Тема”ДУ в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. СПЕЦИАЛЬНО ДЛЯ НИКИФОРОВОЙ СВЕТЛАНЫ ВИТАЛЬЕВНЫ Выполнила группа 3132. Фото для того , чтобы Вы не забывали, как мы выглядим . Дифференциальное уравнение первого порядка вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции u(x,y), т.е. Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области D изменения переменных x и y выполнялось условие Общий интеграл уравнения (1) имеет вид u(x,y)=C или Решить дифференциальное уравнение 𝑥𝑦 ′ = 𝑦 𝑑𝑦 1)Нужно переписать производную немного в другом виде, используя, что 𝑦 ′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥∙ =𝑦 2)Смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы» 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑥 3)Интегрирование дифференциального уравнения 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑥 4)Считаем интегралы ln 𝑦 = ln 𝑥 + 𝐶 – решение в неявном виде Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) целесообразно записать тоже под логарифмом. И записать НЕПРЕМЕННО, если получились одни логарифмы (как в рассматриваемом примере). То есть, ВМЕСТО записи ln 𝑦 = ln 𝑥 + 𝐶 обычно пишут ln 𝑦 = ln 𝑥 + ln С′ ln 𝑦 = ln 𝑥 + ln С′ ln 𝑦 = ln С𝑥 𝑦 = 𝐶𝑥, где C=const – Общее решение
