<сфера) приведено распределение плотности ~ р = р 2 ( я , 0 / р г ( 0 , 0) и давления р = =Р2.{х, 0 / ^ 2 ( 0 , 0) на оси симметрии течения п р и р а з н ы х временах ( М о о — 6 , 1 = 1 , 4 ) . Видно, что сначала плотность возрастает от волны к телу, в согласии с [ 6 ] , а затем на кривой возникает максимум, п е р е м е щ а ю щ и й с я к поверхности тела. Литература 1 Грудницкий В. Г., Прохорчук Ю. А. Расчет д и ф р а к ц и и ударной волны на криво­ линейной поверхности.— Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, т. 15, № 5, с. 1525-1534. 2. Moran J. P., Van-Moorhem W. К. Diffraction of a plane shock by a n analytic b l u n t b o d y . - J. Fluid Mech., 1969, v. 38, № 1, p. 127-137. 3 . Васильев M. M. Отражение сферической ударной волны от п л о с к о с т и . - В кн.: Вычисл. матем. М.: Изд-во АН СССР, 1960, № 6, с. 8 7 - 9 9 . 4. Носенко Н. И., Сысоев Ц. Н., Шугаев Ф. В. Н а ч а л ь н а я стадия о т р а ж е н и я плоской ударной волны от цилиндра, сферы и эллипсоида в р а щ е н и я . — И з в . АН СССР. Механ. жидкости и газа, 1980, № 2, с. 94-100. 3 . Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд-во иностр. лит., 1950. 6. Знаменская И. А., Рязин А. П., Шугаев Ф. В. Об особенности распределения параметров газа н а начальной стадии о т р а ж е н и я ударной волны от сферы и цилиндра.— Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа, 1979, № 3, с. 103—110. ; '" , Поступила в редакцию 8.Х.1981 У Д К 519.7 Н И Ж Н Я Я ОЦЕНКА ЧИСЛА НЕРАВЕНСТВ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ МОНОТОННУЮ Б У Л Е В У Ф У Н К Ц И Ю ОТ п П Е Р Е М Е Н Н Ы Х ЗУЕВ Ю. А., ТРИШИН В. Н. С Москва) Показывается, что существует монотонная булева ф у н к ц и я от п пе­ ременных, д л я представления которой в виде системы линейных нера­ венств с п булевыми переменными требуется не менее / \ п~* нера\ [п/2] J венств. I Пусть дана система линейных неравенств N ! • п (1) '^aijXj^bi, г=1,2,...,т, где коэффициенты ац, Ь -, i = l , 2, , га, / = 1, 2, д г , - н е о т р и ц а т е л ь н ы е действи­ тельные числа, а переменные х^ / = 1 , 2, . . . , щ булевы. С к а ж д о й такой системой можно связать монотонную булеву функцию (м.б.ф.) (p(#i, х )=у(х) такую, чтб ф ( я ) = 0 , если я - допустимое решение системы не­ равенств (1), и ф ( £ ) = 1 в противном случае. Обратно: д л я любой м.б.ф. <р(£) найдет­ ся система неравенств вида (1), вообще говоря неединственная, п р е д с т а в л я ю щ а я <p(£) (см. [ 1 ] ) . В связи с этим возникает вопрос, к а к и м минимальным числом L(n) неравенств можно обойтись, чтобы записать любую м.б.ф. <р(х) в виде (1). Из [1] следует, что г п L(ri)<( \ . Результатом н а с т о я щ е й работы я в л я е т с я Теорема. 754 Справедливо неравенство L(n)^ I \{п/2] \ и ) - 1 . 1 Д л я доказательства н а м потребуются две вспомогательные леммы, приводимыен и ж е . Напомним некоторые определения. Булев гс-мерный вектор . а = (at, . . . . , а) п н а з ы в а е т с я н и ж н е й единицей м.б.ф. ф ( £ ) , если ф ( а ) = 1 , и д л я всякого булева я-мерного вектора р и з р < а вытекает, что ф ( Р ) = 0 . Множество всех векторов единичного* гс-мерного куба, и м е ю щ и х ровно к единил,, н а з ы в а е т с я к-м слоем. Расстоянием Хем­ минга между булевыми га-мерными векторами а и р н а з ы в а е т с я число р ( а ^ ) = - ^ - | а ф | , равное числу координат, в которых они различаются. Л е м м а 1. Пусть все нижние единицы м.б.ф.'ф(х) лежат в к-м слое и расстоя­ ние Хемминга между любыми двумя из них не меньше 4. Тогда для представления. ф(я) в виде ( 1 ) требуется число неравенств, не меньшее числа ее нижних единиц* Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, что л ю б а я гиперплоскость отделяет не более* одной н и ж н е й единицы м.б.ф! ф ( £ ) от множества векторов, н а которых эта ф у н к ц и я принимает значение 0. Допустим противное, т. е. существуют две н и ж н и е е д и н и ц ы a, р и гиперплоскость п ajXj = b | т а к а я , что j=i а для любого вектора >=i где ф!(ч) = 0 , в ы п о л н я е т с я неравенство Пусть а и р в координатах с номерами г и s различаются и a = l , . p = 0 , r a =0 r s T .' I p =l. s Если a ^a , то для векто|ра 1 = (Pi, . . . , $> -u a , p + i , . . . , Р«-ь a , * p i , . . . , p )> л е ж а щ е г о в /с-м слое, с одной| стороны, в ы п о л н я е т с я строгое неравенство r а с s r другой стороны, так к а к р.(т, Р ) = 2 , имеем r r 8 фОу)=0. Получили s+ n противоречие. В случае a <a следует рассмотреть вектор 1 = (cti, . . . . , a . - i , Pr, a + i , , a _i, p <x +i, . . . , a ) . Л е м м а 2. В к-м слое существует множество векторов, мощностью: не менее r s s r s S r n таких, что расстояние Q r N ~ Хемминга между любыми двумя из них не меньше L 4 (см. [ 2 ] ) . | Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отображение Т (а) векторов k-то слоя на мно­ жество классов вычетов по модулю п: Т (а) = ./а ( m o d тг). r 1 Легко проверить, что для любого S, 0<£<и—1,- множество 6 i = r - ( i ) обладает требуе­ м ы м свойством. 755 Так к а к | С | + . . . + 0 = ^ ^j , то по крайней мере д д я одного i имеем Положив к=[п/2], из лемм 1 и 2 получаем утверждение теоремы. . • ' Д а н н а я оценка свидетельствует, в частности, о том, что возможность точного Агрегирования неравенств в многомерной задаче о ранце в общем случае весьма ограничена. Так, например, существует многомерная задача о ранце с 20 булевыми переменными и числом неравенств не менее 9238, множество доцустимых р е ш е н и й которой н е л ь з я задать меньшим числом неравенств. Литература 1 Коробков В. К. О некоторых целочисленных задачах линейного программирова­ н и я . - В кн.: Пробл. кибернетики. Вып. 14. М.: Наука, 1965, с. 297-299. 2. Graham R. L., Sloane N. J. A. Lower bounds for constant w e i g h t codes.— I E E E T r a n s . ! Inform. Theory, 1980, v. 26, № 1, p. 3 7 - 4 3 . Поступила в редакцию 24.1П. 1982 Переработанный вариант 24.XI.1982 УДК 519.854.2 ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОРГАНИЗАЦИИ О Б Р А Б О Т К И Д А Н Н Ы Х НА ЭВМ БРУШЛИНСКАЯ Н. II., ДОРОФЕЕВА М. П., О ВС ЯН КИП Б. Н-,ШНЕНЕВ В. М. (Москва) Описан способ построения всех допустимых расписаний для р е ш е н и я . на однопроцессорной ЭВМ п р и разрешении прерываний системы задач с известными временами р е ш е н и я и директивными сроками н а ч а л а и * окончания решения. Пусть S={z z } - множество задач, для к а ж д о й из которых задано время р е ш е н и я U и директивные сроки начала р е ш е н и я 6* и окончания р е ш е н и я /г. Рассматривается вопрос построения допустимых расписаний д л я реше­ н и я задач множества S на однопроцессорной ЭВМ. Предполагается, что в процессе выполнения р а з р е ш е н ы п р е р ы в а н и я любой задачи, на прерывание не расходуется Дополнительное время и все числа hi, f% и U целые. Если д л я любой задачи zi^S выполнено условие 0 < ^ < / г & г , то описанное мно­ жество задач S будем называть GM-системой. Построение допустимых расписаний для такого рода систем рассматривалось в работах [1] —[7]. Известны различные необходимые и достаточные условия суще­ ствования допустимых расписаний [1] —[5] и различные методы построения некото­ рых допустимых расписаний [ 1 ] - [ 6 ] . ; В н а с т о я щ е й работе приводится конструктивное доказательство теоремы, анало­ гичной теореме из [4], [5], о существовании допустимых расписаний, которое содер­ ж и т алгоритм построения всех допустимых расписаний. Пусть задачи ОМнсистемы S занумерованы по неубыванию директивных сроков окончания р е ш е н и я . Д л я удобства будем считать, что минимальное из чисел &г=0, а макдимальное из чисел /г обозначим через Т. О п р е д е л е н и е 1. Функцию Р: [0, т]-> {0, 1, . . . , N}, где 0 < т < 7 \ назовем т-допустимым расписанием д л я GM-системы S, если Р я в л я е т с я кусочно-постоянной, непрерывной оправа функцией, все ее точки разрывов - целые числа и выполняются u N _ 756 -