0 ) ,( ) ,( = + dy y x N dx y x M

Основные типы ДУ
1. Уравнения с разделенными переменными
ДУ (3) всегда можно записать в виде
(4)
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения)
Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные
Опр.3. Уравнение вида
f ( x )dx   ( y )dy  0
(5)
где f(x) и ( x) - непрерывные функции, называется уравнением с
разделенными переменными
Опр.4. Если ДУ (2) приводится к виду (5), т.е. f ( x, y ) = f1 (x) . f2(
оно называется уравнением с разделяющимися переменными
или
M 1 ( x )  N 1 ( y )dx  M 2 ( x )  N 2 ( y )dy  0
y),
то
(5*)
т.е. уравнение, в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются
на множители, зависящие только от
непрерывные
x
и только от
y.
M1, N1, M2, N2 –
Опр.5. Функция
при любом
t
M( x, y )
называется однородной степени
m,
если
справедливо равенство
m
M (tx, ty )  t  M ( x, y )
Опр.6. ДУ (2) y ‘ = f ( x, y ) называется однородным, если
однородная функция нулевой степени однородности
Подстановка:
y
 z  y  xz
x
 y  z  xz
f ( x, y )
(6)
Линейные уравнения первого порядка
Опр.7. Уравнение первого порядка, линейное относительно неизвестной
функции и ее производной, называется линейным дифференциальным
уравнением первого порядка.
dy
 p( x ) y  f ( x )
dx
f ( x ), p( x ) –
(7)
заданные непрерывные функции
Если f ( x )=0, то линейное уравнение называется однородным.
противном случае уравнение называется неоднородным.
Методы решения линейного уравнения
dy
 p( x ) y  f ( x )
dx
1. Метод Лагранжа (вариации постоянной)
dy
  g ( x ) dx
a)
 p ( x) y  0  y  Ce
- общее решение
dx
однородного уравнения
g ( x ) dx
~

b) Пусть C  С ( x)  C ( x)  f ( x)e
dx  C

Решение
Заметим:
g ( x ) dx
~    g ( x ) dx


y ( x) 
f ( x )e
dx  C e


~   g ( x ) dx
g ( x ) dx
  g ( x ) dx

y ( x)  C e
 f ( x )e
dx  e

общее решение
однородного уравнения

частное решение
неоднородного уравнения
dy
 p( x ) y  f ( x )
dx
(7)
2. Метод Бернулли
Ищем решение в виде произведения двух функций
y' (x) = u' (x) v (x) + u (x) v' (x) =>
u' v + u v' + p(x) u v = f(x) =>
u' v + u (v' + p(x) v) = f(x) =>
v' + p(x) v = 0
u' v = f(x)
=>
v =  (x)
=> u = F(x) + C
Общее решение
y (x) =  (x) [ F (x) + C ]
y (x) = u (x) v (x)
в (7)
Уравнение Бернулли
Опр.8. Уравнением Бернулли называется уравнение вида
y   p ( x ) y  f ( x)  y n
n ≠ 1, 0.
f ( x ), p( x ) –
(8)
заданные непрерывные функции
Методы решения
1. Сведение к линейному
2. Метод Бернулли
Замена
Замена
y1-n = z
y= u .v
Сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными
Уравнение в полных дифференциалах
Опр.9. Уравнение
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
(9)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть
является полным дифференциалом некоторой функции
u(x,y) ,
т.е.
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  du( x, y )
d u = 0,
u ( x, y ) = С
Тогда исходное уравнение запишется
откуда очевидно общий интеграл
Теорема 2.
M(x, y) и N( x, y) определены и непрерывны в D
плоскости XOY и имеют в ней непрерывные частные производные
M'y и N'x . Для того, чтобы выражение M(x, y)dx + N( x, y) dy было
полным дифференциалом некоторой функции u ( x, y ) необходимо и
достаточно, чтобы во всех точках D выполнялось условие
Пусть функции
M'y = N'x
Доказательство повторить
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
Опр.10. Если уравнение
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
не является уравнением в полных дифференциалах, но существует
некоторая функция (x,y), после умножения на которую уравнение
M ( x , y )dx  N ( x, y ) dy  0
(**)
становиться уравнением в полных дифференциалах, т.е.
 ( M )  ( N )

y
x
то такая функция (x,y) называется интегрирующим множителем
 M
N 




y

x







N
M
x
y
(*)
УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
В общем виде:
F ( x, y, y )  0
Уравнение, линейное относительно x и y
- уравнение Лагранжа
y  x   ( y )   ( y )
Частный случай уравнения Лагранжа
y  x  y  ( y)
Подстановка:
y’=p(x)
- уравнение Клеро
Вид ДУ
f1 ( x)dx  f 2 ( y )dy  0
Тип ДУ
Метод
С разделенными
переменными
Интегрирование
С разделяющимся
переменными
y '  f 1 ( y )  f 2 ( x)
dy
 f 2 ( x ) dx
f1 ( y )
y  f (ax  by  c)
Приводящиеся к
разделяющимся
z  ax  by  c  y ' 
y
y   f  1, 
 x
Однородное
y
 z => y '  z  xz '
x
Линейное
неоднородное
а) Лагранжа
б) Бернулли
Бернулли
а) z  y 1n
б) y  v( x)  u ( x)
y ' g ( x) y  f ( x)
y   g ( x)  y  f ( x )  y
n
M(x, y)dx  N( x, y)dy  0
В полных
дифференциалах

z ' a
b
u  M ( x, y )dx  C ( y )