IХ. Игровая модель олигополии
реклама
618 Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå IX. Èãðîâàÿ ìîäåëü îëèãîïîëèè ×òî òàêîå «èãðà»?  ëåêöèè 29 ïðîöåññ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ îäíîé èç îëèãîïîëèñòè÷åñêèõ ôèðì ñðàâíèâàëñÿ ñ ðàçäóìüÿìè øàõìàòèñòà íàä î÷åðåäíûì õîäîì. Òàêîå ñðàâíåíèå íå ñëó÷àéíî. Îáå çàäà÷è îòíîñÿòñÿ ê ñèòóàöèÿì, êîòîðûå íàçûâàþò èãðîâûìè è êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïðåäìåòîì òåîðèè èãð ðàçäåëà ìàòåìàòèêè, ðàçâèâøåãîñÿ â XX â.  ëþáîé èãðå ó÷àñòâóþò êàê ìèíèìóì äâà èãðîêà, êàæäûé èç êîòîðûõ ïðåñëåäóåò ñâîè ñîáñòâåííûå öåëè (â ýòîì ñìûñëå ïàñüÿíñ èëè êóáèê Ðóáèêà íå èãðû). Êàæäûé èç èãðîêîâ âûáèðàåò ñâîé õîä, êîìáèíàöèÿ âûáîðîâ âñåõ èãðîêîâ îïðåäåëÿåò ñêëàäûâàþùóþñÿ ïîçèöèþ, è îò ïîçèöèè â êîíå÷íîì ñ÷åòå çàâèñèò âûèãðûø êàæäîãî èãðîêà. Ìû íå áóäåì çäåñü îïðåäåëÿòü çíà÷åíèÿ òåðìèíîâ, âûäåëåííûõ êóðñèâîì, â êàæäîé èãðå îíè èìåþò ñâîé êîíêðåòíûé ñìûñë. Ïîä÷åðêíåì îñíîâíóþ îñîáåííîñòü èãðîâîé ñèòóàöèè; âûèãðûø êàæäîãî ó÷àñòíèêà çàâèñèò íå òîëüêî îò åãî ñîáñòâåííîãî âûáîðà (êàê ýòî ìû âèäåëè, íàïðèìåð, â çàäà÷å î ïîòðåáèòåëüñêîì îïòèìóìå), íî è îò âûáîðà âñåõ îñòàëüíûõ ó÷àñòíèêîâ èãðû. Èíòåðåñû îòäåëüíûõ èãðîêîâ íå ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó âûáîðà, îïòèìàëüíîãî â îáû÷íîì ñìûñëå, â èãðîâîé ñèòóàöèè íå ñóùåñòâóåò, è òðåáóåòñÿ óòî÷íåíèå ïîíÿòèÿ ðàöèîíàëüíîãî ïîâåäåíèÿ èãðîêîâ. Òèïû èãðîâûõ ñèòóàöèé, ðàññìàòðèâàåìûõ â òåîðèè èãð, âåñüìà ðàçíîîáðàçíû, è ìû íå áóäåì ïûòàòüñÿ äàòü èì óíèâåðñàëüíóþ õàðàêòåðèñòèêó. Îãðàíè÷èìñÿ êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì, èëëþñòðèðóþùèì õàðàêòåðíûå ÷åðòû ìíîãèõ èç íèõ è ïîëó÷èâøèì íàçâàíèå «äèëåììû çàêëþ÷åííîãî». Äâà ïðåñòóïíèêà, íàçîâåì èõ À è Á, ïîéìàíû, ñîäåðæàòñÿ ïîä ñòðàæåé è íå ìîãóò îáùàòüñÿ äðóã ñ äðóãîì. Ñëåäîâàòåëü ïðåäëàãàåò êàæäîìó èç íèõ ñîçíàòüñÿ â ñîâåðøåííûõ èìè ïðåñòóïëåíèÿõ. Èì èçâåñòíî ñëåäóþùåå: à) åñëè îáà ñîçíàþòñÿ, êàæäûé ïîëó÷èò 5 ëåò òþðüìû; á) åñëè íè îäèí èç íèõ íå ñîçíàåòñÿ, ñëåäñòâèå ñìîæåò ðàñêðûòü òîëüêî ÷àñòü ïðåñòóïëåíèé è îíè ïîëó÷àò ïî 2 ãîäà òþðüìû; â) åñëè îäèí ïðèçíàåòñÿ, à äðóãîé íåò, òî ïðèÒàáëèöà 1 çíàâøèéñÿ áóäåò íàêàçàí 1 «Âûèãðûøè» çàêëþ÷åííûõ ãîäîì, à íå ïðèçíàâøèéñÿ 10 ãîäàìè òþðüìû. Âûáîð Á Ýòè óñëîâèÿ ñâåäåíû â Âûáîð À ñîçíàòüñÿ íå ñîçíàâàòüñÿ òàáë. 1, â êàæäîé êëåòêå êîòîðîé ñëåâà óêàçàí «âûÑîçíàòüñÿ 5, 5 1, 10 èãðûø» çàêëþ÷åííîãî À Íå ñîçíàâàòüñÿ 10, 1 2, 2 (ñðîê íàêàçàíèÿ ñî çíàêîì IX. Èãðîâàÿ ìîäåëü îëèãîïîëèè 619 «ìèíóñ»), ñïðàâà çàêëþ÷åííîãî Á. ×òî â òàêèõ óñëîâèÿõ äîëæåí âûáðàòü çàêëþ÷åííûé? Åñëè áû çàêëþ÷åííûå ìîãëè ñãîâîðèòüñÿ, îíè, ñêîðåå âñåãî, ðåøèëè áû íå ñîçíàâàòüñÿ, è êàæäûé áûë áû ïðèãîâîðåí ê äâóì ãîäàì. Îäíàêî ïðè ýòîì êàæäûé èç íèõ äîëæåí èìåòü òâåðäûå ãàðàíòèè òîãî, ÷òî äðóãîé íå íàðóøèò äîãîâîðåííîñòè. À ñîáëàçí íàðóøèòü âåñüìà âåëèê: åñëè À, âûïîëíÿÿ ñîãëàøåíèå, íå ñîçíàåòñÿ â ïðåñòóïëåíèÿõ, òî Á, ñîçíàâøèñü, ïîëó÷èò âñåãî 1 ãîä, à À 10 ëåò òþðüìû. Âîîáùå, êàêîé áû «õîä» íè ñäåëàë Á, äëÿ À âûãîäíåå ñîçíàòüñÿ. Òàê æå ìîæåò ðàññóæäàòü è äðóãîé çàêëþ÷åííûé. Ïîýòîìó, äåéñòâóÿ ðàöèîíàëüíî, îíè îáà ñîçíàþòñÿ. Ââåäåì îäíî âàæíîå ïîíÿòèå. Ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ â èãðå íàçûâàåòñÿ òàêîå ñî÷åòàíèå õîäîâ åå ó÷àñòíèêîâ, ïðè êîòîðîì äëÿ êàæäîãî ó÷àñòíèêà äàííûé åãî âûáîð äàåò åìó íàèáîëüøèé âûèãðûø ïðè ôèêñèðîâàííûõ õîäàõ îñòàëüíûõ ó÷àñòíèêîâ (ðàâíîâåñèå ïî Íýøó).  ðàññìîòðåííîé íàìè «äèëåììå çàêëþ÷åííîãî» åäèíñòâåííîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ «îáà ñîçíàëèñü». Äëÿ êàæäîãî ó÷àñòíèêà ñîçíàòüñÿ ëó÷øèé âûáîð, åñëè äðóãîé ñîçíàëñÿ. È õîòÿ åñòü äðóãîå ïîëîæåíèå, áîëåå âûãîäíîå äëÿ îáîèõ, «îáà íå ñîçíàëèñü», îíî íåðàâíîâåñíî: êàæäîìó âûãîäíî ñäåëàòü èíîé âûáîð ïðè äàííîì «õîäå» ïàðòíåðà.  äàëüíåéøåì, ïðè îáñóæäåíèè ìîäåëè îëèãîïîëèè, ìû ïðèäåì ê ñèòóàöèè, ÷ðåçâû÷àéíî ïîõîæåé íà «äèëåììó çàêëþ÷åííîãî». Îëèãîïîëèÿ : óñëîâèÿ èãðû Ðàññìîòðèì äîïóùåíèÿ, ëåæàùèå â îñíîâå èãðîâîé ìîäåëè îëèãîïîëèè, ïðèáëèçèòåëüíî â òîì æå âèäå, â êàêîì îíè áûëè ïðåäëîæåíû ôðàíöóçñêèì ýêîíîìèñòîì À. Êóðíî â 1838 ã., çàäîëãî äî òîãî, êàê òåîðèÿ èãð âûäåëèëàñü â ñàìîñòîÿòåëüíóþ äèñöèïëèíó. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ðûíêå äåéñòâóþò äâå ôèðìû, ïðîèçâîäÿùèå ñîâåðøåííî îäèíàêîâûé òîâàð; ôèðìàì èçâåñòíà êðèâàÿ ñïðîñà, ò. å. çàâèñèìîñòü Ð = PD(Q) öåíû ñïðîñà îò ñîâîêóïíîãî îáúåìà òîâàðà (Q), ïðåäëàãàåìîãî îáåèìè ôèðìàìè ê ïðîäàæå; ôèðìû ïðèíèìàþò ðåøåíèÿ îá îáúåìå âûïóñêà òîâàðà ñàìîñòîÿòåëüíî è îäíîâðåìåííî. Åñëè ïåðâàÿ ôèðìà ðåøèëà ïðîèçâåñòè Q1 åäèíèö ïðîäóêòà, à âòîðàÿ ôèðìà Q2, òî îáùåå êîëè÷åñòâî Q = Q1 + Q2, è íà ðûíêå óñòàíîâèòñÿ öåíà P = PD(Q1 + Q2). (1) Èòàê, öåíà, ïî êîòîðîé ïðîäàåò ñâîé òîâàð êàæäàÿ ôèðìà, çàâèñèò îò ñî÷åòàíèÿ ðåøåíèé, ïðèíÿòûõ îáåèìè ôèðìàìè. Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ ñ òî÷êè çðåíèÿ îäíîé èç ôèðì, ñêàæåì 620 Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå ïåðâîé. Åå çàòðàòû (TC1) çàâèñÿò òîëüêî îò åå ñîáñòâåííîãî âûïóñêà (Q1), à âûðó÷êà TR1 = Q1·PD(Q1 + Q2) (2) è ïðèáûëü Π1 = TR1 − TC1 (3) çàâèñÿò è îò Q1, è îò Q2. Ïðèíèìàÿ ðåøåíèå, ôèðìà äîëæíà ó÷èòûâàòü, ÷òî åå óñïåõ èëè íåóäà÷à çàâèñÿò íå òîëüêî îò åå ñîáñòâåííîãî ðåøåíèÿ, íî è îò ðåøåíèÿ êîíêóðåíòà. È òàê æå äîëæíà ðàññóæäàòü âòîðàÿ ôèðìà. Ïðîöåññ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ Èòàê, ïåðâàÿ ôèðìà îïðåäåëÿåò, ñêîëüêî åé íóæíî ïðîèçâåñòè òîâàðà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî âòîðàÿ ôèðìà ïðèíèìàåò àíàëîãè÷íîå ðåøåíèå. Äîïóñòèì, ÷òî âòîðàÿ ôèðìà ðåøèëà âûïóñòèòü òîâàð â êîëè÷åñòâå Q2; áóäåì ñ÷èòàòü ýòó âåëè÷èíó ôèêñèðîâàííîé. Íî åñëè âûïóñê âòîðîé ôèðìû ôèêñèðîâàííàÿ âåëè÷èíà, òî ðûíî÷íàÿ öåíà, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì (1), çàâèñèò òîëüêî îò Q1 îò ðåøåíèÿ ïåðâîé ôèðìû; ñëåäîâàòåëüíî, òîëüêî îò Q1 çàâèñÿò âûðó÷êà è ïðèáûëü ïåðâîé ôèðìû. Äëÿ òîãî ÷òîáû âûÿñíèòü, êàê öåíà çàâèñèò îò ðåøåíèÿ ïåðâîé ôèðìû, ñíîâà îáðàòèìñÿ ê ðàâåíñòâó (1); âîñïîëüçóåìñÿ òàêæå ðèñ. 1. Êðèâàÿ D(Q2) ïîêàçûâàåò çàâèñèìîñòü öåíû îò Q1 ïðè äàííîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè Q2. Òàê, D(0) ýòî ïðîñòî êðèâàÿ ðûíî÷íîãî ñïðîñà: åñëè Q2 = 0, òî âåñü ðûíîê íàõîäèòñÿ â ðóêàõ ïåðâîé ôèðìû. Ïðè ëþáîì äðóãîì çíà÷åíèè Q2 êðèâàÿ D(Q2) ïîëó÷àåòñÿ èç êðèâîé ðûíî÷íîãî ñïðîñà ñäâèãîì íà Q2 åäèíèö âëåâî. Òàêèì îáðàçîì, åñëè âåëè÷èíà Q2 ôèêñèðîâàíà, ìîæíî óñëîâíî âûäåëèòü ñïðîñ íà ïðîäóêöèþ ïåðâîé ôèðìû, ïðåäñòàâëåííûé êðè- Ðèñ. 1. Óñëîâíûé ñïðîñ íà ïðîäóêò ïåðâîé ôèðìû ïðè îäíîì (à) è íåñêîëüêèõ (á) ôèêñèðîâàííûõ óðîâíÿõ Q2( Q2′ < Q2′′ < Q3′′′ ). IX. Èãðîâàÿ ìîäåëü îëèãîïîëèè 621 âîé D(Q2). Áóäåì íàçûâàòü ýòè êðèâûå êðèâûìè óñëîâíîãî ñïðîñà íà ïðîäóêöèþ ïåðâîé ôèðìû. Äàëåå ïåðâàÿ ôèðìà ìîæåò ðàññóæäàòü êàê ìîíîïîëèñò, âûõîäÿùèé íà ðûíîê ñ èçâåñòíûì ñïðîñîì D(Q2) è îïðåäåëÿþùèé íàèáîëåå âûãîäíûé îáúåì ïðîèçâîäñòâà Q1, õàðàêòåð ïðèíèìàåìîãî åþ ðåøåíèÿ ïîäðîáíî ðàññìîòðåí â ëåêöèè 26. Èòàê, åñëè áû ïåðâàÿ ôèðìà çíàëà, êàêîå ðåøåíèå ïðèíèìàåò â ýòî âðåìÿ âòîðàÿ ôèðìà, îíà ìîãëà áû ñäåëàòü îïòèìàëüíûé ïðè äàííîì Q2 âûáîð ñâîåãî âûïóñêà. Íî ñóòü èãðîâîé ñèòóàöèè â òîì è ñîñòîèò, ÷òî îíà ýòîãî íå çíàåò. Îíà äîëæíà ïðåäóñìîòðåòü ðàçëè÷íûå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ Q2 èì ñîîòâåòñòâóåò ñåìåéñòâî óñëîâíûõ êðèâûõ ñïðîñà D(Q2) íà ðèñ. 1,á è íà êàæäûé âîçìîæíûé «õîä» êîíêóðåíòà íàéòè îïòèìàëüíûé îòâåòíûé «õîä». Åå ðàññóæäåíèÿ íàïîìèíàþò ðàçìûøëåíèÿ èãðîêà, âûðàæàåìûå ôîðìóëîé: «Åñëè îíè òàê, òî ìû ýäàê». Òàêèì îáðàçîì, íà ýòîì ýòàïå ïåðâàÿ ôèðìà íå ìîæåò îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü íàèëó÷øèé îáúåì âûïóñêà, íî ìîæåò îïðåäåëèòü çíà÷åíèå Q1, íàèáîëåå âûãîäíîå äëÿ íåå ïðè êàæäîì âûáèðàåìîì êîíêóðåíòîì çíà÷åíèè Q2. Îíà ñòðîèò òàê íàçûâàåìóþ ôóíêöèþ ðåàêöèè: Q1 = r(Q2), (4) óñòàíàâëèâàþùóþ ñâÿçü íàèëó÷øåãî çíà÷åíèÿ Q1 ñ âûáîðîì êîíêóðèðóþùåé ôèðìû. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòîò ýòàï ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðèìåðîì. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñïðîñ è ïðåäåëüíûå çàòðàòû ôèðìû îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè; êðîìå òîãî, ïðèïèøåì ïàðàìåòðàì ýòèõ ôóíêöèé êîíêðåòíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ. Ïóñòü ÐD(Q)=200 2Q; TC1 = 600 + 80Q1 + Q12 , òàê ÷òî MC1 = 80 + 2Q1. Ïðåæäå âñåãî ïîñìîòðèì, ÷òî ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êðèâûå óñëîâíîãî ñïðîñà íà òîâàð ïåðâîé ôèðìû. Êðèâàÿ D(0), î÷åâèäíî, îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì P = 200 2Q1; äëÿ êðèâîé D(15) íàõîäèì Ð = 200 2(Q1 + 15) = 170 2Q1. Àíàëîãè÷íî íàõîäèì, ÷òî óðàâíåíèå êðèâîé D(30) èìååò âèä è ò. ä. Ð = 140 2Q1 622 Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå Äàëåå, ñ÷èòàÿ Q2 ôèêñèðîâàííûì, ìû ðàññìàòðèâàåì îáùóþ âûðó÷êó ïåðâîé ôèðìû: TR1 = Q1[200 2(Q1 + Q2)] = Q1[(200 2Q2) 2Q1] ëèøü êàê ôóíêöèþ Q1. Îòñþäà ìû ìîæåì íàéòè ïðåäåëüíóþ âûðó÷êó ïåðâîé ôèðìû: MR1 = (200 2Q2) 4Q1. Ðàññ÷èòàííûå ðàíåå êðèâûå óñëîâíîãî ñïðîñà D(Q2) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì êðèâûå ïðåäåëüíîé âûðó÷êè ïîêàçàíû íà ðèñ. 2. Íàèëó÷øèì äëÿ ïåðâîé ôèðìû ÿâëÿåòñÿ òàêîé îáúåì ïðîèçâîäñòâà, ïðè êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå MR1 = ÌÑ1, ò. å. çíà÷åíèå Q1 äîëæíî áûòü ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ 200 2Q2 4Q1 = 80 + 2Q1. Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå, íàõîäèì Q1 = 20 − 1 Q. 3 2 Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, êàêîé îáúåì ïðîèçâîäñòâà ÿâëÿåòñÿ äëÿ ïåðâîé ôèðìû íàèëó÷øèì, åñëè âòîðàÿ ïðîèçâîäèò ïðîäóêò â êîëè÷åñòâå Q2. Èíûìè ñëîâàìè, îíî ÿâëÿåòñÿ êîíêðåòíîé çàïèñüþ ôóíêöèè ðåàêöèè (4) äëÿ ïåðâîé ôèðìû ïðè äàííûõ õàðàêòåðèñòèêàõ ñïðîñà è çàòðàò: 1 r1 (Q2 ) = 20 − Q2. (5) 3 Ðèñ. 2. Óñëîâíûé ñïðîñ íà ïðîäóêò ïåðâîé ôèðìû â ÷èñëîâîì ïðèìåðå. Ïðåðûâèñòûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíû ñîîòâåòñòâóþùèå ëèíèè ïðåäåëüíîé âûðó÷êè. IX. Èãðîâàÿ ìîäåëü îëèãîïîëèè 623 Ïåðåéäåì òåïåðü ê âûÿñíåíèþ òîãî, êàêîé æå âûáîð â êîíöå êîíöîâ ñäåëàåò êàæäàÿ èç ôèðì. Ðàâíîâåñèå Êóðíî Ìû âèäåëè, ÷òî ïåðâàÿ ôèðìà, èñïîëüçóÿ ëèøü èíôîðìàöèþ î ðûíî÷íîì ñïðîñå è î ñîáñòâåííûõ çàòðàòàõ, ìîæåò íàéòè ñâîþ ôóíêöèþ ðåàêöèè, Q1 = r1(Q2), íà ïîâåäåíèå êîíêóðåíòà. Òàêèì æå òî÷íî îáðàçîì è âòîðàÿ ôèðìà ìîæåò íàéòè ñâîþ ôóíêöèþ ðåàêöèè, Q2 = r2(Q1). Íî ýòîãî íåäîñòàòî÷íî. Êàæäàÿ ôèðìà äîëæíà ðåøèòü, ñêîëüêî ïðîäóêòà îíà äîëæíà ïðîèçâåñòè. È îíà ïûòàåòñÿ «óãàäàòü» äåéñòâèå êîíêóðåíòà. Äîïóñòèì, ÷òî îáåèì ôèðìàì ýòî óäàëîñü. Ïåðâàÿ ôèðìà ïðåäïîëàãàëà, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâåäåò îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî ïðîäóêòà Q2 è, èñõîäÿ èç ýòîãî, ðåøèëà âûïóñòèòü Q1 â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîåé ôóíêöèåé ðåàêöèè. À âòîðàÿ, ðàññ÷èòûâàÿ, ÷òî åå êîíêóðåíò ïðîèçâåäåò èìåííî òàêîå êîëè÷åñòâî ïðîäóêòà, îïðåäåëèëà â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîåé ôóíêöèåé ðåàêöèè çíà÷åíèå Q2, è ýòî îêàçàëîñü òåì æå ñàìûì çíà÷åíèåì, íà êîòîðîå ðàññ÷èòûâàëà ïåðâàÿ ôèðìà. Òàêèì îáðàçîì, Q1 è Q2 óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé Q1 = r1 (Q2 ); Q2 = r2 (Q1 ). (6) Îïðåäåëÿåìàÿ ýòîé ñèñòåìîé ïàðà çíà÷åíèé (Q1, Q2) îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ïåðâàÿ ôèðìà äåëàåò íàèáîëåå âûãîäíûé äëÿ ñåáÿ âûáîð ïðè äàííîì çíà÷åíèè Q2, à âòîðàÿ íàèáîëåå âûãîäíûé äëÿ ñåáÿ ïðè äàííîì çíà÷åíèè Q1. Òàêèì îáðàçîì, îáúåìû Q1 è Q2, óäîâëåòâîðÿþùèå (6), îáðàçóþò ïîëîæåíèå èãðîâîãî ðàâíîâåñèÿ, êàê îíî áûëî îïðåäåëåíî â ïåðâîì ðàçäåëå íàñòîÿùåãî ïðèëîæåíèÿ. Íè îäíà èç ôèðì íå èìååò ñòèìóëîâ ê èçìåíåíèþ ñâîåãî ðåøåíèÿ, åñëè äðóãàÿ ñîõðàíÿåò ðàâíîâåñíûé îáúåì. Ðàâíîâåñèå îáúåìîâ âûïóñêà ôèðì íà îëèãîïîëüíîì ðûíêå ïîëó÷èëî íàçâàíèå ðàâíîâåñèÿ Êóðíî. Îáðàòèìñÿ ê ðàçîáðàííîìó ðàíåå ÷èñëîâîìó ïðèìåðó è ñäåëàåì åùå îäíî óïðîùåíèå: áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âòîðàÿ ôèðìà èìååò òî÷íî òàêóþ æå ôóíêöèþ çàòðàò, ÷òî è ïåðâàÿ. Òîãäà è ôóíêöèÿ ðåàêöèè âòîðîé ôèðìû áóäåò èìåòü âèä (5), è äëÿ ðàâíîâåñíûõ îáúåìîâ ìû èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé Q = 20 − 1 Q ; 1 3 2 Q = 20 − 1 Q . 2 3 1 624 Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå Íà ðèñ. 3 ëèíèè ðåàêöèè îáåèõ ôèðì ïîñòðîåíû â êîîðäèíàòàõ Q1, Q2. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ëèíèé ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîâåñèþ Êóðíî: Q1 = Q2 = 15.  ïîèñêàõ ðàâíîâåñèÿ Ìîãóò ëè ôèðìû, äåéñòâóÿ ïîðîçíü, ðàññ÷èòàòü ðàâíîâåñèå Êóðíî ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ÷èñëåííîì ïðèìåðå? Äëÿ ýòîãî êàæäàÿ èç íèõ äîëæíà áûëà áû çíàòü íå òîëüêî ñâîþ ôóíêöèþ ðåàêöèè, íî è àíàëîãè÷íóþ ôóíêöèþ êîíêóðåíòà, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ïîòðåáîâàëî áû èíôîðìàöèè î åãî ôóíêöèè çàòðàò. Íî òàêîå äîïóùåíèå ñëèøêîì äàëåêî îò ðåàëüíîñòè. Ñêîðåå âñåãî, ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ìîãëî áû áûòü íàéäåíî â ïðîöåññå «íàùóïûâàíèÿ». Äëÿ îïèñàíèÿ ýòîãî ïðîöåññà íàì ïîíàäîáèòñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü, èìåþùàÿ ìíîãî îáùåãî ñ ïàóòèíîîáðàçíîé ìîäåëüþ, êîòîðàÿ áûëà ðàññìîòðåíà â ëåêöèè 9. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ìîìåíò t = 0 ôèðìû âûïóñêàþò ïðîäóêò â îáúåìàõ Q10 è Q20 .  ïîñëåäóþùèå ïåðèîäû êàæäàÿ èç ôèðì óçíàåò, ñêîëüêî ïðîäóêòà âûïóñòèë íà ðûíîê êîíêóðåíò, è óñòàíàâëèâàåò ñâîé îáúåì âûïóñêà â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîåé ôóíêöèåé ðåàêöèè: Q1t = r1 (Q2t −1 ); Q2t = r2 (Q1t −1 ). Ïðîäîëæèì ÷èñëîâîé ïðèìåð. Äîïóñòèì, ÷òî íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ âûïóñêà îáåèõ ôèðì ñèëüíî îòëè÷àëèñü îò ðàâíîâåñíûõ: Q10 = 45; Q20 = 30. Ðèñ. 3. Êðèâûå ðåàêöèè îáåèõ ôèðì è ðàâíîâåñèå Êóðíî. IX. Èãðîâàÿ ìîäåëü îëèãîïîëèè 625 Òîãäà â ñëåäóþùåì ïåðèîäå ïåðâàÿ ôèðìà âûïóñòèò Q11 = 20 − 30 = 10 åä., 3 à âòîðàÿ Q21 = 20 − Çàòåì Q12 = 20 − 45 = 5 åä. 3 5 10 ≈ 18.33; Q22 = 20 − ≈ 16.67 3 3 è ò. ä. Íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé Q1t è Q2t ïðèâåäåíû â òàáë. 2. Âèäíî, ÷òî îáúåìû âûïóñêà ñõîäÿòñÿ ê ðàâíîâåñíûì çíà÷åíèÿì Q1 = = Q2 = 15. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî â äóîïîëèè ñ ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè ñïðîñà è ïðåäåëüíûõ çàòðàò îïèñàííûé çäåñü ïðîöåññ «íàùóïûâàíèÿ» ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñõîäèòñÿ ê ðàâíîâåñèþ Êóðíî. Ñãîâîð Òàáëèöà 2 «Íàùóïûâàíèå» ðàâíîâåñèÿ Åñëè ôèðìû, âìåñòî òîãî ÷òîáû êîíêóðèðîâàòü äðóã t Q1t Q2t ñ äðóãîì, áóäóò ïðèíèìàòü ñâîè ðåøåíèÿ ñîâìåñòíî, òî 0 4 5 .0 0 3 0 .0 0 âìåñòå îíè ñìîãóò âûñòóïàòü 1 1 0 .0 0 5 .0 0 íà ðûíêå êàê ìîíîïîëèÿ è òåì ñàìûì ñìîãóò èçâëå÷ü 2 1 8 .3 3 1 6 .6 7 íàèáîëüøóþ ïðèáûëü, äîñ3 1 4 .4 4 1 3 .8 9 òèæèìóþ ïðè äàííûõ ôóí4 1 5 .3 7 1 5 .1 9 êöèÿõ ñïðîñà è çàòðàò. Ðàñïðåäåëèâ ìåæäó ñîáîé ìàê5 1 4 .9 4 1 4 .8 8 ñèìàëüíóþ ïðèáûëü, îíè 6 1 5 .0 4 1 5 .0 2 ìîãóò äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî êàæäàÿ ôèðìà èçâëå÷åò èç òàêîãî ñîâìåñòíîãî ðåøåíèÿ áóëüøóþ âûãîäó, ÷åì èç ëþáîãî äðóãîãî. Ñíîâà îáðàòèìñÿ ê íàøåìó ÷èñëîâîìó ïðèìåðó. Ïîñêîëüêó ìû ïðèíÿëè ôóíêöèè çàòðàò îáåèõ ôèðì îäèíàêîâûìè, ñîâîêóïíûé îáúåì ïðîèçâîäñòâà (Q) äîëæåí áûòü ðàçäåëåí ìåæäó ôèðìàìè ïîðîâíó,1 Q1 = = Q2 = Q/2, è îáùèå çàòðàòû îáúåäèíåíèÿ îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèåé 2 Q Q 1 TC = 2 600 + 80 + = 1200 + 80Q + Q2, 2 2 2 1 Åñëè ôóíêöèè çàòðàò ôèðì ðàçëè÷íû, òî çàäà÷à ðàñïðåäåëåíèÿ ìåæäó íèìè ñîâîêóïíîãî îáúåìà è îïðåäåëåíèÿ îáùèõ çàòðàò îáúåäèíåíèÿ ñòàíîâèòñÿ äîâîëüíî ãðîìîçäêîé (ñì. ëåêöèþ 26). 626 Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå à ïðåäåëüíûå çàòðàòû ÌÑ = 80 + Q. Òàê êàê ïðåäåëüíàÿ âûðó÷êà äëÿ îáúåäèíåíèÿ MR = 200 4Q, îïòèìàëüíûé ñîâîêóïíûé îáúåì ïðîèçâîäñòâà îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì 200 4Q = 80 + Q, îòêóäà Q = 24, è îïòèìàëüíûå îáúåìû âûïóñêà êàæäîé èç ôèðì ðàâíû Q1 = Q2 = 12. Óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ñîãëàñîâàííîå ðåøåíèå ïðèíîñèò ôèðìàì áîëüøóþ ïðèáûëü, ÷åì ðàâíîâåñíîå. Ïðè ðàâíîâåñèè Êóðíî çàòðàòû êàæäîé èç ôèðì TC1 = TC2 = 600 + 80·15 + 152 = 2025, è íà ðûíêå óñòàíîâèòñÿ öåíà Ð = 200 2(15 + 15) = 140. Âûðó÷êà êàæäîé ôèðìû TR1 = TR2 = 15·140 = 2100, à ïðèáûëü Π 1 = Π 2 = 2100 − 2025 = 75. Ïðè ñîãëàñîâàííîì ðåøåíèè ñîîòâåòñòâåííî TC1 = TC2 = 600 + 80·12 + 122 = 1704; Ð = 200 2·24 = 152; TR1 = TR2 = 12·152 = 1824; Π1 = Π 2 = 1824 − 1704 = 120. Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà ñîãëàñîâàííîãî îïòèìóìà íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñíîé. Åñëè îäíà èç ôèðì, âûïîëíÿÿ óñëîâèÿ ñãîâîðà, áóäåò ïðîèçâîäèòü 12 åä. ïðîäóêòà, òî äëÿ äðóãîé, êàê ïîêàçûâàåò ðàâåíñòâî (5), íàèáîëåå âûãîäíî ïðîèçâîäèòü 20 12/3 = 16 åä. Ñ ïîõîæåé ñèòóàöèåé ìû ñòîëêíóëèñü ðàíüøå, ïðè îáñóæäåíèè «äèëåììû çàêëþ÷åííîãî». Äëÿ óäîáñòâà ñîïîñòàâëåíèÿ ñèòóàöèé áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäàÿ èç ôèðì ðåøàåò, ïðîèçâîäèòü ëè åé ïðîäóêò â «îáúåìå Êóðíî» (15 åä.) èëè â «îáúåìå ñãîâîðà» (12 åä.). Äëÿ çàïîëíåíèÿ òàáëèöû, ïîäîáíîé òàáë. 1, íàì íóæíî âû÷èñëèòü ïðèáûëü êàæäîé èç ôèðì, åñëè îäíà èç íèõ (íàïðèìåð, ïåðâàÿ) ïðîèçâîäèò îáúåì Êóðíî, à äðóãàÿ «îáúåì ñãîâîðà»: TC1 = 2025; TC2 = 1704; Ð = 200 2(15 + 12) = 146; IX. Èãðîâàÿ ìîäåëü îëèãîïîëèè 627 TR1 = 15·146 = 2190; TR2 = 12·146 = 1752, òàê ÷òî Π 1 = 2190 2025 = 165; Π2 = 1752 1704 = 48. Ðåçóëüòàòû ñâåäåíû â òàáë. 3, â êàæäîé ãðàôå êîòîðîé ñëåâà ïîêàçàíà ïðèáûëü ïåðâîé ôèðìû, ñïðàâà âòîðîé. Òàáëèöà 3 Ïðèáûëè ôèðìû Âûáîð ïåðâîé ôèðìû Âûáîð âòîðîé ôèðìû Q2 = 1 5 Q2 = 1 2 Q1 = 1 5 75, 75 165, 48 Q1 = 1 2 48, 165 120, 120 Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû ñãîâîð ñîñòîÿëñÿ, êàæäîé ôèðìå íóæíû òâåðäûå ãàðàíòèè òîãî, ÷òî ïàðòíåð ïî ñäåëêå áóäåò âûïîëíÿòü åå óñëîâèÿ. Îëèãîïîëèÿ ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ôèðì Ìîäåëü äóîïîëèè îáëàäàåò áîëüøîé íàãëÿäíîñòüþ, íî îïðåäåëåíèå ðàâíîâåñèÿ Êóðíî ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé îëèãîïîëèè ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ôèðì. Ïóñòü Qi îáúåì ïðîäóêòà i-òîé ôèðìû. Q = ∑ Qi ñîâîêóïíûé îáúåì ïðîäóêòà âñåõ ôèðì. Ââåäåì â ðàñi ñìîòðåíèå òàêæå âåëè÷èíû Qi− = Q − Qi îáúåì ïðîäóêòà âñåõ ôèðì, êðîìå i-òîé. Òîãäà öåíà ñïðîñà Ð = PD(Q) c òî÷êè çðåíèÿ i-òîé ôèðìû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå Ð = PD(Qi + Qi− ), ò. å. êðèâàÿ óñëîâíîãî ñïðîñà äëÿ i-òîé ôèðìû ïîëó÷àåòñÿ èç êðèâîé ðûíî÷íîãî ñïðîñà ñäâèãîì âëåâî íà Qi− åäèíèö. Äðóãèõ îòëè÷èé ïîñòðîåíèå ôóíêöèè ðåàêöèè Qi = ri( Qi− ) îò ñëó÷àÿ äóîïîëèè íå èìååò. Ðàâíîâåñèå Êóðíî îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé: Q1 = r1 (Q2 + Q3 +...+ Qn − 1 + Qn ) ; Q = r (Q + Q +...+ Q 2 2 1 3 n − 1 + Qn ) ; .................................... Qn = rn (Q1 + Q2 + Q3 +...+ Qn − 1 ). Åñëè âñå ôèðìû îäèíàêîâû, òî ïðè n → ∞ ðàâíîâåñèå Êóðíî ñòðåìèòñÿ ê ðàâíîâåñèþ íà êîíêóðåíòíîì ðûíêå. Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ Êóðíî â îáùåì ñëó÷àå ðåøàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, ÷åì äëÿ äóîïîëèè. Ïðè áîëüøîì ÷èñëå ôèðì óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ Êóðíî â ïðåäåëå ñîâïàäàþò ñ óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ïàóòèíîîáðàçíîé ìîäåëè (ñì. ëåêöèþ 9).
