1) Найти среднеквадратическое отклонение случайной величины имеет вид: X , плотность распределения которой - данная случайная величина распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке 1 ; 1 . Из рисунка запишем формулу f x : ax a f x ax a 0 при 1 x 0 при 0 x 1 при x 1 ; 1 Поскольку f x dx 1 , то площадь фигуры под линией графика f x должна быть равна 1; это площадь треугольника 1 2a 1, 2 откуда получаем a 1 и x1 f x x 1 0 при 1 x 0 при 0 x 1 при x 1 ; 1 Среднеквадратическое отклонение найдём, используя формулы: D X D X M X x M X 2 f x dx x f x dx M X x f x dx x3 x2 2 3 0 1 0 1 x x 1 dx x x 1 dx x3 x2 3 2 1 0 1 0 0 1 1 0 2 2 x x dx x x dx 1 1 1 1 0 0 0 3 2 3 2 - интеграл равен нулю как интеграл от нечётной функции по симметричным пределам. 1 D X x M X f x dx 2 0 1 x4 x3 x 3 x 2 dx x 3 x 2 dx 4 3 1 0 0 1 x 2 x 1 dx x 2 x 1 dx 1 0 0 x4 x3 4 3 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 6 4 3 4 3 D X Ответ: 1 6 0, 408 6 6 6 0, 408 . 6 Литература: 1) Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 2006, стр. 143 (задача 3.72); 2) Емельянов Г.В., Скитович В.П. "Задачник по теории вероятностей и математической статистике", 2007, стр. 49 (задача 287). 2) Заданы плотности равномерно распределённых независимых случайных величин f 1 x 1 в интервале 0 ; 1 , вне этого интервала f 1 x 0 ; X иY: f 2 x 1 в интервале 0 ; 1 , вне этого интервала f 2 x 0 ; Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины график плотности распределения g z . Z X Y . Построить Плотность вероятности для композиции (свёртке) двух непрерывных с.в. g z f 1 x f 2 z x dx (здесь под композицией понимают с.в. Z X Y при условии независимости с.в. X и Y ) В данном случае 1 1 0 0 g z 1 f 2 z x dx f 2 z x dx z 0 , то для 0 x 1 имеем z x 0 ; если z 2 , то для 0 x 1 имеем z x 1 , следовательно, в этих случаях f 2 z x 0 и g z 0 . Если 0 z 2 . Подинтегральная функция f 2 z x будет отлична от нуля только для значений x , при которых 0 z x 1 или, что то же самое, при z 1 x z . Пусть z Если 0 z 1 , то g z 1dx z . Если 1 z 2 , то g z 0 1 1dx 2 z . z 1 2 Объединяя все случаи, получим: 0 z g z 2z 0 при при при при z0 0 z1 1 z 2 z2 - плотность распределения случайной величины Z X Y . Полученный закон распределения называется законом распределения Симпсона или законом равнобедренного треугольника. Путём интегрирования получаем интегральную функцию распределения 0 2 z 2 F z 2 z 2 1 2 1 при z 0 при 0 z 1 при 1 z 2 при z 2 - функция распределения случайной величины Z X Y . Изобразим графически плотность распределения g z : Литература: 1) Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 2006, стр. 216 (пример 5.9). 3