Общее равновесие в экономике обмена

реклама
Факультет мировой экономики
и мировой политики НИУ ВШЭ,
2011-2012
Ю.В. Автономов
Общее равновесие в экономике обмена - 2:
равновесие по Вальрасу
¾ иллюстрация обмена в ящике Эджворта
¾ равновесие по Вальрасу в экономике обмена
¾ геометрическая интерпретация равновесия по
Вальрасу: кривые «цена-потребление»
¾ аналитический поиск равновесия по Вальрасу
Рыночный обмен и равновесие по Вальрасу
в экономике обмена 2х2
В какой пропорции один товар или услуга должен
обмениваться на другой?
В рыночной экономике пропорция обмена товаров
определялась бы их ценами.
причем, если бы все рынки были совершенно конкурентными,
отдельные продавцы и покупатели воспринимали бы цены как
заданные!
Мы хотим имитировать функционирование рыночной
экономики, где все рынки совершенно конкурентны, с
помощью простой модели:
экономики обмена 2x2 Î
• два товара: 1 и 2
• два потребителя: A и B
• первоначальные запасы товаров у каждого
потребителя:
ƒ ωA = (ω1A, ω2A)
ƒ ωB = (ω1B, ω2B)
• третий агент (аукционист) объявляет цены
товаров (p1, p2)
• потребитель A решает, сколько товара 1 и 2 он
хочет купить (продать) при названных ценах
• потребитель B также решает, сколько товара 1 и
2 он хочет купить (продать) при названных ценах
Обмен в ящике Эджворта
1. Объявляются цены: (p1, p2)
2. Потребители А и B оценивают свое
бюджетное ограничение:
p1x1A + p2x2A = p1ω1A + p2 ω2A
p1x1B + p2x2B = p1ω1B + p2 ω2B
x2A
x1B
0B
(i) тангенс угла наклона у их
бюджетных линий одинаков:
Бюджетное
множество
потребителя B
Бюджетное
множество
потребителя А
0A
NB:
– p1/p2
ω
(ii) бюджетные линии А и B
проходят через одну и ту же
точку ящика Эджворта:
ω
x2B
x1A
3. Потребитель А выбирает набор, максимизирующий полезность в его
бюджетном множестве (α).
x2A
NB: координаты этого набора соответствуют
валовому спросу потребителя А на блага 1 и 2
Ū0A
x1B
0B
α
x2A(p1,p2)
Мы можем также указать объем
чистого спроса потребителя А…
…на благо 1 (z1A)
z2A
…и благо 2 (z2A)
ω
ω2A
Является ли А чистым
покупателем/продавцом
товара 1? Товара 2?
z1A
0A
x1A(p1,p2)
ω1A
x2B
x1A
4. Аналогично, потребитель B выбирает набор, максимизирующий
полезность в его бюджетном множестве (β).
x2A
Будут ли рынки товаров
1 и 2 уравновешены?
Ū0A
x1B
0B
Чтобы наглядно
α
продемонстрировать
ответ, сопоставим
Ū0B
избыточный спрос обоих
β
0A
ω
потребителей на каждое из
благ Î
x2B
x1A
На рынке товара 1 наблюдается затоваривание
(избыточное предложение):
предложение товара 1 (z1A) превышает спрос (z1B)
Ū0A
x2A
x1B
На рынке товара 2 наблюдается
дефицит (избыточный спрос):
0B
α
спрос на товар 2 (z2A) …
Ū0B
z2A
z1B
β
z1A
0A
…превышает предложение (z2B)
z2B
Как следует изменить цены,
чтобы уравновесить рынки?
ω
x2B
x1A
x2A
x1B
0B
Ū1A
x
Ū1B
z1B
z2B
z2A
z1A
0A
ω
x2B
x1A
1) каждый потребитель максимизирует свою полезность на заданном
ему бюджетном множестве
2) рынки всех товаров уравновешены (спрос равен предложению)
Такое состояние экономики называется равновесием по Вальрасу Î
Равновесие по Вальрасу (определение для
экономики обмена LxM)
Распределение
и вектор цен
(
1
1
M
M
~
~
~
~
~
x = x 1 ,..., x L ,..., x 1 ,..., x L
~
p = (~
p1 ,..., ~
pL )
образуют равновесие по Вальрасу в
экономике обмена, если Î
)
(
k
k
k
~
~
~
x
=
x
,...,
x
1) ∀k , потребительский набор
L
1
)
является решением задачи максимизации
~
~
(
p
,...,
p
полезности потребителя k при ценах
1
L
):
K
k
k
⎧ Kmax
U
(
x
,...,
x
)
L
1
K
⎪ x1 ,... xL ≥0
⎨
⎪⎩ p 1 x1k + ... + p L xLk ≤ p 1w1k + ... + p L wLk
<Это условие также называют
«условием индивидуальной рациональности потребителей»>
2) Все рынки уравновешены:
M
k
~
∀i, ∑ xi = ω i
k =1
, x ) является равновесием по
Предположим, ( p
Вальрасу в некоторой экономике обмена.
Увеличим цены всех товаров в a раз.
Будет ли
(α~p, ~x ) равновесием по Вальрасу в той же
экономике обмена?
Равновесие по Вальрасу в ящике Эджворта:
кривые «цена-потребление»
Кривая «цена-потребление»
для потребителя А
x2A
x1B
0B
Найдется такое
соотношение цен, при
котором распределение
будет равновесным по
Вальрасу Î
x
ω
0A
x1A
x2B
Кривая «цена-потребление»
для потребителя B
x
1)
принадлежит кривым «цена-потребление»
Точка x
обоих потребителей:
A
x B должны
и
Æ соответствующие наборы x
максимизировать полезность потребителей A и B при
некотором отношении цен.
2)
B
Если ’A и ’B монотонны, то x
и x должны лежать
на соответствующих бюджетных линиях
A
Æ необходимое отношение цен единственно,
и равно тангенсу угла наклона прямой, проведенной
!
через точки ω и x
3)
Легко убедиться, что в распределении
товаров уравновешены
x
рынки обоих
Кривые «цена-потребление» пересекались и еще в одной точке:
точке первоначального запаса.
Значит ли это, что она тоже будет равновесием по Вальрасу при
некоторых ценах?
Такое возможно - но далеко не всегда:
Поиск равновесия по Вальрасу:
аналитическое решение
Предположим, нам нужно найти равновесие по
Вальрасу в экономике обмена LxM.
Найдем функции чистого (избыточного) спроса каждого
потребителя на каждое благо.
z ik ( p, ω k ) = x ik ( p, ω k ) − ωik
- чистый спрос потребителя k на благо i
Функции совокупного избыточного спроса
Будем называть совокупным избыточным спросом на
товар i функцию:
M
zi ( p, w) = ∑ zik ( p, wk )
k =1
В равновесии по Вальрасу все рынки должны быть
уравновешены.
M
То есть, для любого товара i,
k
~
∑ xi = ω i
k =1
Рассмотрим это условие подробнее Î
M
M
⎧M k
⎧
k
k
k
k
⎪ ∑ x1 ( p, w ) = ∑ w1
⎪ ∑ z1 ( p, w ) = 0
⎧ z1 ( p, w) = 0
k =1
k =1
k =1
⎪⎪
⎪⎪
⎪
↔ ⎨...
↔ ⎨...
⎨...
⎪M
⎪M
⎪ z ( p , w) = 0
M
⎩ L
⎪ ∑ xLk ( p, wk ) = ∑ wLk
⎪ ∑ zLk ( p, wk ) = 0
⎪⎩ k =1
⎪⎩ k =1
k =1
То есть, в равновесии совокупный избыточный спрос на
каждый товар должен равняться нулю.
p1 ,..., ~
pL
Из этой системы мы находим равновесные цены ~
подставив которые в функции маршаллианского спроса,
получим равновесное распределение
(~x ,..., ~x ,..., ~x
1
1
1
L
M
1
,..., ~
x LM
)
На самом деле, не обязательно решать все L
уравнений системы:
если L – 1 рынков уравновешены,
то последний рынок будет
уравновешен автоматически!
Об этом говорит нам закон Вальраса Î
Закон Вальраса
Если предпочтения каждого потребителя
представимы функцией полезности, возрастающей
хотя бы по одному товару…
…то совокупная стоимость
избыточного спроса в экономике равна нулю при
любых ценах:
L
∑ p z ( p, w ) ≡ 0, ∀p
i =1
i i
Доказательство:
Учитывая описанные свойства предпочтений,
бюджетное ограничение любого потребителя должно
выполняться как равенство:
p1 x1k + ... + p L x Lk = p1 w1k + ... + p L wLk ↔ p1 z1k + ... + p L z Lk = 0, ∀k
Рассмотрим сумму бюджетных ограничений всех M
потребителей:
p1 ( z11 + ... + z1M ) + ... + pL ( z1L + ... + z LM ) = 0 ↔ p1 z1 + ... + pL z L = 0
á
Допустим, рынки всех товаров, кроме товара i,
уравновешены:
z j = 0, ∀j ≠ i
Тогда из закона Вальраса вытекает, что:
pi z i = 0 → при
pi > 0, z i = 0
Скачать