Лекция № 20

Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
Лекция 20. Модели оценки доходности АКТИВОВ
Ключевые понятия
Модель САРМ
Линия рынка капитала – CML
Рыночный (системный) риск
Нерыночный риск
Бета
Агрессивные и защитные активы
Линия рынка актива – SML
Альфа
Доходность портфеля
САРМ при неравных ставках по займам и депозитам
САРМ с нулевой бетой
САРМ для облигаций
САРМ для фьючерсов
САРМ для опционов
Модель Уильяма Шарпа
Линия характеристики
Коэффициент детерминации
Reish
Содержание:
20.1. Модель оценки стоимости активов (CAPM) ……………………………………….... 1
20.2. Модели САРМ для разных видов активов ..………………………………….……. 14
20.3. Модель Уильяма Шарпа …………………………………………………………………. 18
20.4. Коэффициент детерминации ………..…………………………………………………. 19
20.5. Сопоставление модели САРМ и Шарпа ………………………...…………………. 20
20.6. Определение набора эффективных моделей ………………………………..…… 21
20.7. Многофакторная модель САРМ Мертона ..…………………………………..………. 22
Приложения:
Коэффициент «бета» в реалиях фондового рынка ..…..……………..……………….
А
20.1. Модель стоимости активов (САРМ)
Главной проблемой оценки активов является определение риска и доходности. Относительно этого каждый инвестор формирует собственные прогнозы и оценки. Тем не менее,
в условиях эффективного рынка динамика его движения отражается в курсовой стоимости
активов. Модель, описывающая взаимосвязь между риском и ожидаемой доходностью
была разработана в первой половине 1960-х годов Уильямом Шарпом. Речь идёт о знаменитой модели оценки стоимости активов (capital asset pricing model – САРМ). Дадим
определение модели САРМ.
Capital Asset Pricing Model (CARM), или Модель Оценки Финансовых Активов – это равновесная модель ценообразования, согласно которой ожидаемая доходность ценной бумаги является
линейной функцией чувствительности доходности бумаги к изменению доходности рыночного
портфеля.
Данная модель, как и портфельная теория Марковица, является абстрактным, теоретическим представлением реального мира. Как и всякая теория, она базируется на ряде идеалистических (упрощающих анализ) предположений. Хотя эти предположения могут
оказаться нереалистичными, они освобождают теорию от ненужных нагромождений и позволяют использовать её при её изложении строгий математический язык.
Модель САРМ базируется на следующих абстракциях:
1
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
● рынок является конкурентным;
● активы ликвидны и делимы;
● отсутствуют налоги, транзакционные издержки, банкротства;
● все инвесторы рациональны, имеют одинаковые ожидания, могут брать кредит
и предоставлять средства под ставку без риска;
● рассматривается один временной период;
● доходность является функцией риска;
● изменения цен активов не зависят от существовавших в прошлом уровней цен.
В прошлой лекции уже шла речь о линии рынка капитала (CML). Так как эта категория имеет особую значимость при рассмотрении модели САРМ, еще раз остановимся на
главных её свойствах.
В модели САРМ зависимость между риском и ожидаемой доходностью описывается
именно с помощью линии рынка капитала (CML – Capital Market Line), как это изображено на рис. 20.1.
На данном рисунке М – это рыночный портфель, rf – актив без риска с доходностью
rf ; FL – линия рынка капитала; σm – ожидаемый риск рыночного портфеля; E(rm) – ожидаемая доходность рыночного портфеля.
Все оптимальные (или эффективные) портфели, включающие в себя рыночный
портфель М, расположены на линии FL, которая является линией CML.
L
E(r)
M
E(rm)
rf
F
0
σm
Рис. 20.1. Линия рынка капитала (CML)
σ
Прочие портфели, в которые не выходит рыночный портфель, располагаются ниже
линии FL. CML имеет положительный наклон, что означает, что при выборе более доходного портфеля возрастает и риск
Если инвестор приобретает актив без риска, он обеспечивает себе доходность на
уровне ставки без риска rf. При стремлении получить более высокую ожидаемую доходность, инвестор должен мириться с соответствующим увеличением риска.
Ставка без риска ( rf ) является вознаграждением за время, т.е. деньги во времени имеют ценность.
Дополнительная доходность, получаемая инвестором сверх ставки без риска, есть вознаграждение за риск.
Уравнение прямой CML имеет вид:
y  a  bx,
где а – точка пересечения линии CML с ординатой, она соответствует ставке без риска rf:
b – угол наклона линии CML.
Угол наклона равен:
b
E (rm )  r f
m
.
2
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
Ожидаемая доходность (у) является функцией риска (х), поэтому уравнение CML имеет
вид:
E (rm )  r f
E (ri )  r f 
i,
m
где σi – риск i-го портфеля;
E(ri) – ожидаемая доходность i-го портфеля.
Перепишем уравнение следующим образом:
E (ri )  r f 
i
E(rm )  r f .
m
(20.1)
CML иллюстрирует соотношении риска и ожидаемой доходности для портфелей, включающих рыночный портфель. Однако данная модель ничего не говорит о том, какую ожидаемую доходность имеют менее диверсифицированные портфели или активы.
Рыночный и нерыночный риски. Эффект диверсификации. Владение активом
связано с риском, состоящим из двух частей.
Первая часть – это рыночный риск, который называется также не диверсифицированным, не специфическим, или системным. Данный риск определяется макроэкономической конъюнктурой, экономическим циклом, а также неэкономическими событиями,
которые могут оказать неожиданное воздействие на рынок. Этот риск нельзя исключить
или даже ограничить, так как этой риск функционирования всей системы.
Вторая часть – нерыночный риск, или специфический, или диверсифицированный риск. Он связан со спецификой того или иного актива, который отражает особенности развития, например, конкретной фирмы. Этот диверсифицированный, который можно
свести практически к нулю с помощью диверсификации портфеля. Так, портфель, состоящий из 20-25 специально подобранных акций, иногда может почти полностью исключить рыночный риск. В связи с этим широко диверсифицированный портфель обладает
практически лишь только рыночным риском. Напротив, слабо диверсифицированный
портфель обладает как рыночным, так и нерыночным риском.
Влияние диверсификации на риск портфеля. Как уже известно, на риск портфеля
основное влияние оказывает степень корреляции доходностей входящих в портфель акций
– чем ниже уровень корреляции, тем ниже риск портфеля. Диверсифицируя портфель, изменяя количество входящих в портфель ценных бумаг и их характеристик можно уровень
риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.
Если понимать диверсификацию как процесс бесконечно повторяемого формирования всех возможных вариантов портфелей, то следует прийти к выводу, что ожидаемая
доходность портфеля любого объема должна в конечном итоге стремиться к ожидаемой
доходности рыночного портфеля. Для доказательства этого допустим для простоты, что
имеются три актива со следующими характеристиками:
Актив
1
2
3
Условные данные о доходностях активов
Ожидаемая доходность E(r)
0,20
0,18
0,10
Предположим для упрощения, что все активы имеют одинаковый вес в портфеле, т.е.
θ1 = θ2 = θ3 … = θn = 1/n, где n – количество активов в портфеле. В равновзвешенном
3
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
портфеле все активы имеют одинаковое влияние на ожидаемую доходность всего портфеля. В данном примере портфели формируются из трех активов в любом сочетании.
Пусть инвестор формирует портфели только из одного актива. Тогда чему будет равняться ожидаемая доходность таких портфелей? Чтобы определить это, необходимо иметь
в ввиду, что при заданных рыночных условиях (на рынке 3 актива) существует три возможных портфеля, содержащих по одному активу:
а) портфель из актива 1;
б) портфель из актива 2;
в) портфель из актива 3.
В таком случае для первого портфеля ожидаемая доходность составит E(r1) = 0,20,
для второго – E(r2) = 0,18, а для третьего – E(r3) = 0,10. Так как инвестор может выбрать
любой портфель, то включение в портфель только одного актива принесет инвестору в
среднем ожидаемую доходность:
E (rn1 )  E(r1 )  E(r2 )  E (r3 )/ 3  (0,20  0,18  0,10) / 3  0,16.
Предположим, что затем инвестор решил объединять в портфель два актива. Чему
будет равна в этом случае ожидаемая доходность портфеля? Существуют три возможности сформировать подобные портфели: а) портфель из активов 1 и 2; б) портфель из активов 1 и 3; в) портфель из активов 2 и 3.
Поскольку по предположениям все активы портфеля имеют равные «веса», то ожидаемые доходности портфелей составят:
E(r12 )  E(r1 )  E(r2 )/ 2  (0,20  0,18) / 2  0,19.
E (r13 )  E (r1 )  E (r3)/ 2  (0,20  0,10) / 2  0,15.
E (r23 )  E (r2 )  E (r3 )/ 2  (0,18  0,10) / 2  0,14.
Так как инвестор может выбрать любой из этих портфелей, то в среднем ожидаемая
доходность, получаемая инвестором от портфеля, сформированного из двух активов, составит:
E (rn2 )  E (r12 )  E(r13 )  E (r23 )/ 3  (0,19  0,15  0,14) / 3  0,16.
Наконец, предположим, что инвестор формирует портфель из трех активов. По нашим предположениям, на рынке обращаются только три актива, значит, в этом случае
формируется рыночный портфель. Ожидаемая доходность такого портфеля составит:
E (rm )  E (r123 )  E(r1 )  E (r2 )  E (r3 )/ 3  (0,20  0,18  0,10) / 3  0,16.
Вывод. Не зависимо от того, какое количество активов инвестор объединяет в портфеле, доходность, ожидаемая инвестором от любого портфеля, в среднем всегда составит 0,16.
Это составляет доходность рыночного портфеля. Следовательно, диверсификация как таковая не оказывает воздействия на ожидаемую доходность портфеля.
Общий вывод. В среднем, вне зависимости от количества активов в портфеле, ожидаемая доходность выбранного случайным образом портфеля всегда будет равняться ожидаемой доходности рыночного портфеля.
Но отсюда не следует, что все портфели данного объема будут иметь одинаковую ожидаемую доходность. Диверсификация воздействует на дисперсию, т.е. на степень отклонения ожидаемой доходности формируемых портфелей от ожидаемой доходности рыночного портфеля.
4
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
И хотя для инвестора ожидаемая доходность портфеля любого объема всегда равняется 0,16, все же при n = 1 возможные варианты доходностей составляют соответственно
0,20; 0,18 и 0,10. При данном разбросе значений дисперсия составит:  n21  0,028.
При n = 2, то варианты доходностей портфелей составляют: 0,19; 0,15 и 0,14, а дисперсия доходностей:  n22  0,0007.
При n = 3 формируется единственный рыночный портфель и его дисперсия доходности  m2  0.
Вывод. По мере увеличения числа активов в портфеле дисперсия ожидаемых доходностей
портфелей относительно ожидаемой доходности рыночного портфеля уменьшится, и значения
E(rP) всё ближе располагаются к E(rm).
Этот вывод иллюстрирует рис. 20.2. На рисунке видно, что разброс ожидаемых доходностей относительно E(rm) максимален при n=1, и равен нулю при формировании рыночного портфеля. При этом средняя величина такого распределения не меняется и равна ожидаемой доходности рыночного портфеля.
При увеличении количества активов в портфеле отклонения ожидаемых
доходностей портфеля относительно величины E(rm) уменьшаются.
E(rp)
E(rp)=E(rm)
Рынок
n (число активов в портфеле)
Рис. 20.2. Зависимость ожидаемой доходности портфеля E(rp) от количества
активов в портфеле
Таким образом, несмотря на то, что в среднем для инвестора ожидаемая доходность
портфеля неизменна, диверсифицировать портфель необходимо, так при этом уменьшается неопределенность относительно ожидаемой доходности формируемого портфеля. Как
известно из лекции 18, дисперсия портфеля из n активов вычисляется по формуле 18.18:
n
n
 2 P   2 i  2 i  
i 1
n

2
i
i 1 j 1,i  j
 2 j cov ij .
А с учётом, того, что в соответствии с формулой 18.7:
corrxy 
cov xy
 x y
,
можно выразить дисперсию так:
n
n
n
i 1
i 1
j
 n2   i2 i2   i j corri , j i j .
(20.2)
5
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
Мы по-прежнему считаем, что все активы имеют равные «веса». Тогда после соответствующих вычислений, получим:
E ( n2 ) 


1
E ( i2 )  E ( i , j )  E ( i , j ),
n
(20.3)
где E ( n2 ) - ожидаемый риск портфеля из n активов;
E ( i2 ) - ожидаемая (средняя арифметическая) величина дисперсий активов, входящих в
портфель: E ( i2 ) 
1 n 2
(  i ), что определяет неопределенность доходностей
n i 1
(риск) каждого актива.
E ( i , j ) - ожидаемая (средняя арифметическая) величина ковариаций активов:
E ( i2 ) 
n
n
1
 i, j , что определяет риск взаимосвязи доходностей активов друг с
n(n  1) i 1 j 1
другом.
Из формулы 20.3 следует, что ожидаемый риск портфеля состоит из двух частей:
● средней величины дисперсий активов, входящих в портфель E ( i2 );
● средней величины ковариаций активов в портфеле E ( i , j ).
Именно в этом – суть диверсификации: по мере увеличения числа n активов в портфеле
первое слагаемое в формуле 20.3 уменьшается, и риск портфеля приближается к средней
арифметической величине ковариаций E ( i , j ) .
E(σn2)
Несистематический риск (нерыночный)


1
E ( )  E ( i2  E ( i , j )  E ( i , j )
n
2
n
E(σi,j)
Систематический риск (рыночный)
n1
По оси абсцисс откладывается число активов в портфеле. Тогда для любого количества активов, например,
n1, риск портфеля распадается на две составляющие –
систематический и несистематический. По мере увеличения числа активов риск
портфеля снижается и приближается к систематическому E(σi,j).
n
Рис. 20.3. Зависимость риска портфеля от диверсификации
Итак, если активы портфеля не связаны абсолютной положительной корреляцией, то
часть суммарного риска портфеля может быть снижена путем диверсификации. Данная
составляющая риска портфеля образует его диверсифицируемую (несистематическую)
часть. Вторая часть характеризует систематический риск портфеля, не устранимый путем
диверсификации.
Как известно, когда в портфель войдут все активы, обращающиеся на финансовом
рынке, будет сформирован рыночный портфель. Риск рыночного портфеля практически
полностью определяется вторым слагаемым формулы 20.3, т.е. средней арифметической
величиной ковариаций входящих в рыночный портфель активов.
6
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
Взаимосвязь между количеством активов в портфеле (т.е. степенью диверсификации) и
уровнем риска изображена на рис. 20.3.
С другой стороны, чем меньше будут взаимосвязаны между собой доходности активов (т.е.
чем ближе их коэффициенты корреляций к величине – 1), тем ниже окажется риск портфеля.
E(σn2)
Средний суммарный риск
Разброс величин дисперсий тем выше,
чем меньше число активов в портфеле. Поэтому риск каждого конкретного портфеля отличается от средней величины
E(σi,j)
E ( m2 ) .
Рыночный риск (систематический)
n
Рис. 20.4. Взаимосвязь между количеством бумаг в портфеле N, ожидаемой величиной дисперсии
портфеля
E ( m2 ) (сплошная линия) и неопределенностью ожидаемой величины дисперсии (пунк-
тирная линия).
Обычно более низкие коэффициенты корреляции имеют ценные бумаги одной страны с ценными бумагами других стран.
Приведенная на рис. 20.4 зависимость суммарного риска портфеля от количества
ценных бумаг проявляется только в том случае, если для каждой величины n перебирать
все возможные варианты формирования портфеля и рассчитать среднюю величину E ( m2 )
дисперсии портфеля.
Для конкретного же портфеля его риск может отличаться от среднего значения
2
E ( m ) , поскольку для выбранного портфеля любого объема всегда существует неопределенность в отношении величины риска (дисперсия портфеля). То есть для любой величины N можно сформировать множество портфелей, каждый из которых будет иметь свой
риск (дисперсию), что отражает рис. 20.4.
Итак, при формировании портфеля в рамках модели САРМ предполагается, что инвестор способен свободно покупать и продавать активы без дополнительных издержек.
Поэтому формирование более диверсифицированного портфеля не увеличивает издержек
инвестора. Другими словами, специфический риск исключается без особых затрат. Поэтому теоретически, нерыночный риск не подлежит вознаграждению.
С другой стороны, приобретая акцию конкретного предприятия, инвестор финансирует производство и тем самым приносит общественную пользу. Покупка акции связана с
неустранимым рыночным риском, поэтому инвестор должен получать вознаграждение
адекватное только данному риску. Однако рынок не будет вознаграждать инвестора за
специфический (не рыночный) риск, поскольку данный риск устраняется диверсификацией. С точки зрения финансирования потребностей экономики данный риск не имеет смысла. Таким образом, вознаграждению подлежит только системный (рыночный) риск. В
связи с этим стоимость активов должна оцениваться только относительно величины
именно системного (рыночного) риска.
Совокупный риск отдельного актива портфеля измеряется такими показателями как
дисперсия и стандартное отклонение. Для оценки рыночного риска служит другая величина, которую называют бета.
7
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
Бета. Для измерения рыночного риска актива применяют величину «бета». Бета иллюстрирует зависимость между доходностью актива и доходностью рынка. Доходность рынка – это доходность рыночного портфеля. На практике невозможно сформировать собственно рыночный портфель, включающий все активы, поэтому используют фондовый индекс. Величина «бета» определяется так:
i 
cov im
или
m 
 m2
i
corrim ,
m
(20.4)
где βi – бета i-го актива;
covim – ковариация доходности i-го актива с доходностью рыночного портфеля;
corrim – ковариация доходности i-го актива с доходностью рыночного портфеля.
Бета рыночного портфеля равна единице, так как ковариация доходности рыночного
портфеля с самим собой есть его дисперсия:
m 
 m2
 1,
 m2
где βm – бета рыночного актива.
С другой стороны, бета актива без риска равна нулю.
Величина β актива показывает, насколько риск актива отличается от риска рыночного портфеля.
Активы с бетой больше единицы обладают большим риском, чем рыночный портфель, а активы с
бетой меньше единицы, соответственно, менее рискованны.
Активы делят на агрессивные и защитные. Бета агрессивных активов больше единицы
(β > 1), а защитных – меньше единицы (β < 1), как это изображено на рис. 20.5, который
иллюстрирует множество так называемых характеристических линий бета1.
Бета может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Положительная бета свидетельствует о том, что доходности актива и рынка при изменении конъюнктуры изменяются в одном направлении, а отрицательная бета, что доходности актива и
рынка меняются в противоположных направлениях. В реальной жизни большинство активов характеризуются положительной бетой.
Зная бету актива, можно оценить, насколько должна измениться его ожидаемая доходность при изменяемой доходности рынка. Пусть бета актива равна +1,5. Тогда при
увеличении ожидаемой доходности рыночного портфеля на 1 % произойдёт рост доходности актива на 1,5%.
Если бета актива равна 0,7, то при увеличении ожидаемой доходности рынка на 1%
ожидаемая доходность актива должна возрасти на 0,7%.
Если бета равна -1,5, то при повышении доходности рыночного портфеля на 1% доходность актива снизится на 1,5% и наоборот.
Активы с отрицательной бетой являются особо ценными инструментами для диверсификации портфеля, поскольку в этом случае можно построить безрисковый портфель с
«нулевой бетой».
1
Более подробно природа характеристической линии рассмотрена в параграфе 20.3.
8
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
Зная величину беты каждого актива, инвестор может сформировать портфель необходимого уровня риска и доходности. Бета портфеля определяется по формуле:
n
 P   i  i ,
i 1
где βp – бета портфеля;
βi – бета i-го актива;
θi – удельный вес i-го актива.
βi =1,5
(ri)
βi = βm =1,0
βi =-1,0
βi =0,5
E(rm)
Рис. 20.5. Характеристические линии для различных активов
Бета актива рассчитывается на основе доходности актива и рынка за предыдущие периоды
времени. Информацией о значениях беты располагают аналитические компании. Рассмотрим примерный способ оценки регрессии коэффициентов бета.
Оценки регрессии коэффициентов бета и коэффициент альфа. Стандартная процедура
для оценки коэффициентов бета предусматривает выяснение регрессии доходности акции (rj) относительно рыночной доходности (rm):
r j  a  brm ,
где а – точка пересечения с осью ординат;
b – наклон линии регрессии = cov(r j , rm ) /  m2 .
Наклон линии регрессии соответствует коэффициенту бета акции и выражает её рискованность.
Точка пересечения линии регрессии с осью ординат даёт простую оценку эффективности инвестиции в течение периода регрессии. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим следующую запись модели оценки финансовых активов:
r j  r f   (rm  rm )  r f (1   )  rm .
Сравним эту формулу с предыдущей.
Если a  r f (1   ) - акция была более доходной, чем ожидалось в течение периода регрессии;
a  r f (1   ) - доходность акции в течение периода регрессии соответствовала ожиданиям;
a  r f (1   ) - акция оказалась менее доходной, чем ожидалось в период регрессии.
Разница между а и r f (1   ) называется альфой Дженсена, которая представляет собой меру того, создаёт ли рассматриваемая инвестиция доход – больший или меньший, чем требуемый, с учё-
9
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
том рыночной доходности и риска. Например, фирма, заработавшая 16% в течение периода, когда
фирмы с аналогичными коэффициентами бета заработали 11%, обеспечила себе избыточный доход в 5%. Точка пересечения также превысит r f (1   ) на 5%.
Линия рынка актива (SML). До сих пор мы имели дело с линией рынка капитала
CML. Эта линия показывает соотношение риска и доходности для эффективных портфелей. Для оценки же неэффективных портфелей или активов применяется линия рынка актива (SML – Security Market Line).
E(r)
SML
M
E(rm)
rf
0
β
1
Рис. 20.6. Линия рынка актива
Дадим определение рыночной линии актива.
Рыночная линия актива (Security Market Line, SML) – это получаемая из модели САРМ линейная зависимость между ожидаемой доходностью и риском актива, в которой риск представлен как
«бета»-коэффициент, или, что то же самое, как ковариация ценной бумаги с рыночным активом.
Являясь результатом модели САРМ, линия SML свидетельствует о том, что в состоянии
равновесия ожидаемая доходность актива равна ставке без риска плюс вознаграждение за
рыночный риск, измеряемый величиной бета. Линия SML изображена на рис. 20.6.
E(r)
E(r)
SML1
SML0
rf2
M1
M0
SML2
SML0
SML1
rf0
rf1
rf
0
1
β
0
Рис. 20.7. Поворот SML при ожидании
ухудшения конъюнктуры
β
Рис. 20.8. Сдвиг SML при изменении
ставки без риска
Линия SML проходит через две точки, с координатами: rf , 0 и E( rm ), 1., так как бета безрискового актива равна нулю, а рыночного актива – единице.
При этом, если на CML находятся только эффективные портфели, то на SML – как
широко диверсифицированные, так и неэффективные портфели и активы.
Уравнение SML имеет следующий вид:
10
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================


E (ri )  r f   i E(rm  r f ) . .
(20.5)
Если у инвесторов оптимистичные прогнозы на будущее, то наклон SML - менее крутой.
Однако в условиях ухудшающейся конъюнктуры линия SML примет более крутой наклон,
так как инвесторы в качестве компенсации потребуют более высокую ожидаемую доходность на приобретаемые активы для тех же значений риска (рис. 20.7). То есть происходит
поворот линии SML. С другой стороны, если у инвесторов меняются ожидания относительно ставки без риска, то это приведет к сдвигам линии SML, как это изображено на рис.
20.8.
SML долгосрочных и краткосрочных активов. Как известно, CAPM является моделью одного временного периода. Поэтому ставка без риска принимается равной
ставке по краткосрочным ценным бумагам. Вместе с тем обычно инвесторы формируют
инвестиционные стратегии, исходя из долгосрочной перспективы.
Если в качестве ставки без риска принять ставку по долгосрочным активам, то SLM
примет более пологий наклон (SMLL), чем в случае использования ставки без риска по
краткосрочным бумагам (SLMS). Данная ситуация изображена на рис. 20.9.
E(r)
SMLS
SMLL
E(rm)
M
rfL
rfS
0
1
β
Рис. 20.9. Наклон SML по краткосрочным и долгосрочным активам, где rfL – ставка без риска по долгосрочным, а rfS – по краткосрочным активам.
Это важно иметь в виду тогда, когда ставка без риска по долгосрочным и краткосрочным
облигациям отличается в значительной степени.
Сопоставление линий CML и SML. Сравним характеристики линий CML и
SML.
Графическое сопоставление. На линии CML расположены лишь эффективные порт-
фели. Остальные портфели активы находятся под CML. Линия CML учитывает весь риск
портфеля. Здесь единица риска – стандартное отклонение.
На линии SML расположены все портфели (эффективные и неэффективные). Линия
SML учитывает только системный риск портфеля. Здесь единица риска – величина бета.
Неэффективные портфели располагаются ниже CML, но на SML, ибо рынок оценивает
лишь системный риск.
На рис. 20.10а на линии CML изображен эффективный портфель В. Риск данного
портфеля равен σВ, ожидаемая доходность – rB. Актив А имеет аналогичную ожидаемую
доходность, но его риск σА больше риска портфеля В. Актив А лежит ниже линии CML.
11
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
Вместе с тем бета портфеля В и бета актива А равны, отсюда следует, что портфель
В и актив А располагаются на SML в одной точке (рис. 20.10 б). Это объясняется тем, что
рынок оценивает активы не с точки зрения их общего риска, измеряемого стандартным
отклонением, а лишь на основе их рыночного риска, который измеряется бетой.
E(r)
E(r)
a)
M
SML
M
CML
E(rm)
E(rm)
B
rAB
rAB
A
AB
rf
rf
0
σB
σA σm σ
0
βAB
1
β
Рис. 20.10. Сопоставление CML и SML
В итоге актив А оценивается рынком также, как и портфель В, несмотря на то, что
общий риск актива А больше риска портфеля В.
Формализованное сопоставление. Линии CML и SML полезно сопоставить в формализованном виде.
Представим формулу SML в следующем виде. Из формулы 20.4 подставим значение β в формулу линии SML (20.5). В результате уравнение SML будет выглядеть так:

E (ri )  r f  E (rm )  r f

i
corrim .
m
Аналогично, представим формулу 20.1 для линии CML следующим образом:

E (rp )  r f  E (rm )  r f

p
corrpm .
m
Вместе с тем в модели CML коэффициент корреляции равен +1 (полная корреляция
эффективных портфелей с рынком). Неэффективные портфели и отдельные активы не
имеют полной корреляции с рынком, что отображает уравнение SML.
САРМ не отражает взаимосвязь ожидаемой доходности данного актива и его полного риска, который измеряется стандартным отклонением.
SML отражает взаимосвязь между ожидаемой доходностью и системным риском актива.
Показатель альфа и линия SML. Мы уже рассматривали показатель «альфа».
Дадим определение этой категории.
Альфой называется показатель, который говорит о величине переоценки или недооценки актива
рынком. Альфа представляет собой разность между действительной ожидаемой доходностью актива и равновесной ожидаемой доходностью, т.е. доходностью, которую требует рынок для данного уровня риска.
На рынке всегда имеются активы, которые неверно оценены рынком относительно уровня
их равновесных ожидаемых доходностей. Однако в условиях рыночной конкуренции
движение доходности стремится к равновесной точке. Если актив переоценен рынком, то
12
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
уровень его ожидаемой доходности ниже, чем актив с аналогичной характеристикой риска,
если недооценен, то – выше. Формула альфы имеет вид::
ai  ri  E (ri ),
где ai – альфа i-го актива;
r∂i – действительная ожидаемая доходность i-го актива;
E(ri) равновесная ожидаемая доходность.
Для иллюстрации этого рассмотрим рис. 20.11. Здесь актив А недооценен, а актив В – переоценен. В соответствии с моделью SML ожидаемая доходность А в условиях равновесия
должна составлять 13,0%, фактическая же оценка рынком – 15,0%. Таким образом актив
предлагает 2,0% дополнительной доходности и его альфа равна +2,0.
Иная ситуация сложилась для актива В. Его равновесная ожидаемая доходность согласно модели SML составляет 18,0%, фактически он предлагает 15%, т.е. альфа равна 3,0.
E(r)
SML
18,0
M
15,0
B
A
13,0
rf
0
β
1
Рис. 20.11. Альфа актива
Повторим наши размышления в виде вывода.
Вывод. Если альфа положительна, то актив недооценён рынком, если альфа отрицательна – актив переоценён рынком. Для равновесной ожидаемой доходности альфа равна нулю.
Инвесторы, которые желают получить более высокие доходы, должны стремиться приобретать активы с положительной альфой, то есть недооценённые активы, так как рано или
поздно время рынок заметит недооценку, и цена активов повысится. Напротив, инвесторы
должны продавать активы с отрицательной альфой, ибо их цена понизится.
В заключение отметим, что доходность портфеля – средневзвешенная величина доходностей входящих в него активов. В связи с этим альфа портфеля также является средневзвешенной величиной и определяется по формуле:
n
a p    i ai ,
i 1
где aр – альфа портфеля;
θi – удельный вес i-го актива в портфеле;
аi – альфа i-го актива.
По большому счёту, суть фундаментального анализа, о котором речь шла в лекции №
17, сводится именно к поискам инвесторами недооценённых активов с целью их заблаго-
13
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
временного приобретения, и переоценённых активов – для того, чтобы вовремя от них избавиться.
20.2. Модели САРМ для разных видов активов
Модель САРМ при неравных ставках по займам и депозитам. При первом знакомстве с моделью САРМ мы не делали различий между ставками по займам и депозитам.
Теперь рассмотрим реальную ситуацию, когда ставки по займам превышают величину
ставок по депозитам. В прошлой лекции (рис. 19.13) мы выяснили, что эффективная граница представляет собой несколько отрезков. Перенесём упомянутый рисунок для удобства в данную лекцию в виде рис. 20.12 и рассмотрим с точки зрения модели САРМ.
E(r)
E
E(rmb)
Mb
E(rml)
rb
M1
rf
F
β
0
Рис. 20.12. Модель САРМ при разных процентных ставках по вкладам и кредитам
В этом случае появляются две формулы САРМ и SML для двух рыночных портфелей в
точках Ml и Mb:
E (ri )  rl   iml E (rml )  rl  ,
когда E (ri )  E (rl ) - для кредитного портфеля, и
E (ri )  rb   imb E (rmb )  rb  ,
когда E (ri )  E (rmb ) - для депозитного портфеля,
при этом  iml - бета, рассчитанная портфеля Ml;
а  imb - бета, рассчитанная портфеля Mb.
Соответственно, линия САРМ – больше не прямая, а имеет вид ломаной: F-Ml - Mb-E
Модель САРМ с нулевой бетой. Рассмотрим следующую ситуацию: модель САРМ
при условии, когда отсутствуют активы без риска, но имеется актив, который содержит
только нерыночный риск. При отсутствии рыночного риска бета актива равна нулю. В
данном случае линия SML будет проходить через рыночный портфель и рискованный
портфель с нулевой бетой. В таком случае уравнение САРМ имеет вид:
14
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
E (ri )  ro   i E (rmi )  r0 
где r0 – рискованный актив с нулевой бетой.
Модель САРМ для облигаций. Базовая модель САРМ уместна не только для акций,
но и для всяких иных активов, в том числе и для облигаций. Вместе с тем для облигаций
можно создать и специальную версию модели САРМ:
E (ri )  ro   i E (rmi )  r0 
(20.6)
где E(ri) – ожидаемая доходность i-ой облигации;
E(rm) – ожидаемая доходность рыночного портфеля облигаций;
βi – коэффициент бета i-й облигации. Он равен отношению дюрации облигации i(Di) к
дюрации рыночного портфеля облигаций (Dm).
В соответствии с формулой 20.6 при увеличении доходности рыночного портфеля на 1%,
то доходность i-й облигации соответственено увеличивается на величину βi.
Эта ситуация изображена на рис. 20.13. В данной модели САРМ доходность
облигации есть линейная функция дюрации облигации.
E(r)
SML
M
E(rm)
Рыночный портфель
облигаций
rf
0
β
1
Рис. 20.13. Линия SML рынка облигаций
Однако следует иметь в виду, что модель завышает доходность долгосрочных облигаций
при повышении процентных ставок. Например, для облигации с дюрацией 5 лет на основании формулы получится результат в 5 раз больше, чем для облигации с дюрацией 1 год.
Тем не менее, для практического использования эта разница оказывается несущественной.
Модель САРМ для фьючерсов. Мы рассматривали производные финансовые инструменты в лекции № 15. Вспомним, что теоретическая форвардная (фьючерсная) цена
определялась на основании формулы 15.1:
F  S (1  r
T
)
B
(20.7)
где F – форвардная (фьючерсная) цена акции;
S – спотовая цена акции;
r – ставка без риска;
T – период времени до истечения форвардного контракта;
В – база, то есть финансовый год (в днях или месяцах).
Изменение фьючерсной цены (dF) определяется изменением цены спот:
15
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
dF  1  r (t / B)dS.
(20.8)
Доходность же фьючерсного контракта можно обозначить как dF/F. Поэтому разделим
обе стороны уравнения 20.8 на F и получим:
dF [1  r (t / B)]dS

.
F
F
(20.9)
Теперь произведём очередную манипуляцию: правую часть вышепреведённой формулы
одновременно умножим и разделим на S:
dF [1  r (t / B)]dS S [1  r (t / B) S dS F dS dS




.
F
F
S
F
S
F S
S
Таким образом:
dF dS

.
F
S
(20.10)
А это означает, что доходность фьючерса равна доходности базового актива. Если теперь
обозначить ожидаемую доходность i-го фьючерсного контракта через E(rFi), то есть:
E(dF/F) = E(rFi), и ожидаемую доходность i-го спотового актива через E(rSi), то есть:
E(dS/S) = E(rSi), то можно выразить ожидаемую доходность фьючерса следующим
образом:
E (rFi )  E (rSi )  r f   Si [ E (rm )  r f ].
(20.11)
На этом основании сделаем вывод.
Модель САРМ для фьючерсного контракта совпадает с моделью САРМ для базисного
актива, а бета фьючерсного контракта равна бете спотового актива.
А теперь рассмотрим самый популярный производный инструмент: опцион, и рассматрим
специфику проявления модели САРМ в данном случае.
Модель САРМ для опционов. Цену опциона принято именовать премией. Как известно (лекция № 15), по большому счёту опционы подразделяются на два вида: «колл»,
или право на покупку, и «пут» - право на продажу базового актива. Соответственно, премия опциона колл обозначается как с, а премия опциона пут – как р. Все рассуждения для
опциона колл равнозначны и для опциона пут. Поэтому наши рассуждения сосредоточим
для опциона колл, а вывод сделаем для обоих видов (колл и пут). Доходность опциона
колл равна:
rc 
dc
.
c
(20.12)
Произведём математические манипуляции:
rc 
dc dc dS S dS dc S


,
c
c dS S
S dS c
(20.13)
В данной формуле dS/S = rS – доходность базисного актива, а dc/dS = Δc – дельта опциона
колл. Понятие дельты опциона рассматривается в нашем курсе «Производные
16
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
финансовые инструменты» (лекция № 10 курса ПФИ). Дельта – первая и главная
характеристика премии опциона.
Дельта (∆) представляет собой отношение изменения цены опциона к изменению цены
базисного актива.
Дельта показывает, в какой мере изменится премия опциона при изменении цены базисного актива на один пункт. Дельта представляет собой первую производную премии опциона по цене базисного актива. Поэтому дельту опциона колл и дельту опциона пут можно
определить как:
c
p
и
C 
P 
.
S
S
где ∆с - дельта опциона колл;
∆р - дельта опциона пут;
δс - небольшое изменение цены опциона колл;
δр - небольшое изменение цены опциона пут;
δS - небольшое изменение цены базисного актива.
В связи с нашими рассуждениями доходность контракта колл равна:
rc  rS  c
S
.
c
Тогда ожидаемая доходность опционного контракта равна:

S 
E (rci )  E  rSi  ci i 
ci 

или
E (rci )  E (rsi )  E (rSi ) ci
Si
.
ci
(20.14)
Подставив в формулу 20.14 уравнение САРМ для базисного актива, получим:
E (rci )  r f  ci


Si
S
  ci i  i E (rm )  r f .
ci
ci
(20.15)
Из формулы 20.15 следует, что бета опциона колл (βсi) равна:
c  c
i
i
Si
i .
ci
Бета опциона пут (βpi) равна:
Si
i .
i
ci
Модель САРМ для опциона пут соответственно имеет вид:
p  p
i
E (rpi )  r f  pi


Si
S
  pi i  i E (rm )  r f . .
ci
ci
17
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
Таким образом, модель САРМ для всех видов активов имеет сходную природу.
А теперь перейдём к рассмотрению так называемой индексной модели. В связи с
этим особый интерес представляет модель Уильяма Шарпа.
20.3. Модель Уильяма Шарпа
Правила построения границы эффективных портфелей Марковица позволяют находить
оптимальный портфель для любого количества ценных бумаг. Однако для определения
весов (θi) каждого актива необходимо выполнять большой объем вычислений. В самом
деле, если портфель объединяет n активов, то для построения границы эффективных
портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних
арифметических) доходностей E(ri) каждого актива, n величин  i2 дисперсий всех доходностей и n(n  1) / 2 выражений ковариаций  i, j активов в портфеле.
При увеличении числа активов в портфеле количество необходимых ковариаций
становится непомерно большим. Например, если инвестор желает сформировать портфель
из 30 акций, ему необходимо вычислить 435 ковариаций, 30 ожидаемых и 30 дисперсий,
т.е. около 500 величин. При 100 активов в портфеле необходимое количество исходных
данных превысит 5000.
В 1963 г. Уильям Шарп предложил новый метод построения эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель. Шарпа.
В основе модели лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные зависимые переменные величины Х и Y линейным выражением типа:
Y    X .
Переменной Х считается величина какого-то рыночного показателя: темпы валового
внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам
Шарп в качестве такой переменной рассматривал доходность рыночного портфеля rm ,
вычисленную на основе индекса S&P 500. В российских условиях, естественно, можно
использовать данные отечественных индексов: РТС или ММВБ.
Уравнение модели может иметь, например, следующий вид:
E (ri )  yi   i E (rm )   i ,
(20.16)
где E(ri) – ожидаемая доходность актива;
yi – доходность актива в отсутствии влияния на него рыночных факторов;
βi – коэффициент бета актива;
E(rm) – ожидаемая доходность рыночного портфеля;
εi – независимая случайная ошибка, свидетельствующая о том, что значения E(ri) и E(rm)
отклоняются от линейной зависимости 20.16. Она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил.
Если уравнение 20.16 применить к широко диверсифицированному портфелю, то
значения случайных переменных εi, погасят друг друга и ими можно пренебречь. То есть,
модель Шарпа принимает вид:
18
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
E (rp )  y p   p E (rm ),
где E(rp) – ожидаемая доходность портфеля;
βp – бета портфеля;
yр – доходность портфеля в отсутствии влияния рыночных факторов.
В графическом виде данная модель изображена на рис. 20.14. Она демонстрирует зависимость между доходностью рынка (rm) и доходностью актива (ri) и представляет собой
прямую, которая получила наименование линией характеристики или характеристической линии.
rA
Специфический риск
Рыночный риск
rm
Рис. 20.14. Характеристическая линия модели Шарпа
Доходность рынка здесь – независимая переменная. Наклон линии характеристики
определяется коэффициентом бета, а пересечение с осью ординат – значением показателя yi. Бета определяется по формуле:
i 
cov im
 m2
.
yi – находится по формуле:
yi  r i   i r m ,
где r i - средняя доходность i-го актива за предыдущие периоды времени;
r m - средняя доходность рынка за предыдущие периоды времени.
На данном рисунке бета положительна, поэтому наклон линии характеристики соответственно положительный: при увеличении доходности рынка доходность актива повышается,
а при понижении – падает. Однако, как уже было изображено на рис. 20.5, наклон рынка
теоретически может быть любым. А если построить график модели для самого рыночного
портфеля относительно рыночного портфеля, то значение у него равно нулю, а беты, соответственно, +1.
20.4. Коэффициент детерминации
Разделение риска актива на диверсифицируемый и недиверсифицируемый изображено на
рис. 20.14. В соответствии с моделью Шарпа дисперсия актива имеет вид:
19
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
var(ri )  var( yi   i rm   i )   i2 m2  2 i cov m   2i ,
Так как covεm = 0, то:
 i2   i2 m2   2i ,
В этой формуле  i2 m2 - рыночный риск актива, а  2i - соответственно, нерыночный риск
актива.
Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется рынком, применяется коэффициент детерминации (R2).
Коэффициент детерминации (coefficient of determination) – это мера качества регрессионной
модели, описывающей связь между зависимой и независимыми переменными модели, например,
процент вариации доходности актива, объясняемый влиянием доходности рыночного портфеля.
Коэффициент детерминации выражает отношение рыночной дисперсии актива к общей
дисперсии:
R2 
Однако, как известно:
i 
 i2 m2
.
 i2
(20.17)
i
corrim .
m
Если подставить это данное значение в формулу 20.17, то:
R 2  corrim2 .
Например, величина коэффициента детерминации, равная 0,3, означает, что 30% вариации доходности актива объясняется влиянием изменчивости доходности рыночного
портфеля. При этом несистематический, или индивидуальный риск – это величина, не зависящая от доходности рыночного портфеля. Поэтому несистематический риск равен 1
минус коэффициент детерминации.
20.5. Сопоставление модели САРМ и Шарпа
Модель Шарпа является приблизительной. Поэтому вычесленные значения дисперсии
портфеля в ней менне точные. Модель САРМ даёт более точный портфель, а модель
Шарпа – приближённый. Из практики вычислений следует, что портфели в модели САРМ
имеют обычно более низки значения дисперсии, чем портфели, созданные по модели
Шарпа. Тем не менее, эта разница не очень велика, поэтому можно считать, что модель
Шарпа является удачным приблизительным вариантом построения эффективных
портфелей.
В САРМ устанавливается зависимость между риском и доходностью актива. Независимыми переменными являются бета (для SML) или стандартное отклонение (для CML),
зависимой – доходность актива.
В модели Шарпа доходность актива зависит от доходности рынка. Независимая переменная – это доходность рынка, зависимая – доходность актива.
20
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
Линии SML, CML и линия характеристики в модели Шарпа пересекают ось ординат
в разных точках. Для линий SML и CML – это ставка без риска, для графика Шарпа – значение у.
Между у в модели Шарпа и ставкой без риска существует взаимосвязь. Для этого
раскроем скобки в уравнении SML:
E (ri )  r f   i [ E (rm )  r f ]  r f   i E (rm )   i r f
или
E (ri )  r f (1   i )   i E (rm ).
Обратим внимание, что  i E (rm ) является общим для модели SLM и модели Шарпа, поэтому:
yi  r f (1   i ).
(20.18)
Отсюда следует, что
• для актива с β =1, у = 0;
• для актива с β <1, y > 0;
• для актива с β>1, y < 0.
Актив, у которого и y > 0, и β > 1, покажет результаты лучше рыночных. Но это невозможно в длительной перспективе, ибо на такой актив вскоре обратят инвесторы и начнут
интенсивно его покупать.
Модель САРМ является равновесной моделью: она свидетельствует о том, каким образом в формируются цены финансовых активов в условиях эффективного рынка.
Модель Шарпа является индексной моделью: она свидетельствует о том, как доходность актива связана с рыночным индексом.
Модель САРМ описывает рыночный портфель, здесь величина β предполагает ковариацию доходности актива со всем рынком.
В индексной модели Шарапа учитывается лишь рыночный индекс, и бета свидетельствует о ковариации доходности актива с доходностью рыночного индекса.
В связи с вышеперечисленным, понятно, что β в модели САРМ не равна β в модели
Шарпа. Однако практически невозможно сформировать действительно рыночный портфель и таким портфелем в САРМ также выступает некоторый рыночный портфель с широкой базой. Поэтому, принимая во внимание все эти соображения, можно допускать, что
модель Шарпа может быть использована в качестве практической замены модели САРМ.
20.6. Набор эффективных портфелей
Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно
сократить объёмы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом
результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Это достигается
на основе ряда преобразований. Ковариация i-го и j-го активов на основе уравнения Шарапа равна:
cov ij   i  j m2   ij .
(20.19)
Если i=j, то σεij = σ2i; если i≠j, то σεij = 0.
21
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
Для определения риска портфеля подставим формулу 20.19 в формулу, предложенную Марковитцем:
n
n
n
n
n
 p2   i j (  i  j m2   ij )   i j  i  j m2   i2 i2 .
i 1 j 1
i 1 j 1
(20.20)
i 1
Экономичность модели Шарпа можно проиллюстрировать на таком примере: при формировании портфеля из 30 активов для определения границы эффективных портфелей потребуется 3  30  2  92 исходных данных по модели Шарпа и 495 (то есть, в 5 раз больше)
по модели Марковица. Однако при использовании формулы 20.20 следует помнить, что
экономия в вычислениях происходит за счет уменьшения точности оценки.
20.7. Многофакторная модель САРМ Мертона
В реальности инвестор сталкивается с различными видами риска, влияющими на его доход. Например, риск, связанный с неопределённостью будущих доходов; риск, связанный
с неопределённостью будущих цен; риск, связанный с возможностью будущих инвестиций.
Robert C. Merton (born 31 July 1944) is an American economist, Nobel laureate in
Economics, and professor at the MIT Sloan School of Management.
- In 1993, Merton became a member of the U.S. United States National Academy of
Sciences.
- In 1997, Merton was awarded the Nobel Memorial Prize in Economic Sciences with
Myron Scholes for their work on stock options.
- In 1999, Merton was awarded a lifetime achievement award in mathematical finance.
- In 2005 the Baker Library at Harvard University opened The Merton Exhibit in his
honor.
- In 2010, Merton received the Kolmogorov medal.
В связи с этим очевидно, что для рисков такого рода дисперсия ожидаемой доходности вряд ли может служить адекватной мерой. Поэтому говорить о вариации ожидаемой
доходности как о единственной мере риска вряд ли обоснованно.
Учет этих видов риска натолкнул Роберта Мертона к усовершенствованию САРМ.
Это усовершенствование исходит из принципа оптимизации инвестором «будущего потребления» с учётом внерыночных (extra-market) источников риска, от которых оно зависит1. Эти внерыночные источники риска обычно называют факторами, поэтому модель
Мертона получила название многофакторной САРМ. Она имеет следующий вид:
E (rp )  r f   p ,m [ E (rm )  r f ] 






  p , F1 E (rF1 )  r f   p , F 2 E (rF 2 )  r f  ...   p , FK E (rFK )  r f ,
(20.21)
где rf
– доходность по безрисковой процентной ставке;
F1, F2, …, FK – факторы внерыночного риска;
К
– число факторов внерыночного риска;
 p,m
– чувствительность портфеля к изменениям рынка;
 p, FK
– чувствительность рынка к фактору К;
1
Robert C. Merton. An Intertemporal Capital Asset Pricing Model // Econometrica. September 1973. PP.
867-888.
22
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
– ожидаемая доходность фактора К.
E (r fK )
Общий внерыночный риск определяется суммой:
 E(r
p, F1
F1





)  r f   p, F 2 E (rF 2 )  r f  ...   p, FK E ( RFK )  r f .
(20.22)
Это выражение свидетельствует о том, что инвестор желает получить компенсацию не
только за рыночный риск, но и за риск каждого фактора. Если же нет иных источников
риска, кроме самого рынка, то уравнение 20.21 будет определять ожидаемую доходность
портфеля по классической модели САРМ:
E (rp )  r f   p,m [ E (rm )  r f ].
При обсуждении модели САРМ считалось, что инвестор стремится избежать неопределённости относительно будущей цены актива при помощи диверсификации. То есть он
формирует рыночный портфель, содержащий все активы, в соответствии с их капитализацией. В многофакторной модели САРМ кроме инвестирования в рыночный портфель инвестор стремится к снижению определённого вида внерыночного риска (рис. 20.15). Это
относится только к тем инвесторам, которые озабочены снижением именно этого вида
риска.
Рыночный
портфель
Портфель,
страхующий внерыночный риск 1
Портфель,
страхующий внерыночный риск 2
...
Портфель,
страхующий внерыночный риск К
Рис.20.15. Хеджирование многофакторного портфеля Мертона
Как, исходя из общего вида многофакторной модели, получить ожидаемую доходность
отдельного актива? Если представить актив как портфель из единственной составляющей,
то уравнение 20.21 для каждого актива i можно выразить следующим образом:
E (ri )  r f   i ,m [ E (rm )  r f ] 


  p , F1 E (rF1 )  r f   p , F 2 E (rF 2 )  rF   ...   p , FK E ( RFK )  rF ,
(20.23)
Многофакторная САРМ – привлекательная модель, так как в неё включён нерыночный
риск. При рыночной оценке актива должна учитываться и премия за внерыночный риск.
Однако выделить такой риск эмпирически и оценить его количественно очень сложно.
 Литература
1. Аскинадзи В.М., Максимова В.Ф., Петров В.С. Инвестиционное дело. – М.:
Маркет ДС, 2010. – 512 с.
2. Боди З., Кейн А., Маркус А.Дж. Принципы инвестиций. 4-е изд. Пер. с англ. - М.:
Издательский дом «Вильямс», 2002. – 984 с.
3. Бригхэм Ю., Эрхардт М.С. Финансовый менеджмент. СПб. 2007.
4. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. 3е изд. М. 2009.
5. Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг. – М.: Научно-техническое
общество имени академика С.И. Вавилова, 2005, - 454 с.
23
Лекции по курсу «Теория ценных бумаг» Селищева А.С. www.selishchev.com
Последнее обновление 01.04.2012 г.
===================================================================================================
6. Винс Р. Математика управления капиталом: методы анализа и риска для трейдеров и портфельных менеджеров. 3-е изд. Пер. с англ. – М.: Альпина Бизнес Букс,
2008. – 400 с.
7. Гитман Л.Дж., Джонк М.Дж. Основы инвестирования. М. 1999.
8. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. – М.: Филинъ, 1998. – 146 с.
9. Кравченко П.П. Курс лекций для портфельного инвестора. – М.: Дело и Сервис,
2010. – 304 с.
10. Криничанский К.В. Рынок ценных бумаг. 2-е изд. – М.: Дело и Сервис, 2010. –
608 с. .
11. Никонова И.А. Ценные бумаги для бизнеса. М. 2006.
12. Тьюлз Р.Д. и др. Фондовый рынок. М. 2000.
13. Фабоцци Ф. Дж. Управление инвестициями. М. 2000.
14. Хейл Т. Разумное инвестирование. Пер. с англ. – М.: Волтерс Клувер, 2009. – 448
с.
15. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. – М.: ГУ ВШЭ, 1999.
– 144 с.
16. Ширяев В.И. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками. 2-е изд.
– М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 216 с.
24