Óñòîé÷èâîñòü ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ Ïðèìåð 1. Ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ èññëåäîâàòü íà óñòîé÷èâîñòü íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû ( ẋ = ex+2y − cos 3x, √ ẏ = 4 + 8x − 2ey . Ðåøåíèå. Ïåðâîå ïðèáëèæåíèå ñèñòåìû íàéä¼ì ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà ẋ = ∂f1 (0,0) ∂x (0,0) x + ∂f1∂y y + R1(x, y), (0,0) x + ∂f2∂y y + R2(x, y), √ ãäå f1 (x, y) = ex+2y − cos 3x , f2 (x, y) = 4 + 8x − 2ey . ẏ = ∂f2 (0,0) ∂x Ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò âèä ( ẋ = x + 2y, ẏ = 2x − 2y. Çàïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû: det (A − λE) = λ2 + λ − 6 = 0, à åãî êîðíè λ1 = 2 , λ2 = −3 . Îäèí èç êîðíåé ïîëîæèòåëüíûé λ1 > 0 , ñëåäîâàòåëüíî, íóëåâîå ðåøåíèå íåóñòîé÷èâî. 2 Ïðèìåð 2. Ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ èññëåäîâàòü íà óñòîé÷èâîñòü íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû ( ẋ = 2x + 8 sin y, ẏ = 2 − ex − 3y − cos y. Ðåøåíèå. Ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ óðàâíåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâèì ïî ôîðìóëå 1 Ìàêëîðåíà ( ẋ = 2x + 8y + R1(x, y), ẏ = −x − 3y + R2(x, y). Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò âèä ( Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ẋ = 2x + 8y, ẏ = −x − 3y. óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû det (A − λE) = λ2 + λ + 2 = 0, à åãî êîðíè λ1,2 = −1/2 ± i · 7/2. Î÷åâèäíî, ÷òî Reλ1 = Reλ2 = −1/2 < 0. Ðåøåíèå x = 0, y = 0 ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì. 2 Ïðèìåð 3. Íàéòè âñå òî÷êè ïîêîÿ è èññëåäîâàòü èõ íà óñòîé÷èâîñòü äëÿ ñèñòåìû ( ẋ = y − x2 − x, ẏ = 3x − x2 − y. Ðåøåíèå. Ïðèðàâíèâàåì íóëþ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé ñèñòåìû: ( y − x2 − x = 0, 3x − x2 − y = 0. Îòêóäà ïîëó÷àåì äâå òî÷êè ïîêîÿ: M1 (0, 0) , M2 (1, 2) . Èññëåäóåì èõ íà óñòîé÷èâîñòü. 1. Òî÷êà M1(0, 0) . Ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò âèä ( ẋ = −x + y, ẏ = 3x − y. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå λ2 + 2λ − 2 = 0 èìååò êîð√ √ íè λ1,2 = −1± 3 . Êîðåíü λ1 = −1+ 3 ïîëîæèòåëüíûé, 2 ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà ïîêîÿ M1 è ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå íåóñòîé÷èâû. 2. Òî÷êà M2(1, 2) . Äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ: u = x − 1 , v = y − 2 . Òî÷êå ïîêîÿ M2 ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà ïîêîÿ N (0, 0) ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòåìû ( u̇ = v − u2 − 3u, v̇ = u − u2 − v. Ñèñòåìà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò âèä ( u̇ = −3u + v, v̇ = u − v. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå λ2 +4λ+2 = 0 èìååò êîðíè √ λ1,2 = −2 ± 2 . Âñå îíè îòðèöàòåëüíû, è ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà ïîêîÿ N , à çíà÷èò è òî÷êà M2 , óñòîé÷èâû. 2 3