конкурентное однотоварное производство с учетом налоговых

À.È. Ãàëåãîâ, À.Þ. Ãàðíàåâ.
ÊÎÍÊÓÐÅÍÒÍÎÅ ÎÄÍÎÒÎÂÀÐÍÎÅ ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÎ Ñ
Ó×ÅÒÎÌ ÍÀËÎÃÎÂÛÕ ÑÒÀÂÎÊ
1. Ââåäåíèå. Â äàííîé ñòàòüå èññëåäîâàíà è îáîáùåíà ìîäåëü Øòàêåëüáåðãà äëÿ
îëèãîïîëüíûõ ðûíêîâ ñ îäíîðîäíûìè ïðîäóêòàìè. Ìîäåëü Øòàêåëüáåðãà äëÿ èåðàðõè÷åñêèõ îëèãîïîëüíûõ ðûíêîâ ñ îäíîðîäíûìè ïðîäóêòàìè èññëåäîâàëàñü ó÷åíûìè
èíòåíñèâíî. Â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàëèñü äâà òèïà ìîäåëåé. Ïåðâûé òèï ìîäåëè - ýòî
èåðàðõè÷åñêàÿ èãðà Øòàêåëüáåðãà, â êîòîðîé êàæäàÿ ôèðìà âûáèðàåò ñâîé âûïóñê
ïîñëåäîâàòåëüíî â âèäå ìíîãîøàãîâîé èãðû([5], [7], [9]). Âî âòîðîì òèïå èññëåäóþòñÿ äâóõøàãîâàÿ èãðà, â êîòîðîé íà ïåðâîì øàãå íåñêîëüêî ëèäåðîâ îïðåäåëÿþò ñâîè
âûïóñêè îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà âòîðîì øàãå íåñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëåé óñòàíîâÿò ñâîé âûïóñê, îñíîâûâàÿñü íà ñäåëàííîì âûáîðå ëèäåðîâ ([6], [8]).
Äàííàÿ ðàáîòà èìååò òðè öåëè. Ïåðâàÿ öåëü äàííîé ðàáîòû - ðàçâèòü íà îáùèé
ñëó÷àé èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû ðåøåíèå ïî Øòàêåëüáåðãó [13] â àíàëèòè÷åñêîì âèäå. Èãðà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìíîãîøàãîâàÿ ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé, â êîòîðîé
ïîñëåäîâàòåëüíî, óðîâåíü çà óðîâíåì, íåñêîëüêî ôèðì ñ êàæäîãî óðîâíÿ îïðåäåëÿþò
ñâîé âûïóñê îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî (íå ñîîáùàÿ î ñâîåì âûáîðå ïîñëåäîâàòåëÿì,
è äåëàÿ åãî íåèçâåñòíûì è ïîñòîÿííûì äëÿ íèõ), à ìíîãî÷èñëåííûå ïîñëåäîâàòåëè ñî
ñëåäóþùèõ (íèæíèõ) óðîâíåé èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû âûáèðàþò ñâîè âûïóñêè îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî ïîçæå, îïðåäåëÿÿ ôèíàëüíûé âûïóñê èãðîêîâ (ôèðì) ñ âûñøèõ
óðîâíåé. È äàëåå ïîñëå âñåõ ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ äåéñòâèé ôèðìû íà íàèâûñøåì
óðîâíå îïðåäåëÿþò ñîâìåñòíî ñâîé âûïóñê.
Âòîðîé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïðîàíàëèçèðîâàòü òî, êàê ðàçëè÷íûå íàëîãîâûå ñòàâêè âëèÿþò íà ïîâåäåíèå ó÷àñòíèêîâ ïîäîáíûõ îëèãîïîëüíûõ ðûíêîâ.
Íà ñîâðåìåííîì ðûíêå ìîæíî íàéòè ìíîæåñòâî ïðèìåðîâ èåðàðõè÷åñêèõ ñòðóêòóð. Íàïðèìåð ðûíîê îïåðàöèîííûõ ñèñòåì ïðåèìóùåñòâåííî ðàçáèò ìåæäó Windows
(67.1%) è Linux (22.8%), îñòàâøèåñÿ îïåðàöèîííûå ñèñòåìû çàíèìàþò 10.1% ðûíêà.
 ïåðâîì, äîâîëüíî ãðóáîì, ïðèáëèæåíèè ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü ðûíîê îïåðàöèîííûõ ñèñòåì êàê òðåõ óðîâíåâóþ èåðàðõè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, â êîòîðîé ïåðâûé è âòîðîé
óðîâíè ñîñòîÿò èç îäíîé ôèðìû (Windows and Linux), à òðåòèé ñîñòîèò èç âñåõ îñòàëüíûõ îïåðàöèîííûõ ñèñòåì. Ìèðîâîé ðûíîê òàáà÷íîé ïðîäóêöèè (êðîìå Êèòàÿ) ðàçáèò
íà ÷åòûðå óðîâíÿ. Ïåðâûé óðîâåíü çàíèìàþò Altria (28%) è British American Tobacco
(25%). Japan Tobacco çàíèìàåò âòîðîé (16%). Íà òðåòüåì óðîâíå - Imperial Tobacco
(6%) è Altadis (3%) ([2], [3]). Îñòàëüíûå ðàâíûå êîíêóðåíòû äåëÿò ÷åòâåðòûé óðîâåíü.
Êîãäà ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ òàêèìè èåðàðõè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè, ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü ïðîèçâîäèìûé ïðîäóêò êàê îäíîðîäíûé. Êîíå÷íî, ïðîäóêòû, ïðîäàâàåìûå íà îáîèõ óïîìÿíóòûõ ðûíêàõ, ðàçëè÷íû. Âàæíîñòü ðàçëè÷èÿ ïðîäóêòîâ ïîä÷åðêèâàåòñÿ êóðèëüùèêàìè â ïðèâåðæåííîñòè ê áðåíäó íà ðûíêå òàáàêà è
ñîâìåñòèìîñòüþ îïåðàöèîííûõ ñèñòåì ñ äðóãèìè ïðèëîæåíèÿìè íà ðûíêå îïåðàöèîííûõ ñèñòåì. Íî â ïåðâîì, äîâîëüíî ãðóáîì, ïðèáëèæåíèè ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü
îäíîðîäíîñòü ïðîäóêòîâ íà ýòèõ ðûíêàõ â ðàìêàõ ìîäåëåé Øòàêåëüáåðãà è Êóðíî. Íà÷àâ èçó÷åíèå ìîäåëè Êóðíî äàæå äëÿ äâóõ ôèðì, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðûíêå, âîçíèêàþò
äâà îáû÷íûõ âîïðîñà - íàéòè Êóðíî è Íýø ðàâíîâåñèÿ, à òàêæå Øòàêåëüáåðãà, è ñðàâíèòü èõ [1]. Çàäà÷à äàííîé ðàáîòû ðàñøèðèòü êëàññè÷åñêóþ ìîäåëü Øòàêåëüáåðãà íà
c
À.È. Ãàëåãîâ, À.Þ. Ãàðíàåâ. 2008
1
ñëó÷àé îáîáùåííûõ èåðàðõè÷åñêèõ ñòðóêòóð, â êîòîðîì ôèðìû ðàçáèòû íà ðàçëè÷íûå
èåðàðõè÷åñêèå ãðóïïû.
Âî ìíîãèõ ñòðàíàõ íàëîãîâàÿ ñòàâêà çàâèñèò îò ñóììû íàëîãîîáëîæåíèÿ. Â Ðîññèè
â 2003 ãîäó äëÿ ïîääåðæàíèÿ ìàëîãî áèçíåñà áûëà ââåäåíà óïðîùåííàÿ ñèñòåìà íàëîãîîáëîæåíèÿ, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç äâóõ íàëîãîâûõ ñòàâîê: 15% (êîãäà íàëîã ïëàòèòñÿ ñ
îáùåé âûðó÷êè çà ìèíóñîì âñåõ çàòðàò) è 6% (êîãäà íàëîã ïëàòèòñÿ ñ îáùåé âûðó÷êè) [11]. Íàëîãîâàÿ ñòàâêà äëÿ ÷èñòîé ïðèáûëè áîëüøå ÷åì äëÿ îáùåé âûðó÷êè, ò.ê.
ñóììà íàëîãîîáëîæåíèÿ â ïåðâîì ñëó÷àå ìåíüøå. Ïîýòîìó íåêîòîðûå ôèðìû ñòîëêíóëèñü ñ ïðîáëåìîé âûáîðà îäíîé èç íàëîãîâûõ ñòàâîê [12]. Ïðè êîíêóðåíöèè, êîãäà
ôèðìû ïðîèçâîäÿò îäíîðîäíûé ïðîäóêò íà ðûíêå, ýòà ïðîáëåìà âûáîðà ñòàíîâèòñÿ èãðîâîé ïðîáëåìîé, ò.ê. êàæäàÿ ôèðìà äîëæíà ó÷èòûâàòü ïîâåäåíèå ñâîåãî îïïîíåíòà,
èññëåäîâàíèå êîòîðîé è ÿâëÿåòñÿ òðåòåé öåëüþ äàííîé ñòàòüè.
Ñòàòüÿ èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó. Ïåðâûé ïàðàãðàô ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèåì. Âî âòîðîì ïàðàãðàôå èññëåäóåòñÿ ìîäåëü Êóðíî è åå ÷àñòíûå ñëó÷àè.  òðåòüåì ïàðàãðàôå
ðàññìàòðèâàåòñÿ âëèÿíèå îñíîâíûõ íàëîãîâûõ ñèñòåì íà ðàâíîâåñèå Êóðíî.  ÷åòâåðòîì ïàðàãðàôå èññëåäóåòñÿ äâóõøàãîâûé ñöåíàðèé äóîïîëèè ñ âûáîðîì íàëîãîâîé ñòàâêè.  ïÿòîì ïàðàãðàôå èçó÷àåòñÿ îáùàÿ ìîäåëü Øòàêåëüáåðãà, ñîñòîÿùàÿ èç M ôèðì,
ðàçäåëåííûõ íà N ãðóïï, à òàêæå ÷àñòíûå ñëó÷àè äàííîé ìîäåëè.  øåñòîì ïàðàãðàôå àíàëèçèðóåòñÿ íàëîãîâîå ðàñøèðåíèå ìîäåëè Øòàêåëüáåðãà.  ñåäüìîì ïðèâîäÿòñÿ
âûâîäû è ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
2. Ìîäåëü Êóðíî.  äàííîì ïàðàãðàôå ïðèâîäÿòñÿ îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè ïðîèçâîäñòâà îäíîðîäíîãî òîâàðà â ðàìêàõ ìîäåëè Êóðíî.  îëèãîïîëèñòè÷åñêîé ìîäåëè
Êóðíî ïðèñóòñòâóþò M ôèðì, ïðîèçâîäÿùèõ îäèíàêîâûé ïðîäóêò. Êàæäàÿ ôèðìà i,
i ∈ {1, ..., M } èìååò ïîñòîÿííûå èçäåðæêè ïðîèçâîäñòâà îäíîé åäèíèöû ïðîäóêòà ci .
Êàæäàÿ ôèðìà íåçàâèñèìî è îäíîâðåìåííî îïðåäåëÿåò âûïóñê qi . Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ
ñîâîêóïíîãî ñïðîñà p(q) = max{A − q, 0}, ãäå q = q1 + . . . + qM - îïðåäåëåíû. Ïåðåìåííàÿ A - ýòî ìàêñèìàëüíàÿ öåíà, âîçìîæíàÿ íà ðûíêå. Ò.å. öåíà ïðè êîòîðîé ôèðìû
îòêàçûâàþòñÿ îò ïðîèçâîäñòâà (q = 0).  êëàññè÷åñêîé ìîäåëè Êóðíî ôóíêöèÿ ñïðîñà
èìååò ñëåäóþùèé âèä p = A − bq , ñî ñëåäóþùèìè ðàçìåðíîñòÿìè: π, A, p, c - ðóá., q øò. è b - ðóá./øò. Ïåðåìåííàÿ b èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê êîýôôèöèåíò îáðàòíîé çàâèñèìîñòè êîëè÷åñòâà ïðîèçâåäåííîãî ïðîäóêòà è ñîîòâåòñâóþùåé åìó öåíå, ñëîæèâøèéñÿ
íà ðûíêå. Çäåñü íå òåðÿÿ îáùíîñòè ïðåäïîëàãàåì b = 1 (ò.ê. ðàâåíñòâî åäèíèöû äàííîé ïåðåìåííîé ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî áëàãîäàðÿ çàìåíå ïåðåìåííîé q̄ = bq ). Òàêèì
îáðàçîì ïðèáûëè ôèðìû i (i ∈ {1, ..., M }) îïðåäåëÿþòñÿ
Πi (q1 , . . . , qM ) = (A −
M
X
qj )qi − ci qi .
(1)
j=1
Ïðèâîäèìûé íèæå ðåçóëüòàò õîðîøî èçâåñòåí (ñì. íàïðèìåð [1]) è ìû äàåì åãî
èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ óäîáñòâà ÷èòàòåëÿ.
Òåîðåìà 1  ñëó÷àå ìîäåëè Êóðíî ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè îïðåäåëÿþòñÿ:


M
X
1 
M
cj  −
A+
ci ïðè i ∈ {1, ..., M }
qi =
M +1
M +1
j=1,j6=i
2
(2)
ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âûèãðûøàìè:
M
Π∗i =
X
2
1
A + C̄ − (M + 1)ci , ãäå C̄ =
cj .
2
(M + 1)
j=1
Ñóììàðíûé âûïóñê ôèðì îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
M
X
qi =
i=1
 ñëó÷àå ðàâíûõ èçäåðæåê ci
1
M A − C̄ .
M +1
= c, i ∈ {1, ..., M } ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè ðàâíû
qi =
1
(A − c)
M +1
ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âûèãðûøàìè:
Π∗i =
1
2
(A − c) .
(M + 1)2
Cóììàðíûé æå âûïóñê îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
M
X
qi =
i=1
M
(A − c).
M +1
3. Íàëîãîâîå ðàñøèðåíèå ìîäåëè Êóðíî. Â äàííîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì
âëèÿíèå îñíîâíûõ íàëîãîâûõ ñèñòåì èñïîëüçóåìûõ â Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè [10] ïðè
óñëîâèè, ÷òî ôèðìû íà ðûíêå êîíêóðèðóþò ïðè ïðîèçâîäñòâå îäíîðîäíîãî ïðîäóêòà.
À èìåííî, ðàññìîòðèì íàëîã ñ ïðîäàæ, àêöèçíûé íàëîã, íàëîã íà ïðèáûëü è íàëîã íà
äîáàâëåííóþ ñòîèìîñòü. Â ðàìêàõ ìîäåëè Êóðíî äëÿ ýòèõ íàëîãîâ ôóíêöèÿ ïðèáûëè
Πi ôèðìû i èìååò ñëåäóþùèé âèä:
(a) Ïðè íàëîãå ñ ïðîäàæ:


X
Πi = βt A −
qj  qi − ci qi , i ∈ {1, ..., M },
(3)
j∈{1,...,M }
ãäå βt = 1 − Tt , a Tt -ñòàâêà íàëîãà ñ ïðîäàæ. Ïåðåìåííàÿ βt íå èìååò ðàçìåðíîñòè, ò.ê.
ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé è íàëîã âûïëà÷èâàåòñÿ óæå ñ îáùåé âûðó÷êè ôèðìû.
(á)  ñëó÷àå àêöèçíîãî íàëîãà:


X
Πi = A −
qj − t qi − ci qi , i ∈ {1, ..., M },
(4)
j∈[1,M ]
ãäå t-àêöèçíàÿ ñòàâêà, êîòîðàÿ èìååò ðàçìåðíîñòü ðóá., ò.ê. îíà ó÷àñòâóåò â öåíîîáðàçîâàíèè ïðîäóêòà.
(â) Äëÿ íàëîãà íà ïðèáûëü:
3


Πi = βp A −
X

qj  qi − ci qi  ,
i ∈ {1, ..., M },
(5)
j∈[1,M ]
ãäå βp = 1 − Tp , a Tp -ñòàâêà íàëîãà íà ïðèáûëü. Ïåðåìåííàÿ βp íå èìååò ðàçìåðíîñòè,
ò.ê. ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé è íàëîã âûïëà÷èâàåòñÿ óæå ñ ÷èñòîé ïðèáûëè ôèðìû.
(ã) Ïðè îïëàòå ôèðìîé íàëîãà íà äîáàâëåííóþ ñòîèìîñòü:


X
(6)
qj − cz  qi − ci qi , i ∈ {1, ..., M },
Πi = βn A −
j∈[1,M ]
ãäå βn = 1 − Tn , a Tn -ñòàâêà ÍÄÑ, cz - ðàñõîäû íà ïðèîáðåòåííûå òîâàðû, â óñëîâèÿõ
îäíîðîäíîñòè ïðîèçâîäèìîãî ïðîäóêòà, íàìè áûëî ñäåëàíî ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî
ýòè èçäåðæêè ðàâíû, ci - âíóòðåííèå èçäåðæêè ïðåäïðèÿòèÿ. Ïåðåìåííàÿ βn íå èìååò
ðàçìåðíîñòè ïî ïðè÷èíå òîãî, ÷òî äàííûé íàëîã îïëà÷èâàåòñÿ ñ ïðèáûëè, à cz èìååò
ðàçìåðíîñòü ðóá., ò.ê. äàííàÿ ïåðåìåííàÿ ó÷àñòâóåò â ôîðìèðîâàíèè ñåáåñòîèìîñòè
ïðîäóêòà.
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ïåðåôîðìóëèðóåò ðåçóëüòàò òåîðåìó 1 íà ñëó÷àé ó÷åòà
óïëàòû ïåðå÷èñëåííûõ íàëîãîâ.
Òåîðåìà 2 Ñ ó÷åòîì íàëîãîâ â ìîäåëè Êóðíî ñ M ôèðìàìè ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè
îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(à) Íàëîã ñ ïðîäàæ:
qi =
βt A + C̄ − (M + 1)ci
ïðè i ∈ {1, ..., M }
βt (M + 1)
ñ âûïëàòàìè
Π∗i
βt A + C̄ − (M + 1)ci
=
βt (M + 1)2
(7)
2
.
Ñóììàðíûé âûïóñê
M
X
qi =
i=1
βt M A − C̄
.
βt (M + 1)
(á) Àêöèçíûå íàëîã:
qi =
A − t + C̄ − (M + 1)ci
ïðè i ∈ {1, ..., M }
M +1
ñ âûïëàòàìè
Π∗i
A − t + C̄ − (M + 1)ci
=
(M + 1)2
Ñóììàðíûé âûïóñê
M
X
i=1
qi =
M (A − t) − C̄
.
M +1
(â) Íàëîã íà ïðèáûëü:
4
2
.
(8)
qi =
ñ âûïëàòàìè
A + C̄ − (M + 1)ci
ïðè i ∈ {1, ..., M }
M +1
2
βp A + C̄ − (M + 1)ci
∗
Πi =
.
(M + 1)2
(9)
Ñóììàðíûé âûïóñê
M
X
qi =
i=1
M A − C̄
.
M +1
(ã) Íàëîã íà äîáàâëåííóþ ñòîèìîñòü:
qi =
βn (A − cz ) + C̄ − (M + 1)ci
ïðè i ∈ {1, ..., M }
βn (M + 1)
ñ âûïëàòàìè
Π∗i
βn (A − cz ) + C̄ − (M + 1)ci
=
βn (M + 1)2
(10)
2
.
Ñóììàðíûé âûïóñê
M
X
i=1
qi =
βn M (A − cz ) − C̄
.
βn (M + 1)
4. Êîíêóðåíòíàÿ áîðüáà â ðàìêàõ ìîäåëè Êóðíî.
 Ðîññèè äëÿ ïîääåðæàíèÿ ìàëîãî áèçíåñà áûëà ââåäåíà óïðîùåííàÿ ñèñòåìà íàëîãîîáëîæåíèÿ, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç äâóõ íàëîãîâûõ ñòàâîê: 15% (êîãäà íàëîã ïëàòèòñÿ ñ
îáùåé âûðó÷êè çà ìèíóñîì âñåõ çàòðàò) è 6% (êîãäà íàëîã ïëàòèòñÿ ñ îáùåé âûðó÷êè)
[11].  äàííîé ìîäåëè ìû äåëàåì ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ôèðìû ñíà÷àëà óñòàíàâëèâàþò
ïëàíîâûé îáúåì ïðîèçâîäñòâà, à çàòåì çàòåì âûáèðàþò âèä íàëîãîâîé ñòàâêè. Äàííóþ
çàäà÷ó âûáîðà íàëîãîâîé ñòàâêè â êîíêóðåíòíîé ñðåäå ìû èññëåäóåì ñ ïîìîùüþ äâóõøàãîâîé èãðû, â êîòîðîé äâå ôèðìû ïðîèçâîäÿò îäèí è òîò æå îäíîðîäíûé ïðîäóêò.
Íà ïåðâîì øàãå ôèðìû ïëàíèðóþò âûïóñê â ðàìêàõ ìîäåëè Êóðíî, à íà âòîðîì øàãå
îíè âûáèðàþò íàëîãîâóþ ñòàâêó. Ïóñòü qi áóäåò êîëè÷åñòâîì ïðîäóêòà, ïðîèçâåäåííîãî ôèðìîé i è p öåíà ïðîäóêòà, êîòîðàÿ çàâèñèò îò îáùåãî êîëè÷åñòâî òîâàðà íà
ðûíêå: p = A − q , ãäå q = q1 + q2 . Ïóñòü A ýòî ìàêñèìàëüíàÿ öåíà ïðîäóêòà, âîçìîæíàÿ
íà ðûíêå. Êðîìå òîãî, ïóñòü ñòîèìîñòü ïðîèçâîäñòâà åäèíèöû ïðîäóêöèè äëÿ îáåèõ
ôèðì îäíà è òà æå è ðàâíî c, ïðè÷åì, A > c. Ðàçìåðíîñòè ïåðåìåííû àíàëîãè÷íû
ðàçìåðíîñòÿì èç ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôîâ: π, A, p, c ðóá., q øò.
Íà ïåðâîì øàãå èãðû ôèðìû îïðåäåëÿþò ïëàí ïðîèçâîäñòâà ïðè ôèêñèðîâàííûõ íàëîãîâûõ ñòàâêàõ, à íà âòîðîì âûáèðàþò íàëîãîâûå ñòàâêè. Ïîýòîìó, íà âòîðîì øàãå
ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ áèìàòðè÷íóþ èãðó:
P
T
P
PP
PP
(π1∗
, π2∗
)
TP
TP
(π1∗
, π2∗
)
T
PT
PT
(π1∗
, π2∗
),
TT
TT
)
(π1∗
, π2∗
ãäå πist , s, t ∈ {T, P } îïòèìàëüíàÿ ïðèáûëü ôèðìû i îïðåäåëÿåìàÿ ñ ïîìîùüþ ìîäåëè
Êóðíî, ïðè âûáîðå ïåðâîé ôèðìîé ñòðàòåãèè s, à âòîðîé t. Èç ñîîòâåòñòâóþùèõ
óðàâíåíèé Êóðíî èìååì,
5
βP (A − c)2 P P
βP (A − c)2
, π2∗ =
,
9
9
(βT A − c)2 T T
(βT A − c)2
TT
π1∗
=
, π2∗ =
,
9βT
9βT
(βT A + βT c − 2c)2
βP (βT A + c − 2βT c)2 P T
=
, π2∗ =
,
2
9βT
9βT
PP
π1∗
=
PT
π1∗
TP
π1∗
=
(βT A + βT c − 2c)2 T P
βP (βT A + c − 2βT c)2
, π2∗ =
.
9βT
9βT2
Ïðè÷åì βP = 1 − TP è TP ñòàâêà íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ ÷èñòîé ïðèáûëè, βT = 1 − TT
è TT - ñòàâêà íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ îáùåãî äîõîäà. Äàííûå ïåðåìåííûå òàêæå êàê è â
ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ íå èìåþò ðàçìåðíîñòè, ò.ê. ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè è íàëîãè
óïëà÷èâàþòñÿ ñ ïðèáûëè èëè ñ îáùåé âûðó÷êè ôèðìû.  ÐÔ TT = 0.06 è TP = 0.15. Òàê
êàê ñóììà íàëîãîîáëîæåíèÿ â ñëó÷àå íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ îáùåé âûðó÷êè áîëüøå, ÷åì
â ñëó÷àå íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ ÷èñòîé ïðèáûëè, òî â ðåàëüíûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ
(â ÷àñòíîñòè êàê è äëÿ ñòàâîê, ïðèìåíÿåìûõ â ÐÔ) TT < TP . Èòàê βT > βP .
Ïóñòü
p
βt (2 − βp − βt ) − 2 βt βp (1 − βt )
t1 =
,
βt (βt − βp )
p
βt + βp − 2βp βt + 2 βp βt (1 − βt )
,
t2 =
βt (βt − βp )
W =
−βt3 A2 + (2Ac + 4βp c2 − 4βp Ac + βp A2 )βt2 + (2βp Ac − 4βp c2 − c2 )βt + βp c2
.
((c + 2A)βt3 + (3βp c − 2βp A − 2A − 4c)βt2 + (3c + 2βp A − 4βp c)βt + βp c)c
Çàìå÷àíèå 1 Äëÿ ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ
(a) t2 > t1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
(b)
1
< t1 ,
βt
(a)
1
< t2 .
βt
√ 1
β
( 5−2)2 p
> βt ,
Äîêàçàòåëüñòâî:
(a) t2 − t1 > 0 äàåò íàì:
p
−βt (1 − βt ) + βp (1 − βt ) + 4 βt βp (1 − βt )
>0
pβt (βt − βp )
(−βt + βp + 4 βt βp )(1 − βt )
>0
βt (βt − β
√p )
√
p
p
√
√
(1 − βt )( βp − ( 5 − 2) βt )( βp + ( 5 + 2) βt )
>0
βt (βt − βp )
6
 ñèëó òîãî ÷òî, 0 < βp < βt < 1, òî ìû ïîëó÷àåì, ÷òî
1
È â èòîãå: √
βp > βt
( 5 − 2)2
p
√
p
βp > ( 5 − 2) βt
1
> 0 äàåò íàì:
βt
p
βt (1 − βt ) + βp (1 − βt ) − 2 βt βp (1 − βt )
>0
p βt (βt − βp )
(βt + βp − 2 βt βp )(1 − βt )
>0
βt (βt − βp )
p
√
( βt − βp )2 (1 − βt )
> 0 ÷òä
βt (βt − βp )
(b) t1 −
1
> 0 äàåò íàì:
βt
p
−βp (1 − βt ) + βt βp (1 − βt )
>0
βt (βt − βp )p
p
√
βp (1 − βt )( βt − βp )
> 0 ÷òä
βt (βt − βp )
(ñ) t2 −
 ñëåäóþùåé òåîðåìå ïðèâåäåíî ðåøåíèå áèìàòðè÷íîé èãðû, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò
êðèòåðèé âûáîðà íàëîãîâîé ñòàâêè:
Òåîðåìà 3 Â äâóõøàãîâîé èãðå âûáîðà íàëîãîâîé ñòàâêè âîçìîæíî äâà âàðèàíòà:
1
βp > βt :
( 5 − 2)2
(1) Ïðè √
c
, t1 c], òî ((W, 1−W ), (W, 1−W )) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó,
βt
(b) Åñëè A ∈ (t1 c, t2 c], òî (P, P ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó,
(a) Åñëè A ∈ (
(c) Åñëè A > t2 c, òî (T, T ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó.
1
βp < βt :
( 5 − 2)2
(2) Ïðè √
c
, t2 c], òî ((W, 1−W ), (W, 1−W )) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó,
βt
(b) Åñëè A > t2 c, òî (T, T ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó .
(a) Åñëè A ∈ (
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Âàðèàíò (1) íàèáîëåå ðåàëèñòè÷åí, îí õàðàêòåðèçóåò ñëó÷àé, êîãäà íàëîãîâûå ñòàâêè
ñóùåñòâåííî íå îòëè÷àþòñÿ, ÷òî ÷àùå âñåãî âñòðå÷àåòñÿ â ðåàëüíûõ íàëîãîâûõ ñèñòåìàõ.  ðàìêàõ äàííîãî ñëó÷àÿ ìû ïîëó÷àåì ñíà÷àëà ñìåøàííóþ ñòðàòåãèþ - ïðè
c
A∈(
, t1 c], ÷òî õàðàêòåðèçóåò íàèáîëåå êîíêóðåíòíóþ ñðåäó ïðè ìàëûõ ïðèáûëÿõ
βt c
ó ôèðì. Çàòåì ïðè A ∈ (t1 c, t2 c] ôèðìû âûáèðàþò íàëîãîîáëîæåíèå ñ ÷èñòîé ïðèáûëè, ÷òî ñîîòíîñèòñÿ è ýêîíîìè÷åñêèì ñìûñëîì - ôèðìû âûáèðàþò íàëîãîîáëîæåíèå ñ
7
÷èñòîé ïðèáûëè, åñëè ÷èñòàÿ ïðèáûëü íå âåëèêà ïî îòíîøåíèþ ê îáùåé âûðó÷êå. Â
ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïðè A > t2 c ôèðìà âûáèðàåò íàëîãîîáëîæåíèå ñ îáùåé âûðó÷êè, ÷òî
òàêæå âñòðå÷àåòñÿ íà ïðàêòèêå - åñëè ÷èñòàÿ ïðèáûëü ó ôèðìû çàíèìàåò äîñòàòî÷íî
áîëüøóþ äîëþ â îáùåé âûðó÷êå, òî ôèðìà âûáèðàåò íàëîãîîáëîæåíèå ñ îáùåé âûðó÷êè.  ñèëó ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ìû ïîëó÷èëè åäèíñòâåííóþ
òî÷êó ïåðåêëþ÷åíèÿ ñ íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ ÷èñòîé ïðèáûëè íà íàëîãîîáëîæåíèå ñ îáùåé
âûðó÷êè - t2 c.
Ïåðåéäåì ê ñëó÷àþ (2), åãî ìîæíî íàçâàòü ïðåäåëüíûì ñëó÷àåì, ò.ê. îí ïðåäïîëàãàåò,
÷òî íàëîãîâàÿ ñòàâêà ïðè íàëîãîîáëîæåíèè ñ ÷èñòîé ïðèáûëè î÷åíü âåëèêà, ÷òî äåìîí1
ñòðèðóåò íàì íåðàâåíñòâî √
βp < βt . Ïîýòîìó ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ëîãè÷åí
( 5 − 2)2
- ìû èñïîëüçóåì íàëîãîîáëîæåíèå ñ ÷èñòîé ïðèáûëè òîëüêî â ñìåøàííîé ñòðàòåãèè
ïðè ìàëûõ ïðèáûëÿõ, êîãäà ñèòóàöèÿ îñîáåííî êîíêóðåíòíà, à çàòåì îòêàçûâàåìñÿ îò
íàëîãîîáëîæåíèÿ ñ ÷èñòîé ïðèáûëè è èñïîëüçóåì òîëüêî íàëîãîîáëîæåíèå ñ îáùåé
âûðó÷êè.
5. Îáùèé ñëó÷àé ìîäåëè Øòàêåëüáåðãà.
Ðàçâèòèåì ìîäåëè äóîïîëèè Êóðíî ñòàëà ìîäåëü àñèììåòðè÷íîé äóîïîëèè Ã. Øòàêåëüáåðãà (1905-1946) [13]. Àñèììåòðèÿ â ìîäåëè Øòàêåëüáåðãà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî
äóîïîëèñòû ìîãóò ïðèäåðæèâàòüñÿ ðàçíûõ òèïîâ ïîâåäåíèÿ.
 ïîâåäåíèè ôèðì â ïðèíöèïå âîçìîæíû òðè ñòðàòåãèè:
1-ÿ - îäíà èç ôèðì ñòðåìèòñÿ ñòàòü ëèäåðîì, äðóãàÿ ñîãëàñíà áûòü ïîñëåäîâàòåëåì
(àóòñàéäåðîì).
2-ÿ - îáå ôèðìû ñòðåìÿòñÿ áûòü ëèäåðîì.
3-ÿ - îáå ôèðìû ïðåäïî÷èòàþò ðîëü ïîñëåäîâàòåëÿ.
Ïîñëåäíÿÿ ñèòóàöèÿ - ýòî ïî ñóùåñòâó ñëó÷àé äóîïîëèè Êóðíî.
Âòîðàÿ ñèòóàöèÿ íàçûâàåòñÿ íåðàâíîâåñèåì Øòàêåëüáåðãà. Ìåæäó ôèðìàìè ðàçâîðà÷èâàåòñÿ öåíîâàÿ âîéíà, êîòîðàÿ çàêàí÷èâàåòñÿ, êîãäà, ëèáî îäíà èç ñòîðîí ñäàåòñÿ è
îòêàçûâàåòñÿ îò ïîïûòîê ñòàòü ëèäåðîì, ëèáî ëèáî êîãäà îáå ôèðìû âñòóïàþò â ñãîâîð.
Åñëè ðîëè ðàñïðåäåëåíû è ïîïûòîê ïîìåíÿòü èõ íåò, òî ôèðìà-ïîñëåäîâàòåëü, ïîëàãàÿ âûïóñê ëèäåðà çàäàííûì, áóäåò âûáèðàòü ñâîé âûïóñê, ïåðåìåùàÿñü âäîëü êðèâîé ðåàêöèè (ò.å. äåéñòâóÿ âïîëíå "ïî Êóðíî"). Ôèðìà-ëèäåð, íàîáîðîò, íå âåäåò ñåáÿ
êàê â ìîäåëè Êóðíî. Îíà çíàåò êðèâóþ ðåàãèðîâàíèÿ ñîïåðíèêà (ìàêñèìèçèðóþùèå
ïðèáûëü ðàçìåðû âûïóñêà, êîòîðûé áóäåò îñóùåñòâëÿòüñÿ îäíîé ôèðìîé, åñëè äàíû
ðàçìåðû âûïóñêà ôèðìû ñîïåðíèêà) è ó÷èòûâàåò åãî ðåàêöèþ ïðè îïðåäåëåíèè ñâîåãî
âûïóñêà. Ñëåäîâàòåëüíî, ôèðìà-ëèäåð çàõî÷åò âûáðàòü òàêóþ êîìáèíàöèþ âûïóñêîâ
îáåèõ ôèðì, êîòîðàÿ ïðèíåñåò èìåííî åé ìàêñèìàëüíóþ ïðèáûëü. Íî ýòî äîëæíà áûòü
òàêàÿ êîìáèíàöèÿ, êîòîðàÿ, âî-ïåðâûõ, ðàñïîëîæåíà íà êðèâîé ðåàãèðîâàíèÿ ôèðìûàóòñàéäåðà, à, âî-âòîðûõ, ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé êàñàíèÿ ýòîé êðèâîé è òîé èçîïðîôèòû (ñîâîêóïíîñòè òî÷åê, ïðåäñòàâëÿþùèõ ðàçëè÷íûå êîìáèíàöèè âûïóñêà, îáåñïå÷èâàþùèõ
îäèíàêîâóþ ïðèáûëü) ëèäåðà, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò ïîñëåäíåìó íàèâûñøóþ (èç âîçìîæíûõ) ïðèáûëü.
 äàííîì ïàðàãðàôå ìû èññëåäóåì îáùóþ ìîäåëü Øòàêåëüáåðãà, ñîñòîÿùóþ èç M
ôèðì, äåëÿùèõñÿ íà N ãðóïï ðàçëè÷íîé èåðàðõèè, à çàòåì ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè
äàííîé ìîäåëè.
8
 îáùåì ñëó÷àå ìû ðàññìàòðèâàåì èåðàðõè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, ñîñòîÿùóþ èç M
ôèðì, äåëÿùèõñÿ íà N ãðóïï Γ1 ,. . . ΓN ñ ðàçëè÷íûìè èåðàðõè÷åñêèìè óðîâíÿìè. Òàêèì
îáðàçîì ãðóïïà Γi íàõîäèòñÿ íà iîì óðîâíå è ñîñòîèò èç Mi ôèðì. Ïóñòü Γ̄i = ∪ij=1 Γi ,
Pi
i ∈ [1, N ] è M̄i = j=1 Mi áóäåò êîëè÷åñòâîì ôèðì ñ óðîâíÿ 1 ïî i. Òîãäà M̄N = M .
Ïðèìåì M̄0 = 0. Òîãäà ïðèáûëü ôèðìû i â íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ îïðåäåëÿåòñÿ:


X
Πi = A −
qj  qi − ci qi , i ∈ Γ̄N .
(11)
j∈Γ̄N
Ïðè÷åì ðàçìåðíîñòè ïåðåìåííûõ ïðèâåäåííûõ â äàííîì è ñëåäóþùåì ïàðàãðàôàõ ñîâïàäàþò ñ ðàçìåðíîñòÿìè àíàëîãè÷íûõ ïåðåìåííûõ â ïàðàãðàôàõ 2 è 3.
Äàëåå øàã çà øàãîì, óðîâåíü çà óðîâíåì, íà÷èíàÿ ñ óðîâíÿ N (ïåðâûé øàã), êîòîðûé
ÿâëÿåòñÿ íèæíèì è ñîñòîèò èç ôèðì èç ãðóïïû ΓN . Òàê êàê ∂ 2 Πi /∂ 2 qi = −2, òî äàëåå
ýòè ôèðìû óñòàíàâëèâàþò ñâîè ñòðàòåãèè êàê ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé ∂Πi /∂qi = 0,
i ∈ ΓN èëè
X
−2qi + A −
qj − ci = 0, i ∈ ΓN .
j∈Γ̄N \{i}
Òîãäà âûïóñêè ôèðì èç íèçøåé èåðàðõè÷åñêîé ãðóïïû Γ̄N îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì â çàâèñèìîñòè îò âûïóñêîâ ôèðì ñî ñëåäóþùèõ (áîëåå âûñîêèõ) èåðàðõè÷åñêèõ
óðîâíåé (êðèâàÿ ðåàãèðîâàíèÿ)


X
C̄N
1


A−
qj − ci −
, i ∈ ΓN ,
(12)
qi =
MN + 1
MN + 1
j∈Γ̄N −1
ãäå
X
C̄k =
k ∈ {1, ..., N }.
cj ,
j∈Γk
Òàê, ïîñëå ïîäñòàíîâêè (12) â (11) ïðè i ∈ Γ̄N −1 ìû ïîëó÷àåì ÷òî âûèãðûø ôèðìû i
èç ãðóïïû ΓN −1 (ñëåäóþùàÿ â èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðå çà ãðóïïîé ΓN )


X
1
1


Πi =
A−
qj qi − ci −
C̄N qi , i ∈ Γ̄N −1 .
(13)
MN + 1
MN + 1
j∈Γ̄N −1
Ïåðåõîäÿ ê ñëåäóþùåìó óðîâíþ (âòîðîé øàã), à èìåííî ê óðîâíþ N − 1, ñîñòîÿùåìó
èç ôèðì èç ãðóïïû ΓN −1 . Òàê êàê ∂ 2 Πi /∂ 2 qi = −2/(MN + 1), òî äàëåå ýòè ôèðìû
óñòàíàâëèâàþò ñâîè ñòðàòåãèè êàê ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé ∂Πi /∂qi = 0 , i ∈ ΓN −1 ,
ãäå Πi îïðåäåëÿþòñÿ èç (13). Èòàê
X
−2qi + A −
qj − (MN + 1)ci + C̄N = 0, i ∈ ΓN −1 .
j∈Γ̄N −1 \{i}
Òîãäà,


qi =
−
1
A −
MN −1 + 1
1
MN −1 + 1
X
qj 
(14)
j∈Γ̄N −2
PNN−1 ci − PNN C̄N −1 − C̄N
9
ïðè i ∈ ΓN −1 ,
ãäå
s
Y
Psr =
(Mk + 1) ïðè 1 ≤ s ≤ r ≤ N
k=r
è
Psr = 1 ïðè s > r.
Èòàê, ïîäñòàâëÿÿ qi èç (14) â (13) ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûèãðûøè ôèðì èç ãðóïïû
Γ̄N −2 :


X
1 
A−
qj  qi
Πi = N
PN −1
j∈Γ̄N −2
!
1
N
− ci − N
P C̄N −1 + C̄N
qi , i ∈ Γ̄N −2 .
PN −1 N
Äàëåå ïåðåéäåì ê óðîâíþ M − k ñîñòîÿùåìó èç ôèðì èç ãðóïïû ΓN −k . Òàê êàê
∂ 2 Πi /∂ 2 qi = −2/PNN−1 , òî äàëåå äàííûå ôèðìû óñòàíàâëèâàþò ñâîè ñòðàòåãèè ðàâíûìè
ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé ∂Πi /∂qi = 0 , i ∈ ΓN −k . Èòàê,


X
1
A −
qj 
qi =
MN −k + 1
j∈Γ̄N −k−1


k
X
1
N
N
PN −k ci −
−
PN −j+1 C̄N −j  ïðè i ∈ ΓN −k
MN −k + 1
j=0
è

Πi =
1
PNN−k

− ci −

A −
X
qj  qi
j∈Γ̄N −k−1
1
k
X
PNN−k
j=0

PNN−j+1 C̄N −j  qi ïðè i ∈ ΓN −k−1 .
Òàê äëÿ âûñøåãî (ïåðâîãî) óðîâíÿ ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ


N
−1
X
1
P1N
A +
qi =
PNN−j+1 C̄N −j  −
ci
M1 + 1
M1 + 1
j=0
È ñóììàðíûé âûïóñê ôèðì íà ïåðâîì óðîâíå ðàâåí


N
X
X
M1 
N
qi =
A+
Pj+1
C̄j  − P2N C̄1 .
M1 + 1
j=1
i∈Γ1
10
Âîçâðàùàÿñü íàçàä ìû ïîëó÷àåì, ÷òî íà óðîâíå k , k ∈ [1, N ] ôèðìû èìåþò ñëåäóþùèå
îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè:


N
−1
X
PkN
1 
PNN−j+1 C̄N −j  −
ci , i ∈ Γk
qi = k A +
Mk + 1
P1
j=0
è ñóììàðíûé âûïóñê ôèðì íà k -îì óðîâíå ðàâåí


N
X
X
Mk 
N
N
qi = k A +
Pj+1
C̄j  − Pk+1
C̄k .
P
1
j=1
i∈Γ
k
Èòàê, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò
Òåîðåìà 4 Â ìîäåëè Øòàêåëüáåðãà ñ N ãðóïïàìè ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:


N
X
1 
N
qi = k A +
Pj+1
C̄j − P1N ci  ,
P1
j=1
i ∈ Γk
(15)
ñ âûïëàòàìè
A+
PN
j=1
Πi =
N
Pj+1
C̄j − P1N ci
2
P1k P1N
,
i ∈ Γk .
Ñóììàðíûé âûïóñê îïðåäåëÿåòñÿ
M
X
qi =
1−
i=1
1
P1N
A−
N
1 X N
P C̄i .
P1N i=1 i+1
Êîíå÷íî, â òåîðåìå 4 ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî âíóòðåííèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå ñóùåñòâóþò ïðè ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âñå ïàðàìåòðû ìîäåëè òàêèå, ÷òî âñå qi , îïðåäåëÿåìûå
â (15), ïîëîæèòåëüíû, à èìåííî åñëè âûïîëíÿþòñÿ äàííûå íåðàâåíñòâà:
A+
N
X
N
Pj+1
C̄j ≥ P1N ci ïðè i ∈ Γk , k ∈ {1, ..., N }.
j=1
Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ñ ðàâíûìè îáùèìè èçäåðæêàìè ci = c, i ∈ {1, ..., M } ìû ïîëó÷àåì
èç òåîðåìû 4 ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:
Òåîðåìà 5  ñëó÷àå ðàâíûõ èçäåðæåê ïðîèçâîäñòâà ci = c, i ∈ {1, ..., M } â ìîäåëè
Øòàêåëüáåðãà ñ N ãðóïïàìè ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
qi =
1
(A − c) ,
P1k
i ∈ Γk ,
ñ âûïëàòàìè
Πi =
(A − c)2
,
P1k P1N
11
i ∈ Γk .
Ñóììàðíûé âûïóñê îïðåäåëÿåòñÿ
M
X
qi =
1−
i=1
1
P1N
(A − c).
Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, êîãäà â êàæäîé ãðóïïå ñóùåñòâóåò òîëüêî îäíà ôèðìà, ìû ïîëó÷àåì èç òåîðåìû 4 ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:
Òåîðåìà 6 Â ìîäåëè Øòàêåëüáåðãà îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì


M
−1
X
1 
qi = i A +
2j cM −j − 2M ci  ,
2
j=0
i ∈ {1, ..., M }
ñ ïðèáûëÿìè

Πi =
1
2M +i
A − 2M ci +
M
−1
X
2
2j cM −j  i ∈ {1, ..., M }.
j=0
Ñóììàðíûé âûïóñê ðàâåí
M
X
qi =
i=1
1
1− M
2
A−
M −1
1 X j
2 cM −j .
2M j=0
Ïîíÿòíî, ÷òî ôèðìà óâåëè÷èâàåò ñîáñòâåííîå ïðîèçâîäñòâî, åñëè ñòîèìîñòü ïðîèçâîäñòâà ñîïåðíèêà óâåëè÷èâàåòñÿ, è óìåíüøàåò ñîáñòâåííîå ïðîèçâîäñòâî, åñëè ñîáñòâåííûå èçäåðæêè âîçðàñòàþò. Íà ñàìîì äåëå, qi óâåëè÷èâàåòñÿ ñ êàæäûì cj ãäå j 6= i
è qi óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ci
Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àþ ñ ðàâíîé ôóíêöèÿìè èçäåðæåê ci = c, i ∈ {1, ..., M } èç òåîðåìû 6
ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 7 Äëÿ ñëó÷àÿ ðàâíûõ èçäåðæåê ci = c, i ∈ {1, ..., M } ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè
îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
qi =
ñ âûïëàòàìè
Πi =
1
(A − c),
2i
i ∈ {1, ..., M }
1
(A − c)2 ,
2M +i
i ∈ {1, ..., M }.
Ñóììàðíûå âûïëàòû ðàâíû
M
X
1
qi = (A − c) 1 − M
2
i=1
.
Åñëè ÷èñëî ôèðì ñ ðàçíûìè èçäåðæêàìè c âîçðàñòàåò, òî ñóììàðíûé âûïóñê ñòðåìèòñÿ
ê A − c.
6. Íàëîãîâîå ðàñøèðåíèå ìîäåëè Øòàêåëüáåðãà. Â äàííîì ïàðàãðàôå ðàññìîòðèì âëèÿíèå îñíîâíûõ íàëîãîâûõ ñèñòåì, ìîäåëè êîòîðûõ ïðèâåäåíû â [10], íà
ðàâíîâåñèå Øòàêåëüáåðãà. Ôóíêöèè ïðèáûëè â ñëó÷àå óïëàòû íàëîãîâ áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ àíàëîãè÷íî ôóíêöèÿì, ïðèâåäåííûì â òðåòüåì ïàðàãðàôå. Ïåðåôîðìóëèðóåì
òåîðåìó 4 íà ñëó÷àé óïëàòû äàííûõ íàëîãîâ.
12
Òåîðåìà 8 Â ìîäåëè Øòàêåëüáåðãà ñ N ãðóïïàìè ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(à) Íàëîã ñ ïðîäàæ:


N
X
1 
N
qi =
βt A +
Pj+1
C̄j − P1N ci  ,
βt P1k
j=1
i ∈ Γk
ñ âûïëàòàìè
βt A +
PN
j=1
Πi =
N
Pj+1
C̄j − P1N ci
2
i ∈ Γk .
,
βt P1k P1N
Ñóììàðíûé âûïóñê îïðåäåëÿåòñÿ
M
X
1−
qi =
i=1
1
P1N
A−
N
1 X N
P C̄i .
βt P1N i=1 i+1
(á) Àêöèçíûå íàëîã:


N
X
1 
N
A−t+
Pj+1
C̄j − P1N ci  ,
P1k
j=1
qi =
i ∈ Γk
ñ âûïëàòàìè
A−t+
PN
Πi =
N
N
j=1 Pj+1 C̄j − P1 ci
2
,
P1k P1N
i ∈ Γk .
Ñóììàðíûé âûïóñê îïðåäåëÿåòñÿ
M
X
qi =
1−
i=1
1
P1N
(A − t) −
N
1 X N
P C̄i .
P1N i=1 i+1
(â) Íàëîã íà ïðèáûëü:


N
X
1 
N
qi = k A +
Pj+1
C̄j − P1N ci  ,
P1
j=1
i ∈ Γk
ñ âûïëàòàìè
Πi =
2
PN
N
βp A + j=1 Pj+1
C̄j − P1N ci
P1k P1N
,
i ∈ Γk .
Ñóììàðíûé âûïóñê îïðåäåëÿåòñÿ
M
X
i=1
qi =
1
1− N
P1
A−
13
N
1 X N
P C̄i .
P1N i=1 i+1
(ã) Íàëîã íà äîáàâëåííóþ ñòîèìîñòü:


N
X
1 
N
qi =
βn (A − cz ) +
Pj+1
C̄j − P1N ci  ,
βn P1k
j=1
i ∈ Γk
ñ âûïëàòàìè
βn (A − cz ) +
Πi =
PN
j=1
N
Pj+1
C̄j − P1N ci
2
,
βn P1k P1N
i ∈ Γk .
Ñóììàðíûé âûïóñê îïðåäåëÿåòñÿ
M
X
i=1
qi =
1
1− N
P1
(A − cz ) −
N
1 X N
P C̄i .
βn P1N i=1 i+1
7. Çàêëþ÷åíèå.
 äàííîé ðàáîòå ìû ðàññìîòðåëè èåðàðõè÷åñêèå ñòðóêòóðû â îáîáùåííîé ôîðìå
Êóðíî-Øòàêåëüáåðã ìîäåëåé îëèãîïîëèè, âûâåëè îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè â ñëó÷àÿõ
ðàçëè÷íûõ íàëîãîâûõ ñèñòåì â àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå è ïðîâåëè àíàëèç êîíêóðåíòíîé
áîðüáû â ðàìêàõ ìîäåëè Êóðíî. Ìû ìîæåì ïðèìåíèòü äàííûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ
äëÿ ðàñ÷åòà âëèÿíèÿ íà ðûíîê.  êà÷åñòâå êðèòåðèÿ äàííîãî âëèÿíèÿ ðàññìîòðèì öåíó
òîâàðà p èëè îáùèé îáúåì ïðîèçâîäñòâà âñåõ ôèðì (Q = A − p). Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó
òåîðåì 6, 4, 1, 2 è 8 îáúåì ïðîèçâîäñòâà Q îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(à)  ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ èåðàðõè÷åñêèõ ñòðóêòóð ìåæäó M ôèðì:
Q{1,2,...,M } =
1
M A − C̄ .
M +1
(á)  ñëó÷àå ëèíåéíîé ñòðóêòóðû, ãäå êàæäàÿ èç M ôèðì íàõîäèòñÿ íà ñâîåì óðîâíå:
Q{1},{2},...,{M } =
1−
1
2M
A−
M
1 X M −j
2
cj .
2M j=1
(â)  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà èåðàðõè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ñîñòîèò èç M ôèðì, ðàçáèòûõ íà
N ãðóïï ({1, ..., M1 }- ïåðâàÿ ãðóïïà, {M1 + 1, ..., M2 } - âòîðàÿ, .... {MN −1 + 1, ..., MN } ãðóïïà íîìåð N):
Q{1,...,M1 },{M1 +1,...,M2 },...,{MN −1 +1,...,MN } =
1
1− N
P1
N
1 X N
A− N
P C̄i .
P1 i=1 i+1
(ã)  îáùåì ñëó÷àå c íàëîãîì ñ ïðîäàæ, êîãäà èåðàðõè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ñîñòîèò èç M
ôèðì, ðàçáèòûõ íà N ãðóïï:
Q{1,...,M1 },{M1 +1,...,M2 },...,{MN −1 +1,...,MN }T =
14
1−
1
P1N
A−
N
1 X N
P C̄i .
βt P1N i=1 i+1
(ä)  îáùåì ñëó÷àå ñ àêöèçíûì íàëîãîì, êîãäà èåðàðõè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ñîñòîèò èç M
ôèðì, ðàçáèòûõ íà N ãðóïï:
Q{1,...,M1 },{M1 +1,...,M2 },...,{MN −1 +1,...,MN }A =
1−
1
P1N
(A − t) −
N
1 X N
P C̄i .
P1N i=1 i+1
(å)  îáùåì ñëó÷àå ñ íàëîãîì íà ïðèáûëü, êîãäà èåðàðõè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ñîñòîèò èç
M ôèðì, ðàçáèòûõ íà N ãðóïï:
Q{1,...,M1 },{M1 +1,...,M2 },...,{MN −1 +1,...,MN }P =
1
1− N
P1
A−
N
1 X N
P C̄i .
P1N i=1 i+1
(¸)  îáùåì ñëó÷àå íàëîãîì íà äîáàâëåííóþ ñòîèìîñòü, êîãäà èåðàðõè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà
ñîñòîèò èç M ôèðì, ðàçáèòûõ íà N ãðóïï:
Q{1,...,M1 },{M1 +1,...,M2 },...,{MN −1 +1,...,MN }N =
1−
1
P1N
(A − cz ) −
N
1 X N
P C̄i .
βn P1N i=1 i+1
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî òîëüêî íàëîã íà ïðèáûëü íèêîèì îáðàçîì íå âëèÿåò íà ñóììàðíûé âûïóñê Q - ïðîèçâîäèòåëè íå ìåíÿþò ñâîé ñòðàòåãèè.
 êà÷åñòâå ÷èñëåííîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðàññìîòðèì ðûíîê, ñîñòîÿùèé èç òðåõ
ôèðì (M = 3) ñ ïðåäåëüíûìè èçäåðæêàìè ïðîèçâîäñòâà ci = i, i = 1, 2, 3, è A = 10.
Êðîìå òîãî, ñ÷èòàåì, ÷òî ê äàííûì ôèðìàì ïðèìåíÿþòñÿ ñòàâêè óïðîùåííîé ñèñòåìû
íàëîãîîáëîæåíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè, ò.å. βp = 1 − 0.15 = 0.85, βt = 1 − 0.06 = 0.94.
Ñòàâêà ÍÄÑ ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé βn = 1−0.18 = 0.82, à ðàñõîäû íà ïðèîáðåòåííûå òîâàðû
ðàâíû cz = 0.5 è àêöèç ðàâåí t = 0.4. Òîãäà, ñóììàðíûå âûïóñêè ðàâíû Q{1,2,3} = 6,
Q{1,2},{3} = 6.833, Q{1},{2,3} = 7, Q{1},{2},{3} = 7.375, à ðûíî÷íûå öåíû áóäóò p{1,2,3} = 4,
p{1,2},{3} = 3.167, p{1},{2,3} = 3 è p{1},{2},{3} = 2.625. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî â
äàííîì ñëó÷àå ñàìûì âûãîäíûì äëÿ ïîòðåáèòåëåé âàðèàíòîì áóäåò ìîäåëü Øòàêåëüáåðãà ñ 1 ôèðìîé íà êàæäîì óðîâíå, òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå ìû íàáëþäàåì ìàêñèìàëüíûé ñóììàðíûé âûïóñê ïðè ìèíèìàëüíîé ðàâíîâåñíîé öåíå. Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì êàêàÿ
ñèñòåìà íàëîãîîáëîæåíèÿ áóäåò îïòèìàëüíîé â äàííîì ñëó÷àå.  ÷åòûðåõ âàðèàíòàõ íàëîãîâûõ ñòàâîê ñóììàðíûé âûïóñê è ðàâíîâåñíàÿ öåíà ðàâíû: (à) Q{1},{2},{3} = 7.2872
è p{1},{2},{3} = 2.7128 ïðè íàëîãå ñ ïðîäàæ, (á) Q{1},{2},{3} = 7.375 è p{1},{2},{3} = 2.625
ïðè íàëîãå íà ïðèáûëü, (â) Q{1},{2},{3} = 7.025 è p{1},{2},{3} = 2.975 ïðè àêöèçíîì íàëîãå è (ã) Q{1},{2},{3} = 6.6357 è p{1},{2},{3} = 3.3644 äëÿ ÍÄÑ. Òàêèì îáðàçîì, íàëîã íà
ïðèáûëü åäèíñòâåííûé íàëîã, êîòîðûé íå óìåíüøàåò îáùèé âûïóñê è íå óâåëè÷èâàåò
ðàâíîâåñíóþ öåíó.
 çàêëþ÷åíèè ðàññìîòðèì ðàññìîòðèì ÷èñëåííûé ïðèìåð äâóõøàãîâîé êîíêóðåíòíîé èãðû ïðè íàëîãîâûõ ñòàâêàõ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè: c = 1, A = 10, βp = 1 − 0.15 =
PP
PP
TT
TT
PT
TP
0.85, βt = 1 − 0.06 = 0.94: π1∗
= π2∗
= 7.65, π1∗
= π2∗
≈ 8.23, π1∗
= π2∗
≈
TP
PT
7, 76, π1∗ = π2∗ ≈ 8, 22, t1 ≈ 1.07, t2 ≈ 3.54. Òàêèì îáðàçîì ëåãêî çàìåòèòü ÷òî ñòðàòåãèÿ (T ,T ) áóäåò îïòèìàëüíîé òàê êàê π T T ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøåé ïðèáûëüþ èç âñåõ
âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ, à A > t2 c.
15
Ëèòåðàòóðà
1. Gibbons R. Game Theory for Applied Economists. Princeton, NJ: Princeton University
Press./ 1992. 288p.
2. British American Tobacco - Annual Report and Accounts.
http://www.bat.com/group/sites/uk__3mnfen.nsf/vwPagesWebLive
/DO52AK34/$FILE/medMD7D9KKN.pdf?openelement.
3. Japan Tabacco International Annual reports.
http://www.altria.com/AnnualReport/ar2006/2006ar_05_0200.aspx
4. Anderson S.P., Engers M. Stackelberg versus Cournot Oligopoly Equilibrium.
International Journal of Industrial Organization, 10. 1992. 127135.
5. Boyer M., Moreaux M. Perfect Competition as the Limit of a Hierarchical Market
Game. Economics Letters, 22. 1986. 115118.
6. Okamura M., Futagami K. and Ohkawa T. On the Stackelberg Equilibrium - Existence.
Uniqueness. and Stability. Indian Economic Journal, 45. 1998. 187100.
7. Robson A., Stackelberg and Marshall. American Economic Review, 80./ 1990. 6982p.
8. Sherali H.D., Soyster A.L. and Murphy F.H. Stackelberg-Nash-Cournot Equilibria:
Characterizations and Computations. Operations Research, 31. 1983. 253276.
9. Vives X. Sequential Entry. Industry Structure and Welfare. European Economic
Review, 32/ 1988. 16711687p.
10. Âàñèí À.À., Ìîðîçîâ Â.Â. Òåîðèÿ èãð è ìîäåëè ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîñèêè. Ìàêñ
ïðåññ, Ìîñêâà. 2005.
11. Íàëîãîâûé êîäåêñ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè, Çàêîí N 346.20.
12. Íàðåæíûé Â.Â. Óïðàâëåíèå ìàëûì ïðåäïðèÿòèåì: âûãîäåí ëè ïåðåõîä ñ 2003 ã.
íà óïðîùåííóþ ñèñòåìó íàëîãîîáëîæåíèÿ // Ôèíàíñîâàÿ ãàçåòà, ÝÊÑÏÎ, N 10, 2002.
Ñ. 15-18.
13. Äåíüãîâ Â.Â. Ìèêðîýêîíîìèêà 2// ÎÖÝèÌ, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. 2004.
16
ÓÄÊ 519.8
à à ë å ã î â À. È., à à ð í à å â À. Þ.. Êîíêóðåíòíîå îäíîòîâàðíîå ïðîèçâîäñòâî ñ
ó÷åòîì íàëîãîâûõ ñòàâîê // Âåñòí. Ñ.-Ïåòåðáóðã. óí-òà. Ñåð. . 2009. Âûï. 3. Ñ. 00-00.
 äàííîé ñòàòüå èññëåäîâàíà è îáîáùåíû ìîäåëè Êóðíî è Øòàêåëüáåðãà äëÿ îëèãîïîëüíûõ ðûíêîâ ñ îäíîðîäíûìè ïðîäóêòàìè, ðàññìîòðåíî íàëîãîâîå ðàñøèðåíèå äàííûõ ìîäåëåé è ïðîâåäåí àíàëèç êîíêóðåíòíîé áîðüáû â ðàìêàõ ìîäåëè Êóðíî.
Áèáëèîãð. 10 íàçâ.
SUMMARY
Galegov A. A., Garnaev A. Competitive homogeneous production with dierent tax systems.
We consider and generalize Cournout and Stackelberg models for oligopoly with
homogeneous goods, investigate a tax expansion for these models and analyze competitive
activity under Cournout model.
17