ДВУМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 1

ДВУМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
1. Совместная функция распределения имеет вид:
0,
{ sin x sin y,
sin x,
F (x, y) =
sin y,
1,
x≤0
y ≤ 0,
0 < x ≤ π/2, 0 < y ≤ π/2,
0 < x ≤ π/2, y > π/2,
x > π/2, 0 < y ≤ π/2,
x > π/2, y > π/2.
Найдите:
1) Плотность распределения случайной величины (ξ, η).
2) P {π/6 ≤ ξ < π/3, π/4 ≤ η < π/3}, P {ξ > π/4, π/6 < η < π/4}, P {ξ < π/3, η >
π/4}.
3) Функцию распределения случайной величины ξ. Функцию распределения случайной величины η.
4) Плотность распределения случайной величины ξ. Плотность распределения
случайной величины η.
2. Совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины имеет вид
2
p(x, y) = Cxe−x −y , x > 0, y > 0.
Найдите:
1) Константу C.
2) Вероятность попадания случайной величины (ξ, η) в прямоугольник с вершинами в точках (0;0), (0;2), (4,2) и (4;0).
3) Плотность распределения случайной величины ξ. Плотность распределения
случайной величины η.
4) Функцию распределения случайной величины ξ. Функцию распределения случайной величины η.
3. В квадрате с вершинами в точках (0,0), (2,0), (0,2) и (2,2) случайным образом
отмечается точка. (ξ, η)–координаты этой точки. Найдите:
1) Функцию распределения случайной величины (ξ, η).
2) Плотность распределения случайной величины (ξ, η).
3) P {0 ≤ ξ < 1, η < 0.5}, P {ξ < 1, 1 < η < 2}.
4) Вероятность попадания случайной величины (ξ, η) в область, ограниченную
графиками функций y = (x − 1)2 и y = 1.
5) Функцию распределения случайной величины ξ. Функцию распределения случайной величины η.
6) Плотность распределения случайной величины ξ. Плотность распределения
случайной величины η.
4. Двумерная случайная величина равномерно√распределена в квадрате с центром
в начале координат. Стороны квадрата равны 2 и составляют угол 450 с осями
координат. Найдите:
1) Плотность распределения случайной величины (ξ, η).
2) Плотность распределения случайной величины ξ. Плотность распределения
случайной величины η.
3) Функцию распределения случайной величины ξ. Функцию распределения случайной величины η.
1
5. Совместная плотность распределения имеет вид:
{
Cxy, (x, y) ∈ G;
p(x, y) =
0,
(x, y) ∈
/ G,
где область G ограничена графиками функций y = 0, y = x2 − 9 и x ≤ 0. Найдите:
1) Константу C.
2) Вероятность попадания случайной величины (ξ, η) в треугольник с вершинами
в точках (0;-4), (0;-2) и (-1;-4).
3) Плотность распределения случайной величины ξ. Плотность распределения
случайной величины η.
4) Функцию распределения случайной величины ξ. Функцию распределения случайной величины η.
5) Fξη (−1; −2), Fξη (1; −4), Fξη (−1; 2) (довести до повторного интеграла, интегралы
не вычислять).
2