ЭМИТТАНС, АДМИТТАНС, ОГИБАЮЩАЯ В общем случае под эмиттансом понимают фазовый объем, который занимает пучок в шестимерном фазовом пространстве, по осям которого отложены обобщенные координаты и обобщенные импульсы. Однако, как правило, рассматривают только поперечное движение частиц пучка и исторически сложилось так, что осями являются координаты частиц и углы отклонения. Если движение в поперечных направлениях происходит независимо, то для одномерного поперечного движения частиц эмиттанс пучка есть A dydy , (3.42) где интегрирование производится по любому поперечному сечению пучка, y dy ds - наклон орбиты к реперной кривой, y=x,z. В случае отсутствия ускорения поперечный эмиттанс, как это следует из теоремы Лиувилля, сохраняется. Эмиттанс пучка приближенно равен произведению диаметра пучка на величину его углового раствора: A 2y 2 . Произведение (3.43) 2y 2 , в оговоренных выше условиях, является инвариантом, однако отношение y может быть изменено оптической ионной системой, через которую проходит пучок, как угодно. Проблема согласования пучка с установкой (ускорителем или транспортной линией) состоит в задании для пучка перед его входом в установку такого отношения y , при котором сечение пучка, при прохождении через установку, становится по возможности наименьшим. Тем самым становится возможным уменьшить поперечные размеры канала без потери интенсивности пучка внутри канала. Рис.3.2. Пучок в прямолинейном промежутке свободном от электромагнитных полей. Пусть, например, имеется канал длиной l (рис.3.2) в котором поле отсутствует (как электрическое, так и магнитное). Максимальный эмиттанс, который может быть в канале установки, называется адмитансом или аксептансом установки. Пучок будет согласован с каналом при условии y l . (3.44) В частном случае, если внутри канала частицы движутся по синусоидальным траекториям с длиной волны λ, пучок будет согласован с каналом, когда амплитуда колебаний будет равна 2 . Для вакуумной камеры полуширины a в качестве максимальных значений угла и амплитуды принимаются значения, удовлетворяющие условию max a . 2 (3.45) Следовательно, аксептанс такой камеры A 2 4a 2 . (3.46) Из (3.46) видно, что аксептанс камеры тем больше, чем меньше длина волны колебаний в этой камере, откуда следует, что для больших частот аксептанс имеет большее значение. Рассмотрим два решения уравнения Хилла y1 s и y2 s . Вронскиан, образованный из этих решений принимает постоянное значение. Далее предположим, что y1 s - действительное решение, а y2 s - одна из собственных функций уравнения Хилла, например y2 s exp i s , удовлетворяющая уравнению y2 s i y2 s . Вспоминая соотношения (3.32а) и (3.32б) и подставляя их в вронскиан получаем i y2 y1 y1 W const . (3.47) Заметим, что y2 y2* , тогда из (3.47) следует WW * y12 y1 y1 2 const . (3.48) Выражение (3.48) носит название инварианта Куранта-Снайдера. Рассмотрим последовательные положения частицы, которые она занимает, пересекая азимутальную плоскость, определяемую координатой s0, после каждого оборота в ускорителе. Совокупность этих положений представим на плоскости y , y . Обозначим s0 0 и s0 0 . Совокупность положений, которые занимает рассматриваемая частица в выбранной плоскости, удовлетворяет уравнению y 2 0 y 0 y 2 0 C. (3.49) Это уравнение эллипса с центром в начале координат, оси которого наклонены под углом к координатным осям. Координата точки эллипса вдоль оси y достигает максимального значения ymax 0C при условии 0 y 0 y 0 . Площадь эллипса S ymax y0 , где y0 - значение координаты y при y=0. В соответствии с уравнением (3.49) y0 C 0 , таким образом, площадь эллипса S C . (3.50) Теперь рассмотрим не одну частицу, а весь пучок, который пересекает выбранную нами азимутальную плоскость s0 и эмиттанс которого в фазовой плоскости y , y точно покрывает внутренность эллипса (3.50). Эмиттанс этого пучка должен равняться A C . Так как каждая точка внутри эллипса соответствует положению некоторой частицы на азимутальной плоскости; совокупность этих точек, образующаяся по мере обращения частицы в ускорителе, заполняет в фазовом пространстве некий эллипс, описываемый уравнением y 2 0 y 0 y 2 C C . 0 (3.51) Это означает, что эллипс (3.49), описывающий пучок, сохраняется а, следовательно, пучок стационарен в плоскости s0. Получается, что максимальное отклонение любой крайней траектории пучка в реальном пространстве есть наименьшее из возможных для данного эмитанса. Таким образом, пучок с эмитансом A будет согласован в плоскости s=s0, если он представлен в фазовом пространстве эллипсом y 2 0 y 0 y 0 2 A . (3.52) Огибающая согласованного пучка, заполняющего эллипс, является геометрическим местом точек траекторий с максимальным отклонением от реперной кривой, которое достигается для 0 y 0 y 0 . Огибающая пучка yсогл s , согласованного с эмиттансом A, выражается как yсогл s s A . (3.53) Важно знать максимальное значение этой огибающей, которое и определяет максимальные поперечные размеры вакуумной камеры. Огибающая достигает максимума, как это видно из (3.53), при s max . Введем так называемый «форм-фактор» пучка следующим образом F max , (3.54) где - усредненное по периметру ускорителя значение. Так как R , то для максимального значения огибающей получаем yñî ãë max ARF . (3.55) Введем в обычную магнитную систему ускорителя прямолинейный промежуток таким образом, чтобы он не влиял на огибающую пучка. Это означает, что матрица рассматриваемого промежутка может быть записана в виде sin cos sin L , sin cos sin (3.56) причем величины коэффициентов , , в крайних точках те же, что и для регулярного звена идеальной машины. Сдвиг фазы бетатронных колебаний в прямолинейной секции L – величина произвольная. Можно записать, что L I cos J sin , где J . Матрица обычного звена идеальной машины без длинных прямолинейных промежутков может быть записана как M I cos J sin . Пусть a число нормальных периодов между прямолинейными промежутками, тогда матрица секции, содержащей a нормальных периодов равна M a . Матрица суперпериода, в который входит рассматриваемый прямолинейный промежуток M s L M a I cos a J sin a . (3.57)