Комбинаторика (PDF, 1.10 Мб, 49 с.)

Доля П.Г.
Харьковский Национальный Университет
механико – математический факультет
кафедра геометрии им. А.В. Погорелова
Дискретная математика.
Конспект лекций.
Оглавление
6. Комбинаторика.
6.1 Основные комбинаторные принципы.......................................................... 1
6.2 Модельные схемы .......................................................................................... 7
6.3 Бином Ньютона ............................................................................................ 17
6.4 Принцип включений – исключений........................................................... 21
6.5 Метод рекуррентных соотношений .......................................................... 25
Упражнения..................................................................................................... 31
Комбинаторика представляет собой раздел математики, изучающий способы
подсчета количества элементов конечных множеств.
6.1 Основные комбинаторные принципы
Решение многих комбинаторных задач основывается на двух
фундаментальных правилах, называемых правилами суммы и произведения.
Правило суммы. Если X1 и X2 – непересекающиеся конечные множества,
содержащие n1 и n2 элементов соответственно, то объединение X 1 U X 2
содержит n1 + n2 элементов.
Сформулированное правило можно распространить на случай
произвольного числа слагаемых: если множества X1,X2,…,Xk образуют
разбиение множества X, то n = n1 + n2 +…+ nk, где n=|X| – число
элементов множества X, а ni=|Xi| – число элементов (мощность) множества
Xi, i = 1, 2,…, k. Напомним, что разбиением множества X называется набор
его непересекающихся подмножеств, объединение которых дает все
исходное множество X.
Правило суммы можно приспособить и для подсчета числа элементов
объединения двух множеств с непустым пересечением:
(1)
В самом деле, множества X1\X2 и X1∩X2 образуют разбиение множества X1,
поэтому
1
Аналогично
Кроме того, множества X1\X2, X2\X1 и X1∩X2 образуют разбиение множества
X1 U X2, так что
Подставляя
сюда
выражения
X1 \ X 2 = X1 − X1 I X1 ,
и
X 2 \ X 1 = X 2 − X 1 I X 1 , приходим к утверждению (1).
□
Пример. Найдем количество положительных целых чисел, меньше или
раных 1000, которые делятся на 3 или на 5.
Количество элементов множества S положительных целых чисел,
⎡1000 ⎤
или 333. Количество
меньших 1000, которые делятся на 3, равно ⎢
⎣ 3 ⎥⎦
элементов множества Т положительных целых чисел, меньших 1000, которые
⎡1000 ⎤
или 200. Элементами множества S∩T являются
делятся на 5, равно ⎢
⎣ 5 ⎥⎦
целые числа, меньшие 1000, которые делятся на 5 и на 3, и поэтому делятся
⎡1000 ⎤
= 66 . Значит
на 15. Следовательно, S I T = ⎢
⎣ 15 ⎥⎦
S U T = S + T − S I T = 333 + 200 − 66 = 467
□
Пример. Предположим, что на курсе из 100 студентов 60 человек изучают
математику, 75 — историю, а 45 человек — и то, и другое.
а) Сколько студентов изучают математику или историю?
Пусть универсум U — группа из 100 студентов, М — множество
студентов, изучающих математику, Н — множество студентов, изучающих
историю. Тогда количество студентов, изучающих математику или историю,
равно M U H = M + H − M I H = 60 + 75 − 45 = 90 .
б) Сколько студентов не изучают ни математику, ни историю?
Количество студентов, не изучающих ни математику, ни историю,
равно M I H . Но M I H = M U H , поэтому
M I H = M U H = 100 − 90 = 10 .
□
Существует альтернативный метод решения приведенных выше задачи,
который является более информативным. Рассмотрим его на следующем
примере.
Пример. Предположим, что из 100 студентов курса 50 изучают химию, 53
— математику, 42 — физику, 15 — химию и физику, 20 занимаются физикой
2
и математикой, 25 — математикой и химией и 5 студентов изучают все три
предмета.
а) Сколько студентов изучают хотя бы один из трех перечисленных
предметов?
б) Сколько студентов не изучают ни один из трех перечисленных предметов?
в) Сколько студентов изучают только математику?
г) Сколько студентов изучают физику или химию, но не изучают
математику?
д) Сколько студентов не изучают ни математику, ни химию?
Поскольку 5 человек изучают все три предмета, а 15 человек — химию
и физику, остаются 10 человек, изучающих химию и физику, но не
изучающих математику. Аналогично, 25 — 5 = 20 человек занимаются
математикой и химией, но не физикой, и 20 — 5 = 15 человек изучают
математику и физику, но не изучают химию. Данную ситуацию изображает
диаграмма Эйлера, приведенная на следующем рисунке слева
Поскольку 50 студентов изучают химию и 35 из них уже учтены, то
оставшиеся 15 изучают только химию. Аналогично, 53 студента занимаются
математикой и 40 из них уже учтены. Поэтому 13 человек изучают только
математику. Наконец, 42 студента изучают физику, и 30 из них уже учтены,
поэтому 12 человек изучают только физику.
а) Суммируя количество людей, принадлежащих семи непересекающимся
подмножествам, получаем 90 тех, кто изучает хотя бы один из трех
предметов.
б) Поскольку 90 из 100 студентов изучают хотя бы один предмет, то 10090 = 10 человек не изучают ни один из этих трех предметов.
в) Из диаграммы Эйлера следует, что 13 человек изучают только математику.
г) Тридцать семь студентов занимаются химией или физикой, но не изучают
математику.
д) Из диаграммы Эйлера, изображенной на предыдущем рисунке справа,
следует, что 75 человек изучают математику или физику. Поэтому 100 — 75
= 25 студентов не изучают ни математику, ни физику.
□
Пример. Сколько имеется путей из вершины a в вершину b в сети,
показанной на следующем рисунке (движение возможно только вправо или
вверх)?
3
Обозначим множество всех путей из a в b через Lab и разобьем его на два
непересекающихся подмножества:
Lacb – пути, проходящие через вершину c;
Ladb – пути, проходящие через вершину d.
Имеем Lab = Lacb + Ladb . Очевидно, что интересующее нас количество
путей зависит только от размеров решетки, поэтому обозначим через lm,n
количество путей в сети, имеющей m горизонтальных и n вертикальных
вершин. Тогда последнее равенство можно записать в виде l4,5 = l3,5 + l4, 4 . И
вообще, lm,n = lm−1,n + lm,n−1 . Пользуясь этим соотношением, подсчитаем
количество путей на рисунке:
l4,5 = l3,5 + l4, 4 = (l2,5 + l3, 4 ) + (l3, 4 + l4,3 ) = l2,5 + 3 ⋅ l3, 4 =
= (l1,5 + l2, 4 ) + 3(l2, 4 + l3,3 ) = l1,5 + 4 ⋅ l2, 4 + 3 ⋅ l3,3 =
= l1,5 + 4 (l1, 4 + l2,3 ) + 3 (l2,3 + l3, 2 ) = l1,5 + 4 l1, 4 + 10 l2,3 =
= 1 + 4 + 10 ⋅ 3 = 35
поскольку l1,5 = 1, l1, 4 = 1, l2,3 = 3 .
□
Другое фундаментальное правило дает, доказанная ранее
Теорема. Мощность декартового произведения двух конечных множеств
равна произведению их мощностей A × B = A ⋅ B .
Обобщение ее на декартово произведение n множеств называется
правилом произведения. Рассмотрим упорядоченные наборы (a1, a2,…, ak)
заданной длины k. Предположим, что элемент a1 из множества X1 может
быть выбран n1 способами, т.е. X 1 = n1 . При уже выбранном элементе a1,
элемент a2 из множества X2 может быть выбран n2 способами, т.е. X 2 = n2 .
При фиксированных a1 и a2 элемент a3 из множества X3 может быть выбран
n3 способами, т.е. X 3 = n3 и т.д. При фиксированных a1, a2,…, ak–1 элемент
ak из множества Xk может быть выбран nk способами. Тогда число
различных упорядоченных наборов равно произведению n1 × n2 × ... × nk . Это
означает, что
Это правило часто называют комбинаторным принципом умножения.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем доказывать теорему методом математической
индукции. Базис индукции. Пусть n=2. В этом случае все элементы
4
множества Х1 х Х2, т. е. упорядоченные пары (х1, х2), можно расположить в
виде прямоугольной таблицы со строками — элементами Х1 и столбцами —
элементами Х2. В этой таблице, очевидно, будет |X1| x |X2| элементов.
Индуктивный переход. Предположим справедливость утверждения теоремы
для n. Покажем, что для n+1 оно будет тоже справедливо. В самом деле,
добавляя еще одно множество в декартово произведение, видим, что
В случае, когда X1=X2=…=Xk эта формула принимает вид X k = X
k
. В этом
случае множество X называется алфавитом, его элементы – буквами, а
элементы декартова произведения Xk, т.е. упорядоченные пары из k букв
(x1,x2,…,xk) называют словами в алфавите X. Число k называется длиной
слова.
k
Пусть |X|=m, тогда формулу X k = X
можно сформулировать
следующим образом:
число слов длины k в алфавите из m букв равно mk.
Пример. Битовая строка – это строка, состоящая из элементов множества
{0, 1}, т.е. каждый из элементов имеет значение 0 или 1. Сколько существует
битовых строк длины 5? Сколько существует битовых строк длины k?
Поскольку каждый символ строки может иметь значение 1 или 0, то
существует два варианта выбора для каждой позиции. Следовательно,
существует 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 битовых строк длины 5. По аналогичным
соображениям, имеется 2k битовых строк длины k.
□
Пример. Используя правило произведения и правило суммы, найдем число
различных трехзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, и число
различных трехзначных чисел, содержащих хотя бы две одинаковые цифры
Пусть a1, a2, a3 – цифры трехзначного числа. Первую цифру a1 можно
выбрать девятью способами (в качестве нее можно взять любую цифру,
кроме нуля); при фиксированной первой цифре вторую цифру a2 можно
выбрать также девятью способами (в качестве нее можно взять любую
цифру, кроме a1); наконец, при фиксированных первой и второй цифрах
третью цифру можно выбрать восемью способами. По правилу произведения
число трехзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, равно
9·9·8=648.
Всего имеется 900 различных трехзначных чисел (от 100 до 999).
Каждое из них либо содержит две одинаковые цифры, либо нет.
Следовательно, имеется 900 – 648 = 252 различных трехзначных числа,
содержащих хотя бы две одинаковые цифры.
□
5
Третьим важным принципом является правило взаимно однозначного
соответствия (правило биекции или правило равенства): множества A и B
имеют одинаковое количество элементов | A | = | B | тогда и только тогда,
когда между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
В качестве примера применения этого принципа подсчитаем
количество всевозможных подмножеств множества M, состоящего из n
элементов. Так это количество не зависит от природы элементов множества
М, возьмем M={1,2,…,n}. Произвольному подмножеству A ⊆ M поставим в
соответствие двоичное слово α 1α 2 ...α n по следующему правилу:
⎧1 , если i ∈ A
αi = ⎨
⎩0 , если i ∉ A
Это соответствие взаимно однозначное. Отсюда число всех подмножеств n –
элементного множества равно числу двоичных слов длины n, т.е. равно 2n.
Пример. Сколькими способами можно разложить 10 монет разной
стоимости по двум карманам?
Формализуя задачу, отметим, что два кармана дадут два подмножества
10 – элементного множества; объединение множеств монет, лежащих в этих
двух карманах, дает все множество; пересечение этих множеств пусто. Это
значит, что те монеты, которые лежат в одном кармане, полностью
определяют содержимое второго кармана.
Используя правило биекции, можем сказать, что требуемых способов
столько, сколько подмножеств в 10 – элементном множестве. Т.о. можем
написать ответ: 210=1024.
□
Напомним также принцип Дирихле, который мы формулировали следующим
образом. Пусть f : А —> В — функция, причем как A, так и В — конечные
множества. Предположим, что А состоит из n элементов: a1, а2,…an. Принцип
Дирихле гласит, что если |А|>|В|, то по крайней мере одно значение f
встретится более одного раза. Проще говоря, найдется пара элементов
ai ≠ a j , для которых f (ai ) = f (a j ) .
Пример. Показать, что если в прямоугольнике со сторонами 6 и 8
сантиметров помещены пять точек, то существуют две точки, расстояние
между которыми не более 5 сантиметров.
Разделим исходный прямоугольник на четыре прямоугольника,
размером 3 на 4 сантиметра каждый. Поскольку пять точек должны
находиться либо внутри, либо на границах четырех прямоугольников, то хотя
бы две точки должны быть либо внутри, либо на границе одного и того же
прямоугольника размера 3 х 4. Но любые такие точки находятся на
расстоянии не более 5 сантиметров.
□
6
6.2 Модельные схемы
Задачи, ответы к которым часто используются, называют модельными. Они
часто касаются конкретных вещей – карточных наборов, размещение шаров в
урнах, множества дорог на карте и т.д. Поскольку природа множества при
подсчете количества его элементов несущественна, то обычно
ограничиваются объектами какой-нибудь одинаковой природы. Ответы к
модельным задачам называются комбинаторными числами. Используя
взаимно однозначное соответствие между элементами исследуемого
множества и элементами модельного множества,
устанавливается
количество элементов того множества, которое требуется сосчитать.
Дадим некоторые определения. Пусть задано множество X.
Последовательная запись нескольких элементов из X, в которой каждый
элемент может встретиться только один раз и порядок записи элементов
существенный, называется упорядоченным подмножеством в X.
Пусть X = { x1 , x2 ,..., xn } – конечное множество. Любой упорядоченный
набор (xi1 , xi2 ,..., xin ) из n различных элементов множества X называется
перестановкой элементов множества X.
Любое упорядоченное подмножество
(x , x
i1
i2
,..., xim ) из m различных
элементов множества X (m ≤ n ) называется размещением из n элементов по
m. В частности, для n=m размещение будет перестановкой. Количество m –
элементных упорядоченных подмножеств в n – элементном множестве
обозначается через Anm и называется количеством размещений из n по m.
Если m=n, то эту величину называют количеством перестановок из n
элементов и обозначают Pn.
Когда речь идет про подсчет количеств, слово «размещение» понимаем
как синоним словосочетания «упорядоченное множество». Также слово
«перестановка» понимается как размещение всех элементов множества в
определенном порядке.
Любой неупорядоченный набор, т.е. подмножество (xi1 , xi2 ,..., xim ) из m,
различных элементов множества X (m ≤ n ) называется сочетанием m
элементов из n , а их количество обозначается C nm . Это количество еще
называют количеством комбинаций m элементов из n. В контексте
вычислений слово «подмножество» и «комбинация» являются синонимами.
Если в размещении и сочетании из n элементов по m убрать требование
различия элементов и разрешить повторение элементов из множества X, то
такие размещение и сочетание называются с повторениями.
Основными модельными являются следующие комбинаторные задачи.
Найти:
− число Рn всех перестановок из n элементов;
− число Anm всех размещений m элементов из n элементов;
7
⎛n ⎞
− число Cnm = ⎜⎜ ⎟⎟ всех сочетаний m элементов из n элементов;
⎝m⎠
− число A mn всех размещений m элементов из n с повторениями;
m
− число C n всех сочетаний m элементов из n элементов с повторениями;
Во всех формулах будет встречаться факториал целого неотрицательного
числа. Напомним, что факториалом целого положительного числа n
(обозначение n!) называется произведение 1·2·...·n. По определению
считается, что 0! = 1.
Перестановки. Переставляя объекты некоторого множества, мы обычно
располагаем их в различном порядке. В этом смысле перестановка — это
переупорядочение элементов множества. Исследуем, сколько существует
способов переупорядочения элементов множества.
Рассмотрим количество возможных способов формирования числа,
переставляя цифры 1, 2, 3, 4 и 5. Варианты возможных перестановок — это,
например, числа 12345, 15342, 32415 и 32415. Для нахождения количества
возможных перестановок заметим, что первую цифру можно выбрать пятью
способами, вторую — четырьмя способами, третью — тремя способами,
четвертую — двумя, и только один вариант остается для выбора пятой
цифры. Поэтому существует 5! возможных перестановок. Точно так же, если
необходимо переупорядочить n объектов, то для этого существует n!
способов. Таким образом получена
Теорема: число перестановок Pn равно Pn = n!
Д о к а з а т е л ь с т в о . На первое место в перестановке можно поставить
любой из n элементов множества X, на второе место — уже любой из n-1
оставшихся и т. д. На последнее место остается только один элемент. Тем
□
самым всего будет Рn = n(n—1)... 1 = n! перестановок.
В перестановках важен порядок. Числа 51342 и 32415, образованные
перестановкой цифр 1, 2, 3, 4 и 5, не совпадают. Кроме того, поскольку
перестановки рассматриваются как переупорядочения, то каждый элемент
множества можно использовать только один раз. Если бы повтор цифр
допускался, то при формировании числа для каждой цифры существовало бы
пять вариантов выбора, поэтому существовало бы 55 возможных чисел.
Перестановки элементов 1,2,…,n записываются в матричной форме
⎛ 1 2 ... n ⎞
⎟⎟ ,
π = ⎜⎜
π
π
...
π
2
n⎠
⎝ 1
где верхняя строка – это порядковые номера 1,2,…,n позиций элементов в
перестановке; нижняя строка — тот же набор чисел 1,2,..., n, взятых в какомкаком-либо порядке; π j — номер элемента на j-м месте перестановки.
Порядок столбцов в перестановках, записанных в матричной форме, не
является существенным, так как в этом случае номер позиции каждого
8
элемента в перестановке указывается явно в верхней строке. Например,
перестановка (3,2,4,1) из четырех элементов может быть записана по-разному
Пример. Задача о ладьях. Сколькими способами можно расположить на
шахматной доске 8 ладей, чтобы они «не били» друг друга?
Р е ш е н и е . Условие «не могли бить» означает, что на каждой горизонтали и
вертикали может стоять лишь одна ладья. Ввиду этого, каждому
расположению ладей на доске соответствует перестановка
⎛ 1 2 ... 8 ⎞
⎟⎟
π = ⎜⎜
π
π
...
π
2
8⎠
⎝ 1
Верхняя строка перестановки — это номер горизонталей, нижняя —
вертикалей, пересечение которых определяет положение ладей на доске.
Следовательно, число расстановок ладей равно числу перестановок Р8 = 8! из
8 элементов.
□
Размещения без повторений. Можно рассматривать перестановки, когда
объектов больше, чем мест для их размещения. Предположим, например, что
в организации – 20 человек и из них требуется выбрать президента, вицепрезидента, секретаря и казначея. Имеются 20 вариантов выбора президента,
19 вариантов выбора вице-президента, 18 способов выбора секретаря и 17 –
казначея. Таким образом, получаем 20 x 19 x 18 x 17 способов выбора
должностных лиц. Отметим, что порядок все еще остается существенным.
Предположим, имеется n человек. Требуется выбрать r из них и
расположить в определенном порядке. Существует n способов выбрать
первого человека, n – 1 способов выбора второго, n–2 способов выбора
третьего, n–j+1 способов выбора j – гo и n–r+l способов выбора r – го
человека. Следовательно, существует
способов выбрать r человек из n. Но
Сформулируем вышесказанное в виде следующей теоремы.
Теорема. Количество способов выбрать r объектов с учетом порядка из n
объектов равно
n!
называется числом размещений r элементов из n
(n − r )!
элементов или размещением без повторений.
Заметим, что если выбирать все n объектов и размещать их в
определенном порядке, то r = n и, поскольку 0! = 1, имеем
Число Anr =
9
n!
n!
= = n!
(n − n )! 0!
Приходим к уже известному результату для перестановок n элементов.
Пример. В турнире «мисс факультет» участвуют 17 девушек. Разыгрываются
призы за первое, второе и третье места. Сколькими способами могут быть
распределены места?
Р е ш е н и е . 17 девушек претендуют на 3 места. Тогда тройку призеров
можно выбрать A173 = 17 ⋅ 16 ⋅ 15 = 4080 способами.
Пример. Сколько различных четырехзначных чисел можно образовать из
цифр 1, 2, 3, ..., 9, если все цифры в каждом четырехзначном числе различны?
Для формирования каждого четырехзначного числа выбираем четыре
цифры из девяти, поэтому существует
9!
9!
A94 =
= = 3024
(9 − 4)! 5!
таких различных чисел.
Пример. Сколькими способами можно рассадить 10 человек за круглым
столом, если имеет значение только порядок соседей.
Существует несколько вариантов решения данной задачи. Первым
делом, отметим, что вращение людей вокруг стола не меняет их взаимного
расположения, поскольку соседи справа и слева остаются прежними.
Предположим, что место за столом уникально. Тогда существует 10!
способов рассадить людей за столом. Считаем, что при вращении места
остаются теми же, так как соседи не меняются. Существует десять таких
вращений, поэтому делим 10! на 10, что дает 9! способов расположить людей
за столом, если имеет значение только порядок соседей.
Иной подход к решению задачи состоит в том, чтобы сначала усадить
одного человека. Этим исключается вращение, а оставшихся 9 человек
можно рассадить 9! способами.
□
Сочетания. В тех случаях, когда нас не интересует порядок элементов в
размещении, а интересует лишь ее состав, то говорят о сочетаниях. Т.о.
сейчас нас интересуют k – элементные подмножества исходного n –
элементного множества. Их называют сочетаниями.
Сочетаниями из n различных элементов по k называют все возможные
размещения длины k, образованные из этих элементов и отличающиеся друг
от друга составом, но не порядком элементов. Общее число сочетаний
⎛n⎞
обозначают через Cnk или ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝k ⎠
Составим все сочетания из n по k. Затем переставим в каждом
сочетании элементы всеми возможными способами. Теперь мы получили все
размещения. Они отличаются либо составом, либо порядком, т.е. это все
размещения без повторений из n по k. Их число равно Ank . Учитывая, что
Ann =
10
каждое сочетание дает k! перестановок, то по правилу произведения можно
записать C nk × k!= Ank . Тогда
Ank n(n − 1)...(n − k + 1)
n!
k
Cn =
=
=
k!
k!
k!(n − k )!
k
n−k
Отсюда также видно, что C n = Cn . Т.о. получаем
теорему: количество способов выбора r объектов из n объектов без учета
n!
.
порядка равно C nr =
r!(n − r )!
Число C nr называется числом сочетаний из n объектов по r. Обратите
внимание, что в случае сочетаний, как и в случае перестановок и
размещений, при выборе r объектов каждый объект может быть выбран не
более одного раза.
Пример. Если множество содержит десять элементов, то сколько оно имеет
трехэлементных подмножеств? Поскольку множество не упорядочено,
выбираются три элемента из десяти, поэтому всего имеется C103 = 10 ! = 120
7! 3!
различных подмножеств.
□
Пример. Сколько строк длины девять содержат ровно 5 единиц и 4 нуля?
В строке имеется девять мест для размещения 1 и 0. Можно выбрать любые
пять из девяти мест для размещения единицы. Поэтому имеется
9!
C95 =
= 126 мест для размещения единицы. Как только единицы
5!4!
вставлены, остальные места заполняются нулями.
□
Пример. Сколько существует вариантов выбора 5 карт из стандартной
колоды, содержащей 52 карты? Поскольку порядок карт не имеет значения,
речь идет о выборе 5 объектов из 52, поэтому существует
52!
C525 =
= 2598960 возможных комбинаций.
5!47!
□
Пример. Задача о прямоугольниках. Сколько различных прямоугольников
можно вырезать из клеток доски, размер которой m х n?
Р е ш е н и е . Прямоугольник однозначно определяется положением его
сторон. Горизонтальные стороны могут занимать любое из m+1 положения.
Тогда число способов их выбора равно C m2 +1 (порядок сторон – какая верхняя,
11
а какая нижняя несущественен). Вертикальные стороны можно выбрать Cn2+1
способами. По правилу прямого произведения заключаем, что количество
прямоугольников равно C m2 +1 ⋅ Cn2+1 .
□
Пример. Сколько всего партий играется в шахматном турнире с n
участниками? Ответ: C n2 , так как каждая партия однозначно определяется
двумя ее участниками.
□
Пример. Вернемся еще раз к примеру с подсчетом количества путей из
вершины a в вершину b на прямоугольной сети дорог предыдущего
параграфа. Каждому пути можно поставить в соответствие двоичное слово,
обозначая единицей перемещение по горизонтали и нулем – по вертикали.
Чтобы попасть из вершины a в вершину b надо сделать 4 перемещения по
горизонтали и 3 по вертикали. Поэтому получающееся двоичные слова будут
иметь длину 7 и состоять из 4 единиц и 3 нулей. Наоборот, каждому такому
слову соответствует некоторый путь из вершины a в вершину b. Число таких
двоичных слов равно C74 = 35 и, следовательно, число всевозможных путей
равно 35.
□
n
Рассмотрим размещение с повторением A m из n элементов по m. На первое
место в таком размещении можно поставить любой из n элементов
множества X, а после этот элемент возвращается в X. Поэтому на второе и
остальные места до m можно снова поставить любой из n элементов. Тем
самым имеем
n
Am = n1⋅4
n2
⋅ ...4
⋅ n = nm
3
m
Пример. Корзина содержит 50 шаров с номерами. Из него выбирают шар,
номер которого записывают. Шар возвращают в корзину, и процедура
повторяется 5 раз. Подсчитаем количество возможных комбинаций
получаемых чисел. Для каждого из пяти чисел имеется 50 способов выбора.
Следовательно, число различных комбинаций составляет 505.
□
Сочетание с повторением. Пусть {a1, a2,…, am} – множество из m элементов.
Обычно мы полагаем, что элементы множества не повторяются. Откажемся
от этого принципа. Множество, составленное из a1, a2,…, am, в котором
элементы могут повторяться называется мультимножеством. Для задания
мультимножества надо указать, сколько раз в него входит каждый из
элементов, например, следующим образом
⎛ a ... a m ⎞
⎟⎟ , k i ≥ 0, i = 1,..., m.
M = ⎜⎜ 1
k
...
k
m ⎠
⎝ 1
Рассмотрим, например, мультимножество М={a, a, a, b, b, с, d, d, d, d}, в
котором содержатся 3 элемента а, 2 элемента b, 1 элемент с и 4 элемента d.
12
Мультимножество — это то же самое, что и множество, но в нем могут
содержаться одинаковые элементы. Здесь элементы a,b,c,d различимы, а,
например, три элемента a мультимножества – неразличимы между собой.
Такие объекты встречаются повседневно. Например, зайдя в булочную,
мы выбрали 3 пончика вида a, два пончика вида b, один пончик вида c и 4
пончика вида d. Пончики одного вида для нас неразличимы. Всего мы
выбрали 10 пончиков из 4 –х различных видов. Можно поставить вопрос,
сколько различных комбинаций выбора десяти пончиков из 4 – х видов
существует. Для ответа на этот вопрос имеется
Теорема. Количество различных сочетаний n объектов из k различных типов
равно
n
(n + k − 1)!
C k = Cnk+−k1−1 = C nn+k −1 =
n!(k − 1)!
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что n объектов выбираются из k типов и
повторение допускается. Обозначим аi – объект типа i. Тогда наш выбор
определяется мультимножеством
⎛ a ... ak ⎞
⎟⎟
M = ⎜⎜ 1
⎝ n1 ... nk ⎠
или по – другому
а1а1...а1 | а2а2...а2 | ... | аkаk...аk ,
где в i – ой группе объектов элементы аi повторяются ni раз и
n1 + n2 + ... + nk = n . Группы завершаются вертикальной чертой за
исключением последней серии элементов. Поскольку место расположения
каждого типа понятно, то выборку можно записать в виде
Заметим, что разделителей | на один меньше количества типов. Таким
образом, имеем n объектов плюс k–1 разделителей, образующих n+k–1
мест для размещения х или |. Каждое расположение знаков х и | дает новый
способ выбора n объектов из k типов. Поскольку существует Cnn+ k −1 способов
выбора места для знака х или Cnk+−k1−1 способов выбора знака | (что
эквивалентно), то существуют C nk+−k1−1 = C nn+ k −1 различных способов выбора n
объектов из k типов объектов с возможностью неограниченного повторения.
□
Отметим, что здесь под символом x мы не имели в виду объект какого – то
конкретного типа, т.е. мы могли говорить об n неразличимых объектах, но
различимых группах, в которые мы их пометили. Поэтому это модельное
число часто называют числом размещений n неразличимых предметов по k
ящикам. Однако, обычно, это число называют числом сочетаний из n по k с
n
повторением и обозначают C k .
13
Пример. Сколькими способами трое ребят могут разделить между собой
четыре яблока?
4
6!
6⋅5
C 3 = C33+−41−1 = C62 =
=
= 15
2!(6 − 2 )!
2
Проверим этот результат. Для этого перечислим все возможные способы
дележа яблок: (4,0,0), (0,4,0), (0,0,4), (3,1,0), (3,0,1), (0,3,1), (1,3,0), (0,1,3),
(1,0,3), (2,2,0), (2,0,2), (0,2,2), (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2). Всего 15 способов.
□
Пример. Вернемся к задаче с пончиками. Сколько существует различных
вариантов выбора десяти пончиков из 4 – х видов? Поскольку 10 объектов
выбираются из 4 различных типов с повторением, то имеются
10
13!
13! 13 ⋅ 12 ⋅ 11
C 4 = C 43+10−1 =
=
=
= 286 .
3! (13 − 3)! 3!10!
6
□
Пример. Найти количество целочисленных решений системы
Р е ш е н и е . Число k можно представить в виде суммы k единиц, которые
следует разложить в n корзин, сумма единиц в каждой из которых будет
представлять число xi. Но число размещений k неразличимых предметов (в
нашем случае единиц) по n корзинам (числам xi) равно
k
(n + k − 1)! .
C n = Cnn+−k1−1 = C nk+k −1 =
k!(n − 1)!
□
Перестановки с повторениями. Рассмотрим теперь задачу о количестве
перестановок букв в слове «КОЛОБОК». Оно состоит из семи букв, которые
можно переставить 7! способами. Однако в нем есть три буквы «О» и две
буквы «К». Поэтому меняя местами буквы «О» или переставляя буквы «К»,
мы не получим новых «слов». Фактически мы имеем мультимножество
М={K, K, О, О, О, Л, Б}, элементы которого относятся к 4-м разным типам
(являются разными буквами). Обозначим их через a, b, c, d. Тогда М={a, a, b,
b, b, c, d}. Если бы мы рассматривали все элементы множества М как
различные, обозначив их а1, а2, b1, b2, b3, с1, d1 то получили бы 7!
перестановок, но после отбрасывания индексов многие из них оказались бы
одинаковыми. Фактически каждая перестановка множества М встретилась
бы ровно 2!3!1!1! раз, поскольку в любой перестановке М индексы при
буквах а можно расставить 2! способами, при b — 3! способами, при с и b —
одним способом. Поэтому число перестановок элементов мультимножества
7!
= 420 и, тем самым, мы получаем, что разных «слов» из
М равно
3! 2!1!1!
слова «КОЛОБОК» можно составить 420.
В применении к общему случаю те же рассуждения показывают, что
число
перестановок
любого
мультимножества
(перестановки
с
повторениями) равно
14
P(n1 , n2 ,..., nr ) =
Величины
n!
, n = n1 + n2 + ... + nr .
n1! n2 !...nr !
n!
носят название мультиномиальных коэффициентов.
n1! n2 !...nr !
Как будет показано далее, они стоят при произведениях x1n1 x2n2 ...xrnr в
разложении выражения ( x1 + x2 + ... + xr ) по степеням x1n1 x2n2 ...xrnr .
Получим
предыдущую
формулу
другим
способом.
Пусть
мультимножество состоит из r элементов различного вида и элементов
каждого вида имеется неограниченное количество. Определим количество
перестановок с повторением P (n1 , n2 ,..., nr ) по – другому. Из всех n
возможных мест, на которых будут находиться элементы, n1 место должны
занимать предметы 1 – го вида. Выбор мест для них можно сделать C nn1
способами. Из оставшихся n–n1 мест элементы второго типа занимают n2
места, которые можно выбрать Cnn−2 n1 способами. Те же рассуждения
показывают, что элементы r - го вида можно расположить в перестановке
Cnn−k n1 −...−nr −1 способами. Здесь важны места расположение элементов каждого
вида и, когда эти места выбраны, порядок элементов одного вида на
выбранных для них местах не имеет значения. В результате, согласно
правилу прямого произведения, число перестановок с повторениями равно
n
где n = n1 + n2 + ... + nk общее число элементов.
□
Пример. Сколько существует различных перестановок из букв слова СССР.
Их легко перечислить: СССР, ССРС, СРСС, РССС – всего четыре. По
формуле имеем: P(3C , 1Р ) = C 43 ⋅ C41−3 = 4 .
□
Пример. В студенческой группе, состоящей из 25 человек, при выборе
старосты за выдвинутую кандидатуру проголосовали 19 человек, против — 3,
воздержались — 3. Сколькими способами могло быть проведено такое
голосование?
Р е ш е н и е . Имеем три различные корзины: «за», «против», «воздержались»,
в которые необходимо разложить 25 неразличимых шаров, соответственно 19
— в первую, 3 — во вторую, 3 — в третью. Количество таких разложений
25!
19
C63 C33 =
.
определяется выражением C 25
19! 3! 3!
□
Пусть имеется множество M мощности | M | = n. Разобьем его на несколько
непересекающихся подмножеств, объединение которых даст все M. Порядок
подмножеств в разбиении не является существенным. Например, разбиения
15
множества
M={1,2,3,4,5}
вида
{{1,3},{4},{2,5}},
{{1,3},{2,5},{4}}, {{2,5},{1,3},{4}} считаются одинаковыми.
Подсчитаем, сколькими способами можно разбить множество M на
подмножества, среди которых имеется m1 одноэлементных, m2
двухэлементных, m3 трехэлементных и т.д. mn n-элементных подмножеств
так, что
n
∑ i ⋅ mi = n .
Число неупорядоченных разбиений множества M
i =1
обозначается через N(m1,m2,…,mn).
Например, 17 яблок можно разложить в 6 кучек по 2 яблока и одну
кучку из 5-и яблок. Тогда m2=6 и m5=1, а остальные mi=0
(i = 1...17, i ≠ 2, i ≠ 5) . Число различных способов разложения этих яблок
обозначается N (01 ,6 2 ,0 3 ,0 4 ,15 ,0 6 ,0 7 ,...,017 )
Вначале посчитаем количество упорядоченных перестановок
множества. Для этого воспользуемся интерпретацией упорядоченных
перестановок как разложения n шаров по различным m1 + m2 +... +mn
корзинам так, что в каждую из mi корзин кладут i шаров. Т.е. мы имеем m1
одноэлементных «различимых» корзин, m2 – двухэлементных и т.д.
Тогда всего возможных вариантов разбиения будет
⎛
⎞
n!
n!
⎜
,12
,...,
1, 21
,22
,...,
2, 3{
,...3,..., n{ ⎟ =
P 11
= m1 m2 m3
3
3
⎜
⎟ 1!...
1! 21
!...
2! 3{
!...3! ... n{! (1!) (2!) (3!) ⋅ ... ⋅ (n!)mn
mn
{
2
3
m
m
m
3
⎝ 1
⎠
2
ь
ь
m
ь
1
2
3
n
Теперь откажемся от упорядоченности подмножеств в разбиении, т.е. начнем
считать корзины с одинаковым количеством элементов неразличимыми.
Если все корзины имеют различное число шаров, то их можно рассматривать
как различные (они отличаются числом шаров). В этом случае
упорядоченные и неупорядоченные разложения шаров совпадают. Пусть
теперь в разложении существуют mi корзин с одинаковым количеством
шаров. При упорядоченном разложении такие корзины рассматриваются как
различные. Однако при неупорядоченном разложении обмен шарами таких
корзин можно рассматривать как соответствующую перестановку указанных
корзин, что не приводит к новым разложениям. Если количество корзин с
одинаковым числом шаров равно mi, то неупорядоченных разложений будет
в mi! меньше, чем упорядоченных. Общее число неупорядоченных разбиений
будет в m1! m2!...mn! раз меньше, чем упорядоченных. Следовательно,
Заметим еще раз, что если выполнено упорядоченное разбиение числа n на
подмножества различной длины (мощности), то они совпадают с
неупорядоченными разбиениями. В этом случае все mi = 0 или 1 .
16
Пример. Сколькими способами 17 яблок можно разложить в 6 кучек по 2
яблока и одну кучку из 5-и яблок?
Р е ш е н и е . Требуется разбить множество из 17 яблок на непересекающиеся
и неупорядоченные кучки. Откуда искомое число равно
□
Пример. Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам
так, чтобы в каждой пачке было по два туза?
4!
= 3 способа.
Р е ш е н и е . Для разделения 4-х тузов на две группы есть
(2!)2 2!
Поясним это. Если бы нам надо было определить количество способов
4!
выбрать 2 туза из четырех, то мы бы имели C 42 =
= 6 способов.
2! 2!
Перечислим эти варианты в левом столбце следующей таблицы, указав масти
тузов, и в правом столбце укажем масти двух оставшихся тузов
♦♥
♣♠
♦♣
♥♠
♦♠
♥♣
♥♠
♦♣
♥♣
♦♠
♣♠
♦♥
В нашей задаче, например, первая и последняя строки представляют одно и
то же разбиение, т.к. сейчас для нас не имеет значения в какую из двух групп
попали тузы ♦ ♥ и ♣ ♠. Поэтому различных способов разделить 4 туза
пополам в два раза меньше, т.е. всего 3.
Далее. Каждая половина любого из этих трех разбиений тузов играет
роль различных двух «корзин», куда необходимо разложить пополам
оставшиеся 32 карты. Разложение 32 оставшихся карт уже будет
упорядоченным, так как «корзины» различные, число разложений равно
32!
. Согласно правилу прямого произведения, общее число вариантов
16!16!
32!
.
разделить колоду пополам равно 3 ×
16!16!
6.3 Бином Ньютона
Бином Ньютона. Рассмотрим разложение
Каждое слагаемое в разложении является результатом выбора а или b в
каждом сомножителе (а + b) и последовательного их перемножения.
Например, а5 получено путем выбора а из каждого сомножителя. Если из
17
первого сомножителя выбрано а и b выбрано из остальных сомножителей, то
в результате получим ab4. Предположим, что требуется найти коэффициент
при a3b2. Слагаемое a3b2 получается при выборе трех а и двух b из пяти
сомножителей. Поскольку существует C53 способов выбора трех а, то
коэффициент при a3b2 равен C53 . Обобщая результат, получаем следующую
теорему.
Биномиальная теорема. Для произвольного положительного целого числа n
справедливы равенства
n
n
r =0
r =0
(a + b )n = ∑ Cnr a r b n−r = ∑ Cnr a n−r b r
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку arbn-r получено в результате r-кратного
выбора а и n-r-кратного выбора b из n сомножителей в выражении (а + b)n, то
коэффициент при arbn-r равен числу способов r-кратного выбора а из n
сомножителей C nr . Второе равенство следует из того факта, что C nr = C nn−r .
□
Последняя формула известна под названием «бином Ньютона». Поскольку
C nr - это коэффициенты в биноме Ньютона, то числа C nr еще называют
биномиальными коэффициентами.
Примерами бинома Ньютона при n=1,2,3 будут
(a + b )1 = a + b = C10 a1 + C11b1 при n=1
Пример. Покажем, что для любого положительного целого числа n
n
2 n = ∑ C nr
r =0
n
Пусть a = b = 1, тогда по биномиальной теореме (1 + 1) = ∑ C nr 1r 1n−r и
n
r =0
результат очевиден.
□
Пример. Количество подмножеств n – элементного множества.
Все подмножества заданного n-элементного множества можно
перечислить следующим образом. Вначале отмечаем пустое множество,
потом перечисляем одноэлементные подмножества, потом перечисляем
двухэлементные и т.д. Например, все подмножества множества {a,b,c}
можно разместить следующим образом
18
Напомним, что Cnk представляет количество способов выбрать k-элементное
подмножество из n-элементного множества или, по-другому, количество
различных k-элементных подмножеств. По правилу суммы количество
подмножеств n-элементного множества равно
Используя результат предыдущего примера, получаем, что каждое nэлементное множество имеет 2n разных подмножеств.
Пример. Доказать тождество
n
∑ Cnr (m − 1)
n−r
= mn .
r =0
Воспользуемся формулой бинома Ньютона, где положим a=1 и b=m-1. □
Полиномиальная формула. Пусть слагаемых не два, а больше. Имеет место
формула
Она называется полиномиальной, где суммирование выполняется по всем
решениям уравнения n1 + n2 + ... + nk = n в целых неотрицательных числах,
Для доказательства выполним умножение
Чтобы привести подобные в полученном выражении, необходимо подсчитать
количество
одночленов
вида
каждого
разбиения
x1n1 x2n2 ...xknk
n1 + n2 + ... + nk = n . Для получения же одночлена x1n1 x2n2 ...xknk необходимо
выбрать х1 в качестве множителя в n1 скобках при раскрытии выражения
. Это можно сделать C nn1 способами. Из оставшихся n – n1
не раскрытых скобок необходимо выбрать х2 в качестве множителя в n2
скобках. Это можно сделать Cnn−2 n1 способами и т. д. Тогда количество
одночленов x1n1 x2n2 ...xknk при раскрытии выражения
будет
равно
числу
C nn1 C nn−2 n1 ...C nn−k n1 −...−nk −1 =
n!
n1!n2 !...nk !
перестановок
с
повторениями.
□
Частный вид полиномиальной формулы, содержащий только два слагаемых,
(a + b )
n
n
= ∑ C nr a r b n−r называется биномом Ньютона.
r =0
19
Теорема. (Формула Паскаля). Для всех целых чисел r и n таких, что 1 ≤ r ≤ n
имеет место
C nr = C nr−−11 + C nr−1
(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о . С одной стороны мы имеем
По-другому
Приравнивая коэффициенты при a n−r b r в обеих формулах, убеждаемся в
справедливости формулы (1).
□
Формула (1) дает эффективный способ вычисления биномиальных
коэффициентов. Запишем биномиальные коэффициенты в таблицу (она
называется треугольником Паскаля)
Каждая (n+1)-я строка этого треугольника состоит из биномиальных
коэффициентов, получающихся при раскрытии скобок в выражении (а + b)n.
Так как C n0 = C nn = 1, на внешних сторонах треугольника Паскаля всегда стоят
единицы. Симметрия относительно вертикальной высоты треугольника
следует из тождества C nk = Cnn−k . Выпишем 5 строк треугольника Паскаля
Видим также, что каждое внутреннее число равно сумме двух верхних
соседей. Это правило нами сформулировано в виде формулы Паскаля
C nr = C nr−−11 + C nr−1 .
Формулу Паскаля можно доказать комбинаторно. Зафиксируем
некоторый элемент n – элементного множества. Затем все r – элементные
подмножества разобьем на два типа – к одному типу отнесем те
подмножества, которые содержат выделенный элемент, а ко второму отнесем
те подмножества, которые этот элемент не содержат. Ясно, что сумма
количества первых и вторых подмножеств будет равна количеству r –
20
элементных подмножеств, т.е. C nr . Определим количество подмножеств
первого типа, которые содержат выделенный элемент. Поскольку элемент
уже выбран, то надо выбрать r-1 объект из n-1 элемента множества, т.е. всего
способов C nr−−11 . Рассмотрим подмножества, которые не содержат выделенный
элемент. По-прежнему требуется выбрать r объектов, но теперь из n – 1
объектов, учитывая, что один элемент не может быть выбран. Таким образом,
существуют Cnr−1 способов сделать такой выбор. Складывая количество
способов выбора в обоих случаях, получаем C nr = C nr−−11 + C nr−1 .
Заметим, что доказать эту теорему можно также методом
математической индукции.
□
Теорема Вандермонда. Пусть m,n,r – положительные целые числа такие,
что r ≤ min(m, n ) . Тогда
r
C mr + n = ∑ C mk ⋅ C nr − k
k =0
r
m+ n
Доказательство. C
– это число способов выбрать r предметов из m+n
предметов. Предметы можно выбирать в два приема: сначала выбрать k
предметов из первых m предметов, а затем выбрать недостающие r-k
предметов из оставшихся n предметов. Всего для этого существует Cmk ⋅ Cnr −k
способов. Отсюда общее число способов выбрать r предметов составляет
r
∑ Cmk ⋅ Cnr −k
.
k =0
□
6.4 Принцип включений – исключений.
Поставим задачу подсчитать количество элементов в объединении
нескольких множеств. Для двух множеств мы имели
A1 U A2 = A1 + A2 − A1 I A2
(1)
Рассмотрим теперь объединение трех множеств. Обозначим A1 U A2 = A и
применим предыдущую формулу
A1 U A2 U A3 = A U A3 = A + A3 − A I A3 =
= A1 U A2 + A3 − ( A1 U A2 ) I A3 = A1 U A2 + A3 − A1 I A3 U A2 I A3
Применяя к A1 U A2 и A1 I A3 U A2 I A3 формулу для двух множеств,
приходим к следующему соотношению
A1 U A2 U A3 = A1 + A2 + A3 − A1 I A2 − A1 I A3 − A2 I A3 + A1 I A2 I A3
Переходя к n (n>2) множествам A1,A2,…,An с использованием индуктивных
соображений можно получить формулу
n
n
i =1
i =1
U Ai = ∑ Ai −
∑
1≤i < j ≤ n
Ai I A j +
∑
1≤i < j < k ≤ n
Ai I A j I Ak − ... +
21
+ (− 1)
p +1
∑
Ai1 I Ai2 I ... I Ai p + ... + (− 1)
n +1
1≤i1 <i2 <...<i p ≤ n
A1 I A2 I ... I An ,
(2)
которая в словесной формулировке выглядит так:
чтобы найти количество элементов в объединении множеств, нужно
сложить количества элементов в каждом множестве, затем вычесть
количество элементов во всевозможных попарных пересечениях, прибавить
количество элементов во всевозможных пересечениях по три и т.д.
Для доказательства формулы (2) необходимо показать, что в правой
части каждый элемент множества A1 U A2 U ... U An подсчитан и учтен ровно
один раз. Предположим, что элемент а принадлежит в точности р
множествам из набора А1,А2,А3,...,Аn. В сумме
раз. В сумме
∑
1≤i < j ≤ n
n
∑
i =1
A i элемент а учтен р
Ai I Aj элемент а учтен всякий раз, когда выбраны два
множества, содержащие элемент а. Существуют C p2 способов выбрать такие
∑
два множества. Следовательно, в сумме
1≤i < j ≤ n
раз. В сумме
∑
1≤i < j < k ≤ n
Ai I Aj элемент а учтен C p2
Ai I Aj I Ak элемент а учтен всякий раз, когда выбраны
три множества, содержащие элемент а. Существуют C 3p способов выбрать
такие три множества. Следовательно, в сумме
∑
1≤i < j < k ≤ n
Ai I Aj I Ak элемент а
учтен C 3p раз. В сумме элементов всех возможных пересечений r множеств,
где r ≤ p , элемент a учтен C pr раз. Следовательно, в правой части формулы
(2) элемент а учтен p − C p2 + C 3p − ... + (− 1) C ip + ... + (− 1)
i +1
p +1
раз. Но
1 − C 1p + C p2 − C 3p − ... + (− 1) C ip + ... + (− 1) C pp = (1 − 1) = 0
p
p
i
Поэтому
1 = C 1p − C p2 + C 3p − ... + (− 1) C ip + ... + (− 1)
и получаем, что элемент a учтен в точности один раз.
i +1
p +1
□
На основании этой теоремы докажем утверждение, известное как
Теорема о включении – исключении. Пусть А1,А2,А3,...,Аn — набор
конечных множеств. Количество элементов множества A1 I A2 I ... I An
определяется формулой
22
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из теории множеств известно, что
A1 I A 2 I ... I A n = A1 U A 2 U ... U A n = U \ ( A1 U A 2 U ... U A
)
Это легко видеть, например, из диаграммы Эйлера
так что имеем соотношение
A1 I A2 I ... I An = U − A1 U A2 U ... U An
Заменяя в этом равенстве число A1 U A2 U ... U An
формуле (2), получаем требуемый результат.
его представлением по
□
Название этой теоремы подчеркивает использование последовательных
включений и исключений элементов подмножеств. Формулы (2) или (3)
называются формулами включения – исключения, а метод решения
комбинаторных задач с их использованием называется методом включения –
исключения. Этот метод обобщает правило суммы, которое было
рассмотрено нами вначале темы «комбинаторика»
Пример. Рассмотрим слова длины n в алфавите {0,1,2}. Сколько имеется
слов, в которых встречаются все три цифры?
Обозначим Ai множество всех слов длины n, в которых не встречается
Кроме
того,
цифра i, i=0,1,2.
Тогда
A0 = A1 = A2 = 2 n .
A0 I A1 = A0 I A2 = A1 I A2 = 1 . Наконец, A0 I A1 I A3 = 0 . В множество
A0 U A1 U A3 входят слова, в которых отсутствует хотя бы одна цифра. По
принципу включений – исключений (формула (2))
Следовательно, число слов, в которых присутствуют все три цифры, равно
3n − 3 ⋅ (2 n − 1).
□
Иногда удобно формулу из теоремы включений и исключений трактовать в
другом виде. Пусть подмножество Хi определяется наличием некоторого
свойства Рi
у элементов
множества U. Тогда подмножество
X = X 1 U X 2 U ... U X m объединяет элементы из U, которые обладают хотя бы
одним из свойств Pi. Дополнение X составляют элементы, которые не
обладают ни одним из свойств Рi,i=1,2,…,m. Пересечения вида
23
X = X i1 I X i2 I ... I X ik объединяют элементы, обладающие одновременно
свойствами Pi1 , Pi2 ,..., Pik . Если обозначить число элементов в U через
|U| = n, число элементов, обладающих одновременно набором свойств
Pi1 , Pi2 ,..., Pik , через N (Pi1 , Pi2 ,..., Pik ), то для числа элементов, не обладающих ни
одним из свойств Рi,i=1,2,…,m, имеем формулу
Пример. Сколько натуральных чисел из первых 100 не делятся
одновременно на 2, 3 и 5? Обозначим число натуральных чисел из первых
100, делящихся на два через N(P2). Это число легко найти:
N (P2 ) = [100 / 2] = 50 . Здесь квадратные скобки обозначают наибольшее целое
число, не превосходящее данное. Аналогично N (P3 ) = [100 / 3] = 33 ,
N (P5 ) = [100 / 5] = 20 . Далее число натуральных чисел из первых 100,
делящихся одновременно на 2 и 3, т. е. на наименьшее их кратное 6, равно
N (P2 , P3 ) = [100 / 6] = 16 . Аналогично получим
N (P2 , P5 ) = [100 / 10] = 10 ,
N (P3 , P5 ) = [100 / 15] = 6 . Наконец, число всех натуральных чисел из первых
100, делящихся одновременно на 2, 3 и 5, равно N (P2 , P3 , P5 ) = [100 / 30] = 3 .
Теперь, применяя формулу включений и исключений, получим
□
Пример. В группе 23 студента. Из них 18 знают английский язык, 9 —
немецкий и 6 — оба языка. Сколько студентов в группе не знают ни одного
языка? Сколько студентов знают только один язык?
Р е ш е н и е . Пусть S— множество всех студентов, |S| = 23. Назначим свойства
элементам s ∈ S : Р1 — знание английского языка, Р2 — знание немецкого
языка. N(0) — количество студентов, не знающих языков (не обладают
свойствами), N(1) — количество студентов, знающих только один язык.
Тогда
N (0 ) = 23 − N (P1 ) − N (P2 ) + N (P1 ⋅ P2 ) = 23 − 18 − 9 + 6 = 2
N (1) = ( N (P1 ) − N (P1 ⋅ P2 )) + ( N (P2 ) − N (P1 ⋅ P2 )) = 18 − 6 + 9 − 6 = 15
□
Пример (задача о беспорядках). Перестановка a1a2…an чисел 1,2,…,n
называется беспорядком, если ai ≠ i для всех i = 1, 2, …, n. Таким образом,
беспорядок – это перестановка, в которой ни один элемент не занимает
«своего» места. Задача о беспорядках состоит в том, чтобы подсчитать число
Dn перестановок – беспорядков. Например, D2=1 – два числа {1,2} образуют
только один беспорядок (2,1). D3=2, поскольку беспорядками из трех чисел
24
{1,2,3} являются (3,1,2) и (2,3,1). Перечислим беспорядки из четырех
элементов:
2143; 2341; 2413; 3142; 3412; 3421; 4123; 4312; 4321.
Значит, D4 = 9.
Если перестановке назначить свойство – один предмет остается на
своем месте, то таких перестановок будет C n1 (n − 1)! , поскольку предмет
может находиться на любом из C n1 месте, а остальные элементы можно
переставить (n − 1)! способами. Аналогично, перестановок в которых два
предмета остаются на своем месте будет C n2 (n − 2 )! и т.д. Подставляя это в (3)
приходим к
Последнее равенство можно переписать следующим образом:
Также ясно, что количество перестановок n различных предметов, при
которых ровно k предметов стоят на своих первоначальных местах,
выражается числом Dn ,k = C nk ⋅ Dn −k .
6.5 Метод рекуррентных соотношений
Последовательность a0,a1,a2,… называют рекуррентной, если указана
зависимость общего члена последовательности от предыдущих и заданы
значения необходимого числа начальных членов.
Примерами рекуррентных последовательностей могут служить
арифметические и геометрические прогрессии.
Члены геометрической прогрессии a0, a1, a2,… со знаменателем q поопределению связаны рекуррентным соотношением
an+1=q an.
и для однозначного ее определения надо задать начальное значение a0.
Члены произвольной арифметической прогрессии a0, a1, a2,… связаны
рекуррентным соотношением a n +1 = a n + Δ или, например, соотношением
an+2 = 2an+1 – an.
Действительно
an = a0 + (n − 1)Δ
a n +1 = a0 + n ⋅ Δ
a n + 2 = a0 + (n + 1)Δ = 2(a0 + n ⋅ Δ ) − (a0 + (n − 1)Δ ) = 2 ⋅ a n +1 − a n
Последовательность
факториалов
1,2,6,…,n!,…
определяется
рекуррентным соотношением
an+1=(n+1)an
с заданием начального значения a0 = 1.
Как рекуррентость может трактоваться формула
25
связывающая биномиальные коэффициенты.
Пример. Рассмотрим задачу о разбиении плоскости прямыми. Пусть Dn –
число областей, на которые разбивают плоскость n прямых общего
положения (таких, что никакие три из них не пересекаются в общей точке и
никакие две прямые не параллельны). Ясно, что D0 = 1, D1 = 2.
Предположим, что на плоскости уже проведено n прямых, и посмотрим,
сколько новых областей добавляется при проведении «новой» n+1-й прямой.
Каждую область, по которой проходит эта прямая, она рассекает на две.
Таким образом, общее число областей увеличится на число областей, через
которые проходит n+1-я прямая. Двигаясь по n+1-й прямой в одном
направлении, мы пересечем границы областей n раз по числу «старых»
прямых. Значит, n+1-я прямая пройдет через n+1 область (в
последовательности область – граница – … – область – граница – область,
число областей на единицу больше, чем число границ). В результате
получаем рекуррентное соотношение
Dn+1=Dn+(n+1).
Чтобы найти замкнутое выражение для членов последовательности Dn,
просуммируем следующие равенства:
D1 = D0 + 1;
D2 = D1 + 2;
………………
Dn = Dn–1 + n .
После сокращений получаем
Dn = D0 + 1 + 2 +…+n .
Следовательно,
n (n + 1)
Dn = 1 +
2
□
Рекуррентная последовательность u0,u1,u2,… называется
однородной, если ее члены связаны соотношением вида
линейной
где ai, i=1,2,…,r, – постоянные, не зависящие от n. Соотношение (1)
называется линейным однородным рекуррентным уравнением порядка r.
26
Пример. Уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет
вид
(2)
y n − a y n −1 = 0 и задается начальное значение y 0 = y 0 .
Последовательные вычисления дают
yn = a ⋅ yn−1 = a ⋅ a ⋅ yn−2 = K = a n y0 = a n y 0 .
Т.о. геометрическая прогрессия y 0 ⋅ a n является решением линейного
однородного рекуррентного уравнения первого порядка.
□
Пример. Уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет
вид y n +1 − a n y n = 0 с начальным значением y 0 = y 0 . Тогда
y1 = a0 y 0
y 2 = a1 y1 = a1a0 y 0
y3 = a 2 y 2 = a 2 a1a0 y 0
...
n −1
y n = an−1 ⋅ L a2 a1a0 y0 = y0 ∏ ak
k =0
где использовано обозначение
∏k =0 ak = a0 ⋅ a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an .
n
□
Пример. Линейное неоднородное уравнение 1-го порядка имеет вид
y n+1 − a y n = f n , для которого надо задать начальное значение y 0 = y 0 и
последовательность значений f n . Имеем
y1 = a ⋅ y0 + f1
y2 = a ⋅ y1 + f 2 = a ( a ⋅ y0 + f1 ) + f 2 = a 2 y0 + ( af1 + f 2 )
y3 = a ⋅ y2 + f 3 = a ( a 2 y0 + ( af1 + f 2 ) ) + f 3 = a 3 y0 + ( a 2 f1 + af 2 + f 3 )
Ясно, что
n
yn = a n y0 + ∑ a n−k f k
(3)
k =1
Здесь мы имеем сумму решения однородного уравнения (2) и некоторого
n
частного решения неоднородного уравнения zn = ∑ a n−k f k . Действительно
k =1
zn − a ⋅ zn−1 = ( a n −1 f1 + a n−2 f 2 + K + af n −1 + f n ) −
− a ( a n−2 f1 + a n −3 f 2 + K + af n−2 + f n−1 ) = f n
□
Пример. Требуется подсчитать количество двоичных слов длины n, в
которых единицы не могут стоять на соседних местах. Будем называть такие
слова правильными и обозначим через An число правильных слов длины n.
Разобьем множество правильных слов длины n на два класса: слова
оканчивающиеся на ноль и слова, оканчивающиеся на единицу. Количество
27
слов в этих классах обозначим An(0 ) и An(1) соответственно. Очевидно, что
An = An(0 ) + An(1) . У слова, оканчивающегося на ноль первые n-1 символов
образуют правильное слово длины n-1. Следовательно An(0 ) = An−1 . Если
правильное слово длины n оканчивается на единицу, то предыдущий символ
этого слова должен быть нулем, а первые n-2 символа будут образовывать
правильное слово длины n-2. Поэтому An(1) = An−2 . В результате мы имеем
соотношение
An = An −1 + An −2
Как видим, решение нашей задачи свелось к рекуррентному уравнению. В
переводе – возвратному, так как для подсчета интересующей нас величины
для некоторого n нужно возвратиться к предыдущим значениям этой
величины. Здесь легко видеть, что A1 = 2 и A2 = 2 . Поэтому A3 = 2 + 2 = 4 ,
A4 = 2 + 4 = 6 и т.д.
□
В общем случае рекуррентное соотношение имеет вид
(4)
a n = F (a n −1 , a n − 2 ,..., a n −k )
Как правило, мы будем иметь дело с уравнением вида
(5)
a n = c1a n−1 + c2 a n −2 + ... + ck a n −k
где c1 , c2 ,..., ck - заданные числа. Такое соотношение называют линейным
рекуррентным уравнением k – го порядка с постоянными коэффициентами.
Соотношение (4) или (5) мы будем рассматривать как уравнение
относительно неизвестной функции A(n)=An и каждую последовательность
~
A = ( A0 , A1 ,..., An ,...)
для которой выполняется соотношение (4) или (5) будем называть решением
рекуррентного соотношения.
~
Лемма 1. Если последовательность A = ( A0 , A1 ,..., An ,...) является решением
рекуррентного соотношения (5) и C любое число, то и последовательность
~
также
является
решением
рекуррентного
CA = (CA0 , CA1 ,..., CAn ,...)
соотношения (5).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставив вторую последовательность в (5) и поделив
на C , убеждаемся, что и вторая последовательность является решением. Если
~
же C=0, то последовательность C A состоит из одних нулей и, очевидно,
также удовлетворяет соотношению (5).
□
~
~
Лемма 2. Если A = ( A0 , A1 ,..., An ,...) B = (B0 , B1 ,..., Bn ,...) являются решениями
рекуррентного соотношения (5), то последовательность
~ ~ ~
C = A + B = ( A0 + B0 , A1 + B1 ,..., An + Bn ,...)
также является решением рекуррентного соотношения (5).
~
~
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как A и B являются решениями, то
An = c1 An −1 + c2 An −2 + ... + ck An− k
28
Bn = c1 Bn −1 + c2 Bn − 2 + ... + ck Bn −k
Сложив эти соотношения, получаем
An + Bn = c1 ( An −1 + Bn −1 ) + c2 ( An − 2 + Bn − 2 ) + ... + ck ( An − k + Bn −k ) ,
т.е.
C n = c1C n −1 + c2 C n −2 + ... + ck C n −k
□
Рекуррентные уравнения для нас важны, поскольку часто решение одной
комбинаторной задачи удается свести к решению аналогичных задач
меньшей размерности. Тем самым решение сложной задачи можно получить,
последовательно находя решения более легких задач, и далее, пересчитывая
по рекуррентным соотношениям, находить решение трудной задачи.
Формула (4) является рекуррентным соотношением между элементами
последовательности чисел a n −k ,..., a n . Т.о. рекуррентное соотношение
позволяет по известным значениям a n −k ,..., a n вычислить значение аn., но
первые несколько значений a0 ,..., ak −1 нужно знать заранее. Как мы видели в
примерах, иногда удается получить из рекуррентного соотношения общую
формулу для вычисления аn по номеру n. Тогда можно сразу вычислить
окончательный результат без вычисления всех предыдущих результатов.
Пример. Вернемся к рекуррентному соотношению аn=аn-1+ аn-2. Оно задает
так называемые числа Фибоначчи F0, F1, F2, F3, … , если положить F0 =0 и
F1=1. Тогда последовательность решений будет иметь вид 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, …Найдем общую формулу для чисел Фибоначчи. Будем искать ее в виде
an = λ n . Подстановка в рекуррентное соотношение дает λ n = λ n−1+ λn−2 .
Разделим обе части равенства на λ n −2 ≠ 0 . Получим квадратное уравнение
λ 2 − λ − 1 = 0 . Найдем его корни
В соответствии с леммой 1 решением являются an = C1λ1n и an = C1λ2n , где C1
и C2 произвольные постоянные. В соответствии с леммой 2 решением будет
их сумма. Т.о. общим решением будет линейная комбинация
Произвольные постоянные найдем из начальных условий a0=0, a1=1. Имеем
a0 = 0 = C1 + C 2 ⇒ C 2 = −C1
и
⎛1 + 5 1 − 5 ⎞
1+ 5
1− 5
⎟ = C1 5
a1 = 1 = C1
+ C2
= C1 ⎜⎜
−
⎟
2
2
2
2
⎝
⎠
29
1
1
. Окончательно общее решение рекуррентного
, C2 = −
5
5
соотношения будет иметь вид
Тогда C1 =
который называется формулой Бине.
□
Заметим, что деление отрезка такое, что отношение длин полученных частей
−1+ 5
называют золотым сечением. Поэтому это число часто
равняется
2
называют отношением золотого сечения.
Рассмотренный пример позволяет сформулировать общий прием
решения линейных рекуррентных уравнений.
Теорема. Пусть a n + c1a n −1 + ... + ck a n −k = 0 – линейное однородное
рекуррентное уравнение с
постоянными коэффициентами ci = Const
(i = 1,2,...k ) , и пусть λ — корень характеристического уравнения
λ k + c1λ k −1 + ... + ck = 0 . Тогда:
1) последовательность с общим членом C λ n , где С — произвольная
константа,
удовлетворяет исходному однородному рекуррентному
уравнению;
2) если λ1 , λ2 ,..., λk — простые корни характеристического уравнения, то
общее решение рекуррентного соотношения имеет вид
где Сi, i= 1,2, ..., k, — произвольные постоянные;
3) если λi — корень кратности ri, i =1, ..., s, характеристического уравнения,
то общее решение рекуррентного соотношения имеет вид
где Ci j — произвольные постоянные.
Пример. Рассмотрим соотношение an = 3 ⋅ a n −1 − 2 ⋅ a n −2 , a1 = 1, a 2 = 3 . Оно
является линейным рекуррентным
соотношением с постоянными
коэффициентами a n − 3 ⋅ a n −1 + 2 ⋅ a n −2 = 0 . Составим характеристическое
уравнение λ 2 − 3 λ + 2 = 0 . Его
корни λ1, 2 = 1,2 . Поэтому общее решение
имеет вид an = C1 + C2 2 n . С учетом начальных условий имеем
⎧C1 + 2 C 2 = 1
⎨
⎩C1 + 4 C 2 = 3
Тем самым C1 = -1, С2 = 1. Окончательное решение будет an = 2 n − 1 .
30
Для неоднородных линейных рекуррентных соотношений имеет место
Теорема. Пусть an + c1a n−1 + ... + ck a n −k = f n –
неоднородное линейное
рекуррентное уравнение, Его общее решение представляется в виде суммы
общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого
частного решения неоднородного уравнения an = an0 + anH .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы имеем
an0 + c1an0−1 + ... + ck an0−k = 0
(однородное уравнение)
anH + c1anH−1 + ... + ck a nH−k = f n (неоднородное уравнение)
Сложим эти соотношения
(an0 + anH ) + c1 (an0−1 + anH−1 ) + ... + ck (an0−k + anH−k ) = f n
Т.о. an = an0 + anH является решение неоднородного уравнения
□
Пример. Рассмотрим уравнение an = 3 ⋅ an−1 − 2 ⋅ an−2 + 2 ⋅ 3 , a1 = 30, a 2 = 86 .
Оно является неоднородным рекуррентным уравнением 2 – го порядка
an − 3 ⋅ an−1 + 2 ⋅ an−2 = 2 ⋅ 3n
Соответствующее ему однородное уравнение было рассмотрено в
предыдущем примере и имело общее решение an0 = C1 + C 2 2 n . Теперь найдем
частное решение неоднородного уравнения. Будем искать его в виде
anH = A ⋅ 3n , где коэффициент A будем подбирать. Подстановка в исходное
неоднородное уравнение дает
A ⋅ 3n − 3 ⋅ A ⋅ 3n−1 + 2 ⋅ A ⋅ 3n−2 = 2 ⋅ 3n или 2 ⋅ A ⋅ 3n−2 = 2 ⋅ 3n
Сокращая на 3n−2 , получаем A=9. Т.о. общее решение неоднородного
уравнения будет иметь вид an = C1 + C2 2 n + 9 ⋅ 3n . Из начальных условий
находим
30 = C1 + C2 21 + 9 ⋅ 31
n
86 = C1 + C 2 2 2 + 9 ⋅ 32
Решение системы уравнений дает C1=1, C2=1. Окончательно, решение имеет
вид an = 1 + 2 n + 9 ⋅ 3n .
□
Упражнения
Упражнения к п.6.1
3. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 5 или на 7?
4. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 7 или на 11?
31
5. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 6 или на 10?
6. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 10 или на 15?
7. Сколько целых чисел между 1 и 1001 делятся на 10, но не делятся на 40?
8. Сколько целых чисел между 1 и 1001 делятся на 10, но не делятся на 14?
9. Год является високосным, если (а) количество дней в нем делится на 4, но
не делится на 100, или (б) если он делится на 400. Сколько високосных годов
было между 1001 и 2001 годами?
10. Сколькими способами можно разместить положительные целые числа,
меньшие 10, так чтобы 4 было расположено сразу после 5 или 5 было
расположено сразу после 4? Сколько существует размещений, в которых 4 и
5 не стоят рядом?
11. Сколькими способами можно разместить положительные целые числа,
меньшие 10, так что 4 было бы расположено сразу после 3 или 7 было бы
расположено сразу после 6?
12. Сколько существует положительных целых чисел, содержащих не более
пяти цифр, в которых
а) первой цифрой является 3?
б) последней цифрой является 5?
в) первой цифрой является 3 или последней цифрой является 5?
г) ни первая цифра не равна 3, ни последняя цифра не равна 5?
13. Сколько целых чисел между 1 и 2003 делится на 3, 5 или 7?
14. Сколько целых чисел между 1 и 2003 делится на 5, 7 или 11?
15. Сколько целых чисел между 1 и 2003 делится на 4, 5 или 6?
16. Сколько целых чисел между 1 и 2003 делится на 6, 7 или 8?
17. В группе из 200 студентов 75 изучают математику, 70 — историю, 75 —
социологию, 35 изучают математику и социологию, 20 — историю и
социологию, 25 изучают математику и историю, 15 студентов — все три
предмета.
а) Сколько студентов изучают хотя бы один из трех предметов?
б) Сколько студентов изучают только один из трех предметов?
в) Сколько студентов изучают историю или математику, но не изучают
социологию?
г) Сколько студентов не изучают ровно два из трех предметов?
д) Сколько студентов не выбрали историю или математику?
18. Согласно опросу 250 телезрителей, 95 из них нравится смотреть новости,
125 предпочитают смотреть спорт, 125 — комедии, 25 — новости и комедии,
45 — спорт и комедии, 35 — новости и спорт, 5 любят все три вида
программ.
а) Сколько телезрителей смотрят новости, но не смотрят спорт?
б) Сколько телезрителей смотрят новости или спорт, но не любят комедии?
в) Сколько телезрителей не любят смотреть ни новости, ни спорт?
г) Сколько телезрителей смотрят не только спорт?
д) Сколько телезрителей смотрят спорт и комедии, но не смотрят новости?
19. Сколько пятизначных целых чисел имеют одной из цифр 3, 5 или 7?
20. Сколько пятизначных целых чисел начинаются с 3 и заканчиваются на 5
32
или содержат цифру 7 ?
21. В группе из 100 студентов 35 изучают французский язык, 42 —
испанский, 43 — немецкий, 17 изучают французский и испанский, 15 —
испанский и немецкий, 13 — французский и немецкий, и 20 студентов не
изучают ни один из трех языков.
а) Сколько студентов изучают французский или немецкий язык, но не изуизучают испанский?
б) Сколько студентов изучают только один из трех языков?
в) Сколько студентов изучают два из трех языков?
г) Сколько студентов не изучают ни испанский язык, ни французский?
д) Сколько студентов изучают только испанский?
22. На одной из кафедр университета работают тринадцать человек, причем
каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают
английский, семеро — немецкий, шестеро — французский. Пятеро знают
английский и немецкий, четверо — английский и французский, трое —
немецкий и французский. Найти: а) сколько человек знают все три языка; б)
сколько знают ровно два языка; в) сколько знают только английский?
23. Говорят, что 5-карточный расклад содержит каре, если четыре из них
являются либо тузами, либо королями, либо дамами и т.д. Эти четыре карты
называются картами одного ранга. Сколько существует раскладов, при
которых пятерка карт содержит каре?
Р е ш е н и е . Существуют 13 способов выбрать каре и 48 способов выбрать
пятую карту. Поэтому существует 13 х 48 = 624 различных раскладов,
включающих каре.
24. Сколько существует номерных знаков автомобиля, состоящих из 3 – х
букв и 3 – х цифр (исключаем буквы й, ь, ъ, ё ).
Р е ш е н и е . Существуют 26 возможных способов выбора для каждой буквы и
10 возможных способов выбора для каждой цифры. Таким образом, если
разрешить повторение, то будут существовать 263 х 103 возможных
номерных знаков.
24. Группа студентов насчитывает 25 человек. Из них 15 любят математику,
10 — физику, 8 — не любят ни математику, ни физику. Сколько студентов
любят и математику, и физику?
25. В группе из 100 студентов английским языком владеют 28 человек,
немецким – 30, французским – 42, английским и немецким – 8, английским и
французским – 10, немецким и французским – 5, а всеми тремя языками
владеют 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из названых
языков?
26. На кафедре математики работает семь преподавателей. Сколькими
способами можно составить комиссию из трех человек для приема
"хвостов"?
27.
33
28. На кафедре лингвистики работают 13 человек, причем каждый из них
знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский
язык, семеро — немецкий, шестеро — французский. Пятеро знают
английский и немецкий, четверо — английский и французский, трое —
немецкий и французский. Сколько человек знают 1) все три языка; 2) ровно
два языка; 3) только английский язык?
Упражнения к п.6.2
1. Вычислите а) A85 ; б) A118 ; в) C127 ; г) C142 ; д) C1412 .
2. Вычислите а) A83 ; б) A114 ; в) C155 ; г) C127 ; д) C125 .
3.
□
4. Сколько трехзначных чисел можно образовать, используя цифры 2, 3, 4, 5,
6, 8 и 9? А сколько таких трехзначных чисел меньше 450? Сколько среди них
четных чисел? Сколько из них делятся на 4?
5. Судья на выставке цветов не разбирается в орхидеях. Если он выбирает
победителей случайным образом среди 18 участниц то, сколько имеется
способов вручить первый, второй и третий приз?
34
6. В скачках участвуют десять лошадей. Сколько существует вариантов
призовой тройки лошадей?
7. Шесть мальчиков и шесть девочек идут на концерт вместе. Сколькими
способами они могут занять места, если
а) мальчики не будут сидеть рядом?
б) ни мальчики, ни девочки не будут сидеть все вместе?
в) все мальчики сядут вместе?
г) два мальчика сядут по краям?
д) один мальчик и одна девочка откажутся сесть вместе?
8. Из города А в город В ведут семь дорог, а из города B в город С — три
дороги. Сколько возможных маршрутов ведут из А в С через город В?
9. Сколько имеется шестизначных чисел, если первая цифра разряда не
может быть нулем, цифры не должны повторяться и
а) последние две цифры должны быть 7 или 8?
б) первая цифра должна быть 1, а последние цифры не могут быть 7 или 8?
в) цифры 7 и 8 должны стоять рядом?
г) число должно делиться на 4?
д) число должно делиться на 8?
е) в числе должны присутствовать цифры 5 и 6?
10.
11. Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000 и не
делящихся ни на одно из чисел 3, 5 и 7.
12. Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000 и не
делящихся ни на одно из чисел 6, 10 и 15.
Сколькими способами можно указать на шахматной доске 2n х 2n два
квадрата — белый и черный?
Сколькими способами можно указать на шахматной доске 2n х 2n
белый и черный квадраты, не лежащие на одной горизонтали и вертикали?
Какое количество матриц можно составить из n строк и m столбцов с
элементами из множества {0,1}?
Сколькими способами можно составить трехцветный флаг, если
имеется материал 5 различных цветов? Та же задача, если одна из полос
должна быть красной.
Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно
сделать, если любое письмо можно передать с любым из 3 курьеров?
У одного студента 7 книг, у другого 9 различных книг. Сколькими
способами они могут обменять одну книгу одного на одну книгу другого?
У мамы 5 яблок, 7 груш и 3 апельсина. Каждый день в течение 15 дней
подряд она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может
быть сделано?
У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими
способами можно назвать ребенка, если ему дают не более трех имен, а
общее число имен равно m?
35
Сколькими способами можно расставить белые фигуры: 2 коня, 2
слона, 2 ладьи, ферзя и короля на первой линии шахматной доски?
Сколькими способами можно посадить n мужчин и n женщин за
круглый стол так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей.
Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары?
Сколькими способами можно распределить 3n различных предметов
между тремя людьми так, чтобы каждый получил n предметов?
Имеется n абонентов. Сколькими способами можно одновременно
соединить три пары?
Доказать, что нечетное число предметов можно выбрать из n
предметов 2n-1 способами.
Сколькими способами можно посадить рядом 3 англичан, 3 французов
и 3 немцев так, чтобы никакие три соотечественника не сидели рядом?
В колоде 52 карты. В скольких случаях при выборе из колоды 10 карт
среди них окажутся: а) ровно один туз; б) хотя бы один туз; в) не менее двух
тузов; г) ровно два туза?
Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды, содержащей
52 карты, так, чтобы среди них были карты каждой масти?
Найти число способов раскладки n различных шаров по m различным
корзинам.
Найти число способов раскладки n одинаковых шаров по m различным
корзинам.
Сколькими способами можно разместить n одинаковых шаров по m
различным корзинам при следующих условиях:
а) пустых корзин нет;
б) во второй корзине k шаров;
в) в первых к корзинах соответственно а1, а2,.. аk шаров?
Сколькими способами можно разместить n1 красных, n2 желтых и n3
зеленых шаров по m различным урнам?
Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой 6
одинаковых яблок, 1 апельсин, 1 сливу, 1 лимон, 1 грушу, 1 айву и 1 финик?
Поезду, в котором находится n пассажиров, предстоит сделать m
остановок. Сколькими способами могут распределиться пассажиры между
этими остановками?
Сколькими способами можно раскрасить квадрат, разделенный на
четыре части, пятью цветами:
а) допуская окрашивание разных частей в один цвет;
б) если различные части окрашиваются разными цветами?
Сколькими способами можно выбрать 5 номеров из 36?
Сколькими способами можно раскрасить квадрат, разделенный на
девять частей, четырьмя цветами таким образом, чтобы в первый цвет были
окрашены 3 части, во второй — 2, в третий — 3, в четвертый — 1 часть?
36
Некая комиссия собиралась 40 раз. Каждый раз на заседаниях
присутствовали по 10 человек, причем никакие двое из ее членов не были на
заседаниях вместе больше одного раза. Доказать, что число членов комиссии
больше 60.
В соревнованиях по гимнастике две команды имели одинаковое число
участников. В итоге, общая сумма баллов, полученных всеми участниками,
равна 156. Сколько было участников, если каждый из них получил оценки
только 8 или 9 баллов?
Группа из 41 студента успешно сдала сессию из трех экзаменов.
Возможные оценки: 5,4,3. Доказать, что, по крайней мере, пять студентов
сдали сессию с одинаковыми оценками.
Поступающий в высшее учебное заведение должен сдать четыре
экзамена. Он полагает, что для поступления будет достаточно набрать 17
баллов. Сколькими способами он сможет сдать экзамены, набрав не менее 17
баллов и не получив ни одной двойки
Каких чисел больше среди первого миллиона: тех, в записи которых
встречается 1, или тех, в записи которых ее нет?
Сколькими способами можно разбить 30 рабочих на 3 бригады по 10
человек в каждой бригаде? На 10 групп по 3 человека в каждой группе?
Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так,
чтобы в каждой пачке было по два туза?
Сколькими способами можно расположить в 9 лузах 7 белых шаров и 2
черных шара? Часть луз может быть пустой, и лузы считаются различными.
В лифт сели 8 человек. Сколькими способами они могут выйти на
четырех этажах так, чтобы на каждом этаже вышел, по крайней мере, один
человек?
Сколько существует чисел от 0 до 10n, которые не содержат две идущие
друг за другом одинаковые цифры?
Сколько существует натуральных n-значных чисел, у которых цифры
расположены в неубывающем порядке?
Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так,
чтобы никакие две единицы не стояли рядом?
Город имеет вид прямоугольника, разделенного улицами на квадраты.
Число таких улиц в направлении с севера на юг равно n, а в направлении с
востока на запад — k. Сколько имеется кратчайших дорог от одной из
вершин прямоугольника до противоположной?
Бросают m игральных костей, помеченных числами 1,2,3,4,5,6. Сколько
может получиться различных результатов (результаты, отличающиеся
порядком очков, считаются одинаковыми)?
Имеем n различных шаров и k различных корзин. Сколькими
способами можно разместить предметы по корзинам, допускаются пустые
корзины?
Сколько существует перестановок букв a,c,f,m,p,r,t и х, если
а) нет никаких ограничений?
37
б) между а и с должны стоять две или три буквы?
в) буквы а и с не должны быть разделены двумя или тремя буквами?
г) первые четыре буквы должны быть выбраны из a,c,f и m?
д) буквы а, с, f и m должны стоять рядом?
Сколько существует способов рассадить за круглым столом пятерых
мужчин и пятерых женщин, если двое мужчин не должны сидеть рядом?
Сколько существует способов выбрать комитет из 5 человек в клубе,
насчитывающем 25 членов?
Сколько существует способов составить комитет из 6 мужчин и 7
женщин, если организация состоит из 15 мужчин и 20 женщин?
Сколько существует 8-битовых строк, содержащих 3 нуля и 5 единиц?
Сколько существует способов вытащить 13 карт из стандартной колоды,
содержащей 52 карты?
Сколько существует способов вытащить из колоды 13 карт,
содержащих 6 карт одной масти?
Сколько существует способов вытащить из колоды 13 карт,
содержащих 7 карт одной масти?
Сколько существует способов вытащить из колоды 13 карт,
содержащих 8 карт одной масти?
Сколько существует способов вытащить из колоды 13 карт,
содержащих 9 карт одной масти?
Сколько существует способов получить в 5-карточной раздаче ровно
две пары (две карты одного ранга и две карты другого ранга, например, два
туза и два короля)?
Сколько существует способов получить в 5-карточной раздаче три
карты одного ранга (например, три десятки)?
Сколько существует способов получить в 5-карточной раздаче пять
карт одной масти (флеш)?
Сколько существует способов разделить 10 человек на две команды по
5 человек для игры в баскетбол?
Пусть А = {а, b, с, d, е, f, g, h}. Сколько существует
а) трехэлементных подмножеств множества А?
б) пятиэлементных подмножеств множества А, содержащих b?
в) пятиэлементных подмножеств множества А, не содержащих b?
г) пятиэлементных подмножеств множества А, содержащих с, но не
содержащих d и е?
д) подмножеств множества А, содержащих хотя бы три элемента?
е) подмножеств множества А, содержащих не более шести элементов?
Если монета подброшена 10 раз, то сколько существует способов выпадения
четырех "решек" и шести "орлов"? Сколько существует способов выпадения
не менее трех "решек"?
38
В зоомагазине продаются 5 черепах, 7 ящериц и 12 мышей. Сколько
существует способов выбрать себе 2 черепахи, 3 ящерицы и 5 мышей?
Известно, что ответ на тест, состоящий из 30 вопросов, содержит 20
утвердительных ответов и 10 отрицательных. К сожалению, больше ничего
не известно. Сколько существует вариантов ответа на тест, содержащих 20
утвердительных ответов на вопросы?
Если многоугольник имеет n сторон то, сколько у него диагоналей?
В команде из 20 человек каждый игрок одинаково хорошо играет на
всех позициях. Сколько существует способов выбрать для начала игры
команду из 9 человек?
Сколькими способами можно расставить игроков в предыдущей
задаче?
Задание 1. Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно брать
неупорядоченный набор из 5 карт так, чтобы в этом наборе было бы точно:
1 король, 2 дамы, 1 пиковая карта
1 крестовая карта, 2 дамы, нет червей
хотя бы 4 крестовые карты, 1 туз
3 дамы, 2 крестовые карты
1 бубновая карта, 2 крестовых, 1 дама
2 бубновые, 2 крестовые карты, 1 туз
по крайней мере 4 пиковые карты, 1 дама
2 карты чёрной масти, 2 дамы
1 туз, 1 валет, 1 карта красной масти
3 туза, 3 карты чёрной масти
1 дама, 1 карта пик, 2 крестовых карты
2 дамы, 2 туза, 1 карта пиковой масти
дама и король одной масти, 1 пиковая карта
1 король, 2 дамы, 1 карта красной масти
не меньше 4 красных карт, 2 туза
2 чёрных карты, 1 карта червей, 1 туз
3 короля, 2 бубновых карты
1 король, 1 дама. 1 крестовая карта
2 крестовых карты, 1 бубновая, 1 дама
1 бубновая карта, 2 дамы, нет червей
3 бубновых карты, 2 дамы, 1 валет
2 туза, не меньше 3 пиковых карт
2 карты красной масти, 3 туза
2 дамы, 1 бубновая карта, 1 пиковая карта
1 валет, нет дам, 3 чёрные карты
2 туза, по крайней мере 4 красные карты
валет и дама чёрной масти, не более 1 туза
1 туз, 3 дамы, не больше 2 карт красной масти
2 крестовые карты, хотя бы 2 туза
2 дамы, 1 король, нет червей
39
Пример решения задания 1.
Общее число способов выбора 5 карт, удовлетворяющих требованиям задачи,
по правилу суммы, составит 630 + 1890 + + 1323 = 3843.
Ответ: 3843 способа.
Задание 2. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв
слова, заданного в следующей таблице?
40
41
Пример решения задания 2.
Упражнения к п.6. 3
1. Найдите разложение (a + b)8, используя треугольник Паскаля.
2. В разложении (2х + 3у)10 найдите коэффициент при х6у4.
3. В разложении (Зх — 4у)13 найдите коэффициент при х8у5.
4. В разложении (х+2y2)13 найдите коэффициент при х5у16.
5. В разложении (х3 — Зу2)10 найдите коэффициент при х9у4.
42
6. Определить коэффициент при одночлене х13х24х33 после разложения
выражения (х1 +х2 + х3)10 и приведения подобных членов.
7. Доказать, что
8. Доказать равенство
43
14. Вычислить:
• (а + b + с)2;
• (а + b + с)3.
15. Найти коэффициент при:
• х5 в разложении (1 + х)7;
• х17 в разложении(1 +х 5)7 .
16. Найти суммы:
Упражнения к п. 6.4
1. У преподавателя обучаются 25 студентов. Преподаватель проводит тест, а
затем просит студентов обменяться бумагами так, чтобы никто не проверял
свой ответ. Сколькими способами это можно сделать?
2. Студент сдает экзамен, в процессе которого на каждый из 15 вопросов он
должен выбрать один из 15 ответов. Если никакие два вопроса не имеют
совпадающих ответов, то сколькими способами студент может дать
неправильный ответ?
3. Пусть А = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и В = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8-, 9}. Каждому
элементу из первого множества нужно поставить в соответствие
единственный элемент из второго множества. Элементы каждой пары
суммируются. Сколькими способами можно образовать пары, так чтобы ни
одна из сумм не равнялась нулю?
44
4. Неграмотный почтальон должен доставить по одному письму каждому из 7
своих клиентов.
а) Сколькими способами он может доставить письма, так чтобы ни один из
клиентов не получил свою почту?
б) Сколькими способами он может доставить письма, так чтобы хоть один
клиент получил свою почту?
в) Сколькими способами он может доставить письма, так чтобы только один
клиент получил свою почту?
г) Сколькими способами он может разнести письма, так чтобы только один
клиент не получил свою почту?
5. Семь джентльменов отправляются на вечеринку и сдают там свои шляпы.
Сколькими способами непутевый гардеробщик может вернуть шляпы, так
чтобы
а) ни один из джентльменов не получил свою шляпу?
б) только один из джентльменов получил свою шляпу?
в) хоть один из джентльменов получил свою шляпу?
г) хотя бы двое джентльменов получили свои шляпы?
6. Найдите количество положительных целых чисел, меньших или равных
числу 2300, взаимно простых с числом 700.
7. Найдите количество положительных целых чисел, меньших или равных
числу 5460, взаимно простых с числом 700.
8. Подсчитать количество перестановок множества {1,2,…,n}, в которых хотя
бы одно число стоит на своем месте.
9. Сколько существует перестановок элементов множества {1,2,3,4, 5,6,7,8,9}
таких, что
а) в каждой перестановке ни один элемент не остается на своем месте,
т.е. перестановка не отображает ни одно из чисел само в себя?
б) перестановка не оставляет ни одно четное число на своем месте?
в) перестановка оставляет на своем месте хотя бы одно четное число?
г) в результате перестановки в точности четыре числа остаются на
своем месте?
45
10. Сколько существует пятизначных чисел, у которых каждая следующая
цифра:
• меньше предыдущей;
• больше предыдущей.
11. В корзине находится р белых и q черных мячей. Сколькими способами
можно выложить эти мячи в ряд так, чтобы никакие два черных мяча не были
рядом?
Упражнения к п 6.5
5. На плоскости проведено 10 прямых линий так, что никакие две из них не
параллельны между собой и никакие три из них не пересекаются в одной
точке. Найти:
• число точек пересечения этих прямых;
• число треугольников, которые образуют эти прямые;
• на сколько частей делят плоскость эти прямые.
6. Сколько прямых можно провести через n точек, если никакие три из них
не лежат на одной прямой?
Упражнения к различным разделам темы «КОМБИНАТОРИКА»
У человека есть пять пиджаков, восемь рубашек и семь галстуков.
Сколько различных костюмов можно составить из этих предметов?
46
У женщины в шкафу висит шесть платьев, пять юбок и три блузки.
Сколько разных нарядов она может составить из своей одежды?
В холодильнике стоит мороженое шести разных наименований. На
десерт можно взять одну, две или даже три порции мороженого сразу.
Сколько возможностей есть у Вас для различных десертов?
Перевертыш — это многозначное число, которое не поменяет своего
значения, если все его цифры записать в обратном порядке. Сколько
существует шестизначных перевертышей? А сколько семизначных?
Сколько четырехзначных чисел, не превосходящих 6000, можно
составить, используя только нечетные цифры?
Пароль, открывающий доступ к компьютеру, состоит из шести
символов. Первые два из них — строчные буквы латинского алфавита (всего
26 букв), а оставшиеся четыре могут быть как цифрами, так и строчными
буквами. Сколько можно придумать различных паролей?
Пароль, открывающий доступ к компьютеру, составляется по тем же
правилам. Сколько разных паролей можно написать из неповторяющихся
символов?
Пусть S — множество четырехзначных чисел, в чьей десятичной
записи участвуют цифры: 0, 1, 2, 3, и 6, причем 0 на первом месте,
естественно, стоять не может.
(а) Какова мощность множества S?
(б) Сколько чисел из S в своей десятичной записи не имеют
повторяющихся цифр?
(в) Как много четных чисел среди чисел пункта (б)?
(г) Сколько чисел из пункта (б) окажутся больше, чем 4 000?
Хоккейная команда насчитывает 18 игроков. Одиннадцать из них входят в
основной состав. Подсчитайте количество возможных основных составов.
В небольшой фирме восемь человек работают на производстве, пятеро
— в отделе сбыта, и трое — в бухгалтерии. Для обсуждения новой
продукции было решено пригласить на совещание шестерых работающих.
Сколькими способами это можно сделать, если
(а) необходимо пригласить по два представителя от каждого отдела;
(б) необходимо пригласить по крайней мере двоих представителей
производства;
(в) необходимы представители каждого из трех отделов?
Цветочница продает розы четырех разных сортов. Сколько разных букетов
можно составить из дюжины роз?
Вот восьмая строка треугольника Паскаля:
1 7 21 35 35 21 7 1.
(а) Найдите девятую и десятую его строки.
47
(б) Проверьте, что если а, b и с — три последовательных числа в
восьмой строке треугольника Паскаля, то одно из чисел десятой строки
можно получить как сумму: а +2 b + с.
(а) Сколько разных «слов» можно получить из слова «АБРАКАДАБРА»?
(б) Сколько из них начинаются с буквы «К»?
(в) В скольких из них обе буквы «Б» стоят рядом?
На окружности последовательно отмечены точки А1,..., А12. Сколько
существует
1) хорд с концами в отмеченных точках;
2) треугольников с вершинами в отмеченных точках;
3) выпуклых четырёхугольников с вершинами в отмеченных точках;
n человек в совокупности выписывают k журналов, причем каждый
выписывает два журнала, каждый журнал выписывают четверо, а каждая
пара журналов выписывается только одним человеком. Найти n и k.
Сколькими способами можно разложить 4 белых и 3 чёрных шара по 6
различным ящикам?
Решить предыдущую задачу при дополнительном условии: ни один
ящик не должен быть пустым.
Сколькими способами можно разложить 20 одинаковых шаров по 5
различным ящикам так, чтобы
1) в каждом ящике оказалось не менее двух шаров;
2) в каждом ящике оказалось не более 5 шаров;
3) оказалось не более двух пустых ящиков?
В правлении банка 7 человек. Каково должно быть минимальное число
замков от сейфа и как следует распределить ключи между членами
правления (каждый член правления может получить ключи от нескольких
замков), чтобы любое большинство сейф могло открыть, а любое
меньшинство — не могло?
Сколько есть чисел, не превосходящих 10000 и не делящихся ни на 3,
ни на 5, ни на 7?
Сколько есть четырёхзначных чисел, не делящихся ни на 3, ни на 5, ни
на 7?
Сколько есть чисел, не превосходящих 10000 и не делящихся ни на
одно из чисел 6,10 и 15?
Показать, что если n = 30m, то количество натуральных чисел, не
превосходящих n и не делящихся ни на одно из чисел 6,10 и 15, равно 22m.
Сколько существует 6-значных номеров (первые цифры могут быть и
нулями) с суммой цифр 27?
В кошельке лежит по 20 монет достоинством в 1, 2 и 5 рублей.
Сколькими способами можно из этих 60 монет выбрать к монет?
48
В соревнованиях по метанию копья принимают участие четыре
спортсмена (А, В, С, Д). Сколькими способами их можно разместить в списке
выходов в сектор для метания, если спортсмен В не может выходить раньше
спортсмена А?
Сколько слов из пяти букв можно составить, если X={a,b,c,d} и
буква а встречается в слове не больше двух раз, буква b — не больше одного
раза и буква с — не больше трех раз?
Сколько разных слов можно составить перестановкой букв в слове
"чачача"?
49