'I<DC· IШатежных обязате.Jtьств вида Н l L ~ , У; = g { Sт) ·1{J: > Т} /Вт = i =I с g(Sт) = max{S7 , К}= К+ (S7 -К)+ на таком рынке смmри в прцложении Х. Задачи к и. указания к решениям § 4 Найти вероятностьтого, что новорож.Liенньrй. дQжив~т до щ.~т; если сила смертности: .Постоянна и paв~4 , Q,(JQ1 . · . . 4.1. 30 .· . •· Решение. Т.К. сиЛа>сМертноdтИпqстоЯнна, t р•х == в-J~O,OOl-dt = е "-(},OoU и не · зависит от возраста Х; Тогда uскомая вероятность есть . ..·, ._,-,-- .. -.-, .. -____ -._ ' - --- ;.-. __ , ,'. _ а ==зо. ЙQ - - •' , е -О,ОЗ ::::: о ,97. · · Оmет: искомая верQй'fностji,nрйблизительно·· равна о ,.97~ .·· ·.. . ( . . ·. ·· .·· .. ·. ·....•. г \ . . . ·\< Поl(а.та'Гь, чт() функц1'UI,·~· / 4.2. •. .·· . •.· ·•·· · .• •..·•.. ..·,,:, .• , · >.· •. (1 + х) .< .· ... ,., 2 ,... не может быть использова-- . на в . качестве _ сИJiьr смертllqсти. . . -- - -- : -_ . -~; ~ .PeilieЙиe . .nреДположиМ:, что cи:Jia смертности равна /(.· 1 (1 + х) 2 , тогда ' ' 1 .:. 1 Ро i ·. . ' ·. -Jo . (.l.+s) 2 ·ds =е = е· -( 1 -1~1) ' " lirt1 1' р 0 · = е "- 1 · ::::: 0,37. (.,-too Йз·. nС>6йgдlfего· . c()QтнoII!eiifrя' tлeдyeт, •. • чтo•.• () :i*d~q)l(ll~~~kf!OЙ•· вe­ p9ятня~~~f. ;9,,3,J•. •flO~Op()~r~~~I~. J~POЖД~~т• . ;p ~?~y. ( .~?~!f. 0 ·~· .· )19ЛГO. Эrо/ црртиворе:чде .показывает,· чт()· функцию \ (i .. . силы смертнрсти исnолъзова.ть нельзя. •, ", . . --, .•.. ".· .. ·.. ·· ' ОТ)Jеif: <11'сnбл1щование• <РWЮцIЙ ... · ·1 .· ,. /.;\·;;: ·· .<· ·, ·· · · · · (1 + х) ··... · +. :i)2 · в " качестве ·' 2 в к~чествесилЬi смерт- · ·... ,. . ц9сти5 . в~р<:>~'ГЦос·1ъю О,37пq~139ляет прожить дшц)ще .:rпoGoro на- перед . зм~tlн0го возраста. '.; ." '. ':.: ·.. ·. , .. :< >') ~ ;; . -::·--· · ,. ., ; ..: : . ·: . :': . . :• ~ ' ·. · · · 4.3. Остаточная продоJDI<ителhность жизни имеет функцию рас. х '." ""·" , ..· ' ' ' ' ·>. <··\ ' ; пределенИ.Я J -----, О ~ х ~100. Найти силу ,. '•''" 100 . ·.. . ·. · •· ·.·. ·. .. . . ' смертности, ''. ' ' а также вероЯ'ГнОст1:{• того, что новоро)кД,енный умрет в возрасте от 40 126 i лет. 20 до Решение. Имеем: t рх - 1- х + t 100 - 100 - х - t - 1 t 1 - ~ - 100 .___ х 100 - х ' ' 100 ОТ:((уда -f µ t ' О . x+s . .ds t = ln(·. 1 - 1OQ. .- Х }. . 't ----- 100 -µx+t -х 1- t 100 -· Х t H;t ;.= 100- х. ,, ' Искомая вероятность равна ' 20 20 1 - - - 1 + - =О ,2. ;. ;. ·.· ......·•;. .. · ·.. , ;;";./· .t.uf".-.'i,,c!i..i ·~x:,:> ./,· т:}~о 100 Ответ: С Ила ~:~ep'ГЦQQTJI ~; '::: тбо -- х ., ·llCKOMaя Вероятность paв- ." ·:i-ta 4~4~ 0,2...Модель .. . .·..Гомп.ертца. · дЛЯ ·· ~i?.·сИдЬr · <смертности .·.. ·.··· )· .••··· .\ . .·.....•...•.•.•. .··.· ... µх ~[1,l]x найти ·.··> ·.·(/ .. <: · ·. ·•. wyI!кцJlю.· ра(;преДеJ1ения.• • ()~татg~ноrQ••· ~Р.~~енJl. ·. · ЖJ:i.зни. ·. ;.... .;~ реше11~~.:дМtц11IдРй . ~тf~1:@~.~IП1IРсТ-П . ) ·: · (jтl<)',Ца р(tсnределенйе ·. остаточного . времеН:JI -,··-<,- - . :, - ; Р . ~ qтвет: -[1,1]~ [1,Щ -l. '. 0 . Jn[I,I] . ~ е --ю,~92-{[I,IJ'H }. жизни имее'Г вид: ~ ·~-\ "'[l~ll1 -l ::::. е< m11,11 остатqчн(>е ·; ·... время . ===··. 1 е -10,492-{[1,ц -11 .• ·жизни имеет . распределение . .· 4.s. P~y,Y;rrtoтplJM (JJ? 5)-р~~цок, rдУ до){одность безриско13рrо ак~ тива. за 1 .rод. равна 0,1, а дрходliость рис~оврrо актива мож~т при"'" . .. IIИ~iaтьi знa~eнJIЯ;-(>i,il , и.0',2 с вероят~остt>l() . Q,9ир,7 соgтве,тст13ен­ . но. •J>ас.с~~три~ 1<о~нтракт на. • дожитие · сроком действия · · ~ · год с ·..· ·. · ,, IЗ~!!IЛажамй {1+ .rJ + р}вслучае дожития дер?Кателяполисадо дан­ Д{(>~~цта. В~рQ51тц9сть. Gмертt1 в теч~~J1:е ГодаО,004, ..и: QTo со­ , :. !Igt,o 1 " p~i~!!~ д~ ~~виcif'I' qтцфведе1цщ цeHJ>I а:кцiп~~. JJрамках М:Рд~л;:и х.ед­ , ',;;!~р:9ц~пця ·. В ·.. среДIIеКВ(l,ЦратИЧеском . н'~йти -КодичестнО.'аЮilfй\ "{, . . '."];~JS~ "·j(aт<)poм · дqстигает~я минимум · D[;1 (у).,д началь~Ь1Ц ,I}адищ~ал · ~·~·•.··.·.•?. "··.· : .::<=~ _-,-__ --·-- ·- . ,-;~'.; 127 С 0 , при котором достигается минимум Е[С 1 (у) -С0 (у)] 2 • Считать · Bo=So=l. Решение. В данном случае реплицирующей самофинансируе­ М.{)Й стратегии не существует, · поэтому стремятся минимизировать DC1 (у), т.к цена С 1 (у) есть доход, полученный от действия на фи­ нансовом рынке за вычетом выплат по полису, т.е. «процесс риска», а Е[С 1 (у)~ С 0 (у)] 2 характеризует меру «несамофинансируемости». ,Qбознаt~ИМ / 1. - · индикатор события, с,остоящего в том, что дер­ жатель полиса 1Iроживе;т 1 год, torдa Имеем ]i'max{l + .r,1 +р} =[1,1·0,3+1,2~0,7J=1,17, · Е(р ~z) =-0,1·Q,З+0,2 ·О,7 ~oJ=· o,01, · Ер --9,ti, . D(p ~ r) - D(p) = 0,01· о;з +О,04 · О,Т- 0,11·0,11==0,0189. .-' - - -- '' . ' - :- ., ·: 1 Дйскойrированное Значе1;1йе цены акции равно + Р, значит, ·.i" . · · ".. " . "".. · ".·· .. · ·':?\>'', ·"" · · · · ·. · .. ;: 1+ r · . i+ ii;. +" .· . ·: :• ..... ... .. .· .. · ·•ц}1й ~амем ИЗ e;,oor1Ioцlerи1ю,· · из~~~сfш~ .~йCj?Н~~o~ttfi~~.neнщ сст~•• ;п 1.~. ~скоц­ ·. т~ро~~()~ :\~~~~~щ~ .щ.rмf!тir? полттсr обо~на.ЧЩ{ Н, ИЗ )'словия Зада4h н =='А . fl)JJ.X{l+·· r;l + р}. Искомое' значенЙе количе6тва ак. : :" ."'\);".:. . ·'/':. . ..··. . :·· .1 . <"'\ ]. .__..__~-"""-"----~ . ~ ~ ~- -, ··~ (;qv(Ц >n;iaX:{I -t r, I +..р}, ·Р -- r) _ .P<P~. r> ~·~. :§) ~~:996 .r_ ;o_;1!!• ~1-, \~·<1,1z~i~o.91 .;p,o l} + L . , . +О. ,·. ·З· . (1,1 .-1;17) 1(~0,4- O,Ql).].··_·.·_ .·. . . . . .. ". · 0,0189 =.·..• . . ·.· .'332 . ( )__ . _ - и:Ь'l<:омьrи · н:а.чальныйкаnйi'ал наЙдем . Из соотнопiения : ;~.·~: t·и".·._".".с_:·"._ ·,_ >· =в. ·.·с_.•·.'°") · ~49~~"-1*171,1+ oJзi} ·•.. ·(J\61 ._ ·•.·~.·· · _ ·1 · 0.· 6·•._2_". . . ·. ·_.· " . · ' :· . . =.· ·_:_·•... .. • • С:•· о i -1\'У .....'·. 4_. ·. . ·. ;·.. . ·.•· З~~етим,· что ·:~ .". отсуТсtвих р:оnолнитеЛьног(> исtо;ника риска, свя~а~но~9 со с~ертью· ~а~тр~ованного (вероятность смерти О), . М:9Я{~0· · Jiай'Ги самофИн[{нсt(руе-WЮ сТратеГию, реплицир)iющуtо .. IiJiатёЖное · обязательство · из соотношений .' 1,1 . с. о ~ о. '.1 . у : 1,2 {1,1 . с о - о ,2 . у ..... 1,1, откуда у~ 0,333, С0 ~ 1,0606, т.е. при малой вероятности смерти реплицирующая и хеджирующая в среднеквадратическом страте- гии близки. .· . Ответ: искомые парам~трьrхеджирования в среднеквадратичес.. ском есть у~ .. , 0,332, ~ С0 ~ 1,0624. · --: _ .- ., ,_..'.- :.:; ::' ._:' - .- : _- .'_:· ~' ', .---- :у· · _--·,: -.-- ; ПриИdЯвле~1п1 боА~.ШИх ~ k()nл!lre исков (например, »Ре­ зу.nьтате . ~асшс,габных . бедстJ31J:й),/ . I"(Ф~влениn . большого ·. числаисков (надI»йм~р, •· . зем.цетрясениеj ·ура~а~·( ИJIИ.· наводн:ение), ..внезапном цзменен11и .,~1отоt<аяремий веде~ет~ие ин:фляции или оттока.. кли­ енто1J~;'"~ед1а;н~и: ·.- nрцвде~ь,:.-. J-1(.)~~~· r~J:fентов · И · · УВСЛИЧИТI> . ~апитал воз1If1~~~?· необходимость.переg~~9ванI1Я рисков. . . ·.· .< : ·· . Пус]Б ~~N,.· т :~и9л~ цqкрв-;~-1~(~,. t], {ь\, О2 , . .. , и N(t)}' .· · -.. · по- ~АедО»~~!~l~; fiр~дъям~.J~,~~сiвj&(t) ~~и, -· СуММЗ аьrплат . к мg~~~~~ :l!Нt~jfeни . t..Ст~_f!х9.в~~1s:омпаниястрахует риск, . свя­ . занный с,Х@)'. -- ·'!ui ,. заклю~а~. Ji9tg~()р.J]ерестрахованИясдругой '.. . . . . . ··, .) =1 .. ·. >·. ' ' • . . ·· ·.·. . ·., ·.... . .". .·. ·. . . . ко~паIIиеЦ; .•.: ~-~рцктеристиl(ой .·.· • ~о~в~ра> .·перестрахования. >служит· ~~личина ,. hе~· ,?. :. ~о!fЧ?~,· ~еч0,5р~,g;Я%~~!Ч~Р- ~ыПJiачивает· nеJ?вичII.ая К()мш:1ния <;~.Оу~ страхова:гелК), ·. octaIOI( Х -"-.. h(X) ·выпJiачйвает . ·_' Ц'Г<?РИ~fl№ ;~~~9~J.-!WJ;· . :IJPИ.::Y[l{9~1-~?~kдt9!'9~0P•.· пe11~.C).'fpa~Q~ft!i,~·' _ цep­ . ~~~н~ ~?M.f!~~: :·'· WJ~~ИT В~О}),Щ{~Q~Ц~~lfПЦО~ ..:Ведщ~иц;;l·:~ f- h{~.), ~qтoprio,r noi.RJ,J~·.. ·. · .·.i11Т<JР.ИЧf!ая; , l(р.Мf!ЩJЮJ!д~рц!fч;~ои 13 сДут.Jа~ воз": I!ИIOIQBeн~ ;.~·~~l{~IJ9~ . (;Д~~циц, е,<;:r.~917,1~е~нч . н~зь1вать ·з;q·5трщо..··. ~0,lll;l~i{. :lf.q({lit,it~-f~ i;;f№$!.м . . oQpf!gO~i· IcJep~CJ1ЩX()J3:aI;JИe· - .· ЭТQ ЦрQЦесс рщ.~цред~ле17~~ ~11.~ff:~: м.е)К,Ц}' ·. нусl(ольщiци·..ко_мnания.ми.• :в . д~щrх )11\1~Иьilt~tц1}!i@У<г~~;ре~атежес11ос<()бЦ991:'И) фуцкция h(~Jца;зьр;ш­ .етс~ ~уц!fr.Цией.у»~~J}Д1с(J'µZЩ · Ц· дqmрн.руА013детворять сл~дуiоIДи~ ·~сТ~ЯТJЗJ~~«ЫМ м-3~9~1f51м: . .·...· . · .· •.· .·.·.· . · . .·,•·.•·. . . .. .. .. ~'~~(,r)' ~~~~~~ывщощ{~ ~уцк~цщ, , : Ыримера~и: .ФУII1сцийудержанщrявляются: ·. .· . .· . . ·. . . • h.(~}:::а ·х;. () <.i};' ~ 1 ~.· ёоотве!fствует· контракту пропорционШlь­ · ного пересmрфсования, • h{x}= min{й~·x}; а> О -"- определяет stop-loss конmракm (или контракт ~трахования превышения rюrперь)' . .•. • .·.·.' ..• .· .· Первична~ С!f'а~овая компания ~оЮкна заплатить вт~ричной Н,екоторуЮ пр~ми:ю, ·. Поскольку передает ей часть своего рИс.~а" С точки зрения nерестр~овQчной . компа11ии - это обычньiй конт- 129