Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет
Балаковский институт техники, технологии и управления
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Методические указания
к выполнению лабораторной работы по физике
для студентов всех специальностей и всех форм обучения
Одобрено
редакционно-издательским советом
Балаковского института техники,
технологии и управления
Балаково 2008
Лабораторная работа
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Цель работы: изучение свободных колебаний маятника, с хорошей точностью
удовлетворяющего модели математического маятника; оценка точности реализации этой модели в лабораторной установке; определение ускорения свободного
падения; экспериментальная проверка зависимости периода колебаний маятника
от его длины; оценка результатов измерений и расчет погрешностей.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Механические колебательные системы. Свободные колебания
Колебания - движения или процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени. Система, совершающая колебания, называется колебательной.
В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма»
его
возбуждения
различают
колебания:
механические,
элек-
тромагнитные, электромеханические и т.д. Примерами механических колебаний могут служить колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, зданий, мостов и других сооружений. Маятником является всякое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находится ниже подвеса.
В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.
Свободными или собственными колебаниями называют колебания, которые
происходят в отсутствии переменных внешних воздействий на колебательную
систему и возникают в результате какого-либо начального отклонения этой
системы от состояния ее устойчивого равновесия. Примером могут служить
колебания шарика, подвешенного на нити (маятник) Для того чтобы вызвать
колебания, можно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его.
Вынужденными колебаниями называются колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней, периодически изменяющейся силы. Такую силу называют вынуждающей или возмущающей.
Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако момент времени,
когда осуществляются эти воздействия, задается самой колеблющейся системой. Примером автоколебательной системы является часовой механизм.
При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит
периодическое изменение какого-либо параметра системы, например, длины
нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.
2. Гармонические колебания
Колебания называются периодическими, если значения всех физических величии, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Г, удовлетворяющий этому условию, называется периодом колебаний. За период колебаний Т система совершает одно полное колебание.
Периодические колебания характеризуются такими функциями, что при
любом значении времени t
S(t+T)-S(t),
(I)
где S- смещение колеблющейся точки (колеблющаяся величина).
Максимальное значение колеблющейся величины А = Smax, называется амплитудой колебаний. Для свободных колебаний величина амплитуды определяется
тем первоначальным отклонением или толчком, которым система была приведена в движение.
Число полных колебаний, совершающихся за единицу времени, называется
частотой периодических колебаний:
,
(2)
а число полных колебаний, совершаемых за 2π единиц времени, называется
циклической (круговой частотой):
.
(3)
Амплитуда и период не дают полного представления о характере периодического движения. Можно представить себе чрезвычайно разнообразные
периодические движения, имеющие одинаковые амплитуду и период, но совершенно различные по форме колебаний (рис. 1).
Рис. I. Примеры колебания одинакового периода, но разной формы
Однако среди разнообразных по форме колебаний колебание маятника имеет
особое значение. Колеблющаяся величина (например, отклонение маятника)
изменяется со временем по закону синуса или косинуса (рис.2).
Рис.2
Такие колебания называются гармоническими:
.
где
- амплитуда колебаний;
(4)
- циклическая (круговая)частота колебаний;
- фаза колебаний, которая определяет значение колеблющейся величины S в произвольный момент времени t;
- начальная фаза колебаний, т.е. значение
счета времени:
в момент t=0 начала от-
.
Таким образом, выражение (4) для гармонически колеблющейся величины
можно представить в следующей форме:
.
Этот вид колебаний особенно важен, т. к. колебания в природе и технике
часто имеют характер очень близкий к гармоническим. А периодические процессы иной формы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.
3. Динамика колебаний математического маятника
Математический маятник - идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити и колеблющейся под действием силы тяжести. Хорошим примером математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой
длинной нити.
Когда маятник покоится в положении равновесия, его центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса, тогда сила тяжести, действующая на
шарик и направленная вертикально вниз, уравновешивается силой натяжения нити. Отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом α,
образованным нитью и вертикалью (рис.3).
.
(5)
В отклоненном положении сила тяжести mg действует под углом к силе натяжения Q, направленной вдоль нити. Эти силы определяют ускорение маятника,
т.е. определяют характер его движения (колебания). Разложим силу тяжести на
две составляющие: вдоль по направлению нити
и перпендикулярно к нему
.
При колебаниях маятника натяжение нити Q несколько превышает составляющую
- на величину центростремительной силы, которая заставляет груз дви-
гаться по дуге. Составляющая
всегда направлена в сторону положения равно-
весия, поэтому ее часто называют возвращающей (восстанавливающей) силой.
Величина
тем больше, чем больше
- угол от-
клонения маятника:
(6)
где m - масса маятника;
g - ускорение свободного падения.
Как только маятник при своих колебаниях начинает отклоняться от положения равновесия вправо (или
влево), появляется сила
замедляющая его движение. В результате эта сила
остановит маятник и повлечет обратно к положению равновесия. По мере приближения к этому положению сила
становится меньше и в самом положении
равновесия обратится в нуль. Таким образом, через положение равновесия маятник проходит по инерции.
Два раза в течение периода - при наибольших отклонениях влево и вправо маятник останавливается, т.е. в эти моменты скорость равна нулю, следовательно, равна нулю и кинетическая энергия Т. Зато в эти моменты центр тяжести маятника поднят на наибольшую высоту, а значит, потенциальная энергия
П является наибольшей. Наоборот, в моменты прохождения через положение
равновесия (рис.4) потенциальная энергия наибольшая, а скорость и кинетическая энергия достигают наибольшей величины.
Выражение для потенциальной энергии:
,
где
(7)
- вращательный момент возвращающей силы;
l - длина нити маятника.
Выражение для кинетической энергии:
(8)
где J- момент инерции маятника;
- циклическая частота.
Таким образом, при колебаниях маятника происходит периодический переход
кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем период этого процесса вдвое короче периода колебаний самого маятника.
Полная энергия маятника все время постоянна. Она равна
той энергии, которая была сообщена маятнику при пуске,
безразлично – в виде потенциальной (начальное отклонение, рис.3) или кинетической (начальный толчок):
,
где К и П изменяются с частотой
(9)
, т.е. с удвоенной частотой гармони-
ческого колебания. <К> = <П> = Е/2, т.к. <
>=<
> = 1/2.
Уравнение динамики вращательного движения:
(10)
- угловое ускорение;
- момент инерции маятника.
Уравнение (10) можно привести к виду:
.
Ограничиваясь рассмотрением малых колебаний (
(11)
) и введя
обозначение:
,
приходят к уравнению:
(12)
,
(13)
которое идентично дифференциальном уравнению гармонических колебаний.
Его решение имеет вид (5).
Из (12) следует, что частота колебаний математического маятника зависит только от длины маятника и от ускорения силы тяжести. По формуле (3)
с учетом (12) получают выражение для периода колебаний математического
маятника:
.
(14)
ТЕОРИЯ МЕТОДА
Выражение (14) справедливо в рамках идеализированной модели:
1) маятник совершает колебания малой амплитуды, и поэтому период не зависит от амплитуды (изохронность колебаний);
2) затуханием колебаний можно пренебречь.
Непосредственными
измерениями
легко проверить, что периоды ко-
лебаний маятника при малой (порядка 3 - 5 °) и большой (15 - 45 °) амплитудах
заметно отличаются. Т.к. расчетная формула (14) применима только для малых
амплитуд, то необходимо определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается постоянным с достаточно высокой точностью (например, до
0,5%). Это выясняется измерением периода колебаний маятника для различных
значений амплитуды.
Для реальной модели маятника необходимо оценивать влияние затухания на
период колебаний. Количественную оценку величины поправки ΔТ к периоду
можно получить, если учесть, что основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух.
В данном случае действующая на шарик сила трения пропорциональна скорости его движения:
.
(15)
Период колебаний несколько увеличивается, а частота колебаний уменьшается по сравнению с частотой маятника без трения. При этом частота колебаний:
,
где
(16)
- коэффициент затухания, который выражается через число колебаний N,
за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,78 ≈ 3 раза:
.
(17)
Таким образом,
.
(18)
Таким образом видно, что уже при N ≈10 поправка (ΔT/ Т) к периоду
колебаний
меньше 0,1% и ею можно пренебречь.
ТРЕБОВАНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ТРУДА
1. Запрещается использование установки без заземления.
2. Ремонт и замена любого элемента должны производиться при обесточенной установке.
3. Выполнение работы разрешается после устного отчета по теории метода и порядку выполнения работы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Оборудование и принадлежности: установка АШЮ 2.774.004 «Математический маятник» (рис.5).
Рис.5.Установка АШЮ 2.774.004:
1 - платформа; 2 - датчик колебаний; 3 - штанга с линейкой;
4 - датчик длины и угла; 5 - переключатель питания с индикацией режима;
6 - цифровой индикатор секундомера; 7 - розетка к датчику колебаний;
8 - переключатель «количество колебаний»; 9 - кнопка «пуск»
Подготовка установки к работе:
1. Используя ключ для ножек платформы, установить груз маятника в середину датчика колебаний.
2. Подключить вилку датчика колебаний к розетке «к датчику колебаний».
3.Установить число колебаний маятника переключателем «количество колебаний» от 2 до 8.
4.Установить заданную длину маятника перемещением датчика длины и
угла.
5.Установить переключатель питания в положение 0.
6. Подключить блок электроники к сети 220 В.
Порядок работы:
1. Установить переключатель питания в положение I, внутри переключателя
засветится лампочка, цифровые индикаторы секундомера показывают 00.00.
2.Отвести груз на небольшой угол и отпустить его без толчка так, чтобы он
не задевал за стойки датчика колебаний.
3.Нажать кнопку «пуск», секундомер запускается автоматически и останавливается после отсчета заданного количества колебаний. Повторное
нажатие кнопки «пуск» возобновляет процесс измерения.
4.Измерения провести последовательно для различных грузов и разной длины подвеса. Полученные результаты измерений занести в таблицу.
5.По окончании эксперимента установку выключить. Установить переключатель питания в положение 0.
Задание 1. Определение диапазона изохронности колебаний
1. Определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается
постоянным с точностью до 0,1%; 0,5; 1%. Для этого измерить период колебаний Г маятника для 5-8 значений амплитуды а в пределах от 0 до 20°.
2. Данные записать в табл. 1 .
Число колебаний задается преподавателем.
Задание 2. Определение влияния затухания на период колебаний
1. Определить по формуле (18) влияние затухания на период T колебаний.
Для этого найти число N колебаний, за которое амплитуда уменьшается примерно в три раза.
Задание 3. Экспериментальное подтверждение линейной зависимости
между квадратом периода колебаний и длиной подвеса
1. Измерить период колебаний T маятника для 4 -5 длин подвеса l. При измерениях амплитуда α колебаний должна быть малой, т.е. находиться в найденном выше диапазоне изохронности.
2. Результаты измерений записать в табл.2 . Диапазон длин подвеса задается
преподавателем.
3. По результатам измерений построить график зависимости Т2 от l в осях
координат X = l, Y = Т2.
Таблица 2
№ опыта
L,м
T(l),с
T2(l),с2
1
2
3
4
5
Задание 4. Определение ускорения свободного падения
1. Измерить период колебаний Т маятника при наибольшем значении длины
подвеса, чтобы уменьшить относительную погрешность измерения
длины подвеса.
2. Опыт проводится 3-5 раз, данные записать в табл.3.
Таблица 3
lmax, в м
№ опыта
Tср, в с
1
g, в м/с2
∆T, в с
2
3
∆g, в м/с2
4
5
T(lmax), в с
3. Вычислить g, используя формулу (14), при найденных значениях T и l:
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
К заданию 1
1. Используя соотношение ∆T/T, где ∆T - изменение периода колебаний маятника, обусловленное затуханием колебаний, определить диапазон изохорности колебаний с точностью до 0,1%; 0,5%; 1%.
К заданию 2
1. Используя данные (табл.1), определить число N колебаний, за которое
амплитуда уменьшается примерно в три раза по формуле (18). По формуле (18)
вычислить δ - коэффициент затухания колебаний маятника.
К заданию 3
1. Построить график зависимости T2(l). Для этого экспериментальные точки
(табл.2) нанести на координатную плоскость: X = l, Y = T2.
2. Сделать вывод об экспериментально полученной зависимости Т2 (l).
К заданию 4
Искомая величина ускорения свободного падения g находится в результате
косвенных измерений периода колебаний маятника и длины подвеса по формуле (19). В условиях данной задачи принимается упрощение и ограничиваются
предположением о том, что длина маятника lmax.
Тогда g - величина ускорения свободного падения в формуле (19) - является
функцией одной исходной величины g =f (Тср).
Таким образом, чтобы найти наиболее вероятное значение g и оценить погрешность, нужно:
1. Найти Тср - среднее арифметическое измеренных Ti:
где i - номер измерения;
N- число результатов измерений.
2. Найти наиболее вероятное значение искомой величины g, используя
формулу (19).
3. Оценить абсолютную погрешность ∆g величины g по формуле:
где
-- производная по
функции g = f(Tср);
∆T - абсолютная погрешность величины периода колебаний T маятника
4. Окончательный результат записывается ( g ± ∆g ) м/с2.
СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА ПО РАБОТЕ
Письменный отчет по работе должен содержать:
1. Название и дату ее выполнения.
2. Цель лабораторной работы.
3. Основные понятия или краткие ответы на вопросы для самопроверки.
4. Схему установки и вывод рабочей формулы.
5. Результаты измерений и их обработку с подробными расчетами.
6. Вывод по работе.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое колебания? свободные колебания? гармонические колебания?
периодические процессы? Привести примеры.
2. Получить уравнение колебаний на основании основного закона динамики вращательного движения.
3.От чего зависит амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний?
4.Два математических маятника, длины которых отличаются на ∆l = 16 см,
совершает за одно и то же время: один - 10 колебаний; другой - 6 колебаний.
Определить длины маятников l1 и l2.
5. Чему равно отношение полной энергии гармонического колебания к
максимальному значению возвращающей силы, вызывающей это колебание?
6.Объясните, в чем состоит суть метода проводимых измерений?
7.Как оцениваются погрешности измеряемых величин?
Время, отведенное на лабораторную работу
Подготовка к работе
Выполнение работы
Оформление результатов эксперимента и
1,5 акад. ч.
1 акад. ч.
1,5 акад. ч.
оформление отчета
Литература
1.Савельев И.В. Курс общей физики: в 5 кн: Механика: учеб. пособие для
втузов. - М.: ООО «Издательство Астрель», 2004. - Кн. 1. - 336 с.
2.Трофимова Т.И. Курс обшей физики: учебник для вузов, - 7-е изд.-М.:
Высшая школа, 2003. - 541 с.
3.Каленков С.Г., Соломахо Г.И. Практикум по физике. Механика. -М.: Высшая школа, 1999. - 111 с.
4.Терешин Ю.В. Обработка результатов измерений: методические указания.
- Саратов: СПИ, 1983.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Методические указания
к выполнению лабораторной работы по физике
для студентов всех специальностей и форм обучения
Составила Булавина Елена Леонидовна
Рецензент Т.Н. Мищенкова
Редактор Л.В. Максимова
Корректор A.M. Рогачева
Подписано в печать 14.01.08.
Бумага тип.
Усл. печ. л. 1,0
Тираж 100 экз.
Заказ 75
Формат 60X84 1/16
Уч.-изд. л. 1,0
Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
410054. г. Саратов, ул. Политехническая. 77
Копипринтер БИТТиУ. 413840, г. Балаково, ул. Чапаева, 140