Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 322–323 УДК 517.9 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ОСКОЛКОВА c А. В. Уразаева ° urazaeva_anna@mail.ru Челябинский государственный университет, Челябинск Обратные задачи для дифференциальных уравнений возникают во многих областях науки при попытке описать внутренние характеристики среды, в которой протекают физикохимические процессы, по результатам наблюдений над этими процессами в доступной для измерений области. Исследованию различных обратных задач для традиционных классов уравнений математической физики посвящены работы, в том числе монографии, многих авторов (см. [1, 2] и приведенную в них литературу). В последнее время активно развивается теория обратных задач для различных неклассических уравнений математической физики [3, 4]. Рассмотрим начально-краевую задачу для линеаризованной системы уравнений Осколкова v(x, 0) = v0 (x), v(x, t) = 0, x ∈ Ω, (x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ], (λ − ∆)vt (x, t) = ν∆v(x, t) − r(x, t), ∇ · v = 0, (x, t) ∈ Ω × [0, T ], (x, t) ∈ Ω × [0, T ], (1) (2) (3) (4) которая в линейном приближении моделирует динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина – Фойгта порядка 1 [5]. Здесь параметры λ ∈ R и ν > 0 характеризуют свойства жидкости, Ω ⊂ Rs — ограниченная область с границей ∂Ω класса C ∞ , v = v(x, t) — скорость жидкости, r = r(x, t) = ∇p — градиент давления. Обозначим L2 = (L2 (Ω))s , L = {v ∈ (C0∞ (Ω))s : ∇·v = 0} . Замыкание линеала L по норме пространства L2 обозначим через Hσ . Это гильбертово пространство со скалярным произведением h·, ·i пространства L2 . Тогда L2 = Hσ ⊕ Hπ , где Hπ – оpтогональное дополнение к Hσ . Обозначим чеpез Π : L2 → Hπ ассоциированный с этим pасщеплением оpтопpоектоp. Обозначим H20 = (H02 (Ω))s , где H02 (Ω) = {z ∈ H 2 (Ω) : z(x) = 0, x ∈ ∂Ω} . Сужение пpоектоpа Π на пpостpанство H20 является непpеpывным опеpатоpом Π2 : H20 → H20 , поэтому H20 = H2σ ⊕ H2π , где H2σ = ker Π2 , а H2π = imΠ2 . Имеют место плотное вложение L ⊂ H2σ и непpеpывные плотные вложения H2σ ,→ Hσ и H2π ,→ Hπ . Положим U = H2σ × H2π × Hr , F = Hσ × Hπ × H2r , где Hr = Hπ , H2r = H2π . Следуя подходу С. Л. Соболева [6], используем обобщенную постановку задачи, заменив уравнение несжимаемости (4) на эквивалентное уравнение Π2 v(x, t) = 0, (x, t) ∈ Ω × [0, T ]. (5) Действительно, для функций из класса H20 равенство нулю дивергенции равносильно принадлежности подпространству H2σ . Лемма 1. Фоpмулой A = diag{∆, . . . , ∆} задается линейный непpеpывный опеpатоp A : H20 → L2 с дискpетным¯ конечнокpатным спектpом σ(A) , сгущающимся лишь на −∞ . ¯ ¯ ¯ Обозначим Aσ = A¯¯ , Aπ = A¯¯ . H2σ H2π Лемма 2. Имеет место действие операторов Aσ : H2σ → Hσ , Aπ : H2π → Hπ , причем спектр σ(Aσ ) дискретен, конечнократен и сгущается к −∞ . 322 Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 322–323 Пусть {ϕk } — семейство ортонормированных в смысле Hσ собственных функций оператора Aσ , занумерованных по невозрастанию собственных значений {λk } с учетом их кратности. Из наших построений следует, что векторы v ∈ U , f ∈ F имеют вид v = (vσ , vπ , vr ) , f = (fσ , fπ , fr ) , операторы λI − Aσ 0 0 νAσ 0 0 0 λI − Aπ 0 , M = 0 νAπ −I ∈ L(U; F). L= 0 0 0 0 −I 0 Предположим, что λ ∈ / σ(A) , тогда ker L = {0} × {0} × Hr , imL = Hσ × Hπ × {0} . Теорема 1. Пусть λ∈ / σ(A) . Тогда оператор M является (L, 1) -ограниченным, σ L (M ) = n o νλk λ−λk : k ∈ N . Замечание. Схожая редукция прямой начально-краевая задачи для нелинейной системы уравнений Осколкова использовалась а работах Г. А.Свиридюка (см. [7]). В [8] была исследованна корректность абстрактной обратной задаче для уравнения соболевского типа. К такой задаче редуцируем обратную задачу v(x, 0) = v0 (x) ∈ H2σ , v(x, t) = 0, (6) (x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ], (λ − ∆)vt (x, t) = ν∆v(x, t) − r(x, t) + q(x)f (t), Π2 v(x, t) = 0, (x, t) ∈ Ω × [0, T ], (x, t) ∈ Ω × [0, T ], ZT (7) (8) (9) ZT v(x, t)dµ(t) = vT (x) ∈ H2σ , 0 r(x, t)dµ(t) = rT (x) ∈ Hr , (10) 0 в которой искомыми являются функции v, r, q . При этом учтено, что domM1 = U 1 = H2σ . Корректность обратной задачи (6)–(10) означает существование решения q ∈ L2 при любых v0 ∈ H2σ , vT ∈ H2σ , rT ∈ Hr , удовлетворяющего оценке kqkL2 6 C(kv0 kH2 + kvT kH2 + krT kL2 ) . Теорема 2. Пусть λ ∈ / σ(A) , функция f ∈ C 2 ([0, T ], R) , функция µ : [0, T ] → R имеет ограниченную вариацию. Тогда задача (6)–(10) корректна в том и только в том случае, когда ³ ´ RT νλk для всех k ∈ N выполняется χ λ−λ , f (t)dµ(t) 6= 0. k 0 CПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 2. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York; Basel: Marcel Dekker Inc., 2000. 3. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht: VSP, 1999. 4. Al Horani M., Favini A. An identification problem for first-order degenerate differential equations // J. of Optimization Theory and Applications. 2006. V. 130, N 1. P. 41–60. 5. Осколков А. П. Начально краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина – Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1988. Т. 179. С.126–164. 6. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18, № 1. С. 3–50. 7. Свиридюк Г. А. Об одной задаче динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 11. С. 1992–1998. 8. Fedorov V. E., Urazaeva A. V. An inverse problem for linear Sobolev type equation // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2004. V. 12, N 4. P. 387–395. 323