Введение ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Основные понятия

Введение
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Основные понятия
В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента и
принадлежности элемента множеству.
Множество — это совокупность элементов,
объединенных общим (характеристическим) свойством.
Обозначения:
A, B, C,, X, Y, Z — множества; a, b, c,, x, y, z — элементы множеств;
xA обозначает принадлежность элемента х множеству А;
x A — x не принадлежит множеству А;
 — следовательно, если  то;
 — тогда и только тогда, необходимо и достаточно;
— любой, каждый;
 — существует.
Способы задания множеств.
— Перечислением элементов. Например, Х = {1, 2} — множество Х состоит из двух
элементов: 1 и 2.
— Указанием характеристического свойства. Например, X={x: (x1)(x+3)=0} — это
множество содержит два элемента — корни уравнения (x1)(x+3)=0, то есть числа 1 и 3.
А={(1, … , n) : 12 + 22 + … + n2 = 0}
такое множество содержит единственный набор чисел, состоящий из n нулей, т. е.
А={(0, 0, … , 0)}.
Введем понятия пустого множества  и универсального множества U. Пустое
множество – это множество, не содержащее ни одного элемента.
х х  .
Универсальное множество – это множество, содержащее все элементы.
х х  U.
ПРИМЕР. {x  R : x2 < 0} = . {x  R : x2  0} =
R = U.
Во втором примере множество вещественных чисел R играет роль универсального
множества.
Рассмотрим понятия подмножества и равенства множеств.
Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент
множества А является элементом множества В:
А  В  (х  А  х  В)
Очевидно, что   А, А  А, А  U для любого множества А.
Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А является
элементом множества В и, наоборот, каждый элемент множества В является элементом
множества А:
А = В  А  В и В  А.
Операции над множествами
Объединением АВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из
элементов, содержащихся либо в А, либо в В.
xAB  xA или xB; xAB  xA и xB.
Пересечением АВ двух множеств А и В называется множество, состоящее из
элементов, содержащихся и в А, и в В.
xAB  xA и xB; xAB  xA или xB.
Разностью А \ В множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов
множества А, которые не принадлежат множеству В.
xA\B  xA и xB; xA\B  xA или xB.
Разность U\A называется дополнением множества А и обозначается A .
x A  xА; x A  xA.
Свойства операций.
1. AB=BA
2. AB=BA
3. A(BC)=(AB)C
4. A (BC)=(AB)C
5. A(BC)=(AB)(AC)
6. A (BC)=(AB)(AC)
7. A  B  A  B
8. A  B  A  B
9. A\B=A B
10. AA=AA=A
11. A=A; A=
12. AU=U; AU=A
13. A A =U; A A =
14. A =A
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО свойства 6. A (BC)=(AB)(AC).
Возьмем xA(BC)xA и x BC xA и (xB или xC)  (xA и xB) или
(xA и xC)  xAB или xAC) x(AB)(AC). Доказано, что . A (BC) 
(AB)(AC).
Воэьмем x(AB)(AC)  xAB или xAC (xA и xB) или (xA и xC)
 xA и (xB или xC)  xA и x BC xA(BC). Доказано, что A (BC) 
(AB)(AC). Тождество доказано.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО свойства 13. A A =U; A A =.
A A =U.
A A  U — очевидно, так как U — универсальное множество. Докажем, что A A
 U.
Возьмем хU xA или хА xA или х A  х A A  U  A A . Тождество
доказано.
A A =. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО..
Предположим противное, что A A . Тогда существует х A A  xA и х A 
xA и хА. Получили противоречие. Следовательно, предположение A A  неверно и
A A =.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
Что понимается под словом «множество»?
Перечислить способы задания множеств.
Какие множества называют равными?
Перечислить операции над множествами.
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
ТЕМА 1.1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Функция, график функции, основные элементарные функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если каждому значению переменной х, принадлежащему
некоторому множеству вещественных чисел, соответствует единственное вещественное
значение другой переменной y, то y есть функция от х или, в символической записи,
y  f ( x ), y    x  и т.п.
Переменная х называется независимой переменной или аргументом. Зависимость
переменных х и y называется функциональной зависимостью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Множество значений аргумента х, для которых существуют
значения функции y, называется областью определения функции (или областью
существования функции).
ПРИМЕР 1. Функция y  log 2 x определена при всех значениях аргумента
х  0;  .
ПРИМЕР 2. Функция y 
5
определена при всех значениях аргумента х  3.
x3
Одним из способов задания функции является графический способ в прямоугольной
системе координат на плоскости Оху, при этом абсциссы точек являются значениями
аргумента, а значениями функции – соответствующие ординаты.
Множество точек плоскости Оху, абсциссы которых являются значениями аргумента,
а ординаты – соответствующими значениями функции, называется графиком функции.
Основными элементарными функциями называются следующие, аналитическим
способом заданные функции.

1. Степенная функция: у  х , где  - действительное число
.
У
У
У
у  х 2
ух
О
у  х3
4
Рис.1.
Х
О
O
Х
х
2. Показательная функция : у  а , где а  0 и а  1.
У
У
у  0,5
1
у  2х
О
Х
1
Рис.2.
О
Х
х
Х
3. Логарифмическая функция: у  log a x , где а  0 и а  1.
У
y  log 0 ,5 x
У
1
y  log 2 x
Х
1
О
Рис.3.
Х
О
4. Тригонометрические функции: y  sin x,
y  cos x,
y  tgx,
У
У
1
1


Х
Х
-1
-1
y  tgx
У

y  ctgx.

2

2
У


Х
y  ctgx

Х
Рис 4
5. Обратные
тригонометрические
y  arcsin x,
y  arccos x,
y  arctgx,
функции:
y  arcctgx.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть у= f(u) и u=(x) – промежуточный аргумент. Тогда функция
у=f((х)) называется суперпозицией (сложной функцией, функцией от функции).
Операция суперпозиции может быть взята сколь угодно раз, вложенность
промежуточных аргументов может быть больше одной.
1
3
ПРИМЕР 3. y  u ,
u  1  v, v  p 4 ,
p  cos x.
4
Получаем сложную функцию y  f (u (v( p( x )))) или y  3 1  cos x .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функция называется элементарной, если она может быть
образована из основных элементарных функций с помощью конечного числа
арифметических операций и суперпозиций.
Числовая последовательность и ее предел
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если каждому натуральному числу n  N поставлено в
соответствие некоторое действительное число, то совокупность чисел а n , n  1;2;...
называется числовой последовательностью.
По самому определению последовательность всегда содержит бесконечное множество
элементов.
Числовая последовательность может быть задана либо в «естественном» виде путем
1
 1 1 1 

; ; ; ... , либо формулой ее n-го члена  а n   .
n
 2 3 4 

перечисления ее элементов 1;
Очевидно, что числовая последовательность является частным случаем функции, а
именно, функции натурального аргумента: a n  f n , n  N .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число А называется пределом числовой последовательности
а n , если для любого сколь угодно малого   0 найдется такой номер n , что для всех
номеров n> n выполняется условие
an  A   .
При этом записывают lim a n  A .
n
Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. В
противном случае последовательность расходится.
Простейшие свойства предела последовательности:
1.
Числовая последовательность может иметь только один предел, конечный или
бесконечный определенного знака.
2.
Если числовые последовательности a n , bn , c n связаны соотношением
a n  b n  c n и существует lim a n  lim c n  A , то существует и lim bn  A .
n
n
n
3.
Всякая сходящаяся последовательность ограничена сверху (снизу) и имеет
точную верхнюю (нижнюю) грань, supa n  inf a n  .
4.
Если последовательности
a 
и
b 
n
сходятся, то сходится и
a 
и
b 
сходятся, то сходится и
n
последовательность a n  bn , причем
lim a n  bn   lim a n  lim bn .
n
5.
n 
n
Если последовательности
n
n
последовательность a n  b n  и
lim a n  bn   lim a n  lim bn .
n
6.
n 
n 
 an 
 , причем
 bn 
Если a n  и bn  сходятся и lim bn  0 , то сходится и 
n
an 
lim
a n : lim
b .
   lim
n
n
n n
b
 n
Предел функции. Основные свойства пределов. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины. Замечательные пределы
Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к
некоторому значению а (ха) или к бесконечности.
Любой интервал (c,d), содержащий точку а называется окрестностью точки а: c<a<d.
Множество значений х, удовлетворяющих условию
х  а   ,   0 или
a    x  a   , называется  -окрестностью точки а. Точка а является центром,  радиусом.
Пусть x  X , точка а необязательно принадлежит множеству Х, но в любой сколь
угодно малой  -окрестности а найдется хотя бы одна точка x  X . Тогда говорят, что х
стремится к а (ха). Будем рассматривать также случаи х  , х   . Это означает,
что для любого, сколь угодно большого А найдутся значения x  X такие, что х  A.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть функция y=f(x) определена на некотором множестве Х, для
точек которого определено понятие ха. Функция y=f(x) имеет конечный предел b (yb),
если для любого сколь угодно малого числа  >0 найдется такое    0 , что для всех х,
удовлетворяющих условию 0  x  a    выполняется неравенство f ( x)  b   .
Если b есть предел функции f(x) при ха, то пишут
lim f ( x )  b.
x a
ЗАМЕЧАНИЕ 1.Если f(x) стремится к пределу b, при ха так, что х принимает
только значения , меньшие а, то пишут lim f ( x)  b1  f ( a  0) и называют b1 пределом
x a 0
функции f(x) в точке х=а слева.
Если х принимает только значения, большие а, то пишут lim f ( x)  b2  f ( a  0)
x a 0
и называют b2 пределом функции f(x)в точке х=а справа.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для существования предела функции при ха не требуется, чтобы
функция была определена в точке х=а.
x2  4
ПРИМЕР 1. lim
 4 , хотя функция не определена при х=2. Это следует из
x2
x2
х2  4
того, что при х  2
 х  2 и lim  x  2   4 .
x2
х2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция f(x) стремится к пределу b при х  , если для любого
сколь угодно малого   0 найдется такое A>0, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству х  A будет выполняться неравенство f ( X )  b   . Символически это
записывается так:
lim f ( x )  b или
x
lim f ( x)  b.
x  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функция f(x) стремится к бесконечности при ха, т.е. является
бесконечно большой (б.б.ф.) при ха, если для каждого сколь угодно большого М>0 можно
найти такое >0, что для всех значений ха, удовлетворяющих условию х  а   ,
справедливо неравенство
записывают
f ( x)  M . В этом случае предел не существует, но условно
lim f ( x)   или lim f ( x)  .
x а
xа
ПРИМЕР 2.
lim
x 20
4
 ;
x2
lim
x2 0
4
 .
x2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функция =а(х) называется бесконечно малой при ха или при
х  , если
lim  ( x )  0 или lim  ( x)  0.
x а
x 
   х  1 бесконечно малая (б.м.ф.) при х1, так как
1
1
lim   0 . Функция   б.м.ф. при x   , так как lim
 0.
x
x 1
x
x
2
ПРИМЕР 3. Функция
Свойства б.м.ф. устанавливаются следующими теоремами.
ТЕОРЕМА 1. Если функция y=f(x) при ха  х    может быть представлена в
виде суммы постоянного числа b и б.м.ф. : y=b+, то
lim у  b или lim y  b.
x а
x 
Справедливо и обратное: из уb следует y=b+.
ПРИМЕР 4. y 

2x  3
3
при x   может быть представлена y  2  , где
x
x
3
- б.м.ф.
x
Следовательно, lim y  2 .
x
ТЕОРЕМА 2. Если  - б.м.ф. и 0, то

1
- б.б.ф. И обратно: если  - б.б.ф., то 

- б.м.ф.
ПРИМЕР 5.  
5
при x   является б.м.ф.
х
1 х
1
   , т.е.
- б.б.ф.
 5

ТЕОРЕМА 3. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций есть
б.м.ф.
ТЕОРЕМА 4. Произведение ограниченной функции на б.м.ф. есть б.м.ф.
ПРИМЕР 6. f ( x )  sin x - ограниченная функция.
1
при x   является б.м.ф.
х2
sin x
f ( x )    2 - б.м.ф.
x

ТЕОРЕМА 5. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой
не равен нулю, есть б.м.ф.
Основные свойства пределов
Будем считать, что пределы функций, указанные ниже, существуют.
ТЕОРЕМА 6. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен
алгебраической сумме пределов этих функций:
lim U 1  U 2  ...  U k   lim U 1  lim U 2  ...  lim U k .
x a
xa
xa
x a
ТЕОРЕМА 7. Предел произведения конечного числа функций равен произведению
пределов этих функций:
lim U 1  U 2  ...  U k   lim U 1  lim U 2  ...  lim U k .
x a
xa
xa
xa
ТЕОРЕМА 8. Предел частного двух функций равен частному пределов при условии, что
предел знаменателя не равен нулю:
U
U lim
 xa .
x a
V lim V
lim
xa
ТЕОРЕМА 9. Если значения трех функций в некоторой окрестности точки а связаны
соотношением U ( x)  Z ( x)  V ( x ) и при этом
lim U ( x)  lim V ( x )  b , то lim Z ( x)  b .
x a
x a
x a
Замечательные пределы
Первый
замечательный
предел
имеет
вид
lim
x 0
sin x
1
x
и
устанавливает
эквивалентность sinx и х, т. е. sinxx в окрестности точки х=0. Здесь х измеряется в
радианах. Если (х) есть б.м.ф. в точке х=а, то lim
x 0
sin  ( х )
 1.
 ( x)
ПРИМЕР 7.
sin 5 x
sin 5 x 5 х
5x 5
 lim


1

lim
 .
x 0
x0
3x
5 x 3х
3x 3
x
1

Второй замечательный предел имеет вид lim 1    e , где e2,718 –
x
x

lim
x 0

1 

иррациональное число. Если (х) – б.б.ф в точке х=а, то lim1 
x а

(
x
)


 ( x)
 e.
Логарифмы, у которых основанием является число e, называются натуральными и
записываются особым способом: lnx.
Тема 1.2. Непрерывность функции в точке и на интервале. Основные свойства непрерывных
функций.Точки разрыва. Виды точек разрыва. Устранимый разрыв
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х 0 и у 0  f ( x 0 ) .
Если аргумент, получив некоторое приращение х, примет значение х 0 +х, то и функция
получит соответствующее приращение y  f ( x 0  x )  f ( x 0 ) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х= х 0 , если она в
этой точке и в окрестности точки определена и lim y  0 .
x  0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого
интервала (a,b), то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.
Если y=f(x) определена при х=а и lim f ( x)  f ( a ) , то говорят, что f(x) непрерывна
x a 0
в точке х=а справа.
Если y=f(x) определена при х=b и lim f ( x)  f (b) , то говорят, что f(x) непрерывна
x b  0
в точке х=b слева.
Если y=f(x) непрерывна в каждой точке интервала (а,b) и непрерывна на концах
интервала соответственно справа и слева, то говорят, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b].
Свойства непрерывных функций
ТЕОРЕМА 1. Если функция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает своих
наименьшего (m) и наибольшего (М) значений на этом промежутке.
Смысл этой теоремы наглядно иллюстрирует рис.5
У
М
m
а
О
b
Х
Рис.5.
ТЕОРЕМА 2. Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает
значения разных знаков. Тогда внутри [a,b] найдется по крайней мере одна точка х=с, в
которой f(c)=0.
Геометрический смысл этой теоремы иллюстрируется на рис.6.
У
а
О
с
b
Х
ТЕОРЕМА 3. Пусть у=f(x) определена и непрерывна на [a,b]. Если f(a)f(b), то каково
бы ни было число С между f(a) и
f c   C . f(b), найдется хотя бы одна точка
с(a,b), в которой
Смысл теоремы иллюстрируется на рис.7.
Y
B
C=f(c)
C
A
a
c b
X
Точки разрыва функции
Из определений непрерывности функции у=f(x) во внутренней точке х 0 интервала (a,b)
следует, что непрерывность в точке х 0 равносильна непрерывности функции в этой точке
одновременно справа и слева, т.е.
lim f ( x )  x lim
f ( x)  f ( x 0 )
x 0
x  x0  0
0
или f ( x 0  0)  f ( x 0  0)  f ( x 0 ).
Из этих соображений видно, при каких обстоятельствах для функции f(x) в точке х 0
появляется разрыв.
Пусть существует конечный предел f ( x 0  0)  f ( x 0 ). Тогда говорят, что функция в точке
х 0 имеет разрыв первого рода справа. Аналогично для f ( x 0  0)  f ( x 0 ) имеет разрыв
первого рода слева в точке х 0 .
Если f ( x 0  0)  f ( x 0  0)  А и функция в точке х 0 не определена или
определена, но f ( x 0 )  А , то х 0 называют точкой устранимого разрыва. В этом случае
функцию в точке х 0 можно доопределить до непрерывности, присвоив ей значение в этой
точке f ( x 0 )  А .
Может случиться так, что хотя бы один из пределов f ( x 0  0) или f ( x 0  0) не
существует или равен бесконечности. В этом случае точку х 0 называют точкой разрыва
второго рода соответственно слева или справа.
1
х
ПРИМЕР 1. На рис.8 представлен график функции у  2 , где принято f(0)=0. х=0 точка разрыва первого родаУслева и она тоже точка разрыва второго рода справа.
1
Рис. 8
Х
х2  4
ПРИМЕР 2. На рис.9 представлен график функции у 
, которая в точке х=2
х2
имеет устранимый разрыв.
Устранить разрыв в точке х=2 можно, присвоив функции в этой точке значение,
равное у=4, т.е. доопределив функцию до непрерывности в этой точке.
У
2
-2
2
Рис.9.
Х
ТЕОРЕМА 4. Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение понятия функции.
2. Какие способы задания функциональной зависимости вы знаете?
3. Какие функции называются элементарными?
4. Сформулируйте определение понятия предела функции.
5. В каком случае функция называется бесконечно малой?
6. В каком случае функция называется бесконечно большой?
7. Сформулируйте основные теоремы о бесконечно малых.
8. Сформулируйте основные теоремы о пределах.
9. Сформулируйте первый и второй замечательные пределы.
10. Что такое приращение аргумента и функции?
11. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на промежутке.
12. Сформулируйте теоремы о непрерывных функциях.
РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 2.1. Понятие производной
Пусть мы имеем функцию у=f(х), определенную в некотором промежутке.
Пусть аргумент х получил приращение х. Тогда функция получит приращение
у=f(x+x)-f(x).
Составим отношение
у f  x  x   f  x 

.
х
x
Найдем предел этого отношения при х0. Если этот предел существует, то его
называют производной данной функции f(х) в точке х 0 и обозначают f  x  . Таким образом,
по определению,
f  x   lim
x  0
y
x
или
f  x   lim
x  0
f  x  x   f  x 
.
x
Следовательно, производной данной функции у=f(х) по аргументу х называется
предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х, когда последнее
произвольным образом стремится к нулю.
В общем случае для каждого значения х производная f  x  имеет определенное
значение, т.е. производная является также функцией от х.
Наряду с обозначением f  x  для производной употребляются и другие обозначения,
например
у ,
у х, ,
dy
(читается: у штрих, у штрих по х, dy по dx).
dx
Конкретное значение производной при х=а обозначается
f a  или
у  ха .
Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием
этой функции, а функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в
этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого промежутка,
называется дифференцируемой на промежутке.
Теперь дадим важное геометрическое истолкование производной.
Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y=f(x) в
прямоугольной системе координат (рис.10).
У
М
y=f(x)
у 0  у
M0
у0

О
у

х

х0
х 0  х
Х
Рис.10
Пусть при некотором значении аргумента х 0 функция имеет значение y 0  f ( x 0 ) .
Этим значениям на кривой соответствует точка M 0 ( x 0 , y 0 ) . Дадим аргументу приращение
х 0  х на кривой соответствует точка M ( x 0  х, y 0  у ) .
Проведем секущую М 0 М и обозначим через  угол, образованный секущей с
х и новому значению
положительным направлением оси Ох. Из рисунка видим, что
tg 
y
.
x
Если теперь х0, то точка М будет перемещаться вдоль кривой, приближаясь к
М 0 . Секущая будет поворачиваться вокруг точки М 0 , а угол  будет изменяться. Если при
х0 угол  стремится к некоторому пределу , то прямая, проходящая через М 0 и
составляющая с положительным направлением оси Ох угол , будет касательной к графику
функции в точке М 0 . Нетрудно найти ее угловой коэффициент:
y
 f  x 0  .
x
Следовательно, значение производной функции f  x 0  при заданном значении
аргумента x 0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в
заданной точке x 0 .
tg  lim
tg  lim
x  0
x  0
С понятием производной функции связано понятие ее дифференциала.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции
в некоторой точке х[a,b] определяется равенством
lim
x  0
y
 f  x  .
x
По определению предела переменной можем записать
y
 f  x    ,
x
где   0 при х  0 .
Умножив все члены последнего равенства на х, получим
у  f  x   x    x .
Так как в общем случае f  x   0 , то при постоянном х и х  0 слагаемое   х
- б.м.в. более высокого порядка, чем f  x   x . Таким образом, слагаемое f  x   x
является главной частью приращения, линейной относительно х. Произведение f  x   x
называют дифференциалом функции и обозначают dy или df(x). При этом дифференциал
независимой переменной dx совпадает с ее приращением х. Тогда
dy= f  x   dx .
Из этого отношения следует, что
f  x  
dy
.
dx
Следовательно, производную
f  x  можно рассматривать как отношение
дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Из определения непрерывности и
формулы (1) следует, что функция, дифференцируемая в точке х, является в ней
непрерывной. Обратное в общем случае неверно (функция у  х в точке х=0 непрерывна,
но не дифференцируема).
При нахождении производной функции необходимо руководствоваться основными
правилами дифференцирования.
ТЕОРЕМА 1. Производная постоянной величины равна нулю, т.е. (С )   0 , если
C=const.
ТЕОРЕМА 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если
y  C  U (x ) , где C=const, то y   C  U (x ) .
ТЕОРЕМА 3. Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций
равна соответствующей сумме производных этих функций, т.е.
U  V  W   U   V   W  .
ТЕОРЕМА 4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна
произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение
первой функции на производную второй функции, т.е.
U ( x)  V ( x)   U x   V x   U x   V  x  .
ТЕОРЕМА 5. Производная дроби равна дроби, у которой знаменатель равен квадрату
знаменателя данной дроби, а числитель равен разности между произведением знаменателя
на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя

 U  x   U  x   V  x   U  x   V  x 

 
.
2
V

x



V

x



Находить производную функции по определению не всегда удобно, поэтому на
практике пользуются таблицей производных, записанных для сложных функций U=U(x):
U     U

 1
 U ;
sin U   cos U  U ;
 U  
a   a
U
e   e
U
cos U    sin U  U ;
1
 U ;
2 U
U
U
1
 U ;
cos 2 U
ctgU    12  U ;
sin U
arcsin U   1 2  U ;
1U
arccos U    1 2  U ;
1U
arcctgU    1 2  U .
1U
tgU  
ln a  U  ;
 U ;
1
 U ;
U
log a U   1  U ;
U  ln a
arctgU   1 2  U ;
1U
ln U  
Правило Лопиталя
При нахождении предела функции иногда приходится иметь дело с выражением вида
0
 0  , которое принято называть неопределенностью. «Раскрытию» этой неопределенности
(освобождению от нее) и служит правило Лопиталя.
Пусть функции f(x) и (х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности
точки а и обращаются в нуль в этой точке, т.е. f(a)=0 и (а)=0.
Отношение
f x
не определено при х=а, но имеет вполне определенный смысл при
 x 
х  а. Следовательно, может быть поставлен вопрос о нахождении предела этого отношения
при ха.
ТЕОРЕМА (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ). Пусть функции f(x) и (х) определены и
дифференцируемы в некоторой окрестности точки а и обращаются в нуль в этой точке, т.е.
f(a)=0 и (а)=0 и   х   0 в указанной окрестности; тогда, если существует предел
отношения
f  x 
f ( x)
f ( x)
f ( x)
при ха, то существует и lim
, причем lim

lim
.
x a
x a
  x 
 ( x)
 ( x ) x  a  ( x )
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Теорема имеет место и в том случае, если f(x) и (х) не определены
при х=а, но
lim f  x   0, lim   x   0.
x a
xa
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если f a    a   0 и f  x  и
  x  удовлетворяют условиям
f  x 
для f  x  и   x  , то применяя правило Лопиталя к отношению
, приходим к
  x 
формуле
lim
x a
ЗАМЕЧАНИЕ
lim f  x   0,
x
Правило Лопиталя применимо и в том случае,
lim   x   0 , а так же для односторонних пределов при ха0.
x
3.
f ( x )
f ( x)
 lim
и т.д.
 ( x) x  a  ( x )
если
ЗАМЕЧАНИЕ 4. Правило Лопиталя применимо для вычисления предела отношения
бесконечно больших функций, т.е. если lim f  x   , lim   x   . Такой предел
x a
xa
 
называют неопределенностью вида  .
 
ПРИМЕР 1.
lim
x 1
x  1 0
1
    lim
 1.
ln x  0  x 1 1
x
ПРИМЕР 2.
1 2
  
x
x  lim   1   .
lim


lim


x 0  0
x0
ln x     x 0  0 1
 x
x
1
Производные высших порядков
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a,b]. Как отмечалось
выше, f  x  представляет собой тоже функцию от х. Дифференцируя эту функцию, мы
получаем так называемую вторую производную от функции f(x).
Производная от первой производной называется производной второго порядка или
второй производной первоначальной функции и обозначается символом у  или f  x  .

y    y   f  x  .
5
Так, например, если y  x , то
y   5x 4 ;

y   5 x 4   20 x 3 .
Производная от второй производной называется производной третьего порядка или
третьей производной и обозначается у  или f  x  .
Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первого
порядка) от производной (n-1)-го порядка и обозначается символом
у  n  или f  n   x  .
Порядок производной берется в скобки, чтобы его нельзя было принять за показатель
степени.
Производные четвертого, пятого и высших порядков обозначаются также с помощью
IV
V
VI
римских цифр: у , y , y ,... В этом случае порядок производной пишется без скобок.
y  x 5 , то у   5х 4 ,
 120, у 6   у 7   ...  0 .
Например, если
y V  y 5 
у   20х 3 ,
у   60х 2 ,
у IV  y 4   120 x ,
Контрольные вопросы
1.
Сформулируйте определение производной.
2.
Каков геометрический смысл производной?
3.
Что называется касательной к кривой? Как составить уравнение касательной к
графику функции?
4.
Сформулируйте правила дифференцирования функций и напишите таблицу
производных основных функций.
5.
Что называется дифференциалом функции и дифференциалом независимой
переменной?
6.
Каков геометрический смысл дифференциала функции?
7.
Чем отличается дифференциал функции от ее приращения?
Тестовые задания
Найти производные функций:
1. y 
3 x 2  x  e sin x  cos x ;
6x  1
Ответ: y  
2
2 3x  x
 e sin x  cos 2 x  e sin x  sin x  .
2. y  arctgx 3 x ;
Ответ: y  
1
3
.

1  3x 2 3x
Тема 2.2. Исследование функции с помощью производной
Понятие производной позволяет исследовать поведение функции, не имея перед собой
графика этой функции. Более того, исследование с помощью производной позволяет
нарисовать эскиз графика функции. Рассмотрим сначала, как производная позволяет
выяснить характер изменения функции, т.е. ее убывание и возрастание.
ТЕОРЕМА 1. 1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b], не
убывает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f  x   0 .
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке
(a, b), причем f  x   0 для a<x<b, то эта функция возрастает на [a, b].
Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируемой) функции.
Таким образом, чтобы найти промежутки возрастания (убывания) функции f(x),
нужно решить неравенство f  x   0  f  x   0  .
4
ПРИМЕР 1. Найти области убывания и возрастания функции y  x .
3
РЕШЕНИЕ. y   4x . Решаем неравенство
4 x 3  0; x  0, т.е. х(0;) – область возрастания функции.
4 x 3  0; x  0, т.е. х(-;0) – область убывания функции.
Все это наглядно представлено на рис.11 в виде графика функции.
У
О
Рис. 11
Перейдем теперь к исследованию функции на экстремум.
Х
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1.
Функция
f(x)
максимум
имеет
в
точке
х  х1 , если
f  x1  x   f  x1  при любых х, достаточно малых по абсолютной величине.
Функция f(x) имеет минимум в точке х  х1 , если f  x1  x   f  x1  при любых
х, достаточно малых по абсолютной величине.
Точки x1 в определении 1 называются точками локального максимума и минимума
соответственно. Общее название – точки экстремума функции.
На рис12.
Функция в точке х1 имеет максимум, а в точке х 2 - минимум.
У
О
a
х1
х2
Рис.12.
х3
b
Х
Не следует думать, что максимум и минимум функции на отрезке являются
соответственно ее наибольшим и наименьшим значениями на этом отрезке.
Так, на рис.13 изображена функция, определенная на отрезке [a, b], которая
при x  x1 и x  x 3 имеет максимум (max),
при x  x 2 и x  x 4 имеет минимум (min),
но min функции при x  x 4 больше max функции при при x  x1 . При x  b
значение функции больше любого max функции на рассматриваемом отрезке.
Y
O
a х1
х2
х3
х4
b
X
Рис.13
Максимум и минимум функции называют экстремумами или экстремальными
значениями функции.
Укажем теперь метод нахождения экстремумов.
ТЕОРЕМА 2. (Необходимое условие существования экстремума.) Если
дифференцируемая функция y  f (x) имеет в точке x  x 0 max или min, то ее
производная в этой точке обращается в нуль, т.е. f  x 0   0 , а касательная к графику в
точке  х 0 , у 0  параллельна оси абсцисс (рис. 14).
f  x 0   0
У
М
у0
Рис. 14.
О
Х
х0
В точках из области определения функции, в которых f  x 0  не существует, функция также
может иметь экстремум (рис. 15).
У
y  3 x2
О
f 0  не существует
Х
Рис. 15.
Точки из области определения функции, в которых f  x 0   0 или f  x 0  не существует,
называются стационарными точками соответственно 1-го и 2-го рода.
Исследование стационарных точек на экстремум опирается на следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 3. (Достаточные условия существования экстремума.) Пусть функция f(x)
непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х1 , и дифференцируема
во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1 ). Если при переходе
слева направо через эту точку f  x  меняет знак с “+” на “”, то при х= х1 функция имеет
максимум. Если же при переходе через точку х1 слева направо f  x  меняет знак с “” на
“+”, то f(x) в точке х1 имеет минимум. Если при переходе через точку х1 знак не меняется,
то экстремума в этой точке нет (см. х 3 на рис.12).
Таким образом,
 f  x   0 при х  x1 ,
 f  x   0 при x  x1 ,
а) если 
то в точке х1 функция имеет максимум;
 f  x   0 при х  x1 ,
 f  x   0 при x  x1 ,
б) если 
то в точке х1 функция имеет минимум.
Исследование функции на экстремум в критических точках также может быть
проведено и с помощью второй производной (если она существует), что формулируется в
виде следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 4. Пусть f  x1   0 , тогда при х= х1 функция имеет максимум, если
f  x1   0 , и минимум, если f  x1   0 .
ПРИМЕР 2. Исследовать на экстремум функцию
1
y   x 3  2 x 2  3 x  1.
3
РЕШЕНИЕ.
1) Находим первую производную
y   x 2  4 x  3.
2) Находим критические точки, решая уравнение
x 2  4x  3  0
x1  1, x 2  3.
Производная всюду непрерывна. Значит, других критических точек нет.
3) Исследуем критическую точку x1  1 :
при x<1 у   0 ;
при х>1 y   0 .
Значит при переходе (слева направо) через значение х1  1 производная меняет знак с
“+” на “”. Следовательно, при х=1 функция имеет максимум, а именно
7
.
3
Исследуем вторую критическую точку x 2  3 :
при x<3 у   0 ;
при х>3 y   0 .
у max 
Значит при переходе через значение х=3 производная меняет знак с “” на “+”.
Следовательно, при х=3 функция имеет минимум, а именно
y min  1.
Рассмотрим на плоскости кривую y=f(x), являющуюся графиком дифференцируемой
функции f(x).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что кривая выпукла вверх на интервале (a,b), если все
точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Говорят, что кривая
выпукла вниз на интервале (a,b), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на
этом интервале.
Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную
выпуклостью вниз – вогнутой (рис.16, 17).
У
М
О
Х
У
Рис. 16
М
Рис.17
О
Х
Теперь установим признаки, по которым можно было бы судить о направлении
выпуклости графика на различных интервалах.
ТЕОРЕМА 1. Если во всех точках интервала (a,b) вторая производная функции f(x)
отрицательна (положительна), т.е. f  x   0  f  x   0  , то кривая y=f(x) на этом
интервале выпукла (вогнута).
3
ПРИМЕР 1. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой у  х .
РЕШЕНИЕ. Вторая производная у   6 х .
у   0 при х  0 и у   0 при х  0.
Следовательно, 0;   - интервал вогнутости, а  ;0  - интервал выпуклости
функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Точки х=а из области определения функции, разделяющие
интервалы выпуклости и вогнутости, называются точками перегиба функции.
В этих точках график функции как бы «перегибается» через касательную в точке
(а;f(а)).
Установим теперь условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.
ТЕОРЕМА 2. Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если f a   0 или
f a  не существует и при переходе через точку х=а из области определения функции
производная f  х  меняет знак, то точка х=а есть точка перегиба.
Исследование функции на наличие у нее точек перегиба аналогично исследованию ее
на экстремум с заменой в формулировках теорем у  на у  .
ТЕОРЕМА 3. (Необходимое условие существования точек перегиба.) Если
дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке х  х 0 точку перегиба, то ее вторая
производная в этой точке равна нулю или не существует.
Точки из области определения функции, в которых ее вторая производная у  равна
нулю или не существует, называются критическими точками 1-го и 2-го рода
соответственно.
ТЕОРЕМА 4. (Достаточное условие существования точек перегиба.) Пусть функция
y=f(x) дифференцируема и имеет непрерывную производную f  x  в некотором интервале,
содержащем критическую точку x 0 .Если при переходе слева направо через эту точку
f  x  меняет знак с “-“ (“+”) на “+” (“-“), то точка х  х 0 - точка перегиба. Если же при
переходе через точку х 0 f  x  не меняет знак, то точка х 0 не является точкой перегиба.
ПРИМЕР 2. Найти точки перегиба кривой y  e
РЕШЕНИЕ. 1) Находим вторую производную
2
x2
(кривая Гаусса).
y   e  x   2 x ,
y   2  e  x  2 x 2  1.
2) у  существует всюду. Решая уравнение у  =0, находим корни
2
х1  
1
1
; x2 
.
2
2
4) Исследуем полученные значения
при x  
1
1
и x
имеем у  >0,
2
2
при x  
1
1
и x
имеем у  <0.
2
2
Следовательно,
 1 1 
;

 - интервал выпуклости,
2 2

1   1


;   - интервалы вогнутости, а точки
  ;
и 
2  2 

х1  
1
2
и
1
- точки перегиба.
2
x2 
ПРИМЕР 3. Исследовать на точки перегиба кривую y  3 x  1 .
РЕШЕНИЕ. 1) Находим вторую производную
2
1
y     x  1 3 ,
3
5
2
y      x  1 3 .
9
2) y   0 при любых х, но при х=1 она не существует.
3) Исследуем точку х=1:
при x<1 у   0 - кривая вогнута;
при x>1 y   0 - кривая выпукла.
Следовательно, х=1 – точка перегиба. График этой функции представлен на рис.18.
У
Рис.18
О
-1
1
Х
Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные
Часто приходится исследовать форму кривой y=f(x) при неограниченном возрастании (по
модулю) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты
одновременно. При этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая
кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность неограниченно приближается
к некоторой прямой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние d от
переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность
стремится к нулю (рис. 19 и 20).
У
Рис.19
О
Х
У
М

О
Х
Рис.20.
Различают вертикальные и наклонные асимптоты.
Вертикальные асимптоты
Если lim f ( x)   или lim f ( x )   , то прямая х=а – асимптота кривой y=f(x); и
x a  0
x a 0
обратно, если прямая х=а – асимптота, то выполняется одно или оба из написанных
равенств.
Вертикальные асимптоты, как правило, проходят через точки на оси абсцисс, в которых
функция не определена. Это точки разрыва второго рода.
2
имеет вертикальную асимптоту х=5, так как
х5
2
2
lim


и
lim
 .
x 5  0
x 5  0
x5
x5
ПРИМЕР 1. Кривая у 
У
О
5
Х
Рис.21.
1
x
1
x
ПРИМЕР 2. Кривая y  e имеет асимптоту х=0 справа, так как lim e   . Слева
x 0  0
1
x
прямая х=0 асимптотой не является, так как lim e  0 .
x 0  0
У
1
О
Х
Рис. 22
Наклонные асимптоты
Прежде всего нужно сказать, что если область определения функции ограниченное
множество, то такая функция наклонных асимптот иметь не может. Например, функция
y  ln 1  x 2 , область определения которой (-1;1), наклонных асимптот не имеет.


Так как асимптота – прямая линия, то ее уравнение ищем в виде y=kx+b, где
f x 
 f  x   kx .
, b  xlim
 
x
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Пределы функции при x   и x   могут не совпадать, т.е.
k  xlim
 
правая и левая наклонные асимптоты могут быть разными.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если предел для k не существует, то делаем вывод об отсутствии
соответствующей наклонной асимптоты и предел для b не вычисляем. Если же k
существует, то переходим к вычислению предела b и из его наличия делаем вывод о
наличии асимптоты.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных при
k=0, т.е. y=b. Например, на рис.21 у=0, а на рис.22 у=1 являются горизонтальными
асимптотами.
x3
ПРИМЕР 3. Найти асимптоты функции y  2
.
x 1
РЕШЕНИЕ. Так как функция определена повсюду, т.е. для любых значений х, то
вертикальных асимптот она не имеет.
Наклонные асимптоты у нее могут быть, так как область определения не ограничена:
х   ;   .
Находим
x3
x2
2x
k  xlim

lim

lim
 1.
2
2
 
x  1  x x  x  1 x  2 x
x3
x
1
b  xlim
(

1

x
)

lim

lim
 0.
 
x  
x2  1
x 2  1 x   2 x
Следовательно, правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение у=1х+0, т.е. у=х
(рис.23).
У
Х
Рис.23.
Схема исследования функции при построении ее графика
При исследовании функции рекомендуется придерживаться следующего плана:
1. Нахождение области определения функции.
2. Исследование поведения функции на концах области определения. Вертикальные
асимптоты. Наклонные асимптоты.
3. Четность функции.
4. Периодичность функции.
5. Исследование функции на монотонность и экстремум.
6. Исследование функции на выпуклость и вогнутость, точки перегиба.
7. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.
8. Поиск дополнительных точек графика.
9. Построение графика.
Реализацию этого плана рассмотрим на примере.
3
2
ПРИМЕР 4. Исследовать функцию у  х  6 х  9 х  4 и построить ее график.
РЕШЕНИЕ.
1. Область определения х   ;   , т.е. функция определена всюду.
2. Вертикальных асимптот нет, так как х  R .
Находим наклонные асимптоты.
x 3  6x 2  9x  4
k  xlim
 ,
 
x
а это означает, что наклонных асимптот у графика нет.
Находим пределы функции при x  
lim x 3  6 x 2  9 x  4    ,
x  
lim x 3  6 x 2  9 x  4    .
x
Так как функция определена на всей числовой оси, то два последних предела говорят, что
область изменения функции  ;   .
3. Функция общего вида, так как
f  x   f  x  и
f  x    f  x  .
4. Функция периодичностью не обладает.
5. Находим первую производную функции
у   3 х 2  12 х  9 .
2
Решая уравнение 3 х  12 х  9  0 , получаем две критические точки х1  3 и
х 2  1 . Других критических точек нет, так как у  определена всюду.
Результаты исследования на монотонность и экстремум оформляем в виде таблицы
х
 ;3
-3
 3;1
-1
 1;  
у
+
0
-
0
+
у
возрастает
4
убывает
0
возрастает
max
min
6. Находим вторую производную функции
у   6 х  12 .
Решая уравнение 6 х  12  0 , получаем критическую точку х=-2. Других критических
точек нет, так как у  определена всюду.
Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы
x
 ;2 
-2
 2;  
у 
-
0
+
y
выпукла
2
вогнута
перегиб
7. Учитывая непрерывность функции на R и результаты исследования п.2, видим,
что значения функции заполняют промежуток у   ;   .
8. Находим пересечение графика с осью Оу, решая систему уравнений
 у  х 3  6 х 2  9 х  4;

х  0.

Получаем точку (0;4).
Пересечение с осью Ох получаем, решая систему уравнений
 у  х 3  6 х 2  9 х  4;

у  0.

3
2
Решение системы сводится к решению уравнения х  6 х  9 х  4  0 .
Ищем корень среди целых делителей свободного члена уравнения:  1;
подставляя их поочередно в уравнение.
 2;  4 ,
Таким корнем оказывается х1  1.
3
2
2
Делим выражение х  6 х  9 х  4 на (х+1), получая в частном х  5 х  4 .
Остается найти корни уравнения
х 2  5х  4  0 .
Эти корни х 2  1 ; х 3  4 .
Таким образом, кривая пересекается с осью Ох в точках (-1;0) и (-4;0).
9. Необходимости в дополнительных точках нет.
10. Строим график в соответствии с результатами исследования.
У
4
-4
-3
-2
-1
Рис.24
Х
Контрольные вопросы
1. В чем заключается правило Лопиталя? Перечислите основные типы
неопределенности, для раскрытия которых может быть применено правило
Лопиталя.
2. Каковы признаки возрастания и убывания функции?
3. Что называется экстремумом функции?
4. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой?
5. Дайте определение асимптот функции. Назовите типы асимптот и методы
нахождения их уравнений.
6. Приведите порядок исследования функции и построения ее графика.
Тестовые задания
Найти экстремумы функций:
1. y 
x
1
; Ответ: y min  1   ;
2
1 x
2
2
2. y  x  e
x
; Ответ: y min 0   0;
1
 e
1
y max 1  .
2
y max 2   4  e 2 .
1
e
3. y  x  ln x ; Ответ: y min     .
Найти точки перегиба:
1. y  x  7 x  1; Ответ: 0; 1 .
7
2. y  x  e
2x
 1; Ответ:  1; 1  e 2 .
Найти асимптоты:
1. y  5
x
; Ответ: x  2;
x2


2. y  x  ln  e 
y  1.
1
1
; Ответ: x   ;
x
e
3. y  2 x  arctgx; Ответ: y  2 x 
1
yx .
e


; y  2x  .
2
2
РАЗДЕЛ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 3.1. Неопределенный интеграл.
Интегрированием называется операция, обратная дифференцированию. Пусть задана
функция f  x  . Спрашивается: какова функция Φ x  , производная которой равна f  x  ,
т.е.
dΦ x 
 f x ?
dx
Операция нахождения такой функции Φ x  по заданной функции f  x  называется
интегрированием, а сама функция Φ x  – первообразной. Пусть
произвольная
постоянная.
Тогда,
dΦ x 
 f x  , а C –
dx
как
известно,
d
Φ x   C   dΦ x   dC  f  x   0  f  x . Из этого следует, что: 1) Φ x  +С – тоже
dx
dx
dx
первообразная, т.е. что первообразных бесконечно много; 2) две первообразные Φ1  x  и
Φ 2  x  могут отличаться друг от друга только на аддитивную константу C.
Совокупность всех первообразных
функции f  x  называют неопределенным
интегралом, а операцию интегрирования обозначают в виде  f  x dx . Если под F  x 
понимать неопределенный интеграл (т.е. совокупность всех первообразных), то
F  x    f  x dx = Φ x  + С,
где f  x  – называют подынтегральной функцией, а
x – переменной интегрирования.
Заметим также, что дифференциал dF  x   f  x dx . Поэтому неопределенным интегралом
можно также называть такую функцию F  x  , дифференциал которой равен f  x dx .
Для всякой ли функции f  x  существует первообразная?
ТЕОРЕМА (существования). Если функция f  x  непрерывна на отрезке a  x  b ,
то она имеет первообразную на этом отрезке (а значит и неопределенный интеграл).
Как найти неопределенный интеграл?
Общего ответа на этот вопрос не существует, т.е. нет правила или совокупности
правил, позволяющих найти интеграл от любой элементарной функции. Более того, интеграл
от элементарной функции не всегда выражается через элементарные функции. Например,
x2
таким интегралом
является
 e dx . Ниже мы рассмотрим различные способы
интегрирования, использующие как общие свойства неопределенного интеграла, так и
свойства конкретных подынтегральных функций f  x  .
Табличные интегралы
Читателю уже известны «табличные» производные – таблица основных производных.
Она построена по принципу:
dΦ x 
 f  x  – т.е. слева дана функция, а справа – ее
dx
производная. Если это равенство «прочитать» справа налево, т.е. записать в форме
 f  x dx = Φ x  + С, то мы получим «табличные» интегралы – таблицу основных
интегралов. Она имеет вид:
x n 1
 x dx  n  1  C
( n  1)
dx
 x  ln x  C
n
ax
 a dx  ln a  C
x
 cos xdx  sin x  C
 ctgxdx  ln sin x  C
(7)
dx
x
(9)

1
x
 arctg  C (10)
a
a
a x
dx
1
xa
 2 2  2a ln x  a  C (11)
x a
dx
x
 2 2  arcsin a  C (12)
a x

(4)
(6)
(8)


(5)
 tgxdx   ln cos x  C
x


 cos x  ln tg  2  4   C
(2)
(3)
 sin xdx   cos x  C
dx
 sin x  ln tg 2  C
(1)

….
dx
2
dx
2
x a
2
2
 ln x  x 2  a 2  C
1
ax
ax
 e dx  a e + С
(13)
(14)
Для того, чтобы успешно интегрировать, табличные интегралы и табличные
производные следует помнить наизусть. Расширить класс функций, которые мы умеем
интегрировать, нам помогут
Основные свойства неопределенного интеграла
1-е СВОЙСТВО. Пусть а – константа. Тогда
 af  x dx  a  f  x dx
.
(15)
Т.е. постоянный множитель а можно выносить за знак интеграла. Другими словами:
можно либо искать первообразную непосредственно функции
af  x  , либо найти
первообразную функции f  x  и результат умножить на а.
x5
ПРИМЕР 1.  5 x dx  5  x dx  5
 C  x5  C .
5
4
Интеграл  x dx – табличный – см. (1). При этом n=4 .
4
4
2-е СВОЙСТВО.
  f1  x   f 2  x dx   f1  x dx   f 2  x dx .
(16)
Т.е. интеграл от суммы (разности) двух функций f1  x  и f 2  x  равен сумме (разности)
интегралов от каждой функции. Другими словами: можно либо искать первообразную
непосредственно от функции  f1  x   f 2  x , либо найти первообразные от функций f1  x  и
f 2  x  и их сложить (вычесть).
ПРИМЕР 2.
 x
4
5
x
 cos x dx   x dx   cos xdx 
 sin x  C.
5
4
Интеграл  cos xdx – табличный – см. (4).
ЗАМЕЧАНИЕ. Произвольная постоянная после вычисления каждого интеграла не
ставится. Обычно все постоянные суммируются и результат суммирования С записывается
в окончательный ответ.
2-е свойство справедливо для алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых.
Пусть  и  какие-то постоянные (числа). Непосредственным следствием 1-го и 2-го
свойств является равенство
(17)
 f1  x   f 2  x dx    f1  x dx    f 2  x dx .
4
4
5
ПРИМЕР 3.  (5 x  3 cos x) dx  5  x dx  3 cos xdx  x  3 sin x  C .
Выражение (17) справедливо для любого конечного числа слагаемых.
Найти искомый интеграл иногда позволяет
Интегрирование по частям
Пусть u и v – какие-то заданные функции x , а du и dv – их дифференциалы.
Существует следующее соотношение:
(18)
 udv  uv   vdu .
Соотношение (18) называют формулой интегрирования по частям . Основная идея
при использовании формулы (18) состоит в следующем. Пусть необходимо найти интеграл
 f  x dx . Подынтегральное выражение в этом интеграле можно множеством способов
представить в виде произведения некоторой функции u на дифференциал dv другой
функции v , т.е. f  x dx  udv. Пусть конкретные функции u и v нами выбраны. Тогда
 f  x dx   udv  uv   vdu .
Если функции u и v выбраны удачно, то интеграл
проще исходного или совпадает с табличным.
(19)
 vdu
в правой части (19)
x
x
x
ПРИМЕР 4. Найдем  xe dx. Полагаем u  x, dv  e dx . Тогда v  e , du  dx ,
x
x
x
x
x
 xe dx  xe   e dx xe  e  C .
а
ЗАМЕЧАНИЕ 1. 1. Для того, чтобы фактически произвести интегрирование по
частям, нужно не только представить f  x dx  udv , но и знать v.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Рассмотрим другой вариант представления
интеграле
x
 xe dx. Пусть
u  ex ,
dv  xdx .
Тогда
v
x2
,
2
f  x dx  udv
в
du  e x dx ,
а
x2e x
x2 x
 xe dx  2   2 e dx . В этом случае интеграл  vdu ничуть не проще исходного.
x
Выбор функций u и v неудачен.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Не для всякой подынтегральной функции f  x  интегрирование по
частям приводит к успеху.
Рассмотрим несколько примеров успешного интегрирования по частям.
dv  sin x 
 ux
=  x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C .
v   cos x 

dv  cos xdx
 ux
 x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C .
 x cos xdx  du  dx
v  sin x 

 u  ln x
dv  x n dx 
n
x n 1  
 ln x x dx  du  dx

v
x
n 1 

 x sin xdx  du  dx
 ln x 
x n 1
x n 1 1
x n 1
x n 1

dx  ln x 

 C,
n 1
n 1 x
n  1 n  1 2
n  1
Иногда для получения результата нужно провести интегрирование по частям
несколько раз.
ПРИМЕР 5.
 u  x2
 u  2x
dv  e x dx 
dv  e x dx 
2 x
x
 x e   2 xe dx  

 x e dx  du  2 xdx
v  e x 
v  e x 

du  2dx
 x 2 e x  2 xe x  2  e x dx  x 2 e x  2 xe x  2e x  C .
2 x


Мощным способом интегрирования является
Интегрирование методом замены переменной
Этот метод имеет два варианта: а) метод подстановки; б) метод подведения под знак
дифференциала.
A) Метод подстановки
Пусть требуется найти интеграл
 f  x dx . Произведем в подынтегральном
выражении замену переменной интегрирования x , положив
x     ,
dx    d ,
(20)
   ,    – непрерывные функции, причем x     имеет обратную функцию
    x  (значок  означает производную). Подставляя (20) в интеграл  f  x dx ,
где
получим
 f  x dx =  f     d ,
(21)
 ) в правой части равенства (21) имеет другой вид
Подынтегральная функция (от
f  x  . Если замена x     выбрана удачно, то интеграл в правой части (21)
проще исходного или совпадает с табличным. Пусть его первообразной является Φ  , т.е.
(22)
 f     d = Φ  + С.
Возвращаясь к переменной x , т.е. подставляя в правую часть (22)     x  , находим
нежели
первообразную исходного интеграла:
 f  x dx = Φ  x   C .
ПРИМЕР 6. Найти

sin 3 x
3
x
2
(23)
x   3.
dx . Произведем замену (подстановку)
2
Следовательно
dx  3 d . Подставляя оба этих выражения в подынтегральное
выражение, последовательно получаем

sin 3 x
3
x2
dx  
Последнее потому, что
3 2 sin 
d  3 sin d  3 cos  C  3 cos 3 x  C .
2

 3 x.
Б) Подведение под знак дифференциала
Часто целесообразнее делать замену не в виде x    
(как выше), а в виде
   x  .
Основная
идея.
Представим
подынтегральное
выражение
f  x dx
в
виде
f  x dx = g   x   x dx , где   x  – некоторая подобранная нами функция, т.е.
(24)
 f  x dx   g   x   x dx   g   x d  x  .
Произведем в (24) замену     x  , d    x dx . Это приводит к выражению
(25)
 f  x dx =  g  d .
Если выбор функции   x  произведен удачно, то интеграл в правой части (25) проще
исходного или табличный. Пусть его первообразной является P   , т.е.
(26)
 g  d = P   + С.
Возвращаясь к исходной переменной, т.е. подставляя в правую часть (26)     x  , находим
первообразную исходного интеграла:
 f  x dx = P  x   C .
ПРИМЕР 7. Найти
=3 ,
n
dx
  ln x    x
, где
(27)
 и  – какие-то числа (например, 
 =2) и постоянная n  1, а в остальном произвольная.
В качестве
  x  возьмем   x  =  ln x    . Тогда d  x  =  x dx  
Следовательно исходный интеграл можно представить в виде:
dx
.
x
 ln x   n dx  1   x n  x dx  1   x n d  x  .



x


Производя в правой части замену     x  , d    x dx  d  x  , получаем:
 ln x   n dx  1  n d  1  n 1  C   ln x   n 1  C .


x

 n 1
 n  1
ЗАМЕЧАНИЕ. Фактически выше была произведена замена    ln x    , так как
мы положили
    x  =  ln x    . Поэтому необязательно было явно выписывать
1
 x n  x dx .


интеграл
Главное «увидеть» функцию
подынтегральной функции. Ниже так и будем поступать.
С другой стороны аналогичным образом (заменой
n
   x    x dx
=
  x n 1  C , где
n 1
 x
в структуре
    x  ) можно показать, что
  x  – любая функция, для которой интеграл
существует.
ПРИМЕР8.Найти

x n 1
a 2  x 2n
n
dx , где а и n любые постоянные.
Произведем замену   x , d  nx

x n 1
a 2  x 2n
dx =
ПРИМЕР 9.Найти
произвольна;
d
. В результате имеем:
n
11

1
xn
=
arctg  C =
arctg
C .
n
a
n
a
n 1
1
d

n 2  2
dx . Отсюда x n 1dx 
n
  sin x    cos xdx ,
где постоянная n  1 , а в остальном
 и  – произвольные числа.
Произведем замену
d
   sin x    , d   sin x    dx   cos xdx ; cos xdx 
.

Подставляя это в исходный интеграл, имеем:
  sin x   
Интеграл
n
(28)
1 n
1  n 1

 sin x   n 1
cos xdx =   d =
C =
 C . (28)

 n 1
 n  1
включает
в
себя
множество
частных
Например  2 sin x  3 cos xdx ,– это частный случай интеграла (28) при
  3 . Проводя с ним те же преобразования, находим:
3

ПРИМЕР 10. Найти
2 sin x  3 2
2 sin x  3 cos xdx =
3
C .
3 cos x  4 sin x
 3sin x  4 cos x dx .
Произведем замену:
  3 sin x  4 cos x  ,
d  3 sin x  4 cos x  dx = 3 cos x  4 sin x dx .
случаев.
1
n  ,   2,
2
Подставляя это в исходный интеграл, имеем:
3 cos x  4 sin x
 3sin x  4 cos x dx
ПРИМЕР 11. Найти
Произведем замену:
sin
e
3
=
x
d
   ln   C
= ln 3 sin x  4 cos x  C
sin 2 x cos xdx .
  sin 3 x , d  3 sin 2 x cos xdx , sin 2 x cos xdx ==
d
.
3
Подставляя это в исходный интеграл, имеем:
sin
e
3
x
sin 2 x cos xdx =
1 
1 
1 sin 3 x
e
d


e

C

e
C.

3
3
3
Дополнительные примеры
ПРИМЕР 12.
2

 2

2
x
2
3 dx  7 2 x dx 

5
x


7

2
dx

5
x
dx

2
x





3 2
x


1
x3
3
x
=5 
 2
1
3
3
2x
+7 
C.
ln 2
ПРИМЕР 13.
x
45
2  7 x 5 dx .
Методом подведения под знак дифференциала произведем замену переменной
2  7 x 5  u . Тогда du  35 x 4 dx . Везде ниже операцию замены
 2  7x5  u 
переменной мы будем записывать следующим образом: 
4 .
du

35
x
dx 

интегрирования:
С учетом этого последовательно получаем:
x
45
5
 2  7x  u 
1
2  7 x dx = 
=


4
du  35 x dx  35
5
1
u 5 du =
6
u5
6
5
1
1

C =
2  7x2
35 6
42
5


 C.
ПРИМЕР 14.

e5 x
 2  e5 x  u  1  3
1 u 2
1
dx  
C 
5 x  =  u du  
3
5 2
du  5e dx  5
10 2  e 5 x
2  e 
5x


2
C.
ПРИМЕР 15.
 arcsin x  u 
2u
1 arcsin x
u
dx


dx
=

2
du

C 
2
C.


du

2
ln
2
ln
2


1 x
1  x2 

2 arcsin x
ПРИМЕР 16.
 x2  u  1
xdx
du
1 1
u
1
x2

  arctg  C  arctg
C .
 4
 
3
6
3
x  9 du  2 xdx  2 u 2  32 2 3
ПРИМЕР 17.
sin 9 x  u
cos 9 x
1 du
1
1


 ctg 9 xdx   sin 9 x dx  du  9 cos 9 xdx  9  u  9 ln u  C  9 ln sin 9 x  C .


ПРИМЕР 18.
2
 x ln xdx
.
Воспользуемся способом интегрирования по частям.
 u  ln x
2
 x ln xdx = du  dx
x

dv  x 2 dx  x 3
1 3 dx x 3
1
3 
ln x   x 

ln x   x 2 dx =
x
 3
v
3
x
3
3
3 
x3
1
=
ln x  x 3  C .
3
9
ПРИМЕР 19.
dv  dx,
 u  arccos 5 x,
xdx


 arccos 5xdx  du   5dx , v  x.   x arccos 5 x  5
2
1  25 x
1  25 x 2


1
1  25 x 2  q 
5 dq
1 2


x
arccos
5
x


x
arccos
5
x


 q dq 

dq


50
xdx
50
10
q


1
1
1
2
= x arccos 5 x  q 2  C = x arccos 5 x  1  25 x
5
5

1
2

C.
ПРИМЕР 20.
 u  x dv  cos 6 xdx  x sin 6 x 1
 6x  q 
 x cos 6 xdx  du  dx v  sin 6 x   6  6  sin 6 xdx  dq  6dx 




6
x sin 6 x 1
x sin 6 x cos q
x sin 6 x cos 6 x
=
  sin qdq 

C 

C .
6
36
6
36
6
36
ПРИМЕР 21.
 u  arctg 7 x dv  xdx 
x2
7 x 2 dx
2 


arctg 7 x  

x
 xarctg 7 xdx  du  7dx
2
v


2
2
49
x

1
2 

49 x 2  1
x2
7 1 49 x 2  1  1
x2
1
1
dx
=
arctg 7 x   
dx

arctg
7
x
=

dx



2
2
2 49
14
14 49 x 2  1
49 x 2  1


2
x
1
dq
 7x  q  x
= 

arctg 7 x  
=


2
2
14 14  7 q  1
dq  7dx 
x2
x
1

arctg 7 x   arctgq +С=
14 98
2
x
1
x2
=
arctg 7 x   arctg 7 x  C .
2
14 98
Контрольные вопросы
1.
Сформулируйте определение первообразной функции.
2.
Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на
постоянное слагаемое.
3.
Что называется неопределенным интегралом?
4.
Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
5.
В чем состоит способ интегрирования по частям?
6.
В чем состоит метод замены переменной?
Тестовые задания
1. Методом замены переменной показать, что
3
3  ln x
2
dx  3  ln 7 x  2  C .

x
3
2. Методом замены переменной показать, что
4
cos 4 xdx
5




3

7
sin
4
x
5 C .
5
112
3  7 sin 4 x
3. Методом замены переменной показать, что

x9
4 x
10
dx 
1
ln 4  x10  C .
10


4. Методом интегрирования по частям показать, что
 xe
5x
xe 5 x e 5 x
dx  

C.
5
25
Тема 2.3. Определенный интеграл.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть на отрезке
a , b
(    a  b   ) задана функция
y  f  x  . Точками a  x0  x1  x2    xn 1  xn  b разделим отрезок a , b  на n
отрезков x0 , x1  , x1 , x2  , , xn 1 , xn  . На каждом из этих отрезков возьмем по одной
произвольной точке:
с1  x0 , x1  , c2  x1 , x2  , , cn  xn 1 , xn  . Для каждого
отрезка xk 1 , xk  (k=1,2,…,n) составим произведение f ck Δ k значения функции f  x  в
ck на длину
выбранной точке
произведений
Δ k  xk  xk 1 этого отрезка. Сумма всех этих
S n  f c1 Δ1  f c2 Δ 2    f cn Δ n
называется интегральной суммой Римана функции f  x  .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если при стремлении наибольшей из длин Δ k
(к=1, 2 , …, n) к нулю (а значит числа n отрезков i – к бесконечности) существует
конечный предел последовательности интегральных сумм Римана функции f  x  , который
не зависит от выбора точек x1 , x2 ,, xn 1 , c1 , c2 ,, cn ,
то этот предел называется определенным от интегралом функции f  x  от
а до b и
b
 f  x dx . При этом функция f  x 
обозначается
называется интегрируемой на отрезке
a
a , b.
Геометрический смысл определенного интеграла. Если
f  x   0 на отрезке
a , b,
то
b
 f  x dx
численно равен площади криволинейной трапеции aABb (см. рис. 1).
a
b
Выражение
 f  x dx
читается так: интеграл от а до b
от функции
f  x  по dx ; x
a
называется переменной интегрирования; f  x  – подынтегральной функцией; а – нижним
пределом, b – верхним пределом интегрирования;
отрезок
a , b
– отрезком
интегрирования; f  x dx – подынтегральным выражением.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из определения определенного интеграла непосредственно следует: 1)
a
b
a
a
 f  x dx  0 ; 2)  dx  b  a (так как f  x   1 ).
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ. Любая непрерывная на a , b  функция является
интегрируемой на a , b .
Основные свойства определенного интеграла
1.
b
a
a
b
 f  x dx =   f  x dx
(если поменять местами пределы интегрирования, то интеграл меняет знак).
b
2. Пусть интеграл
 f  x dx
существует и c  ( a , b) (т.е. a  c  b) . Тогда
a
b
 f  x dx
c
b
 f  x dx   f  x dx
=
a
a
.
c
3. Пусть g – константа. Тогда
b
b
a
a
 gf  x dx  g  f  x dx
(т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).
4.
b
b
b
a
a
a
  f  x   q x dx   f  x dx +  q x dx
(т.е. интеграл от суммы равен сумме интегралов).
СЛЕДСТВИЕ. Пусть  и  – константы. Тогда
b
b
b
a
a
a
 f  x   q x dx    f  x dx    q x dx
.
(42)
Это соотношение справедливо для любого конечного числа слагаемых.
Вычисление определенного интеграла. Формула
Ньютона-Лейбница.
f  x  непрерывна на отрезке a , b . Если функция F  x  является
первообразной функции f(x) на c , d   a , b  (т.е. F  x   f  x  для всех x  c , d  ),
Пусть функция
тогда
b
b
 f  x dx = F b   F a   F  x  a
(43)
a
(напомним, что на отрезке a, b  переменная x принимает значения a  x  b а в интервале
c, d  : c  x  d ).
Формула (43) называется формулой Ньютона-Лейбница. Она является основной формулой
интегрального исчисления.
b
ЗАМЕЧАНИЕ. Запись F  x  a называется двойной подстановкой и является краткой
символической записью разности F b   F a  .
ПРИМЕР 1.
2
x4
2 4 14
3
 x dx  4  4  4  3 4 .
1
1
2
3
ПРИМЕР 2.Найти

3


4
  3 cos x  x dx .

6
РЕШЕНИЕ. Применяя формулы (42) и (43) , последовательно получаем:

3

3

3 dx


4

3
3 3
3
cos
x

dx
=
3
cos
xdx

4
=
3
sin
x

4
ln
x





 =
x
6
6 2


 x
6
6


3  1  4 ln 2 .
6
Интегрирование по частям
Для определенного интеграла справедливо следующее соотношение:
b
b
a
b
 u x dv x  u  x v x    v x du  x  ,
a
(44)
a
b
где u  x v x  a  u b vb   u a va  , а функции u  x , v x  непрерывны вместе со своими
производными на отрезке
a , b.
Соображения, по которым подынтегральная функция
f  x dx представляется в виде u  x dv x  , – такие же как и в случае неопределенного
интеграла.
ПРИМЕР 3.

2

2

 u  x dv  cos xdx 
2  sin xdx =
x
cos
xdx



x
sin
x



du  dx
0
v  sin x 
0
0






=  x sin x  0 2  cos x 0 2  sin  0 sin 0  cos  cos 0   1 .
2
2
2
2
Замена переменной в определенном интеграле
f  x  непрерывна на отрезке a , b , а
функция    определена и непрерывна вместе со своей производной    на отрезке
 ,   (        ) , причем a     , b     и множество значений функции
x     совпадает с отрезком a , b . Тогда
А) Метод подстановки. Пусть функция
b

 f  x dx =  f     d .
a
(45)

Формула (45) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. При
замене переменной в определенном интеграле, в отличие от неопределенного, не нужно
возвращаться к старой переменной, так как пределы интегрирования по новой переменной
также пересчитываются. Новые пределы интегрирования  ,  получаются из решения
следующей системы алгебраических уравнений:
 a    
b    

(46)
относительно  ,  . Если функция x=    немонотонна, то решение  ,  может быть
не единственным. Поэтому нужно выбирать такие решения системы (46), чтобы на отрезке
 ,   функция x=    была монотонна.
ПРИМЕР 4. Вычислить
r
2
2
 r  x dx .
0
РЕШЕНИЕ. Произведем замену переменной: x  r sin 
Тогда
d  r cosd .
  0 , x  r при    2 . Следовательно
Определим новые пределы: x  0 при
r
.

2

2

2
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 r  x dx =  r  r sin  r cosd  r  1  sin  cosd  r  cos d 
0

2
1  cos 2  d  r
2

sin 2  2
r2

2  0
2
2
sin 0  r
 
=r 
.
  0 
 
2
2
4




0
1  cos 2
2
В преобразованиях использовано тригонометрическое тождество: cos  
.
2
2


2 
  sin 
 2  2

Б) Подведение под знак дифференциала. Часто целесообразнее делать
замену не
в виде x     (как выше), а в виде
    x  . Представим подынтегральное выражение
f  x dx в виде f  x dx = g   x   x dx , где   x  – некоторая подобранная нами
функция, т.е.
b
b
b
a
a
a
 f  x dx   g   x   x dx   g   x d  x  .
(47)
    x  , d    x dx . Новые пределы  ,  находятся из
соотношений :    a  ,    b  . В результате получаем:
Произведем в (47) замену
b

a

 f  x dx   g  d .
(48)
ПРИМЕР 5. Вычислить
1
2
ex
2
dx .
3
x
1
1
2
РЕШЕНИЕ. Произведем замену:  
, d  
dx ;   1 при
2
x
x3

1
2
1
4
2
ex
1
1
x  2 . Это дает:  3 dx =   e d =  e
21
2
1 x
1
4
1
1
1 
 e  e4 .

2


ПРИМЕР 6. Вычислить
ln 2 x
dx .

1 x
e
dx
;
x
  0 при x  1,   1 при x  e .
РЕШЕНИЕ. Произведем замену:
Это дает:
  ln x , d 
x  1,  
1
при
4
1
1
ln 2 x
1 3
1
2
dx
=
 x
  d = 3   3 .
1
0
0
e
Применение определенного интеграла к вычислению
площадей плоских фигур
Пусть функции f1  x  и f 2  x  непрерывны на отрезке a , b  и пусть на плоскости
задана прямоугольная декартова система координат Oxy . Площадь
S плоской фигуры,
ограниченной двумя вертикальными прямыми x  a и x  b и двумя кривыми y  f1  x 
, x  a , b  ; y  f 2  x  , x  a , b  вычисляется по формуле
b
S    f 2  x   f1  x dx ,
(53)
a
где предполагается, что f 2  x   f1  x  на отрезке a , b  (см. рис. 2). В противном случае
интеграл (53) будет равен отрицательному числу, а искомая площадь равна модулю этого
числа (см. рис. 2).
Возможна и другая постановка задачи. Пусть кривые y  f1  x  и y  f 2  x 
пересекаются в двух точках с абсциссами a и b (рис. 3). Найти площадь фигуры,
заключенной между этими двумя кривыми.
Для этого сначала определяем a и b , решая следующую систему уравнений:
 y  f1  x 
 y  f x .

2
(54)
Пусть a и b b  a  – решения системы (54). Тогда искомая площадь также
определяется по формуле (53). Если между точками a и b нет других точек пересечения
(это и предполагалось выше) , то f 2  x   f1  x  на отрезке a , b , если f 2 c   f1 c  , где
c – какая-либо точка из интервала a , b  .
2
ПРИМЕР 9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y   x
и прямой y  x  2 .
РЕШЕНИЕ. Находим координаты точек пересечения параболы и прямой. Для этого
решаем систему уравнений
 y  x2

y  x  2
2
Приравнивая правые части , получаем квадратное уравнение  x  x  2 . Его решение:
x1  2 , x2  1. Следовательно y1  4 , y 2  1 и значит координаты точек
пересечения А(-2 , -4) , В(1 , -1). Точка x  0 находится между точками -2 и 1.
Подставляя x  0 в уравнение параболы, находим
y 0   0 . Для уравнения прямой
y 0   2 . Следовательно f 2  x    x 2 , f1  x   x  2 , так как f 2 0   f1 0  . Подставляя
полученные данные в формулу (53) , последовательно получаем:
1

1

2

1

2
1
1
2
2
2
S    x   x  2  dx    x  x  2 dx    x dx   xdx  2  dx 
2
2
31
x
=
3
2
x2
9
1

 2 x  2  кв. ед.
2
2
2
ПРИМЕР 10. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной параболами
y  x 2  x  1 и y  2 x 2  2 x  1.
РЕШЕНИЕ. Находим координаты точек пересечения парабол. Для этого решаем систему
уравнений
y  x2  x  1
y  2 x 2  2 x  1.
2
2
Приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение x  x  1  2 x  2 x  1 . Его
решение: x1  0 , x2  1 . Следовательно координаты точек пересечения A(0,1) , B(1,1). В
1
1
f 2    f1   . Обе
2
 2
параболы обращены выпуклостью вниз , так как коэффициенты при
x 2 у них
2
2
данном случае f 2  x   x  x  1 , f1  x   2 x  2 x  1 , так как
положительны. Подставляя полученные данные в формулу (53) , последовательно получаем:
1

2
 
2

1

2

1
2
1
S   x  x  1  2 x 2 x  1 dx    x  x dx    x dx   xdx 
0
0
0
0
1
кв. ед.
6
ЗАМЕЧАНИЕ. Иногда удобнее представить уравнение кривых, вычисляется по
формуле , аналогичной формуле (53), а именно:

S    2  y   1  y dy ,
(55)

 ,  – либо ординаты точек пересечения кривых x  1  y  и x   2  y  , либо
y   и y   – горизонтальные прямые , ограничивающие данную плоскую фигуру ,
помимо кривых x  1  y  , y   ,   и x   2  y  , y   ,  .
Предполагается , что  2  y   1  y  на отрезке  ,  .
где
Контрольные вопросы
1.
Что называется интегральной суммой Римана данной функции f  x 
на данном
отрезке a , b ?
2.
Что называется определенным интегралом данной функции f  x  на данном отрезке
a , b?
3.
Каковы основные свойства определенного интеграла?
4.
Напишите формулу Ньютона-Лейбница.
5.
В чем состоит метод замены переменной в определенном интеграле?
6.
В чем состоит метод интегрирования по частям для вычисления определенного
интеграла?
7.
Что называется интегралом с бесконечными пределами (несобственным интегралом
первого рода)?
8.
Как с помощью определенного интеграла вычисляется площадь, заключенная между
двумя кривыми?
Тестовые задания

4
1. Показать, что
dx
3
1
.
2
3
 cos x

6
1
2. Применяя интегрирование по частям, показать, что
e2
x
 xe dx  e
0
.
3. Применяя замену переменной (подведение под знак дифференциала),
показать, что:
ln 2 x
1
a) 
dx  ;
3
1 x
e
2
1
e x
b)  2 dx  e  e ;
1 x
1
xdx


.
4
8
01  x
c) 
СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
Асимптоты функции – прямая называется асимптотой кривой, если расстояние d от
переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность
стремится к нулю.
Дифференциал функции – произведение f  x   x называют дифференциалом функции и
обозначают dy или df(x). При этом дифференциал независимой переменной dx совпадает с ее
приращением х. Тогда dy= f  x   dx .
Интегральная сумма Римана –
пусть на отрезке
a , b
(   a b  )
задана
y  f  x  . Точками a  x0  x1  x2    xn 1  xn  b разделим отрезок
a , b на n отрезков x0 , x1  , x1 , x2  , , xn 1 , xn  . На каждом из этих отрезков
возьмем по одной произвольной точке: с1  x0 , x1  , c2  x1 , x2  , , cn  xn 1 , xn  .
Для каждого отрезка xk 1 , xk  (k=1,2,…,n) составим произведение f ck Δ k значения
функции f  x  в выбранной точке ck на длину Δ k  xk  xk 1 этого отрезка. Сумма всех
этих произведений S n  f c1 Δ1  f c2 Δ 2    f cn Δ n называется интегральной
суммой Римана функции f  x  .
функция
Интегрирование – интегрированием называется операция, обратная дифференцированию.
Множество – Множество — это совокупность элементов, объединенных общим
(характеристическим) свойством.
Неопределенный интеграл – совокупность всех первообразных функции f  x  называют
неопределенным интегралом, а операцию интегрирования обозначают в виде  f  x dx .
Непрерывность функции – функция y=f(x) называется непрерывной в точке х= х 0 , если она
в этой точке и в окрестности точки определена и lim y  0 .
x  0
Область определения функции
–множество значений аргумента х, для которых
существуют значения функции y, называется областью определения функции (или областью
существования функции).
Определенный интеграл – если при стремлении наибольшей из длин Δ k (к=1, 2 , …, n) к
нулю (а значит числа n отрезков i – к бесконечности) существует конечный предел
последовательности интегральных сумм Римана функции f  x  , который не зависит от
выбора точек
x1 , x2 ,, xn 1 , c1 , c2 ,, cn , то этот предел называется определенным
интегралом функции f  x  от а до b и обозначается
b
 f  x dx . При этом функция f  x 
a
называется интегрируемой на отрезке a , b .
Перегиб графика функции – пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если
f a   0 или f a  не существует и при переходе через точку х=а из области
определения функции производная f  х  меняет знак, то точка х=а есть точка перегиба.
Подынтегральная функция – если под F  x 
понимать неопределенный интеграл (т.е.
совокупность всех первообразных), то F  x    f  x dx = Φ x  + С,где f  x  – называют
подынтегральной функцией, а x – переменной интегрирования.
Последовательность числовая – если каждому натуральному числу n  N поставлено в
соответствие некоторое действительное число, то совокупность чисел а n , n  1;2;...
называется числовой последовательностью.
Предел функции – пусть функция y=f(x) определена на некотором множестве Х, для точек
которого определено понятие ха. Функция y=f(x) имеет конечный предел b (yb), если для
любого сколь угодно малого числа  >0 найдется такое    0 , что для всех х,
удовлетворяющих условию 0  x  a    выполняется неравенство f ( x)  b   . Если b
есть предел функции f(x) при ха, то пишут lim f ( x )  b.
x a
Предел числовой последовательности
– число А называется пределом числовой
последовательности а n , если для любого сколь угодно малого   0 найдется такой
номер n , что для всех номеров n> n выполняется условие
a n  A   . При этом
записывают lim a n  A
n
Производная функции – производной данной функции у=f(х) по аргументу х называется
предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х, когда последнее
произвольным образом стремится к нулю.
Схема исследования функции – при исследовании функции рекомендуется
придерживаться следующего плана:
1. Нахождение области определения функции.
2. Исследование поведения функции на концах области определения. Вертикальные
асимптоты. Наклонные асимптоты.
3. Четность функции.
4. Периодичность функции.
5. Исследование функции на монотонность и экстремум.
6. Исследование функции на выпуклость и вогнутость, точки перегиба.
7. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.
8. Поиск дополнительных точек графика.
9. Построение графика.
Таблица производных функции –
U     U

 U  
e   e
U
sin U   cos U  U ;
cos U    sin U  U ;
 U ;
1
 U ;
2 U
a   a
U
 1
U
U
1
 U ;
cos 2 U
ctgU    12  U ;
sin U
arcsin U   1 2  U ;
1U
arccos U    1 2  U ;
1U
arcctgU    1 2  U .
1U
tgU  
ln a  U  ;
 U ;
1
 U ;
U
log a U   1  U ;
U  ln a
arctgU   1 2  U ;
1U
ln U  
Табличные интегралы –
x n 1
 x dx  n  1  C
( n  1)
dx
 x  ln x  C
dx
n
a
dx



1
x

arctg
C
a
a2  x2 a
dx
1
xa
 2 2  2a ln x  a  C
x a
dx
x
 2 2  arcsin a  C
a x
x
 a dx  ln a  C
dx

 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
 ctgxdx  ln sin x  C
x


 cos x  ln tg  2  4   C
x
 tgxdx   ln cos x  C
x
 sin x  ln tg 2  C

dx
x2  a2
 ln x  x 2  a 2  C
1
ax
ax
 e dx  a e + С
Формула Ньютона-Лейбница – Пусть функция f  x  непрерывна на отрезке a , b . Если
функция F  x  является первообразной функции f(x) на c , d   a , b  (т.е. F  x   f  x 
b
для всех
b
x  c , d  ), тогда  f  x dx = F b   F a   F  x  a Формула называется
a
формулой Ньютона-Лейбница.
Функция – Если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторому множеству
вещественных чисел, соответствует единственное вещественное значение другой
переменной y, то y есть функция от х или, в символической записи, y  f ( x ), y    x  и т.п.