Случайные векторы С .m и в at к em ов а at Е em .О .ru . 1. Задан двумерный дискретный случайный вектор (ξ, η): (ξ, η) −1 0 1 −1 1/4 1/8 1/8 0 0 1/4 1/8 1 1/8 0 0 1) Построить ряды распределения компонент случайного вектора, найти M ξ, Dξ, M η, Dη. 2) Зависимы или нет случайные величины ξ и η? Найти коэффициент корреляции Kξη . 2. Случайный вектор (ξ, η) имеет совместную плотность распределения вероятностей fξη (x, y), постоянную в круге радиуса R в центром в начале координат. √ 1) Найти P (−ξ ≤ η ≤ 3ξ). 2) Найти плотности распределения вероятностей компонент случайного вектора fξ (x) и fη (y). 3) Доказать, что распределения компонент некоррелированы, но зависимы. 3. Случайный вектор (ξ, η) имеет совместную плотность распределения вероятностей fξη (x, y), постоянную в треугольнике с вершинами A(−a, 0), B(a, 0) и C(0, a), a > 0. 1) Найти плотности распределения компонент случайного вектора fξ (x) и fη (y), математические ожидания и дисперсии. 2) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η. 3) Найти коэффициент корреляции Kξη . 4. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей A(x + y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, fξη (x, y) = 0, ост. (x, y). ww w 1) Найти параметр A. 2) Найти P (ξ 2 + η 2 ≤ 1). 3) Найти плотности распределения вероятностей компонент случайного вектора fξ (x) и fη (y). 4) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η. 5) Найти коэффициент корреляции Kξη . 5. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей Ae−(x+y) , x ≥ 0, y ≥ 0, fξη (x, y) = 0, ост. (x, y). 1) Найти параметр A. 2) Найти P (0 ≤ ξ ≤ 1). 1 С .m и в at к em ов а at Е em .О .ru . 3) Найти плотности распределения вероятностей случайного вектора fξ (x) и fη (y). 4) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η. 5) Найти коэффициент корреляции Kξη . 6. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей p A(R − x2 + y 2 ), x2 + y 2 ≤ R2 , R > 0, fξη (x, y) = 0, ост. (x, y). Найти: 1) параметр A; 2) P (ξ 2 + η 2 ≤ r2 , 0 < r < R). 7. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей A cos x cos y, 0 ≤ x ≥ π/2, 0 ≤ y ≥ π/2, fξη (x, y) = 0, ост. (x, y). 1) Найти параметр A. 2) Найти P (0 ≤ ξ ≤ π/4, 0 ≤ η ≤ π/3). 3) Найти плотности распределения вероятностей компонент случайного вектора fξ (x) и fη (y). 4) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η. 5) Найти коэффициент корреляции Kξη . 8. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей 2 2 Axye−2(x +y ) , x > 0, y > 0, fξη (x, y) = 0, ост. (x, y). 1) Найти параметр A. 2) Найти P (ξ 2 + η 2 ≤ 4). 3) Найти плотности распределения компонент случайного вектора fξ (x) и fη (y). 4) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η. 5) Найти коэффициент корреляции Kξη . ww w 9. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей p A , x2 + y 2 ≤ 1, fξη (x, y) = x2 + y 2 0, ост. (x, y). 1) Найти параметр A. 2) Найти математические ожидания и дисперсии компонент случайного вектора и коэффициент корреляции Kξη . 3) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η. 10. Задана функция распределения случайного вектора (ξ, η) 0, x < 0 или y < 0, π π sin x sin y, 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ , Fξη (x, y) = 2 2 1, ост. (x, y). 2 С .m и в at к em ов а at Е em .О .ru . 1) Найти плотность распределения вероятностей fξη (x, y). 2) Найти P (0 ≤ ξ ≤ π/4, π/6 ≤ η ≤ π/3). 11. Задана функция распределения случайного вектора (ξ, η) 0, x < 0 или y < 0, Fξη (x, y) = −x −y −(x+y) 1−2 −2 +2 , x ≥ 0, y ≥ 0. 1) Найти плотность распределения вероятностей fξη (x, y). 2) Найти P (1 ≤ ξ ≤ 2, 3 ≤ η ≤ 5), 3) Вероятность попадания в треугольник с вершинами A(1, 3), B(3, 3), C(2, 8). 12. Задана функция распределения случайного вектора (ξ, η) 0, x < 0 или y < 0, Fξη (x, y) = −4x −4y (1 − e )(1 − e ), x ≥ 0, y ≥ 0. 1) Найти плотность распределения вероятностей fξη (x, y). 2) Найти P (0 ≤ ξ ≤ ln 2, ln 2 ≤ η ≤ ln 3). Функции случайных величин 1. Случайная величина ξ принимает значения −2, −1, . . . , 4, 5 с равными вероятностями. Найти P (2ξ 2 > 3ξ + 2). 2. Баскетболист забрасывает мяч с вероятностью 0, 8. Случайная величина ξ — число бросков до первого попадания. Найти M η, где η = 2ξ 2 + 3ξ − 1. 3. Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром a > 0. Найти закон распределения случайной величины η = (−1)ξ , M η, Dη. 4. Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром a = ln 3. Найти M η, где η = cos(πξ). ww w 5. Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром p > 0. Найти закон распределения случайной величины η = (−1)ξ , M η, Dη. 6. Обозначим τ число испытаний в схеме Бернулли до появления первого успеха включительно. Найти закон распределения τ , M τ . 7. Задан двумерный дискретный случайный вектор (ξ, η): (ξ, η) −1 0 1 −1 1/4 1/8 1/8 0 0 1/4 1/8 1 1/8 0 0 3 С .m и в at к em ов а at Е em .О .ru . 1) Построить ряды распределения случайных величин α = ξ + η, β = ξη и их совместное распределение. 2) Зависимы или нет случайные величины α и β? Найти коэффициент корреляции Kαβ . 8. Случайные величины ξ, η независимы и имеют распределения: ξ −1 0 1 p 1/2 1/4 1/4 η 0 1 p 1/4 3/4 1) Построить совместное распределение (ξ, η). 2) Построить ряды распределения случайных величин α = ξ + η, β = ξ − η, γ = ξη и найти их характеристики. 3) Построить совместное распределение (α, β) Зависимы или нет случайные величины α и β? Найти коэффициент корреляции Kαβ . 4) Построить совместное распределение (α, γ) Зависимы или нет случайные величины α и γ? Найти коэффициент корреляции Kαγ . 9. Случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей √1 , x ∈ (−1, 1), fξ (x) = π 1 − x2 0, x 6∈ (−1, 1). Найти плотность распределения вероятностей и математическое ожидание случайной величины η = |ξ| − 3. ww w 10. Непрерывная случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [0, 1]. 1) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η = 2ξ + 1, M η, Dη. 2) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины θ = ln(1− ξ), M θ, Dθ. 11. Непрерывная случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [−1, 3]. 1) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η = 4ξ + 3, M η, Dη. 2) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины θ = |ξ|, M θ, Dθ. 12. Непрерывная случайная величина ξ распределена равномерно на интервале (−π/2, π/2). Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η = cos ξ, M η, Dη. 4 С .m и в at к em ов а at Е em .О .ru . 13. Случайная величина ξ распределена по показательному закону с параметром λ > 0. 1) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η1 = aξ + b, M η1 , Dη1 . √ 2) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η2 = ξ, M η2 , Dη2 . 3) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η3 = ξ 2 , M η3 , Dη3 . ln ξ 4) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η4 = , λ M η4 , Dη4 . 5) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η5 = 1 − e−λξ , M η5 , Dη5 . 14. Случайная величина ξ подчинена закону Лапласа с плотностью f (x) = 1/2e−|x| . Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η = 3 − 2ξ, M η, Dη. 15. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с параметрами m = 0, σ = 1 (стандартное нормальное распределение). 1) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η1 = ξ 2 . 2) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η2 = ξ 4 . 3) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η3 = eξ (логарифмически нормальное распределение). 16. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с параметрами m, σ. Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η = aξ+b. 17. Независимые случайные величины ξ и η распределены по закону Пуассона с параметрами a1 и a2 соответственно. Найти закон распределения случайной величины θ = ξ + η. 18. Случайный вектор (ξ, η) равномерно распределен в области |x| ≤ 1, |y| ≤ 1. Найти плотности распределения вероятностей случайных величин α = ξ + η, β = ξ − η. ww w 19. Независимые случайные величины ξ и η распределены по показательному закону с параметрами λ1 и λ2 соответственно. Найти плотность распределения случайной величины θ = ξ + η. 20. Независимые случайные величины ξ и η распределены по нормальному закону с параметрами m = 0, σ = 1. 1) Найти плотность распределения случайной величины α = ξ + η. 2) Найти плотность распределения случайной величины β = ξ 2 + η 2 . 3) Найти плотность распределения случайной величины γ = arctg(ξ/η). 5