Многомерие

Факультет Математики ВШЭ. Просеминар «Алгебра & Геометрия».
Листок 2 (17 сентября 2012)
Многомерие
АГ2⋄1 (центр масс). Даны точки 𝑝 , 𝑝 , … , 𝑝 ∈ ℝ и числа 𝜇 , 𝜇 , … , 𝜇 ∈ ℝ c ненулевой суммой.
Покажите, что существует единственная точка 𝑐 ∈ ℝ (центр масс точек 𝑝 с весами 𝜇 ), такая
⃗ = 0. Для произвольно заданной точки 𝑜 явно выразите 𝑜𝑐
⃗ .
⃗ через 𝜇 и 𝑜𝑝
что ∑ 𝜇 ⋅ 𝑐𝑝
АГ2⋄2 (группирование масс). Пусть набор точек 𝑝 с весами 𝜇 и набор точек 𝑞 с весами 𝜈 имеют
центры масс 𝑐 и 𝑐 соответственно, причём все три суммы ∑ 𝜇 , ∑ 𝜈 и ∑ 𝜇 + ∑ 𝜈 ненулевые.
Совпадает ли центр масс объединения этих наборов¹ с центром масс пары точек 𝑐 и 𝑐 , взятых
с весами ∑ 𝜇 и ∑ 𝜈 ?
АГ2⋄3 (теорема о медианах). Медианой набора точек 𝑃 , 𝑃 , … , 𝑃 ∈ ℝ называется отрезок, соединяющий одну из них с барицентром² остальных. Покажите, что все медианы пересекаются
в одной точке и выясните, в каком отношении они делятся точкой пересечения.
АГ2⋄4. Нарисуйте все точки ℝ , барицентрические координаты³ (𝛼, 𝛽, 𝛾) которых относительно
данного ▵ 𝐴𝐵𝐶 удовлетворяют условиям: а ) 𝛼, 𝛽, 𝛾 > 0 б ) 𝛼, 𝛽 > 0 , 𝛾 < 0 в ) 𝛼 = 𝛽 г ) 𝛼, 𝛽 >
1/3 , 𝛾 > 0 д ) 𝛼 ⩾ 𝛽 е ) 𝛼 ⩾ 𝛽 ⩾ 𝛾 и напишите условия на (𝛼, 𝛽, 𝛾), задающие: ж ) 6 треугольников, на которые ▵ 𝐴𝐵𝐶 разрезается медианами з ) треугольники гомотетичные ▵ 𝐴𝐵𝐶
с коэффициентами 3 и 1/3 относительно точки пересечения медиан.
АГ2⋄5 (Теорема Чевы). Пусть на прямых 𝐵𝐶 , 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵, соединяющих три неколлинеарных точки
𝐴, 𝐵, 𝐶 , отмечены точки 𝐴 = 𝛼 𝐵 + 𝛼 𝐶 , 𝐵 = 𝛽 𝐴 + 𝛽 𝐶 , 𝐶 = 𝛾 𝐴 + 𝛾 𝐵. Покажите, что в точки
𝐴, 𝐵, 𝐶 можно поместить веса 𝛼, 𝛽, 𝛾 так, чтобы центр тяжести точек 𝐴 и 𝐵 оказался в точке 𝐶 ,
центр тяжести точек 𝐵 и 𝐶 — в точке 𝐴 , а центр тяжести точек 𝐶 и 𝐴 — в точке 𝐵 , если и только
если ⋅ ⋅ = 1 . Выведите из этого необходимое и достаточное условие прохождения трёх
прямых (𝐴𝐴 ), (𝐵𝐵 ), (𝐶𝐶 ) через одну точку.
АГ2⋄6. При каких 𝑐 четырёхмерный куб 𝐼 ≝ {(𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 ) ∈ ℝ ∶ |𝑥 | < 1} пересекается с гиперплоскостью ∑ 𝑥 = 𝑐 ? Нарисуйте все трёхмерные многогранники, которые высекаются из куба
такими гиперплоскостями.
АГ2⋄7. Нарисуйте развёртку трёхмерной поверхности четырёхмерного куба из предыдущей задачи⁴ и напишите инструкцию для склейки четырёхмерного куба из этой развёртки (т. е. укажите, какие пары двумерных граней надлежит склеить друг с другом).
АГ2⋄8. Нарисуйте какую-нибудь двумерную параллельную проекцию четырёхмерного куба, у
которой все вершины различны.
АГ2⋄9. При каких 𝑐 четырёхмерный симплекс 𝛥 = {𝑥 ∈ ℝ | ∑ 𝑥 = 1, 𝑥 ⩾ 0} пересекается с гиперплоскостью а ) 𝑥 = const б ) 𝑥 + 𝑥 = const ? Нарисуйте все трёхмерные многогранники,
которые высекаются из четырёхмерного симплекса такими гиперплоскостями.
АГ2⋄10. Для всех 0 ⩽ 𝑚 ⩽ (𝑛 − 1) подсчитайте число 𝑚-мерных граней у 𝑛-мерного
а ) куба 𝐼 ≝ {(𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) ∈ ℝ | |𝑥 | < 1}
+
б ) симплекса 𝛥 ≝ {(𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) ∈ ℝ
| ∑ 𝑥 = 1, 𝑥 ⩾ 0}.
АГ2⋄11. В каком отношении делит внутреннюю⁵ диагональ 𝑛-мерного куба барицентр набора
точек, состоящего из конца этой этой диагонали и всех вершин, соединённых с нею ребром?
АГ2⋄12. В стандартном 𝑛-мерном кубе 𝐼 найдите:
а ) количество внутренних диагоналей
б ) длину диагонали и её предел при 𝑛 → ∞
в ) радиус описанного шара
¹«объединение» совпадающих точек заключается в сложении их весов
²барицентром набора точек называется центр масс этих точек, взятых с весом 1 каждая
³напомним, что 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 1
⁴должен получиться трёхмерный многогранник, собранный из обычных трёхмерных кубиков
⁵т. е. не лежащую в грани
г ) количество внутренних диагоналей, ортогональных заданной диагонали
д ) количество осей⁶ и (𝑛 − 1)-мерных плоскостей симметрии
е ) угол между внутренней диагональю и ребром, а также его предел при 𝑛 → ∞
ж ) в каком отношении делят диагональ ортогональные проекции всех вершин
АГ2⋄13. В стандартном 𝑛-мерном симплексе {𝑥 ∈ ℝ + | ∑ 𝑥 = 1, 𝑥 ⩾ 0} найдите
а ) радиус вписанного шара б ) радиус описанного шара
в ) угол между стороной и прилежащей к ней (𝑛 − 1)-мерной гранью
г ) кратчайшее расстояние между противоположными⁷ 𝑚- и (𝑛 − 𝑚 − 1)-мерными гранями.
АГ2⋄14. Обозначим через 𝛱 = 𝛱 − + 𝛱 − + ⋯ + 𝛱 − количество кубиков в 𝑛-мерной ступенчатой
пирамиде высоты 𝑘, образованной 𝑘 ступенчатыми (𝑛 − 1)-мерными пирамидами убывающей
высоты, поставленными в стопку вдоль 𝑛-той координатной оси⁸. Выразите 𝛱 через 𝑛, 𝑘 и найдите отношение объёма параллелепипеда к объему натянутого на его вершину и все соседние
с ней вершины симплекса.
АГ2⋄15. Пусть 𝑝 , 𝑝 , … , 𝑝 ∈ ℝ не лежат в одной (𝑘 − 1)-мерной плоскости. Найдите ГМТ равноудалённых от всех 𝑝 и докажите, что через любые (𝑛 + 1) не лежащих в одной (𝑛 − 1)-мерной
гиперплоскости точек в ℝ проходит единственная сфера.
Пара слов об «основаниях». Векторным пространством над полем 𝕜 называется множество 𝑉 (элементы
которого именуются векторами) с двумя операциями — сложением векторов, сопоставляющим любой паре
векторов 𝑣 , 𝑣 ∈ 𝑉 их сумму 𝑣 + 𝑣 ∈ 𝑉, и умножением векторов на числа, сопоставляющим любому вектору
𝑣 ∈ 𝑉 и любому числу 𝜆 ∈ 𝕜 вектор 𝜆 ⋅ 𝑣 ∈ 𝑉 , так что выполняются следующие аксиомы:
(1a) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
(1б) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑉 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
(1в) ∃ нулевой вектор 0 ∈ 𝑉, такой что ∀ 𝑎 ∈ 𝑉 𝑎 + 0 = 𝑎
(1г) ∀ 𝑎 ∈ 𝑉 ∃ противоположный вектор −𝑎 ∈ 𝑉, такой что 𝑎 + (−𝑎) = 0
(2a) ∀ 𝑎 ∈ 𝑉 ∀ 𝜆, 𝜇 ∈ 𝕜 𝜆(𝜇𝑎) = (𝜆𝜇)𝑎
(2в) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 ∀ 𝜆 ∈ 𝕜 𝜆(𝑎 + 𝑏) = 𝜆𝑎 + 𝜆𝑏
(2б) ∀ 𝑎 ∈ 𝑉 ∀ 𝜆, 𝜇 ∈ 𝕜 (𝜆 + 𝜇)𝑎 = 𝜆𝑎 + 𝜇𝑎
(2г)
∀𝑎∈𝑉
1⋅𝑎 =𝑎
Подмножество 𝑈 векторного пространства 𝑉 называется векторным подпространством, если для любых двух
векторов 𝑢, 𝑤 ∈ 𝑈 все линейные комбинации 𝜆𝑢 + 𝜇𝑤 (с произвольными 𝜆, 𝜇 ∈ 𝕜) тоже лежат в 𝑈. Набор
векторов 𝑤 , 𝑤 , … , 𝑤 ∈ 𝑉 называется порождающим, если каждый вектор 𝑣 ∈ 𝑉 линейно выражается через
векторы 𝑤 . Векторное пространство, в котором имеется конечный порождающий набор векторов, называется
конечномерным. Порождающий набор 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ∈ 𝑉 называется базисом, если любой вектор 𝑣 ∈ 𝑉 линейно
выражается через них единственным образом, т. е. когда из равенства ∑ 𝑥 𝑒 = ∑ 𝑦 𝑒 вытекает, что ∀ 𝑖 𝑥 = 𝑦 .
АГ2⋄16. Покажите, что порождающий набор 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ∈ 𝑉 образует базис тогда и только тогда,
когда он линейно независим, т. е. равенство 𝑥 𝑒 + 𝑥 𝑒 + ⋯ + 𝑥 𝑒 = 0 влечёт, что все 𝑥 = 0.
АГ2⋄17 (лемма о замене). Пусть векторы 𝑤 , 𝑤 , … , 𝑤 порождают 𝑉, а векторы 𝑢 , 𝑢 , … , 𝑢 линейно независимы. Покажите, что 𝑚 ⩾ 𝑘 и векторы 𝑤 можно перенумеровать так, что набор
𝑢 , 𝑢 , … , 𝑢 , 𝑤 + , 𝑤 + , … , 𝑤 (получающихся заменой первых 𝑘 векторов 𝑤 векторами 𝑢 ) также будет порождающим.
АГ2⋄18 (теорема о базисе). Покажите, что в каждом конечномерном векторном пространстве 𝑉
любой порождающий набор векторов содержит в себе некоторый базис, а любой линейно независимый набор векторов можно дополнить до базиса. Докажите также, что все базисы в 𝑉 состоят из одинакового количества векторов.
⁶под осью симметрии здесь понимается ось поворота на 180∘ , переводящего куб в себя
⁷т. е. не имеющими общих точек
∶ 𝑘
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⁸так, 2-мерная пирамида высоты 𝑘 — это 𝛱 = 𝛱 + 𝛱 + ⋯ + 𝛱
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Листок 2 (17 сентября 2012), стр. 2