Ю.В.Автономов НИУ ВШЭ, факультет экономики, 2014 Общее равновесие в экономике c производством: «экономика Робинзона Крузо» Модель экономики с одним потребителем, одним производителем и двумя благами Множество Парето оптимальных распределений Равновесия по Вальрасу Модель • Два блага (1 и 2), начальные запасы этих благ в экономике: ω1 и ω2, они принадлежат потребителю • Один потребитель с функцией полезности UA(x1A, x2A) • Одна фирма-ценополучатель, производящая благо 2 из блага 1 по технологии y2 = f(x1), где x1 – затраты 1 блага, y2 – выпуск 2 блага • Прибыль фирмы полностью принадлежит потребителю • «Состоянием экономики», или «распределением», мы будем называть вектор (x1A, x2A, x1, y2) Допустимые и Парето-оптимальные состояния экономики • Будем называть «допустимыми» те состояния экономики, в которых: x1 A + x1 ≤ ω1 A x2 ≤ ω2 + y2 y ≤ f (x ) 1 2 • Будем называть допустимое состояние экономики ( xˆ1 A , xˆ2 A , xˆ1 , yˆ 2 ) «Парето-оптимальным», если не существует другого допустимого состояния ( x1 A , x2 A , x1 , y2 ) такого, что U A ( x1 A , x2 A ) > U A ( xˆ1 A , xˆ2 A ) . Графическая модель экономики с одним потребителем, двумя благами и одной фирмой Внутренние Парето-оптимальные состояния: условие касания • • • Будем называть состояние экономики (x1A, x2A, x1, y2) «внутренним», если x1A, x2A, x1, y2 > 0. Если предпочтения строго монотонны и выпуклы, кривые безразличия гладкие, а производственная функция непрерывная и гладкая*, то необходимым условием Парето-оптимальности внутреннего состояния экономики будет касание кривой безразличия потребителя и графика производственной функции фирмы: Если же, в дополнение к перечисленному выше, производственная функция вогнута, то условие касания будет необходимым и достаточным для Парето-оптимальности внутреннего состояния экономики. Доказательство? * Формально: принадлежит классу гладкости C1. Примеры нарушения условия касания: Невыпуклые предпочтения Разрывная / не гладкая / не вогнутая производственная функция Примеры нарушения условия касания: Угловые (граничные) состояния экономики Поиск Парето-оптимальных распределений: условия первого порядка A A A Аналитически, Парето-оптимальные состояния находятся решением следующей задачи: Если предпочтения монотонны, все три ограничения превращаются в равенства. Это позволяет выразить x1A, x2A и y2 через x1: A max U ( x1 , x2 ) A x1 , x2 , x1 , y2 x A + x ≤ ω 1 1 1 x2 A ≤ ω 2 + y2 y2 ≤ f ( x1 ) Если функция полезности квазивогнута (если она представляет выпуклые предпочтения, это должно быть так) и производственная функция вогнута, то условия первого порядка необходимы и достаточны: Равновесие по Вальрасу в экономике Робинзона Крузо Вектор цен ( pɶ1 , pɶ 2 ) и состояние ( xɶ1 A , xɶ2 A , xɶ1 , yɶ 2 ) составляют равновесие по Вальрасу в «экономике Робинзона Крузо», если: A A 1) ( xɶ1 , xɶ2 ) является решением задачи потребителя: A A A max U ( x , x 1 2 ) x1A , x2 A ≥0 pɶ1 x1 A + pɶ 2 x2 A ≤ pɶ1ω1 + pɶ 2ω2 + π ( pɶ1 , pɶ 2 ) 2) ( xɶ1 , yɶ 2 ) является решением задачи фирмы: max pɶ 2 y2 − pɶ1 x1 x , y ≥0 1 2 y2 ≤ f ( x1 ) A A 3) Рынки уравновешены: x1 + x1 = ω1 , x2 = ω 2 + y2 Равновесие по Вальрасу: иллюстрация До того, как мы начнем рисовать, давайте сравним уравнения бюджетной линии потребителя и изопрофиты в равновесии: Равновесие по Вальрасу: иллюстрация