Ëèñòîê 17 13.01.2009 Êîìáèíàòîðèêà: ïðàâèëî ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â çàïèñè êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî íå÷åòíûå öèôðû? Ðåøåíèå. Ïðåäñòàâèì, ÷òî ìû íà÷àëè âûïèñûâàòü âñå òàêèå ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà. Äëÿ íà÷àëà íàïèøåì ïåðâóþ öèôðó. Ïîñêîëüêó íå÷åòíûõ öèôð âñåãî ïÿòü (1, 3, 5, 7, 9), òî îíà ìîæåò áûòü ëþáîé èç ïÿòè. Åñëè ìû íàïèñàëè ïåðâîé öèôðîé 1, òî ê íåé ìîæíî ïðèïèñàòü ëþáóþ èç òåõ æå ïÿòè öèôð è ïîëó÷èòü ÷èñëà 11, 13, 15, 17, 19. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ê 3 ïðèïèñàòü ëþáóþ èç ïÿòè öèôð, à òàêæå ê 5, 7 è 9. Ïîëó÷àåì, ÷òî èç êàæäîãî èç ïÿòè èìåâøèõñÿ îäíîçíà÷íûõ ÷èñåë ïîëó÷èëîñü ïî 5 íîâûõ. Âñåãî ïîëó÷èëîñü 5 · 5 = 25 ðàçëè÷íûõ äâóçíà÷íûõ ÷èñåë, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî íå÷åòíûå öèôðû: 11, 13, 15, . . . , 97, 99. Ïðîäîëæèì âûïèñûâàòü âñå ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà. Ê ÷èñëó 11 ìîæíî ïðèïèñàòü ëþáóþ èç ïÿòè öèôð è ïîëó÷èòü 111, 113, 115, 117, 119. Òî÷íî òàêæå ê ëþáîìó èç îñòàâøèõñÿ 24 äâóçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ïðèïèñàòü îäíó èç ïÿòè öèôð è ïîëó÷èòü ïÿòü íîâûõ. À ðàç èç êàæäîãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà ïîëó÷àåòñÿ 5 òðåõçíà÷íûõ, òî âñåãî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ñòàíåò 25 · 5 = 125. Èòàê, ó íàñ ïîëó÷èëîñü 125 òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë. Ê êàæäîìó èç íèõ ìîæíî ïðèïèñûâàòü ïî î÷åðåäè ëþáóþ íå÷åòíóþ öèôðó è ïîëó÷àòü ïÿòü ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë. Íî ðàç èç êàæäîãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà ïîëó÷àþòñÿ ïî ïÿòü íîâûõ, òî âñåãî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ñòàíåò 125·5 = 625, ÷òî è ÿâëÿåòñÿ îòâåòîì ê çàäà÷å. Êîðîòêî ðåøåíèå ìîæíî áûëî áû çàïèñàòü òàê: ïîñêîëüêó íà êàæäîì èç ÷åòûðåõ ìåñò ìîæåò ñòîÿòü ëþáàÿ èç ïÿòè öèôð, òî âñåãî ñóùåñòâóåò 5 · 5 · 5 · 5 = 54 = 625 òàêèõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë. Îòâåò: 625. Ïðèìåð 17.2. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â çàïèñè êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî íå÷åòíûå öèôðû è âñå öèôðû êîòîðûõ ðàçëè÷íû? Ðåøåíèå. Áóäåì äåéñòâîâàòü òàêæå, êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å: íà÷íåì âûïèñûâàòü âñå òàêèå ÷èñëà.  êà÷åñòâå ïåðâîé öèôðû íàïèøåì ëþáóþ èç ïÿòè. Íî äàëüøå ê 1 ìîæíî ïðèïèñàòü âòîðîé öèôðîé òîëüêî 3, 5, 7, 9, à åùå îäíó 1 óæå íåëüçÿ. Çíà÷èò ñ ïåðâîé öèôðîé 1 ïîëó÷èòñÿ òîëüêî 4 äâóçíà÷íûõ ÷èñëà: 13, 15, 17 è 19. Òî÷íî òàêæå ïðîèçîéäåò è ñ ëþáîé äðóãîé ïåðâîé öèôðîé: ê íåé ìîæíî áóäåò ïðèïèñàòü ëþáóþ èç ÷åòûðåõ öèôð. Çíà÷èò ñ êàæäîé èç ïåðâûõ ïÿòè öèôð ïîëó÷èòñÿ 4 äâóçíà÷íûõ ÷èñëà, à âñåãî èõ îêàæåòñÿ 4 · 5 = 20. Âîçüìåì êàæäîå èç ïîëó÷èâøèõñÿ 20 äâóçíà÷íûõ ÷èñåë è ïîñìîòðèì, ñêîëüêî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë èç íåãî ìîæíî ïîëó÷èòü.  ëþáîì äâóçíà÷íîì ÷èñëå óæå çàäåéñòâîâàíî äâå íå÷åòíûõ öèôðû, çíà÷èò ê íåìó ìîæíî ïðèïèñàòü ëþáóþ èç îñòàâøèõñÿ òðåõ öèôð. Èç ëþáîãî èìåþùåãîñÿ äâóçíà÷íîãî ÷èñëà ïîëó÷àåì òðè òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà, à ïîñêîëüêó äâóçíà÷íûõ ÷èñåë áûëî âñåãî 20, òî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë áóäåò 20 · 3 = 60. Òåïåðü â çàïèñè êàæäîãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà èñïîëüçîâàíî òðè íå÷åòíûõ öèôðû, ïîýòîìó ê êàæäîìó ìîæíî ïðèïèñûâàòü ëþáóþ èç äâóõ íåèñïîëüçîâàííûõ íå÷åòíûõ öèôð è ïîëó÷àòü ïî äâà ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà. (Òàê, èç ÷èñëà 397 ìîæíî ïîëó÷èòü 3971 è 3975.) Çíà÷èò âñåãî èñêîìûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ïîëó÷èòñÿ Ïðèìåð 17.1. 60 · 2 = 120. Êîðîòêèé ñïîñîá çàïèñè ðåøåíèÿ âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: íà ïåðâîì ìåñòå ìîæåò ñòîÿòü ëþáàÿ èç 5 öèôð, íà âòîðîì ëþáàÿ èç îñòàâøèõñÿ ÷åòûðåõ, íà òðåòüåì ëþáàÿ èç îñòàâøèõñÿ òðåõ, íà ÷åòâåðòîì ëþáàÿ èõ îñòàâøèõñÿ äâóõ, çíà÷èò âñåãî òàêèõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò 5 · 4 · 3 · 2 = 120. Îòâåò: 120. Ïðèìåð 17.3. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, ïðè÷åì õîòÿ áû îäíà èç íèõ ðàâíà 5? Ðåøåíèå. Îñíîâíàÿ ñëîæíîñòü çàäà÷è ñîñòîèò â òîì, ÷òî íå ÿñíî, êàêàÿ èç öèôð ïî ñ÷åòó ÿâëÿåòñÿ 5, óñëîâèþ çàäà÷è óäîâëåòâîðÿþò è òå ÷èñëà, â êîòîðûõ öèôð 5 íåñêîëüêî.  ïåðâîé Ëèñòîê 17 13.01.2009 çàäà÷å óäàëîñü âûÿñíèòü, ÷òî ÷èñëî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, ðàâíî 625. Íàéäåì òåïåðü êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â êîòîðûõ âñå öèôðû íå÷åòíû, íî íåò íè îäíîé öèôðû 5. Ýòî ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà, â çàïèñè êîòîðûõ âñòðå÷àþòñÿ òîëüêî ÷åòûðå öèôðû: 1, 3, 7, 9. Íà÷íåì ïðîâîäèòü ðàññóæäåíèÿ êàê â ïåðâîé çàäà÷å. Íà ïåðâîì, âòîðîì, òðåòüåì è ÷åòâåðòîì ìåñòå ìîæåò íàõîäèòüñÿ ëþáàÿ èç ÷åòûðåõ öèôð. Çíà÷èò âñåãî òàêèõ ÷èñåë ìîæåò áûòü 4 · 4 · 4 · 4 = 256. Èòàê, êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â êîòîðûõ âñòðå÷àþòñÿ öèôðû 1, 3, 5, 7, 9, ðàâíî 625, à êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â êîòîðûõ âñòðå÷àþòñÿ öèôðû 1, 3, 7, 9, ò.å. âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, íî íåò íè îäíîé öèôðû 5, ðàâíî 256. Òîãäà êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, íî åñòü õîòÿ áû îäíà öèôðà 5, ðàâíî 625 − 256 = 369. Êîðîòêî ðåøåíèå ìîæíî áûëî áû çàïèñàòü òàê: êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, ðàâíî 5 · 5 · 5 · 5 = 625; êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ñîñòîÿò èç öèôð 1, 3, 7, 9 ðàâíî 4 · 4 · 4 · 4 = 256; òîãäà êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, ïðè÷åì õîòÿ áû îäíà èç íèõ 5, ðàâíî 625 − 256 = 369. Îòâåò: 369. Çàäà÷è  ìàãàçèíå èìåþòñÿ 3 êðàñíûõ, 5 çåëåíûõ è 4 ãîëóáûõ øàïêè, à òàêæå øàðôû òðåõ öâåòîâ: 7 êðàñíûõ, 2 çåëåíûõ è 5 ãîëóáûõ. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè Ìàøà ìîæåò âûáðàòü ñåáå øàïêó è øàðô? á) À ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü øàïêó è øàðô îäíîãî öâåòà? Çàäà÷à 17.2. Àâòîáóñíûå áèëåòû èìåþò øåñòèçíà÷íûå íîìåðà, îò 000000 äî 999999. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò íîìåðîâ à) âñå öèôðû êîòîðûõ ÷åòíû? á) â êîòîðûõ ëþáûå äâå ñîñåäíèå öèôðû ðàçëè÷íû? â) âñå öèôðû êîòîðûõ ðàçëè÷íû? ã) â êîòîðûõ åñòü íå ìåíåå äâóõ îäèíàêîâûõ öèôð? ä) ñîäåðæàùèõ öèôðó 7? å) â êîòîðûõ åñòü õîòÿ áû îäíà ÷åòíàÿ öèôðà? æ) â êîòîðûõ ðîâíî äâå îäèíàêîâûå öèôðû? Çàäà÷à 17.3. Àâòîìîáèëüíûå íîìåðà â îäíîì ðåãèîíå ÐÔ ñîñòîÿò ëèáî èç 3 áóêâ è 3 öèôð, ëèáî èç 2 áóêâ è 4 öèôð, ïðè ýòîì ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ áóêâ è öèôð â íîìåðå ôèêñèðîâàí. Èç áóêâ èñïîëüçóþòñÿ íå âñå, à òîëüêî à, â, å, ê, ì, í, î, ð, ñ, ò, ó, õ. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî àâòîìîáèëåé ìîæåò áûòü â îäíîì ðåãèîíå? Çàäà÷à 17.4. à) Ñêîëüêî ìîæíî ñîñòàâèòü ðàçíûõ (íå îáÿçàòåëüíî îñìûñëåííûõ) ñëîâ èç k áóêâ, èñïîëüçóÿ ðóññêèé àëôàâèò? á) À åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû áóêâû â ñëîâàõ íå ïîâòîðÿëèñü? â) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïåðåñòàâèòü áóêâû â ñëîâå èç k ðàçëè÷íûõ áóêâ? Çàäà÷à 17.5. à)  çàáîðå 20 äîñîê, êàæäóþ íàäî ïîêðàñèòü â ñèíèé, çåëåíûé èëè æåëòûé öâåò, ïðè÷åì ñîñåäíèå äîñêè êðàñÿòñÿ â ðàçíûå öâåòà. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü? á) À åñëè òðåáóåòñÿ åùå, ÷òîáû õîòü îäíà èç äîñîê îáÿçàòåëüíî áûëà ñèíåé? Çàäà÷à 17.6. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïîêðàñèòü êâàäðàò 2 × 2, ñîñòàâëåííûé èç 4 êâàäðàòèêîâ, åñëè êàæäûé êâàäðàòèê íàäî ïîêðàñèòü â îäèí èç n öâåòîâ, è ñîñåäíèå (èìåþùèå îáùóþ ñòîðîíó) êâàäðàòèêè äîëæíû áûòü ïîêðàøåíû ïî-ðàçíîìó? Çàäà÷à 17.7. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïîñòàâèòü íà øàõìàòíóþ äîñêó áåëóþ è ÷åðíóþ ëàäüè òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? á) Òîò æå âîïðîñ äëÿ äâóõ êîðîëåé. Çàäà÷à 17.8. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü íà øàõìàòíîé äîñêå 8 ðàçëè÷íûõ ëàäåé òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? á) À åñëè ëàäüè íåðàçëè÷èìû? Çàäà÷à 17.9. à) Äåñÿòü äåâóøåê âîäÿò õîðîâîä. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè îíè ìîãóò âñòàòü â êðóã? á) Ñêîëüêî îæåðåëèé ìîæíî ñîñòàâèòü èç 10 ðàçëè÷íûõ áóñèí?1 Çàäà÷à 17.10. à) Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ñòðîê ìîæíî ñîñòàâèòü èç 0 è 1, ÷òîáû â êàæäîé ñòðîêå áûëî 8 öèôð? á) Íà ñòîëå 8 ðàçëè÷íûõ êîíôåò. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ñúåñòü íåñêîëüêî Çàäà÷à 17.1. 1 Îñòîðîæíî!  ýòîé è ñëåäóþùåé çàäà÷àõ îòâåò ê ïóíêòàì à) è á) ðàçëè÷íûé. Ëèñòîê 17 13.01.2009 èç íèõ? â) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñïðåäåëèòü 8 âíîâü ïðèøåäøèõ ó÷åíèêîâ ïî òðåì êëàññàì? Çàäà÷à 17.11. Ìåíþ â øêîëüíîì áóôåòå ïîñòîÿííî è ñîñòîèò èç n ðàçíûõ áëþä. Ïåòÿ õî÷åò êàæäûé äåíü âûáèðàòü ñåáå çàâòðàê ïî-íîâîìó (çà ðàç îí ìîæåò ñúåñòü îò 0 äî n ðàçíûõ áëþä). à) Ñêîëüêî äíåé åìó óäàñòñÿ ýòî äåëàòü? á) Ñêîëüêî áëþä îí ñúåñò çà ýòî âðåìÿ? Çàäà÷à 17.12*. Âàñÿ, ïðèÿòåëü Ïåòè èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è, ðåøèë ïîñëåäîâàòü ïðèìåðó ñâîåãî äðóãà, íî ñúåäàòü êàæäûé äåíü íå÷åòíîå ÷èñëî áëþä. à) Ñêîëüêî äíåé åìó óäàñòñÿ ýòî äåëàòü? á) Ñêîëüêî áëþä îí ñúåñò çà ýòî âðåìÿ? Çàäà÷à 17.13. Èãðàëüíûé êóáèê èìååò 6 ãðàíåé ñ öèôðàìè 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ èãðàëüíûõ êóáèêîâ ñóùåñòâóåò, åñëè ñ÷èòàòü ðàçëè÷íûìè äâà êóáèêà, êîòîðûå íåëüçÿ ñïóòàòü, êàê íè ïåðåâîðà÷èâàé? Çàäà÷à 17.14. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàçáèòü 7 þíîøåé è 7 äåâóøåê íà ïàðû äëÿ òàíöåâ? á)* 14 øêîëüíèêîâ íà ïàðû? Çàäà÷à 17.15*. Íàéòè ñóììó âñåõ ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë, ñîñòàâëåííûõ èç à) íå÷åòíûõ öèôð; á) ðàçëè÷íûõ íå÷åòíûõ öèôð. Çàäà÷à 17.16*.  òàáëèöó ðàçìåðà k × l çàïèñûâàþò ÷èñëà +1 è −1 òàê, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå ðàâíÿëîñü 1. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü? Çàäà÷à 17.17. à) Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî íåðàçëè÷èìûõ ñëîíîâ ìîæíî ðàññòàâèòü íà øàõìàòíîé äîñêå òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? á)* Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ñïîñîáîâ òàêîé ðàññòàíîâêè êâàäðàò íåêîòîðîãî ÷èñëà. â)* Íàéäèòå ýòî ÷èñëî. Êðèòåðèè îöåíîê ¾5¿ ¾4¿ ¾3¿ ¾2¿ 15 çàäà÷ 12 çàäà÷ 9 çàäà÷ 6 çàäà÷