статья на русском языке

УДК 519.622.2
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
НАГРУЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
К.Р.Айда-заде, В.М. Абдуллаев
kamil_aydazade@rambler.ru, vaqif_ab@rambler.ru
Азерб. Госуд. Нефтяная Академия Институт Кибернетики НАН Азербайджана
Исследуется численное решение для коэффициентно-обратных задач относительно
нагруженных параболических уравнений. Предложен подход к их решению, основанный на
использовании метода прямых для сведения задачи к системе обыкновенных нагруженных
дифференциальных уравнений с неизвестными параметрами. Далее используется
специальное представление решения полученной краевой задачи относительно линейной
системы дифференциальных уравнений с краевыми условиями, в результате задача
параметрической идентификации сводится к решению вспомогательных краевых задач и
одной системы алгебраических уравнений. Приводятся результаты численных
экспериментов и их анализ.
Ключевые слова: обратная задача, нелокальные условия, метод прямых, нагруженное
параболическое уравнение.
NUMERICAL METHOD OF SOLUTION TO INVERSE PROBLEMS FOR
LOADED EQUATIONS WITH NONLOCAL CONDITIONS
K. R. Aida-zade, V. M. Abdullaev
kamil_aydazade@rambler.ru, vaqif_ab@rambler.ru
Azerbaijan State Oil Academy Cybernetics Institute of Azerbaijan National Academy of Sciences
We investigate numerical solution to inverse coefficient problems with respect to loaded
parabolic type equations. We propose an approach to their solution, which is based on the method
of lines. The approach consists in reducing the initial problem to a system of ordinary loaded
differential equations with unknown parameters. We next use a special representation of the
solution to the derived boundary-value problem with respect to the linear system of differential
equations with boundary conditions. As a result, the parametric identification problem is reduced to
the solution to auxiliary boundary-value problems and to a system of algebraic equations. We give
the results of some numerical experiments and carry out their analysis.
Keywords: inverse problem, nonlocal conditions, method of lines, loaded parabolic type
equation.
Введение
В работе предлагается подход к численному решению задач
параметрической
идентификации
относительно
нагруженных
дифференциальных уравнений с частными производными. Для идентификации
постоянных во времени или по пространственной переменной имеются
результаты дополнительных экспериментов, в процессе которых проводились
замеры состояния объекта.
Отметим, что с подобными обратными задачами приходиться сталкиваться
на этапе параметрической идентификации математических моделей
практически для всех динамических процессов, для которых предполагается
строить системы автоматического или автоматизированного управления. В
связи с этим различным аспектам исследования коэффициентно - обратных
задач посвящено большое число публикаций [1–7].
Постановка задачи
Рассматривается задача восстановления коэффициентов для нагруженного
одномерного параболического уравнения [1]:
u ( x, t )
 ( x, t )u ( x, t )  N ( x, t )u ( x, t )  F ( x, t ; C )  f ( x, t ), ( x, t )    (0; a)  (0; T ].
t
(1)
Здесь ( x, t ) − линейной эллиптической оператор:
( x, t )u ( x, t )   ( x, t )
 2 u ( x, t )
u ( x, t )
  1 ( x, t )
  2 ( x, t )u ( x, t ) ,
2
x
x
(2)
N ( x, t ) − линейный оператор нагружения, относительно которого рассмотрены
следующие виды:
l3 

N ( x, t )u( x, t )   bs ( x, t )u( xs , t ) ,
(3)
s 1
l3 

N ( x, t )u ( x, t )   bs ( x, t )u ( x, t s ) .
s 1
(4)

Здесь u ( x, t ) - функция фазового состояния; xs , ts , s  1,2,..., l 3 - заданные точки


нагружения,  ( x, t )  0, 1 ( x, t ) ,  2 ( x, t ), f ( x, t ), bs ( x, t ) , bs ( x, t ) - заданные функции,
непрерывные по своими аргументам.
В зависимости от выбора (3) или (4) функция F ( x, t; C ) соответственно имеет
один из видов:
l
F ( x, t ; C )   Bi ( x, t ) C i (t ) ,
(5)
i 1
l
F ( x, t ; C )   Bi ( x, t ) Ci ( x) .
(6)
i 1
Здесь Bi ( x, t ) − заданные непрерывные линейно-независимые функции, Ci (x)
и Ci (t ) подлежат определению, i  1,2,..., l .
Для определения идентифицируемых функций Ci (x) , Ci (t ) имеются
следующие начально-краевые условия, заданные в виде неразделенных
интегральных и точечных значений фазового состояния.
В случае оператора нагружения (3) начально-краевые и дополнительные
условия имеют вид:
u( x,0)   ( x), 0  x  a ,
(7)
l1 xi   i
l3
l2

~

~
D
(
x
,
t
)
u
(
x
,
t
)
dx

D
(
t
)
u
(
x
,
t
)

D
(
t
)
u
(
x


i
j
j
s
s , t )  L0 (t ),


i 1
j 1
xi
(8)
s 1
а в случае оператора нагружения (4) условия заданы в виде:
l3
l1 ti   i
l2


~
~
K
(
x
,
t
)
u
(
x
,
t
)
dt

K
(
x
)
u
(
x
,
t
)

  i
 j
 K s ( x)u( x, t s )  L0 ( x),
j
i 1
j 1
ti
(9)
s 1
u (0, t )   1 (t ), u (a, t )   2 (t ),
0t T .
(10)
где
− заданные упорядоченные моменты времени из 0, T  т.е.
 
0~
tj  ~
t j 1  T ,
0  t i  t i 1  T ,
0  t s  t s 1  T ,
t i   i  [0, T ];
min t1 , ~
t1   0,
~
max t l   1 , tl   T
и для всех i  1,..., l1 , j  1,..., l 2 выполняется условие



~
t j  t i , t i   i  ; и xi , ~
x j , x s  [0; a ] , 0  xi  xi 1  a , 0  ~
xj  ~
x j 1  a , 0  x s  x s 1  a ,
xl   a и для всех i  1,..., l1 ,
xi   i  [0, a] , min x1 , ~
j  1,..., l 2
x1   0, max xl  1 , ~
выполняется условие ~x j  xi , xi   i  ; функции  (x ) ,  1 (t ),  2 (t ) , (l  1) -мерные

ti , ~
t j , ts
1
2
1
~
2

~
функции K i ( x, t ) , K j ( x) , K s (x) , L0 ( x) и (l  2) -мерные функции Di ( x, t ) , D j (t ) ,

Ds (t ) , L0 (t ) заданы и непрерывны по своими аргументам.
Требуется определить u ( x, t ) и l -мерную вектор-функцию C (t ) в случае
задачи (1),(2),(3), (5), (7),(8) (задача А) или C (x ) для задачи (1),(2),(4), (6),
(9),(10) (задача В).
Предложен подход, основанный на применении метода прямых и сведении
исходной задачи к задаче параметрической идентификации для обыкновенных
дифференциальных уравнений [6-7]. Далее используется специальное
представление решения полученной краевой задачи относительно линейной
системы дифференциальных уравнений с нелокальными условиями, с помощью
которого задача параметрической идентификации сводится к решению
вспомогательных краевых задач и одной системы алгебраических уравнений.
Аналогичный подход применен к решению обратных задач относительно
нагруженного дифференциального уравнения гиперболического типа при
нелокальных условиях переопределения.
Были проведены многочисленные численные эксперименты на тестовых
задачах с применением предложенных в данной работе формул и схем
численного решения. Результаты экспериментов показали достаточно высокую
эффективность для практического применения описанного подхода.
Литература
1. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012.
– 232с.
2. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Решение некоторых обратных задач
теплопроводности для составной пластины с использованием псевдообратных
матриц // Доклады НАН Украины. – 2011.– № 12. – С. 28–34.
3. Hasanov A, Otelbaev M, Akpayev B. Inverse heat conduction problems with
boundary and final time measured output data // Inverse Probl. Sci. Eng. – 2011. –
Vol. 19. – P. 895–1006.
4. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для
параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением //
Матем. сб. –– 1992. ––183, № 4. –– С. 49–68
5. Yan L, Fu C.L, Yang F.L. The method of fundamental solutions for the inverse
heat source problem // Eng. Anal. Boundary Elements. ––2008. ––Vol.32. –– P.216–
222.
6. Айда-заде К.Р. Численный метод восстановления параметров
динамической системы // Кибернетика и системный анализ. – 2004. –№3. – С.
101–108.
7. Абдуллаев В.М., Айда-заде К.Р. О численном решении нагруженных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и
матем. физики. –2004. –44, № 9. – C.1585-1595.
References
1. Nakhushev A.M. Loaded equations and their applications. M: Nauka, 2012.
p.232 (in Russian).
2. Sergienko I.V., Deineka V.S. Solution of some inverse heat conduction
problems for a compoundplate using pseudoinverse matrices // Reports of the
National Academy of Sciences of Ukraine, – 2011.– № 12. – pp. 28–34.
3. Hasanov A, Otelbaev M, Akpayev B. Inverse heat conduction problems with
boundary and final time measured output data // Inverse Probl. Sci. Eng. – 2011. –
Vol. 19. – P. 895–1006.
4. Prilepko A. I. , Kostin A. B. On certain inverse problems for parabolic
equations with final and integral observation // Mat. Sb., –– 1992. ––183, № 4. ––
pp. 49–68
5. Yan L, Fu C.L, Yang F.L. The method of fundamental solutions for the inverse
heat source problem // Eng. Anal. Boundary Elements. ––2008. ––Vol.32. –– P.216–
222.
6. Aida-zade K. R. A Numerical Method for the Reconstruction of Parameters of
a Dynamical System // Kibern. Sistemn. Anal., – 2004. –№3. – pp. 101–108.
7. Abdullaev V. M., Aida-zade K. R. On numerical Solution To Systems of
Loaded Ordinary Differential Equations // Comp. Mathematics and Mathematical
Physics. –– 2004. Vol. 44, № 9. –– Pp.1585-1595.