äåëèì íà sin (αϕ + πα), α: 43 íà + cos (αϕ + πα) è ñëîæèì: C1 sin2 (αϕ + πα) − C2 cos (αϕ + πα) sin (αϕ + πα) = 0, C1 cos2 (αϕ + πα) + C2 sin (αϕ + πα) cos (αϕ + πα) = 0, C1 = 0 =⇒ C2 = 0. (44) (45) Èòàê, Φn = (ïðè n=0 ïîëó÷àåì (36), sin (πα) = 0 (46) πα = πn, n ∈ Z (47) α = n, µ = n2 (48) C1n cos (nϕ) + n = 0, 1, 2 . . .) 3 C2n sin (nϕ) (49) 3.3 Ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü Âîçüì¼ì ëåâóþ ÷àñòü (19): r ∂ (rR0 ) = n2 , R ∂r (50) r2 R00 + rR0 = n2 R. (51) ρ r = e ρ = ln r R0 = d R = dr 00 4 1 dR r dρ dR dρ 1 dR dR = = , dr dρ dr r dρ 1 1 dR 1 d dR 1 dR 1 d2 R =− 2 + =− 2 + 2 2 = 2 r dρ r dr dρ r dρ r dρ r 2 d R dR dR − + = n2 R dρ2 dρ dρ (52) d2 R dR − dρ2 dρ , (53) (54) d2 R = n2 R dρ2 (55) Rn = C3n enρ + C4n e−nρ = C3n rn + C4n r−n (56) Un = (C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) rn . (57) Ðåøåíèå ïóíêòà à) Âíóòðè, ïðè r < a, C4n = 0. Ïîäñòàâèì (49) è (56) â (16)  ñèëó ëèíåéíîñòè (1), U= ∞ X Un = n=0 ãäå C5n = C1n · C3n , C6n = C2n · C3n . Íàéä¼ì C5n è C6n èç (2): U |r=a = ∞ X ∞ X (C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) rn , (58) n=0 (C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) an = A sin ϕ. (59) n=0 Ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ ïðè C5n = 0; Òîãäà C61 = A ; a C6n = 0, n 6= 1. Ar sin (ϕ) U = (C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) rn |n=1 = C51 cos (ϕ) + C61 sin (ϕ) r = a 4 (60) (61) 5 Ðåøåíèå ïóíêòà á) Ñíàðóæè, ïðè r > a, C3n = 0, U= ∞ X Un = n=0 ãäå C5n = C1n · C4n , C6n = C2n · C4n . ∞ X (C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) r−n , (62) n=0 Íà ãðàíèöå U |r=a = ∞ X (C5n cos (nϕ) + C6n sin (nϕ)) a−n = A sin ϕ, (63) n=0 ÷òî èìååò ìåñòî ïðè C5n = 0; C61 = Aa; Òîãäà U= C6n = 0, Aa sin (ϕ) . r 5 n 6= 1. (64) (65)