О комплекснозначных решениях уравнения КдФ с источником

Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 343–345
УДК 517.946
О КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ РЕШЕНИЯХ
УРАВНЕНИЯ КдФ С ИСТОЧНИКОМ
c А. Б. Хасанов, У. А. Хоитметов
°
ahasanov2002@mail.ru, x_umid@mail.ru
Ургенчский государственный университет, Ургенч, Узбекистан
В данной работе рассматривается система нелинейных уравнений
ut − 6uux + uxxx = 2
j −1
N m
X
X
l
Cm
j −1
j=1 l=0
∂ ³ l mj −1−l ´
ϕj ϕj
,
∂x
Lϕlj = kj2 ϕlj + lϕl−1
j , (Im kj > 0), j = 1, N , l = 0, 1, . . . , mj − 1,
(1)
(2)
n!
d2
, L(t) = − 2 + u(x, t) , функции ϕlj (x, t) при любом неотрицательном t
(n − l)!l!
dx
принадлежат пространству квадратично суммируемых функций L2 (−∞, ∞) , а ϕ0j (x, t) —
собственные функции оператора L(t) , соответствующие собственным значениям λj (t) = kj2 (t)
(Im kj > 0) кратности mj (t) , j = 1, 2, . . . , N , l = 0, 1, . . . , mj − 1 .
Система нелинейных уравнений (1)–(2) рассматривается при начальном условии
где Cnl =
u(x, 0) = u0 (x),
x ∈ R,
(3)
где начальная функция u0 (x) является комплекснозначной и обладает следующими свойствами:
1) для некоторого ε > 0
Z∞
|u0 (x)| eε|x| dx < ∞,
(4)
−∞
2) оператор L(0) в верхней полуплоскости комплексной плоскости имеет ровно N собственных значений λ1 (0), λ2 (0), . . . , λN (0) с кратностями m1 (0), m2 (0), . . . , mN (0) и не имеет
спектральных особенностей.
Предполагается, что
1
(mj − 1 − l)!
Z∞ ³
mj −1
ϕj
mj −1−l
(x, t)ϕj
´
(x, t) dx = Ajmj −1−l (t),
−∞
где Ajmj −1−l (t) — изначально заданные непрерывные функции от t , j = 1, 2, . . . , N , l =
0, 1, . . . , mj − 1 .
Пусть функция u(x, t) = <u(x, t)+i=u(x, t) обладает достаточной гладкостью и достаточно
быстро стремится к своим пределам при x → ±∞ , т. е.
¯
¶
Z∞ µ¯ j
¯ ∂ u(x, t) ¯ ε|x|
¯
¯e
dx < ∞, j = 0, 1, 2, 3.
¯ ∂xj ¯
−∞
343
Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 343–345
Основная цель данной работы — получить представления для решений u(x, t) , ϕlj (x, t) ,
j = 1, 2, . . . , N , l = 0, 1, . . . , mj − 1 , задачи (1)–(3) в рамках метода обратной задачи рассеяния
для оператора L(t) .
Метод обратной задачи рассеяния ведёт начало с работы [1]. Возможность применения
этого метода к эволюционным уравнениям с самосогласованными источниками показана в
работах [2–3].
Отметим, что в нашей задаче оператор L(t) является несамосопряженным, так как потенциал u(x, t) является комплекснозначным. Хорошо известно, что несамосопряженный оператор L(t) может иметь спектральные особенности, которые лежат на непрерывном спектре.
Мы предполагаем, что оператор L(t) не имеет спектральных особенностей. Кроме того, при
выполнении вышеуказанных условий оператор L(t) имеет конечное число собственных значений.
Рассмотрим уравнение Штурма – Лиувилля
−y 00 + u(x)y = λy,
λ = k 2 , x ∈ (−∞, ∞),
(5)
где u(x) — комплекснозначная функция, удовлетворяющая условию (4). При выполнении
условия (4) существуют решения Йоста уравнении (5) со следующими асимптотиками на бесε
конечности при =k > −
2
e+ (x, k) ∼ eikx , x → +∞ ;
e− (x, k) ∼ e−ikx , x → −∞.
ε
Пары функций {e+ (x, k), e+ (x, −k)} и {e− (x, k), e− (x, −k)} образуют в полосе |=k| <
2
фундаментальные системы решений, поэтому
e− (x, k) =
ω(k)
v(k)
e+ (x, k) +
e+ (x, −k),
2ik
2ik
где ω(k) = W {e− (x, k), e+ (x, k)} , v(k) = W {e+ (x, −k), e− (x, k)} . Пусть k1 , k2 , . . . , kN —
невещественные нули ω(k) , тогда λj = kj2 , j = 1, 2, . . . , N, суть собственные значения оператора L . Кратность корня kj уравнении ω(k) = 0 обозначим через mj (j = 1, N ) .
j
Существуют так называемая нормировочная цепочка чисел {θ0j , θ1j , . . . , θm
} , j = 1, N
j −1
таких, что имеют место соотношения
1
s!
µµ
d
dλ
¶s
¶¯
µµ ¶υ
¶¯
s
X
√
√
1
d
¯
¯
j
θs−ν
e− (x, λ) ¯λ =k2 =
e+ (x, λ) ¯λ =k2 , j = 1, N , s = 0, mj − 1.
j
j
ν!
dλ
ν=0
j
Набор {S(k), λj , θ0j , θ1j , . . . , θm
, j = 1, N } называется данными рассеяния для уравнеj −1
ния (5). В работах [4–5] показано, что по данным рассеяния потенциал u(x) восстанавливается
однозначно.
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема. Если функции u(x, t) , ϕlj (x, t) , j = 1, 2, . . . , N , l = 0, 1, . . . , mj −1 , являются решением задачи (1) – (6) , то данные рассеяния оператора L(t) с потенциалом u(x, t) меняются
по t следующим образом
³
dS
ε´
= 8iλ3/2 S, |Imk| <
,
dt
2
dλn
= 0,
dt
dθ0n
n
n
= (8iλ3/2
n + A0 (t))θ0 ,
dt
dθ1n
n
n
1/2
n
n
= (8iλ3/2
n + A0 (t))θ1 + (12iλn + A1 (t))θ0 ,
dt
344
Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 343–345
dθ2n
n
n
1/2
n
n
−1/2
= (8iλ3/2
+ An2 (t))θ0n ,
n + A0 (t))θ2 + (12iλn + A1 (t))θ1 + (3iλn
dt
dθ3n
i
n
n
1/2
n
n
−1/2
= (8iλ3/2
+ An2 (t))θ1n + +(− λ−3/2
+ An3 (t))θ0n ,
n + A0 (t))θ3 + (12iλn + A1 (t))θ2 + (3iλn
dt
2 n
´
³
´
³
´
dθpn ³ 3/2
n
n
n
= 8iλn + An0 (t) θpn + 12iλn1/2 + An1 (t) θp−1
+ 3iλ−1/2
+
A
(t)
θp−2
+
n
2
dt
µ
¶
¶
p µ
X
24i(−1)r (2r − 5)! −(2r−3)/2
i
n
n
n
n
+
A
(t)
θ
+
λ
+
A
(t)
θp−r
,
− λ−3/2
3
p−3
r
2 n
2r+1 r!(r − 3)! n
r=4
n = 1, 2, . . . , N, p = 4, 5, . . . , mn − 1.
Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет
применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (1)–(3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gardner G. S., Green I. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg-de Vries
equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095–1097.
2. Leon J., Latifi A. Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear waves // J. Phys.
A: Math. Gen. 1990. V. 23. P. 1385–1403.
3. Мельников В. К. Метод интегрирования уравнения Кортевега – де Вриса с самосогласованным
источником. Препринт. Дубна, 1988.
4. Блащак В. А. Аналог обратной задачи теории рассеяния для несамосопряженного оператора. I //
Дифф. ур. 1968. Т. 4, № 8. С. 1519–1533.
5. Блащак В. А. Аналог обратной задачи теории рассеяния для несамосопряженного оператора.
II //Дифф. ур. 1968. Т. IV, № 10. С. 1915–1924.
345