УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО» «бакалавр»)

ГАОУ ВПО Дагестанский государственный
институт народного хозяйства
Назаров Александр Давидович
Сиражудинов Магомед Магомедалиевич
Кафедра математики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»
по направлению 090900.62 «Информационная безопасность»,
Профиль подготовки «Безопасность автоматизированных систем».
(Квалификация (степень) «бакалавр»)
Махачкала 2012
1
УДК 51(075)
ББК 22.1 я 7
Составители:Назаров Александр Давидович, кандидат физикоматематических наук, доцент, заведующий кафедрой математики ДГИНХ;
Сиражудинов Магомед Магомедалиевич, доктор физикоматематических наук, профессор кафедры ФАН ДГИНХ.
Внутренний рецензент: Магомедов Гаджи Абдулкадырович, кандидат
физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики
ДГИНХ.
Внешний рецензент: Рамазанов Абдул-Рашид Кехриманович, доктор
физико-математических наук, профессор кафедры кафедры
математического анализа ДГУ.
Учебно-методический комплекс разработан в соответствии с
пунктом 5.2.8 Положения о Министерстве образования и науки
Российской
Федерации,
утвержденного
Постановлением
Правительства Российской Федерации от 15 июня 2004 г. N 280
(Собрание законодательства Российской Федерации, 2004, N 25, ст.
2562; 2005, N 15, ст. 1350; 2006, N 18, ст. 2007; 2008, N 25, ст. 2990; N
34, ст. 3938; N 42, ст. 4825; N 46, ст. 5337; N 48, ст. 5619; 2009, N 3, ст.
378; N 6, ст. 738; N 14, ст. 1662), пунктом 7 Правил разработки и
утверждения
федеральных
государственных
образовательных
стандартов,
утвержденных
Постановлением
Правительства
Российской Федерации от 24 февраля 2009 г. N 142 (Собрание
законодательства Российской Федерации, 2009, N 9, ст. 1110).
Назаров А. Д., Сиражудинов М.М., Учебно - методический комплекс по
дисциплине «Комплексный анализ» , направление «Математика и
компьютерные науки», по профилю «Математическое и компьютерное
моделирование»,- Махачкала: издательство «Формат», 2012. -19с.
Одобрено
Рекомендовано к утверждению
кафедрой «Математика»,
и к изданию Учебно-методическим
протокол № 6 от 14 января 2012 г.
советом ДГИНХ
проректор по учебной работе ДГИНХ,
зав. кафедрой, к. ф.-м. н.
председатель Учебно - методического
Назаров А.Д.
совета, д.э.н.,
профессор Казаватова Н. Ю.
«25» января 2012г
Печатается по решению Учебно-методического совета Дагестанского
государственного института народного хозяйства.
2
Содержание
1.Цели освоения дисциплины ................................................................................ 5
2. Место курса в системе образования .................................................................. 5
3. Задачи курса ......................................................................................................... 5
4.Требования к минимуму содержания дисциплины .......................................... 5
Тема 1. Различные формы представления комплексных чисел.
Арифметические операции с комплексными числами ........................................ 6
Тема 2. Элементарные функции комплексного переменного ............................. 6
Тема 3. Дифференцирование функций комплексного переменного .................. 6
Тема 4. Интегралы ................................................................................................... 7
Тема 5. Вычеты ........................................................................................................ 7
Тема 6. Целые и мероморфные функции .............................................................. 7
Тема 1. Различные формы представления комплексных чисел.
Арифметические операции с комплексными числами ........................................ 8
Тема 2. Элементарные функции комплексного переменного ............................. 8
Тема 3. Дифференцирование функций комплексного переменного .................. 9
Тема 4. Интегралы ................................................................................................... 9
Тема 5. Вычеты ........................................................................................................ 9
Тема 6. Целые и мероморфные функции ............................................................ 10
6. Образовательные технологии ........................................................................... 10
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое
обеспечение самостоятельной работы студентов .............................................. 10
7.1. Вопросы для самостоятельной работы................................................... 10
7.2 Примерные темы рефератов: ................................................................... 12
7.3 Вопросы к коллоквиуму ................................................................................ 12
7.4. Вопросы к экзамену по дисциплине .......................................................... 13
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ......... 16
9. Методические рекомендации преподавателю ................................................ 16
3
Аннотация
В современной эпохе, эпохе научно – технической революции,
возрастают требования к программистам по составлению экономических
прогнозов, оптимизации принимаемых решений и выбору правильной
экономической политики. Для этого требуется достаточно высокий
уровень подготовки по математике.
Математика имеет исключительно важное значение, как в процессе
самого обучения, так и в последующей деятельности экономиста как
специалиста. Исследование многих процессов в промышленной
технологии и экономике связаны с разработкой математической модели
данного
явления.
Для
успешного
исследования
полученной
математической модели программист должен обладать определенной
математической культурой. Изучаемый на экономических специальностях
курс математики включает следующие темы: элементы линейной алгебры,
элементы
аналитической
геометрии,
введение
в
анализ,
дифференциальное и интегральное исчисление функции одной и многих
переменных, дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и
математическая статистика.
1. Высшая математика Э.Б. Велиев, А.М. Магомедов, 1994 г.
2. Математика для экономических специальностей М.С. Красс,
1999 г.
3. Математика в экономике Часть 1., А.С.Солодовников и др.,
1999г.
4. Высшая математика для экономистов. Кремер Н.Ш. и др. М.
МГУ 1994г.
УМК
составлен
согласно
требованиям
Федерального
государственного
образовательного
стандарта
по
направлению
«Информационная безопасность».
Всего часов 108, в т. ч. на лекции 17, на практические занятия 34, на
самостоятельную работу 57. Форма контроля: 5 семестр – экзамен.
4
1.Цели освоения дисциплины
Изучение комплексных чисел. Изучение на базе вещественного анализа, теории
функций комплексного переменного. Ознакомление с прикладными аспектами
Комплексного анализа. Ознакомление с фундаментальными свойствами
аналитических функций.
2. Место курса в системе образования
Комплексный анализ преподается параллельно с курсом «Уравнения в частных
производных». В частности, в обоих курсах
изучаются свойства
гармонических функций и приводится сравнительный анализ в комплексном
анализе в связи с сопряженными гармоническими функциями, а в уравнениях
в частных производных – с задачей Дирихле для уравнения Лапласа.
3. Задачи курса
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: комплексные числа, аналитические функции, Особые точки и вычеты.
Владеть: основными методами комплексного анализа.
4.Требования к минимуму содержания дисциплины
Профессиональные (ПК):
- проводить анализ архитектуры предприятия (ПК-1).
5
5. Структура и содержание дисциплины
5.1 Содержание теоретического материала(лекций)
№
1.
Наименование тем и содержание лекций
(план)
Тема 1. Различные формы представления
Количество часов
4
комплексных чисел. Арифметические
операции с комплексными числами
1. Различные формы представления
комплексного числа. Геометрическая
интерпретация комплексных чисел
2. Арифметические операции с комплексными
числами
2.
Тема 2. Элементарные функции
2
комплексного переменного
1. Вычисление f(z) = zn.
2. Вычисление корня n-й степени из
комплексного числа.
3. Вычисление значения функции exp(z).
4. Вычисление значений тригонометрических
функций комплексного переменного.
5. Вычисление логарифма комплексного числа.
6. Вычисление значений показательной и
степенной функций комплексного переменного.
7. Вычисление значений обратных
тригонометрических функций комплексного
переменного.
3.
Тема 3. Дифференцирование функций
комплексного переменного
6
3
1. Вычисление значения производной функции
коплексного переменного в точке.
2. Исследование дифференцируемости функции.
3. Исследование дифференцируемости функции,
вычисление производной.
4.
5.
4
Тема 4. Интегралы
4
Тема 5. Вычеты
1. Вычисление вычета функции в ее конечных
особых точках.
2. Вычисление вычета в устранимой особой
точке.
3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.
4. Вычисление вычета в простом полюсе.
5. Вычисление вычета в существенной особой
точке.
6.
Тема 6. Целые и мероморфные функции
Итого
7
4
17
5.2 Содержание практических занятий
№
п/п
1
Тема и развернутый план
практических занятий
Тема 1. Различные формы
Количество часов
Всего
В том числе
аудито Самосто
рии
ятельна
я работа
студенто
в
14
6
8
представления комплексных
чисел. Арифметические операции
с комплексными числами
1. Различные формы представления
комплексного числа.
Геометрическая интерпретация
комплексных чисел
2. Арифметические операции с
комплексными числами
2
Тема 2. Элементарные функции
комплексного переменного
1. Вычисление f(z) = zn.
2. Вычисление корня n-й степени из
комплексного числа.
3. Вычисление значения функции
exp(z).
4. Вычисление значений
тригонометрических функций
комплексного переменного.
5. Вычисление логарифма
комплексного числа.
6. Вычисление значений
показательной и степенной функций
8
12
4
8
комплексного переменного.
7. Вычисление значений обратных
тригонометрических функций
комплексного переменного.
3
Тема 3. Дифференцирование
18
6
12
16
6
10
16
6
10
функций комплексного
переменного
1. Вычисление значения
производной функции коплексного
переменного в точке.
2. Исследование
дифференцируемости функции.
3. Исследование
дифференцируемости функции,
вычисление производной.
4
5
Тема 4. Интегралы
Тема 5. Вычеты
1. Вычисление вычета функции в ее
конечных особых точках.
2. Вычисление вычета в устранимой
особой точке.
3. Вычисление вычета в полюсе
порядка n.
4. Вычисление вычета в простом
полюсе.
5. Вычисление вычета в
9
существенной особой точке.
6
Тема 6. Целые и мероморфные
15
6
9
91
34
57
функции
Итого
6. Образовательные технологии
На факультете 4 учебных класса, оснащенных компьютерами с
соответствующим
программным
обеспечением.
Институт
обеспечен
необходимым комплектом лицензионного программного обеспечения.
7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и
учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
7.1. Вопросы для самостоятельной работы
1. Комплексные числа, действия над ними.
2. Геометрическая
интерпретация
и
тригонометрическая
форма
к.ч.
Формула Муавра.
3. Топология комплексной плоскости. Окрестности точек. Бесконечно
удаленная точка.
4. Комплексная последовательность и ряд. Сходимость.
10
5. Функция
комплексного
переменного.
Предел,
непрерывность.
Равномерная непрерывность.
6. Функциональные последовательности и ряды. Сходимость. Равномерная
сходимость.
7. Степенные ряды. Теорема Абеля.
8. Формула Коши-Адамара.
9. Определение функций e x , sin z , cos z с помощью рядов.
10. Производная комплексной функций. Необходимое и достаточное
условие дифференцируемости.
11. Аналитическая (однозначная) функция. Примеры.
12. Конформные отображения.
13. Обратимость функций
e x , z n , sin z , cos z . Понятие Римановой
поверхности. Точки ветвления.
14. Дробно-линейная функция. Конформный изоморфизм.
15. Круговое свойство дробно-линейных функций.
16. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы.
17. Групповое свойство дробно-линейных отображений.
18.. Определение интеграла от комплексной функций по кривой.
19. Свойства комплексного интеграла.
20. Вычислить интеграл
m
∫ ( z − a) dz .
| z − a| = k
21.Интегральная теорема Коши. Доказательство ослабленного варианта.
22. Лемма Гурса.
23. Интегральная теорема Коши для треугольного контура.
24.. Интегральная теорема Коши (общий случай).
25.Интегральная теорема коши для составного контура.
26.Интегральная формула Коши.
27. Интегральная формула Коши для составного контура.
28. Интеграл типа Коши.
11
29. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.
30.Интеграл с переменным верхним пределом.
31. Теорема Морера.
32. Различные определения однозначной аналитической функции и их
сравнение.
33.Принцип максимума модуля.
34. Теорема Вейерштрасса.
35. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора.
36. Свойства единственности аналитической функции.
37. Теорема Лиувилля.
38. Неравенства коши для коэффициентов ряда Тейлора.
39. Ряд Лорана. Его сходимость.
40. Теорема Лорана.
41. Изолированные особые точки и их типы.
42. Связь типа изолированных особых точек с видом ряда Лорана.
43. Лорановское разложение в окрестности бесконечной изолированной
особой точки.
44. Понятие целой и мероморфной функции.
7.2 Примерные темы рефератов:
1. Использование вычетов для вычисления несобственных интегралов
2. Использование вычетов для вычисления собственных интегралов
3. Изолированные особые точки
4. Использование вычетов для суммирования рядов5.Римановые поверхности.
7.3 Вопросы к коллоквиуму
1. Понятие аналитичности функции в точке, в области. Необходимые и
достаточные условия аналитичности.
2. Основные свойства аналитических функций
а) независимость интеграла от пути
б) разложимость в степенной ряд (Теорема Тейлора)
12
в) бесконечная дифференцируемость аналитических функций
г) принцип единственности аналитических функций
3.
Различные
определения
однозначной
аналитической
функции.
Доказательство эквивалентности.
4.Ряд Лорана. Сходимость.
5.Разложение функции в ряд Лорана (Теорема Лорана).
6.Разложение функции в окрестности бесконечно-удаленной точки.
7. Изолированные особые точки однозначного характера и их типы
8. Теорема Сохоцкого.
9.Теорема Пикара. С’.
10. Вычеты. Определения.
11. Вычеты относительно полюса.
12 Основная теорема о вычетах.
13. Приложения вычетов к вычислению интегралов.
14. Целые и мероморфные функции.
7.4. Вопросы к экзамену по дисциплине
1. Комплексные числа. Модуль и аргумент. Комплексно-сопряженные числа
2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра.
3. Стереографическая проекция. Сфера Римана.
4. Топологические понятия на С и C .
5. Последовательность. Предел последовательности. Числовой ряд.
6. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность.
7. С-линейные и R-линейные функции. Геометрический смысл
С-линейного отображения
8. С и R – дифференцируемость. Теорема о существовании частных
производных.
9. Условия Коши-Римана.
10.Производная. Аналитические функции.
11.Геометрический смысл производной. Понятие конформного отображения.
13
12.Дробно-линейные отображения. О гомеоморфности.
13.О конформности дробно-линейного отображения.
14. Круговое свойство дробно-линейных отображений.
15.Точки симметричные относительно окружности. Построение и свойства
симметричных точек.
16. Сохранение симметрии при дробно-линейных отображений.
17. Группа дробно-линейных отображений. Дробно-линейные
изоморфизмы.
18. Дробно-линейные отображения верхней полуплоскости на
единичный
круг и единичного круга на единичный круг.
19.Функция w = z n . Области однолистности.
20. Показательная функция e z . Области однолистности.
21. Свойства функции e z .
22. Тригонометрические функции cos z и sin z.
23. Функции Ln z , a z , z a .
24. Путь и кривая.
25. Интеграл по пути. Ортогональность степеней.
26. Линейность, аддитивность и инвариантность интеграла.
27. Ориентируемость интеграла и оценки интеграла.
28. Первообразная.
29. Интегральная теорема Коши для односвязных и для
многосвязных
областей.
30. Локальная первообразная.
31.Интегральная формула Коши.
32. Ряд Тейлора
Неравенства Теорема Абеля.
33.
Коши. Теорема Лиувилля
34. Признак Коши. Круг сходимости. Радиус сходимости.
35.Об аналитичности суммы степенного ряда. Следствия из него.
14
36.Нули аналитических функций. Порядок нуля
37.Теорема о единственности.
38.Теорема Морера
39.Ряд Лорана
40.О единственности разложения в ряд Лорана.
41.Неравенства Коши. Главная часть ряда Лорана.
42.Особые точки и их классификация
43.Классификация особых точек при помощи ряда Лорана (устранимая
особая точка).
44.Классификация особых точек при помощи ряда Лорана (полюс и
существенно особая точка).
45.Особая точка – ∞ .
46.Вычеты. Теорема Коши о вычетах.
47. Об аналитичности суммы степенного ряда. Следствия из него.
48. Формулы для вычисления вычетов.
49. Вычет на бесконечности. Теорема о полной сумме вычетов
50. Логарифмический вычет.
51.Индекс функции. Принцип аргумента
52. Принцип сохранения областей
53. Теорема Руше. Основная теорема алгебры комплексных чисел.
54. Стереографическая проекция.
55. Принцип максимума модуля аналитической функции.
56. Принцип минимума
57. Интегральная теорема Коши для треугольников
58. Теорема о среднем значении
59.Принцип максимума модуля аналитической функции
15
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины
а) основная литература:
1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: «Наука», ч.1. 1986.
2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
М.: «Наука», 1984.
3. Волковысский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г., Сборник задач по
теории функций комплексного переменного, Наука. М.: «Наука», 1975.
б) дополнительная литература:
1. Сидоров Ю. В., Федорюк М.В., Шабунин А.И. Лекции по ТФКП.
2-е издание. М., Наука, 1982.
2. Магомедов Г.А., Сиражудинов М.М., Рагимханов Р.К. Теория функций
комплексного переменного, Махачкала, ИПЦ ДГУ, 2003.
3. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций, уч.
пособие, М. Наука, 1984.
1.
9. Методические рекомендации преподавателю
Изучив глубоко содержание учебной дисциплины, целесообразно
разработать матрицу наиболее предпочтительных методов обучения и форм
самостоятельной
работы
студентов,
адекватных
видам
лекционных
и
семинарских занятий.
2. Необходимо предусмотреть развитие форм самостоятельной работы, выводя
студентов к завершению изучения учебной дисциплины на её высший уровень.
3. Пакет заданий для самостоятельной работы следует выдавать в начале
семестра, определив предельные сроки их выполнения и сдачи. Задания для
самостоятельной
работы
желательно
составлять
из
обязательной
и
факультативной частей.
4. Организуя самостоятельную работу, необходимо постоянно обучать
студентов методам такой работы.
16
5. Вузовская лекция - главное звено дидактического цикла обучения. Её цель формирование у студентов ориентировочной основы для последующего
усвоения материала методом самостоятельной работы. Содержание лекции
должно отвечать следующим дидактическим требованиям:
-изложение материала от простого к сложному, от известного к неизвестному; логичность, четкость и ясность в изложении материала;
-возможность
проблемного
изложения,
дискуссии,
диалога
с
целью
активизации деятельности студентов;
-опора смысловой части лекции на подлинные факты, события, явления,
статистические данные;
-тесная связь теоретических положений и выводов с практикой и будущей
профессиональной деятельностью студентов.
Преподаватель,
читающий
лекционные
курсы
в
вузе,
должен
знать
существующие в педагогической науке и используемые на практике варианты
лекций, их дидактические и воспитывающие возможности, а также их
методическое место в структуре процесса обучения.
6. Семинар проводится по узловым и наиболее сложным вопросам (темам,
разделам) учебной программы. Он может быть построен как на материале
одной лекции, так и на содержании обзорной лекции, а также по определённой
теме
без
чтения
предварительной
лекции.
Главная
и
определяющая
особенность любого семинара - наличие элементов дискуссии, проблемности,
диалога между преподавателем и студентами и самими студентами.
При
подготовке
классического
семинара
желательно
придерживаться
следующего алгоритма:
а) разработка учебно-методического материала:
-формулировка темы, соответствующей программе и Госстандарту;
-определение дидактических, воспитывающих и формирующих целей занятия;
-выбор методов, приемов и средств для проведения семинара;
-подбор литературы для преподавателя и студентов;
-при необходимости проведение консультаций для студентов;
17
б) подготовка обучаемых и преподавателя: - составление плана семинара из 3-4
вопросов; - предоставление студентам 4-5 дней для подготовки к семинару;
-предоставление рекомендаций о последовательности изучения литературы
(учебники, учебные пособия, законы и постановления, руководства и
положения,
конспекты
лекций,
статьи,
справочники,
информационные
сборники и бюллетени, статистические данные и др.);
-создание набора наглядных пособий.
Подводя
итоги
семинара,
можно
использовать
следующие
критерии
(показатели) оценки ответов:
-полнота и конкретность ответа; - последовательность и логика изложения; связь
теоретических
доказательность
положений
излагаемых
с
практикой;
положений;
-наличие
-обоснованность
и
качественных
и
количественных показателей;
-наличие иллюстраций к ответам в виде исторических фактов, примеров и пр.; уровень культуры речи; -использование наглядных пособий и т.п.
В конце семинара рекомендуется дать оценку всего семинарского занятия,
обратив особое внимание на следующие аспекты: - качество подготовки; степень усвоения знаний; -активность;
-положительные стороны в работе студентов; - ценные и конструктивные
предложения; -недостатки в работе студентов; - задачи и пути устранения
недостатков.
После проведения первого семинарского курса, начинающему преподавателю
целесообразно осуществить общий анализ проделанной работы, извлекая при
этом полезные уроки.
7. При изложении материала важно помнить, что почти половина информации
на лекции передается через интонацию. Учитывать тот факт, что первый кризис
внимания студентов наступает на 15-20-й минутах, второй - на 30-35-й
минутах. В профессиональном общении исходить из того, что восприятие
лекций студентами младших и старших курсов существенно отличается по
готовности и умению.
18
8. При проведении аттестации студентов важно всегда помнить, что
систематичность, объективность, аргументированность - главные принципы, на
которых основаны контроль и оценка знаний студентов. Проверка, контроль и
оценка знаний студента, требуют учета его индивидуального стиля в
осуществлении учебной деятельности. Знание критериев оценки знаний
обязательно для преподавателя и студента.
19