Пространственно-временные структуры ряби Фарадея

saratowskij gosudarstwennyj uniwersitet
kAFEDRA \LEKTRONIKI, KOLEBANIJ I WOLN
wYSIJ kOLLEDV pRIKLADNYH nAUK
a a koronowskij a e hramow
.
.
,
.
.
prostranstwenno{wremennye
struktury rqbi faradeq
sARATOW | 1998
udk 532.59 532.17
K68
kORONOWSKIJ a.a., hRAMOW a.e.
k68 pROSTRANSTWENNO{WREMENNYE STRUKTURY RQBI fARADEQ. mETODI^ESKOE POSOBIE. | sARATOW: iZD{WO gOSunc \kOLLEDV", 1998. |
32 S.
nASTOQ]EE U^EBNOE POSOBIE PREDSTAWLQET SOBOJ OPISANIE K LABORATORNOJ RABOTE \pROSTRANSTWENNO{WREMENNYE STRUKTURY RQBI fARADEQ", WHODQ]EJ W SOSTAW PRAKTIKUMA PO TEORII WOLNOWYH PROCESSOW sARATOWSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA IM. n.g.~ERNYEWSKOGO. w POSOBII SODERVATSQ:
(1) KRATKIJ OBZOR NAU^NYH RABOT (KAK \KSPERIMENTALXNYH, TAK I TEORETI^ESKIH), POSWQ]ENNYH IZU^ENI@ PARAMETRI^ESKI WOZBUVDAEMOJ KAPILLQRNOJ
RQBI NA POWERHNOSTI VIDKOSTI, (2) OSNOWNYE URAWNENIQ, OPISYWA@]IE DINAMIKU VIDKOSTI, (3) METODIKA PROWEDENIQ \KSPERIMENTA, (4) \KSPERIMENTALXNOE
ZADANIE, (5) KONTROLXNYE WOPROSY.
mETODI^ESKOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW WYSIH U^EBNYH
ZAWEDENIJ, OBU^A@]IHSQ PO SPECIALXNOSTQM \fIZIKA" I \rADIOFIZIKA". pOSOBIE MOVET BYTX POLEZNO ASPIRANTAM, OBU^A@]IMSQ PO WYEUKAZANNYM SPECIALXNOSTQM, A TAKVE WSEM, INTERESU@]IMSQ PROBLEMAMI NELINEJNOJ DINAMIKI
I OBRAZOWANIQ STRUKTUR.
mETODI^ESKOE POSOBIE IZDANO PRI PODDERVKE fcp iNTEGRACIQ
rECENZENT
PROF., D.F.{M.N. a.p. ~ETWERIKOW
c a.a. kORONOWSKIJ,
a.e. hRAMOW,
1998
CODERVANIE
1
2
3
4
5
wWEDENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
nEKOTORYE REZULXTATY NATURNYH I ^ISLENNYH \KSPERIMENTOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uRAWNENIQ DWIVENIQ VIDKOSTI . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
zAKON SOHRANENIQ WE]ESTWA W VIDKOSTI . . . . . . .
2.2
uRAWNENIE |JLERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dISPERSIONNOE URAWNENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pOROG WOZNIKNOWENIQ RQBI fARADEQ . . . . . . . . . . . . .
mETODIKA \KSPERIMENTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|KSPERIMENTALXNOE ZADANIE . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kONTROLXNYE WOPROSY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pRILOVENIE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
pRILOVENIE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sPISOK LITERATURY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6
16
16
17
19
21
23
24
25
26
28
29
wWEDENIE
rABOTY fARADEQ PO PARAMETRI^ESKOMU WOZBUVDENI@ KAPILLQRNOJ RQBI, WOZNIKA@]EJ NA POWERHNOSTI VIDKOGO SLOQ, KOLEBL@]EGOSQ W WERTIKALXNOM NAPRAWLENII, WIDIMO QWLQ@TSQ ODNIMI IZ PERWYH \KSPERIMENTOW PO NABL@DENI@ SAMOORGANIZACII W DINAMI^ESKIH SISTEMAH 1].
dEJSTWITELXNO, KAK PISAL fARADEJ: \eSLI POMESTITX RTUTX NA WIBRIRU@]U@ OLOWQNNU@ TARELKU, TO POLU^AETSQ O^ENX KRASIWAQ KARTINA W
OTRAVENNYH SOLNE^NYH LU^AH" 2]. fARADEJ PROWODIL \TI \KSPERIMENTY S RAZLI^NYMI VIDKOSTQMI (WODOJ, ^ERNILAMI, MOLOKOM, QI^NYM BELKOM). w SWOIH \KSPERIMENTAH ON ISPOLXZOWAL K@WETY RAZLI^NOJ FORMY
(KRUGLOJ, KWADRATNOJ, PRQMOUGOLXNOJ) I WYQSNIL, ^TO PRAKTI^ESKI WSEGDA RQBX OBRAZUET KWADRATNU@ REETKU, KOTORAQ SLEGKA DEFORMIRUETSQ
U GRANICY K@WETY. fARADEJ ISSLEDOWAL I PROCESS WOZNIKNOWENIQ STRUKTURY. oN POKAZAL, ^TO PROSTRANSTWENNAQ STRUKTURA KAPILLQRNOJ RQBI
NE ZAWISIT NI OT GRANI^NYH I NA^ALXNYH USLOWIJ, NI OT SORTA VIDKOSTI.
pROSTOTA I NAGLQDNOSTX DANNOJ FIZI^ESKOJ SISTEMY, DEMONSTRIRU@]EJ DOSTATO^NO SLOVNYE QWLENIQ OBRAZOWANIQ STRUKTUR, PROSTRANSTWENNO-WREMENNOGO HAOSA, SDELALI EE ODNOJ IZ BAZOWYH MODELEJ SINERGETIKI
| OBLASTI NAU^NYH ISSLEDOWANIJ, CELX@ KOTORYH QWLQETSQ WYQWLENIE
OB]IH ZAKONOMERNOSTEJ W PROCESSAH OBRAZOWANIQ, USTOJ^IWOSTI I RAZRUENIQ PROSTRANSTWENNYH STRUKTUR, NABL@DA@]IHSQ W SISTEMAH RAZLI^NOJ PRIRODY | FIZI^ESKIH, HIMI^ESKIH, BIOLOGI^ESKIH I T.D.
w NASTOQ]EJ LABORATORNOJ RABOTE PREDSTOIT IZU^ITX SWOJSTWA PARAMETRI^ESKI WOZBUVDAEMOJ KAPILLQRNOJ RQBI: K@WETA S VIDKOSTX@ PRIKREPLENA K MEMBRANE NIZKO^ASTOTNOGO DINAMIKA, NA KOTORYJ PODAETSQ
PEREMENNOE NAPRQVENIE S GENERATORA NIZKOJ ^ASTOTY. w ZAWISIMOSTI
OT UPRAWLQ@]IH PARAMETROW SISTEMY (AMPLITUDY I ^ASTOTY WNENEGO
WOZDEJSTWIQ, SWOJSTW VIDKOSTI) NA POWERHNOSTI VIDKOSTI MOGUT OBRAZOWYWATXSQ KAK REGULQRNYE STRUKTURY KWADRATNOJ FORMY, TAK I BES-
PORQDO^NO MENQ@]IESQ WO WREMENI I PROSTRANSTWE WOLNY. nEOBHODIMO
PROWESTI RQD IZMERENIJ I SOPOSTAWITX IH REZULXTATY S TEORETI^ESKIMI
DANNYMI.
nEKOTORYE REZULXTATY NATURNYH I ^ISLENNYH \KSPERIMENTOW
1
pARAMETRI^ESKOE WOZBUVDENIE STRUKTURY NA POWERHNOSTI TONKOGO SLOQ
VIDKOSTI QWLQETSQ ODNIM IZ NAIBOLEE IZU^ENNYH, KAK \KSPERIMENTALXNO, TAK I TEORETI^ESKI, \FFEKTOW SAMOORGANIZACII W SISTEMAH FIZI^ESKOJ PRIRODY (SM., NAPRIMER, 3]{10]). |TO, W PERWU@ O^EREDX, SWQZANO S
PROSTOTOJ IZU^AEMOJ SISTEMY I NAGLQDNOSTX@ WOZNIKA@]IH W NEJ QWLENIJ, OTSUTSTWIEM NEOBHODIMOSTI W KAKIH-LIBO DOPOLNITELXNYH USTROJSTWAH DLQ WIZUALIZACII STRUKTUR, WOZNIKA@]IH PRI WOZBUVDENII RQBI.
kOGDA SLOJ VIDKOSTI SO SWOBODNOJ WERHNEJ GRANICEJ SOWERAET WERTIKALXNYE KOLEBANIQ, NA EGO POWERHNOSTI NABL@DAETSQ WOZBUVDENIE POWERHNOSTNYH KAPILLQRNYH WOLN, TAK NAZYWAEMOJ RQBI fARADEQ, DINAMIKA KOTORYH ZAWISIT OT UPRAWLQ@]IH PARAMETROW \TOJ SISTEMY: WQZKOSTI, POWERHNOSTNOGO NATQVENIQ I PLOTNOSTI VIDKOSTI PARAMETROW
WNENEGO WOZDEJSTWIQ. pOSLEDNEE, KAK MOVNO POKAZATX, SWODITSQ K WWEDENI@ OSCILLIRU@]EJ DOBAWKI K USKORENI@ SWOBODNOGO PADENIQ
g = g0 (1 + cos t)
(1)
GDE g0 = 9:8 M/SEK2 , { ^ASTOTA WNENEGO WOZDEJSTWIQ I { NORMIROWANNAQ AMPLITUDA WNENEGO WOZDEJSTWIQ.
oBSUDIM NEKOTORYE REZULXTATY NATURNYH I ^ISLENNYH \KSPERIMENTOW PO ISSLEDOWANI@ RQBI fARADEQ. iSSLEDOWATELQMI BYLI OBNARUVENY
RAZLI^NYE DINAMI^ESKIE REVIMY, A TAK VE RAZLI^NYE SCENARII PEREHODA OT ODNIH REVIMOW K DRUGIM PRI IZMENENII UPRAWLQ@]IH PARAME-
TROW SISTEMY, NAPRIMER, AMPLITUDY WNENEGO WOZDEJSTWIQ ILI WQZKOSTI
VIDKOSTI.
bOLXINSTWO NABL@DAEMYH QWLENIJ PRI PARAMETRI^ESKI WOZBUVDAEMOJ KAPILLQRNOJ RQBI NA POWERHNOSTI VIDKOSTI MOGUT BYTX USLOWNO
KLASSIFICIROWANY SLEDU@]IM OBRAZOM.
uSLOVNENIE DINAMIKI STRUKTUR NA POWERHNOSTI SLOQ
VIDKOSTI PRI IZMENENII AMPLITUDY WNE NEGO WOZDEJSTWIQ
1.
.
rASSMOTRIM \TOT WOPROS NA PRIMERE \KSPERIMENTOW a.b.eZERSKOGO,
m.i.rABINOWI^A I DR. 3]. w IH \KSPERIMENTAH ISPOLXZOWALOSX SILIKONOWOE MASLO S PARAMETRAMI: PLOTNOSTX = 0:9 G/SM3 , KO\FFICIENT POWERHNOSTNOGO NATQVENIQ = 23 DIN/SM, KO\FFICIENT KINEMATI^ESKOJ
WQZKOSTI = 0:04 SM2 /cEK. rQBX fARADEQ WOZBUVDALASX NA POWERHNOSTI
SLOQ MASLA TOL]INOJ 1 SM, NANESENNOGO NA WIBRIRU@]U@ K@WETU S DIAMETROM 18 SM. pRI ^ASTOTE WNENEGO WOZDEJSTWIQ 140 gC WOZBUVDALISX
KAPILLQRNYE WOLNY S ^ASTOTOJ 70 gC, ^TO SWIDETELXSTWUET O PARAMETRI^ESKOJ PRIRODE RQBI fARADEQ.
s PREWYENIEM WELI^INY AMPLITUDY WNENEGO WOZDEJSTWIQ NEKOTOROGO POROGOWOGO ZNA^ENIQ cr 4:2 W CENTRE K@WETY WOZNIKALA RQBX
fARADEQ, KOTORAQ W OTRAVENNOM SWETE PREDSTAWLQETSQ W WIDE SETKI S
KWADRATNYMI Q^EJKAMI. pRI > 5 RQBX fARADEQ ZAPOLNQET WS@ POWERHNOSTX SLOQ. nA POWERHNOSTI VIDKOSTI NA^INAET POQWLQTXSQ MODULQCIQ
KONTRASTA IZOBRAVENIQ PERWI^NOJ Q^EISTOJ STRUKTURY, KOTORAQ IMEET WID POLOS, WYTQNUTYH WDOLX SETKI. pRI \TOM NABL@DAETSQ \FFEKT,
KOGDA PO^TI ODNOMERNAQ MODULQCIQ WDOLX ODNOGO NAPRAWLENIQ MOGLA SAMOPROIZWOLXNO SMENITXSQ MODULQCIEJ PO DRUGOMU NAPRAWLENI@. ~ASTOTA SMENY ORIENTACII UWELI^IWAETSQ S ROSTOM . s DALXNEJIM ROSTOM
( > 8 9) MODULQCIQ STANOWITSQ WSE W BOLXOJ STEPENI NEODNORODNOJ
I NEUPORQDO^ENNOJ. w SISTEME NABL@DAETSQ RAZWITYJ PROSTRANSTWENNOWREMENNOJ HAOS. a DLQ > 11:5 NABL@DAETSQ OTRYW KAPELX OT POWERHNOSTI SLOQ VIDKOSTI.
sLOVNAQ PERESTROJKA POWERHNOSTNOJ STRUKTURY I PE
REMEVAEMOSTX MEVDU RAZLI^NYMI REVIMAMI PRI IZMENENII
DWUH UPRAWLQ@]IH PARAMETROW DWUHPARAMETRI^ESKOE ISSLE
DOWANIE w SLU^AE DWUHPARAMETRI^ESKOGO ANALIZA SU]ESTWUET WOZMOV2.
-
(
).
-
NOSTX WYDELITX NA PLOSKOSTI UPRAWLQ@]IH PARAMETROW OBLASTI S RAZLI^NYMI REVIMAMI I OPREDELITX SCENARII PEREHODA OT ODNIH REVIMOW
K DRUGIM. pRIWEDEM REZULXTATY TAKOGO ANALIZA IZ RABOT dV.gOLLUBA
I a.kUDROLLI 6, 7], POLU^ENNYE PRI IZMENENII AMPLITUDY I ^ASTOTY
WNENEGO WOZDEJSTWIQ DLQ SILIKONOWOGO MASLA S KINEMATI^ESKOJ WQZKOSTX@ 1.0 SM2 /SEK. nA RIS. 1 PRIWEDENA KARTA REVIMOW, SNQTAQ \KSPERIMENTALXNO.
dLQ NEBOLXOJ AMPLITUDY WNENEGO WOZDEJSTWIQ NABL@DAETSQ SPOKOJNAQ POWERHNOSTX VIDKOSTI. lINIQ, OTME^ENNAQ KRUVKAMI, | \TO
LINIQ POROGA NEUSTOJ^IWOSTI. pRI PREWYENII WELI^INOJ AMPLITUDY
WNENEGO WOZDEJSTWIQ \TOGO POROGA NA POWERHNOSTI VIDKOSTI WOZNIKAET
KAPILLQRNAQ RQBX. w SLU^AE NEBOLXOJ NADKRITI^NOSTI STRUKTURY NA
POWERHNOSTI REGULQRNY I PREDSTAWLQ@T SOBOJ LIBO KOROTKIE ILI DLINNYE WALIKI (RIS. 2,1), LIBO KWADRATNYE Q^EJKI (RIS. 2,2) ILI ESTIUGOLXNYE \SOTOWYE" STRUKTURY (RIS. 2,3). dALXNEJIJ ROST PRIWODIT
K POPERE^NOJ MODULQCII AMPLITUDY WOLN NA POWERHNOSTI OBRAZUETSQ
STRUKTURA S DWUMQ FOKUSAMI NA GRANICE K@WETY, PRI^EM WALIKI PODHODQT K GRANICE STROGO PERPENDIKULQRNO (RIS. 2,1, SM. WSTAWKU).
dALEE, S ROSTOM W SISTEME NABL@DAETSQ REVIM PEREMEVAEMOSTI (SM.
OBLOVKU), KOGDA ODNOWREMENNO S OBLASTQMI REGULQRNOJ DINAMIKI (PRAWILXNYH WALIKOW) NABL@DA@TSQ OBLASTI HAOTI^ESKOJ MODULQCII KAPILLQRNYH WOLN (TEMNYE OBLASTI NA FOTOGRAFII).
nA RIS. 3 DEMONSTRIRUETSQ PEREHOD K PROSTRANSTWENNO-WREMENNOMU
HAOSU ^EREZ RAZRUENIE ESTIGRANNYH STRUKTUR S UWELI^ENIEM AMPLITUDY WNENEGO WOZDEJSTWIQ. iZ RISUNKA WIDNO, ^TO PEREHOD K HAOSU SWQZAN S DINAMIKOJ DEFEKTOW UPORQDO^ENNOJ PROSTRANSTWENNOJ STRUKTURY.
rIS. 1: kARTA REVIMOW PARAMETRI^ESKI WOZBUVDAEMYH KAPILLQRNYH
WOLN 7]. zDESX CIFRAMI OBOZNA^ENY OBLASTI RAZLI^NYH REVIMOW: 1 {
NEWOZBUVDENNAQ POWERHNOSTX, 2 { \DLINNYE WALIKI", 3 { \KOROTKIE WALIKI", 4 { ESTIUGOLXNYE STRUKTURY, 5 { MODULQCIQ AMPLITUDY WOLN,
6 { PEREMEVAEMOSTX, 7 { PROSTRANSTWENNO-WREMENNOJ HAOS
pRI NEBOLXOM (RIS. 3,1) STRUKTURA Q^EEK NA POWERHNOSTI LIX NEMNOGO ISKAVAETSQ WOZNIKA@]IMI DEFEKTAMI. rOST INTENSIWNOSTI WNENEGO WOZDEJSTWIQ PRIWODIT K STABILIZACII STRUKTURY NA POWERHNOSTI
(KAK WIDNO IZ RIS. 3,2, NA POWERHNOSTI NABL@DAETSQ ^ETKAQ I REGULQRNAQ
STRUKTURA RQBI). dALXNEJIJ ROST WEDET K RAZRUENI@ UPORQDO^ENNOSTI W RASPOLOVENII Q^EEK (RIS. 3,3), IME@]IESQ DEFEKTY W REETKE
PEREME]A@TSQ PO POWERHNOSTI, PRI^EM S ROSTOM IH ^ISLO UWELI^IWAETSQ I W ITOGE SISTEMA PEREHODIT K PROSTRANSTWENNO-WREMENNOMU HAOSU
(RIS. 3,4).
rIS. 2: pRIMERY RAZLI^NYH STRUKTUR, FORMIRU@]IHSQ NA POWERHNOSTI VIDKOSTI PRI PARAMETRI^ESKOM WOZBUVDENII KAPILLQRNYH WOLN (IZ
7]). 1 { \DLINNYE WALIKI", 2 { KWADRATNAQ REETKA, 3 { ESTIUGOLXNYE
STRUKTURY
oTMETIM, ^TO WYEOPISANNAQ KARTA REVIMOW NE UNIWERSALXNA, I
PRI DRUGIH ZNA^ENIQH PARAMETROW, POLU^A@]IESQ STRUKTURY I GRANICY
OBLASTEJ BUDUT OTLI^ATXSQ OT WYEOPISANNYH.
fORMIROWANIE MNOGOMAS TABNOJ PROSTRANSTWENNOJ
STRUKTURY S SIMMETRIEJ WYSOKOGO PORQDKA PRI DWUH^ASTOT
NOM WNE NEM WOZDEJSTWII w SLU^AE DWUH^ASTOTNOGO WNENEGO WOZ3.
-
.
DEJSTWIQ OSCILLIRU@]AQ DOBAWKA K USKORENI@ SWOBODNOGO PADENIQ
ZAPIETSQ W WIDE:
r sin(mt) + (1 ; r) sin(nt + ):
pRI FIKSIROWANNOM m=n OSNOWNYMI UPRAWLQ@]IMI PARAMETRAMI, OT
KOTORYH BUDET ZAWISETX POWEDENIE KAPILLQRNOJ RQBI NA POWERHNOSTI
VIDKOSTI, QWLQ@TSQ WELI^INY r I . kAK POKAZALI \KSPERIMENTY S O^ENX
rIS. 3: pEREHOD K PROSTRANSTWENNO-WREMENNOMU HAOSU S UWELI^ENIEM AMPLITUDY WNENEGO WOZDEJSTWIQ ^EREZ RAZRUENIE \SOTOWOJ" STRUKTURY
NA POWERHNOSTI VIDKOSTI (IZ 7])
WQZKOJ VIDKOSTX@, WOZNIKA@]AQ NA POWERHNOSTI VIDKOSTI STRUKTURA
PODOBNA LINEJNYM I KRUGOWYM STRUKTURAM W KONWEKCII r\LEQ-bERNARDA
OKOLO POROGA NEUSTOJ^IWOSTI. |KSPERIMENTY w.|DWARDSA I s.fAUWE 8, 9]
DLQ SLU^AQ m=n = 4=5 POKAZALI, ^TO POWERHNOSTNYE WOLNY KOLEBL@TSQ
NA ^ASTOTE 4, ESLI DOMINIRUET KOMPONENTA WNENEJ SILY S \TOJ ^ASTOTOJ (r > 0:5), I NA ^ASTOTE 5=2, ESLI r < 0:5.
kROME TOGO, W BOLEE UZKIH OBLASTQH PARAMETROW r, BYLI NAJDENY
BOLEE SLOVNYE PROSTRANSTWENNYE STRUKTURY S WYSOKIM PORQDKOM SIMMETRII: KWADRATNYE I ESTIUGOLXNYE Q^EJKI, KWAZIKRISTALLI^ESKIE
STRUKTURY.
oBSUDIM POSLEDNEE QWLENIE BOLEE PODROBNO, DLQ ^EGO RASSMOTRIM PROFILX POWERHNOSTI VIDKOSTI (x y t). kAK IZWESTNO (SM. pRILOVENIE 1),
WID RQBI fARADEQ OPREDELQETSQ ^ISLOM PAR STOQ^IH WOLN `, OBRAZU@]IH STRUKTURU, PRI \TOM UGOL MEVDU WOLNOWYMI WEKTORAMI WOLNOWYH
PAKETOW BUDET 2=`. ` = 1 SOOTWETSTWUET ROLIKAM ` = 2 | KWADRATNYM
Q^EJKAM I ` = 3 | ESTIUGOLXNYM STRUKTURAM. oDNAKO, PRI ` > 3 NE
SU]ESTWUET TRANSLQCIONNOJ SIMMETRII, TO ESTX NET PROSTRANSTWENNYH
PERIODOW x I y , TAKIH, ^TO (x + x y + y ) = (x y). tAKIM OBRAZOM,
PRI ` = 4 OTKLONENIE POWERHNOSTI PRI t = 0 I y = 0 BUDET ZADAWATXSQ
11] WYRAVENIEM WIDA
k
p
= A cos(kx) + A cos
+ :
1
2
2
|TO SUMMA PROSTRANSTWENNYH GARMONIK S NESOIZMERIMYMI ^ASTOTAMI k
p
I k= 2, TO ESTX PROSTRANSTWENNAQ PERIODI^NOSTX OTSUTSTWUET. pODOBNYE STRUKTURY SO SWOJSTWAMI SIMMETRII WRA]ENIQ NAZYWA@TSQ KWAZIKRISTALLAMI. oNI NE OBLADA@T BLIVNIM PORQDKOM, HARAKTERNYM DLQ
STRUKTUR S TRANSLQCIONNOJ SIMMETRIEJ, NO ZATO IME@T DALXNIJ PORQDOK.
fOTOGRAFIQ TAKOJ KWAZIKRISTALLI^ESKOJ STRUKTURY, POLU^ENNOJ W
NATURNOM \KSPERIMENTE dV.gOLLUBA I a.kUDROLLI, PRIWEDENA NA RIS. 4.
wIDNO, ^TO NA POWERHNOSTI NABL@DAETSQ SLOVNAQ, OBLADA@]AQ SIMMETRIEJ WRA]ENIQ WYSOKOGO PORQDKA, KARTINA.
rIS. 4: rQBX fARADEQ PRI DWUH^ASTOTNOM WNENEM WOZDEJSTWII
4.
fORMIROWANIE WRA]A@]IHSQ SPIRALXNYH STRUKTUR iZ.
WESTNO, ^TO FORMIROWANIE STRUKTUR W WIDE SPIRALXNYH WOLN NABL@DAETSQ W RASPREDELENNYH SISTEMAH SAMOJ RAZLI^NOJ PRIRODY, NAPRIMER,
PRI WOZNIKNOWENII W SERDCE ARITMII, W HIMI^ESKI WOZBUDIMOJ SREDE, W
BIOLOGI^ESKIH SISTEMAH 13]. pODOBNAQ KARTINA MOVET NABL@DATXSQ I W
\KSPERIMENTE 10] PO PARAMETRI^ESKOMU WOZBUVDENI@ KAPILLQRNOJ RQBI
SO SPECIALXNO WYBRANNYMI PARAMETRAMI \KSPERIMENTA, A IMENNO W K@WETE S BOLXIM OTNOENIEM DIAMETRA K WYSOTE SLOQ VIDKOSTI ( 30).
pRI \TOM WQZKOSTX VIDKOSTI DOLVNA BYTX DOSTATO^NO BOLXOJ.
kAK POKAZAL NATURNYJ \KSPERIMENT (C.w.kIQKO I DR. 10]), W OBLASTI PARAMETROW, SOOTWETSTWU@]IH STACIONARNYM KRUGOWYM WOLNAM, PUTEM WWEDENIQ WOZMU]ENIQ (DISLOKACIJ) W \PRAWILXNU@" KARTINU NA POWERHNOSTI VIDKOSTI, UDAETSQ SFORMIROWATX WRA]A@]IJSQ SPIRALXNYJ
rIS. 5: sPIRALXNYE WOLNY S TOPOLOGI^ESKIM ZARQDOM N = 2 (PO REZULXTATAM ^ISLENNOGO \KSPERIMENTA 10])
WIHRX. iZWESTNO 13], ^TO REENIE DLQ SPIRALXNYH WOLN W DWUHMERNOJ
SREDE W POLQRNYH KOORDINATAH I r ZAPISYWAETSQ W WIDE
~u = F~ (N ; !t r)
GDE N { ^ISLO \LEMENTARNYH WOLN WRA]A@]IHSQ WMESTE, ILI, KAK EGO
NAZYWA@T, TOPOLOGI^ESKIJ ZARQD SPIRALXNOJ WOLNY. w RASSMATRIWAEMOM
SLU^AE TOPOLOGI^ESKIJ ZARQD WOLNY OPREDELQETSQ ^ISLOM DISLOKACIJ n.
w \KSPERIMENTE N WSEGDA RAWNO n.
~ISLENNOE MODELIROWANIE S POMO]X@ FENOMENOLOGI^ESKOJ MODELI,
OSNOWANNOJ NA URAWNENII gINZBURGA-lANDAU (SM. pRILOVENIE 1), TAKVE
PRODEMONSTRIROWALO PODOBNU@ KARTINU. rIS. 5 ILL@STRIRUET FORMIROWANIE WIHRQ S TOPOLOGI^ESKIM ZARQDOM N = 2. kAVDYJ IZ KADROW ILL@STRIRUET SOSTOQNIE SISTEMY W MOMENT WREMENI ti = t0 + t (i ; 1), GDE
i { NOMER KADRA. oBRATITE WNIMANIE, ^TO NA NA^ALXNOM \TAPE (RIS. 5, 1)
STRUKTURA SODERVIT DWE DISLOKACII. oTMETIM INTERESNYJ MOMENT, SWQZANNYJ S DINAMIKOJ DISLOKACIJ. oDNA IZ NIH WSEGDA BYSTRO RAZRUA-
ETSQ NA STENKE K@WETY, A DRUGAQ MEDLENNO DWIVETSQ K CENTRU (RIS. 5, 2),
GDE OKON^ATELXNO FORMIRUETSQ WIHRX (RIS. 5, 3,4). aNALOGI^NAQ SITUACIQ I REALIZUETSQ I PRI BOLXEM ^ISLE DISLOKACIJ.
2
2.1.
uRAWNENIQ DWIVENIQ VIDKOSTI
zAKON SOHRANENIQ WE]ESTWA W VIDKOSTI rASSMOTRIM NEKOTO.
RYJ OB_EM V0 W PROSTRANSTWE, ZAPOLNENNOM VIDKOSTX@ S PLOTNOSTX@ .
mASSA VIDKOSTI, ZAKL@^ENNOJ W \TOM OB_EME, BUDET
Z
dV :
V0
~EREZ MALYJ \LEMENT dS~ POWERHNOSTI S ZA INTERWAL WREMENI dt PROTEKAET VIDKOSTX MASSY ~v dS~ dt, GDE ~v | SKOROSTX
DWIVENIQ VIDKOSTI, A
~
WEKTOR dS IMEET ABSOL@TNU@ WELI^INU dS~ , RAWNU@ PLO]ADI \LEMENTA POWERHNOSTI I NAPRAWLENIE WNENEJ NORMALI \TOGO \LEMENTA. tOGDA,
ESLI VIDKOSTX WYTEKAET IZ RASSMATRIWAEMOGO OB_EMA V0 ^EREZ \LEMENT
dS~ , TO ~vdS~ dt > 0, I, NAOBOROT, KOGDA WTEKAET ~vdS~ dt < 0. sUMMARNOE
IZMENENIE MASSY VIDKOSTI WNUTRI OB_EMA V0 ZA WREMQ dt BUDET
I
S
~vdS~ dt
ILI, S DRUGOJ STORONY,
0Z 1
;d @ dV A:
V0
tOGDA MOVNO ZAPISATX
I
@ Z dV
~vdS~ = ; @t
S
V0
(2)
u^ITYWAQ TEOREMU oSTROGRADSKOGO-gAUSSA, SWQZYWA@]U@ OB_EMNYJ I
POWERHNOSTNYJ
INTEGRAL
Z
Z,
div(F~ (~r))dV = dS~ F~ (~r)
(3)
V
S
URAWNENIE (2) MOVNO PEREPISATX W WIDE
Z @
+
div(
~
v
)
dV = 0:
@t
(4)
V0
pOSKOLXKU URAWNENIE (4) WYPOLNQETSQ DLQ PROIZWOLXNOGO OB_EMA V0 , TO
@ + div(~v) = 0:
(5)
@t
uRAWNENIE (5) NAZYWAETSQ URAWNENIEM NEPRERYWNOSTI. tAK KAK DALEE POLAGAETSQ, ^TO VIDKOSTX QWLQETSQ NESVIMAEMOJ (T.E. = const), TO URAWNENIE (5) PRIMET WID
div ~v = 0:
(6)
2.2
uRAWNENIE |JLERA zAPIEM TEPERX DLQ OB_EMA VIDKOSTI V0 ZA.
KON DWIVENIQ:
m~v ) :
F~ = d(dt
(7)
iMPULXS
OB_EMA VIDKOSTI, ZAKL@^ENNOJ W \TOM OB_EME, SOSTAWLQET
Z
~vdV
(8)
V0
A SILA, DEJSTWU@]AQ NA \TOT OB_EM, SKLADYWAETSQ IZ SIL DAWLENIQ I
GRAWITACIONNYH SIL1 . sILA, DEJSTWU@]AQ NA WYDELENNYJ OB_EM V0 , OBUSLOWLENNAQ SILAMI DAWLENIQ SO STORONY OKRUVA@]EJ VIDKOSTI, RAWNA
INTEGRALU
I
; pdS~ S
1 sILY WQZKOSTI VIDKOSTI W DANNOM SLU^AE NE RASSMATRIWA@TSQ. pODOBNU@ MODELX
VIDKOSTI BEZ SIL WQZKOSTI rI^ARD fEJNMAN NAZYWAL \SUHOJ" VIDKOSTX@
14].
WZQTOMU PO POWERHNOSTI RASSMATRIWAEMOGO OB_EMA V0 . iSPOLXZUQ TEOREMU O GRADIENTE, PREOBRAZUEM \TOT INTEGRAL W INTEGRAL PO OB_EMU:
;
I
S
Z
pdS~ = ; grad pdV:
(9)
V0
s DRUGOJ STORONY NA OB_EM V0 DEJSTWUET SILA TQVESTI
Z
~gdV:
(10)
V0
tOGDA, ISHODQ IZ ZAKONA SOHRANENIQ IMPULXSA (7) I SOOTNOENIJ (8), (9),
(10), NETRUDNO POLU^ITX URAWNENIE
Z
V0
v
d~
dt + grad p ; ~g dV = 0
(11)
KOTOROE DOLVNO WYPOLNQTXSQ DLQ PROIZWOLXNOGO OB_EMA VIDKOSTI V0 .
tOGDA
d~v = ; grad p + ~g:
(12)
dt
v
zAMETIM, ^TO W (12) W LEWOJ ^ASTI STOIT POLNAQ PROIZWODNAQ d~
dt ,
KOTORU@ MOVNO PREDSTAWITX W WIDE
d~v = @~v + v @~v + v @~v + v @~v :
(13)
dt @t x @x y @y z @z
pRI \TOM FORMULA (12) PRIMET WID
@~v + (~vr) ~v = ; grad p + ~g:
(14)
@t
|TO I ESTX URAWNENIE DWIVENIQ VIDKOSTI, POLU^ENNOE WPERWYE
l.|JLEROM W 1755 GODU 15]. oNO NAZYWAETSQ URAWNENIEM |JLERA I
QWLQETSQ ODNIM IZ OSNOWNYH URAWNENIJ GIDRODINAMIKI.
3
dISPERSIONNOE URAWNENIE
u^ITYWAQ, ^TO POLE SKOROSTEJ QWLQETSQ BEZWIHREWYM WEKTORNYM POLEM
(W SILU NESVIMAEMOSTI VIDKOSTI div ~v = 0), MOVNO WWESTI W RASSMOTRENIE POTENCIAL POLQ SKOROSTEJ ' TAKIM OBRAZOM, ^TOBY ~v = grad'. C
U^ETOM WEKTORNOGO SOOTNOENIQ divgradu = r2 u URAWNENIE (6) PRIMET
WID
r2 ' = 0:
sLAGAEMOE (~v r) ~v MOVNO ZAPISATX KAK
(~v r) ~v = 12 grad~v2 ; ~v rot~v] :
(15)
(16)
tOGDA, U^ITYWAQ (15), IZ URAWNENIJ (14), (16) MOVNO POLU^ITX URAWNENIE
bERNULLI
@' + 1 (r')2 + p + U = const
(17)
@t 2
GDE U = gz { POTENCIALXNAQ \NERGIQ EDINICY MASSY VIDKOSTI W POLE
SILY TQVESTI z { WERTIKALXNAQ KOORDINATA, PRI^EM TO^KA z = 0 NAHODITSQ NA NEWOZMU]ENNOJ POWERHNOSTI VIDKOSTI. u^ITYWAQ, ^TO NA POWERHNOSTX VIDKOSTI DEJSTWUET TOLXKO ATMOSFERNOE DAWLENIE p0 , MOVNO
PEREPISATX URAWNENIE (17) W WIDE:
@' + 1 (r')2 + p ; p0 + gz = 0:
(18)
@t 2
sOOTNOENIQ (15) I (18), DOPOLNENNYE URAWNENIEM
@' (19)
@z z=;H = 0
KOTOROE PREDSTAWLQET SOBOJ USLOWIE NA DNE VIDKOSTI, ISPOLXZU@TSQ
DLQ POLU^ENIQ DISPERSIONNOGO URAWNENIQ GRAWITACIONNO-KAPILLQRNYH
WOLN.
iZWESTNO, ^TO ESLI POWERHNOSTX RAZDELA DWUH SRED ISKRIWLENA, TO,
IZ-ZA DEJSTWIQ SIL POWERHNOSTNOGO NATQVENIQ, DAWLENIE WBLIZI \TOJ POWERHNOSTI POD^INQETSQ ZAKONU lAPLASA:
(20)
p1 ; p2 = R GDE p1 I p2 { ZNA^ENIQ DAWLENIQ W RAZLI^NYH SREDAH WBLIZI GRANICY RAZDELA, { KO\FFICIENT POWERHNOSTNOGO NATQVENIQ, R { RADIUS KRIWIZNY
POWERHNOSTI RAZDELA.
bUDEM RASSMATRIWATX SLU^AJ, KOGDA PROFILX POWERHNOSTI ZAWISIT
TOLXKO OT ODNOJ PROSTRANSTWENNOJ KOORDINATY I WREMENI. w \TOM SLU^AE POWERHNOSTX VIDKOSTI OPISYWAETSQ URAWNENIEM = (x t). tOGDA,
U^ITYWAQ, ^TO
1 = @2
R @x2
POLU^IM
@2
:
p ; p0 = ; @x
(21)
2
zDESX p I p0 { SOOTWETSTWENNO, DAWLENIE WNUTRI VIDKOSTI I ATMOSFERNOE
DAWLENIE. tOGDA S U^ETOM (21) LINEARIZOWANNOE URAWNENIE bERNULLI (18)
DLQ POWERHNOSTI VIDKOSTI BUDET IMETX WID
@ 2 = 0:
g
+ @'
;
(22)
@t
@x2
@
u^ITYWAQ, ^TO @'
@z = vz = @t I DIFFEpENCIpUQ UpAWNENIE (22) PO t, MOVNO ZAPISATX
2
@ 2 @' = 0:
@@t'2 + g @'
;
(23)
@z @x2 @z
pOLAGAQ TEPERX, ^TO '(x z t) = '(z )ej(!t;kx) , PEREPIEM URAWNENIE (15) W WIDE
@ 2 ' ; k2 ' = 0:
(24)
@z 2
iZ \TOGO URAWNENIQ SLEDUET, ^TO
'(x z t) = A1 ekz ej(!t;kx) + A2 e;kz ej(!t;kx) :
(25)
pODSTAWLQQ TEPERX (25) W (23), S U^ETOM (19), MOVNO POLU^ITX DISPERSIONNU@ HARAKTERISTIKU:
3
!2 = kg + k th(kH ):
(26)
w TOM SLU^AE
, KOGDA W SOOTNOENII (26) PREOBLADAET SLAGAEMOE kg
3
k
kg , GOWORQT O GRAWITACIONNYH WOLNAH, ESLI VE PREOBLADAET SLAGAEMOE
, SWQZANNOE S DEJSTWIEM SIL POWERHNOSTNOGO NATQVENIQ
3
k
kg , UPOTREBLQETSQ TERMIN \KAPILLQRNYE WOLNY". eSLI VE OBA
SLAGAEMYH W DISPERSIONNOM SOOTNOENII (26) ODNOGO PORQDKA, TO TAKIE
WOLNY NAZYWA@TSQ GRAWITACIONNO{KAPILLQRNYMI WOLNAMI.
4
pOROG WOZNIKNOWENIQ RQBI fARADEQ
bUDEM RASSMATRIWATX TEPERX SLU^AJ, KOGDA K@WETA KOLEBLETSQ WERTIKALXNO S ^ASTOTOJ . w SISTEME OTS^ETA, SWQZANNOJ S K@WETOJ, MOVNO
S^ITATX, ^TO PERIODI^ESKI IZMENQETSQ WELI^INA USKORENIQ SWOBODNOGO
PADENIQ g (1). pREDSTAWIM POTENCIAL POLQ SKOpOSTEJ POWEpHNOSTNYH
WOLN W WIDE SUMMY PpOSTpANSTWENNYH GApMONIK S WOLNOWYMI ^ISLAMI
kn :
'=
X
n
'kn eknx :
(27)
pODSTAWLQQ (27) W UpAWNENIE (23), S U^ETOM (1), DLQ KAVDOJ PpOSTpANSTWENNOJ GApMONIKI POLU^AEM UpAWNENIE mATXE 13]:
@ 2 'n + k3 + gk + g cos(t) ' = 0:
(28)
n
@t2
dLQ KAPILLQpNYH WOLN MOVNO PpENEBpE^X SLAGAEMYM gk I ZAPISATX
UpAWNENIE mATXE W KLASSI^ESKOM WIDE
@ 2 'n + !2 (1 + cos(t))' = 0
(29)
n
0
@t2
3 1=2
k
GDE !0 = { ^ASTOTA KAPILLQpNYH WOLN, = kg3 . sLEDOWATELXNO, W DANNOM SLU^AE IMEET MESTO PApAMETpI^ESKOE WOZBUVDENIE pQBI
fApADEQ, I WpEMENNY E ^ASTOTY POWEpHNOSTNYH WOLN, KOTOpYE MOGUT pEALIZOWYWATXSQ PpI PApAMETpI^ESKOM WOZBUVDENII, BUDUT NAHODITXSQ S
^ASTOTOJ WNENEGO WOZDEJSTWIQ W SOOTNOENII ! = n2 , GDE n { CELOE
^ISLO.
w pEALXNOJ VIDKOSTI WSEGDA ESTX POTEpI, OBUSLOWLENNYE WQZKIM TpENIEM. eSLI U^ESTX WQZKOSTX, TO NEUSTOJ^IWOSTX WOZNIKAET TOLXKO W TOM
SLU^AE, ESLI AMPLITUDA WNENEGO WOZDEJSTWIQ PpEWYAET NEKOTOpOYJ
POpOG > cr . dLQ BESKONE^NO GLUBOKOJ VIDKOSTI 11]
4k0 (30)
cr =
g
GDE
2 !1=3
k0 = 2 (31)
{ KINEMATI^ESKAQ WQZKOSTX VIDKOSTI, SWQZANNAQ S DINAMI^ESKOJ WQZKOSTX@ SOOTNOENIEM = =. u^ET KONE^NOJ GLUBINY VIDKOSTI PRIWODIT K UWELI^ENIQ ZNA^ENIQ cr , TAK KAK WOZRASTA@T POTERI, SWQZANNYE
S TRENIEM O DNO 12]. sTOIT OSOBO OBRATITX WNIMANIE, ^TO PRIWEDENNOE
ZDESX ZNA^ENIE cr SOOTWETSTWU@T OSNOWNOMU REZONANSU (n = 1 ! = =2).
iMENNO \TOT REZONANS REALIZUETSQ W BOLXINSTWE \KSPERIMENTOW S KAPILLQRNYMI WOLNAMI. w TO VE WREMQ, TEORETI^ESKI WOZMOVNO WOZBUVDENIE RQBI fARADEQ NA ^ASTOTAH ! = n=2, n > 1. pO^EMU W FIZI^ESKOM
\KSPERIMENTE REALIZUETSQ IMENNO PERWYJ REZONANS, LEGKO PONQTX, U^ITYWAQ, ^TO PRI REZONANSAH BOLEE WYSOKOGO PORQDKA ZATUHANIE KAPILLQRNYH WOLN UWELI^IWAETSQ. pOTERI WOZRASTA@T PROPORCIONALXNO k2 , A W
\KSPERIMENTAH POROG NEUSTOJ^IWOSTI DLQ WOLN S ^ASTOTAMI ! = n=2,
n > 1 NE PREWYEN 11].
5
mETODIKA \KSPERIMENTA
w DANNOJ LABORATORNOJ RABOTE DLQ WOZBUVDENIQ WERTIKALXNYH KOLEBANIJ W SLOE VIDKOSTI ISPOLXZUETSQ WIBROSTEND, SOZDANNYJ W nIVEGORODSKOM UNIWERSITETE. wIBROSTEND SOSTOIT IZ MO]NOGO NIZKO^ASTOTNOGO DINAMIKA, K MEMBRANE KOTOROGO PRIKLEENA K@WETA. nA DINAMIK PODAETSQ
NAPRQVENIE S GENERATORA NIZKO^ASTOTNYH SINUSOIDALXNYH KOLEBANIJ.
(wNIMANIE! pRI PEREKL@^ENII PREDELOW IZMENENIQ NAPRQVENIQ SLEDUET SLEDITX ZA TEM, ^TOBY RU^KA PLAWNOGO IZMENENIQ BYLA WYWEDENA
NA NOLX!) pARAMETRAMI QWLQ@TSQ GLUBINA SLOQ VIDKOSTI, WQZKOSTX (W
U^EBNOM \KSPERIMENTE ONI QWLQ@TSQ POSTOQNNYMI), AMPLITUDA I ^ASTOTA WNENEGO WOZDEJSTWIQ (DIAPAZON IZMENENIQ AMPLITUDY SOSTAWLQET
0 7 w, A ^ASTOTY { 40 120 gC). iSSLEDUEMOJ W RABOTE VIDKOSTX@
QWLQETSQ SILIKONOWOE MASLO (pms-5), HARAKTERISTIKI KOTOROGO PRIWEDENY W PRILOVENII. pERED WYPOLNENIEM RABOTY NEOBHODIMO UBEDITXSQ,
^TO POWERHNOSTX VIDKOSTI W K@WETE GORIZONTALXNA. w PROTIWNOM SLU^AE KAPILLQRNAQ RQBX BUDET NERAWNOMERNO RASPREDELENA PO POWERHNOSTI.
eSLI K@WETA RASPOLOVENA NEGORIZONTALXNO, Ee SLEDUET OT_@STIROWATX S
POMO]X@ REGULIROWO^NYH WINTOW PRI WKL@^ENNOM GENERATORE WNENEGO
WOZDEJSTWIQ.
dLQ OPREDELENIQ DISPERSIONNOJ HARAKTERISTIKI ISPOLXZUETSQ SLEDU@]EJ METODIKA. iZMENQQ ^ASTOTU WNENEGO WOZDEJSTWIQ, SLEDUET IZMERQTX ^ISLO PERIODOW PROSTRANSTWENNOJ STRUKTURY, WOZNIKA@]EJ W K@WETE, PRIHODQ]IHSQ NA OPREDELENNU@ DLINU (NAPRIMER, 2{3 SM). tOGDA
MOVNO BEZ TRUDA OPREDELITX DLINU STOQ^EJ WOLNY I, SOOTWETSTWENNO,
DLINU WOLNY I WOLNOWOE ^ISLO k W ZAWISIMOSTI OT ^ASTOTY WNENEGO
WOZDEJSTWIQ. pRI SOPOSTAWLENII REZULXTATOW IZMERENIJ S TEORETI^ESKOJ
ZAWISIMOSTX@ (26), SLEDUET POMNITX O PARAMETRI^ESKOM HARAKTERE WOZBUVDENIQ KAPILLQRNOJ RQBI.
dLQ SRAWNENIQ POROGA PARAMETRI^ESKOJ GENERACII S \KSPERIMENTALXNYMI DANNYMI NEOBHODIMO OPREDELITX WELI^INU USKORENIQ W M/S2 . iZMERQQ NAPRQVENIE, PRI KOTOROM PROWOLOKA, POME]ENNAQ NA KRAQ K@WETY, NA^INAET ZWENETX2, SLEDUET PROGRADUIROWATX POKAZANIQ WOLXTMETRA
W M/S2 . gRADUIROWO^NYJ KO\FFICIENT ZAWISIT OT ^ASTOTY GENERATORA,
PO\TOMU GRADUIROWKU WOLXTMETRA SLEDUET PROWODITX DLQ KAVDOGO ZNA^ENIQ ^ASTOTY, NA KOTOROJ PROWODITSQ OPREDELENIE POROGA PARAMETRI^ESKOGO WOZBUVDENIQ KAPILLQRNOJ RQBI. sLEDUET S^ITATX, ^TO POROG WOZBUVDENIQ PREWYEN, ESLI RQBX MOVNO RAZGLQDETX NA ^ASTI POWERHNOSTI
VIDKOSTI. pONQTNO, ^TO IDEALXNO OT_@STIROWATX K@WETU NEWOZMOVNO, A
SLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET OBLASTX VIDKOSTI, DLQ KOTOROJ USLOWIE WOZBUVDENIQ NA^INAET WYPOLNQTXSQ DLQ MENXEJ AMPLITUDY WNENEGO WOZDEJSTWIQ. kOGDA KAPILLQRNAQ RQBX POKRYWAET WS@ POWERHNOSTX VIDKOSTI, ZNA^ENIE AMPLITUDY WNENEGO WOZDEJSTWIQ SU]ESTWENNO PREWYAET
POROG PARAMETRI^ESKOJ GENERACII.
|KSPERIMENTALXNOE ZADANIE
1. oTKALIBROWATX KALU WOLXTMETRA W EDINICAH USKORENIQ. pOSTRO-
ITX ZAWISIMOSTX NORMIROWO^NOGO MNOVITELQ OT ^ASTOTY SIGNALA
GENERATORA.
2. pRI WKL@^ENNOM GENERATORE WNENEGO WOZDEJSTWIQ S POMO]X@ REGULIROWO^NYH WINTOW OT_@STIROWATX K@WETU S VIDKOSTX@.
3. OPREDELITX DISPERSIONNU@ ZAWISIMOSTX ! = !(k). dLQ \TOGO NEOBHODIMO OPREDELITX RAZMER STRUKTURY, WOZNIKA@]EJ W K@WETE
PRI RAZLI^NYH ZNA^ENIQH ^ASTOTY WNENEGO WOZDEJSTWIQ. ~ASTOTU
2 pRI USKORENII BLIZKOM K g (USKORENI@ SILY TQVESTI) PREDMETY, NAHODQ]IESQ
0
NA WIBRIRU@]EJ POWERHNOSTI NA^INA@T PODPRYGIWATX
WNENEGO WOZDEJSTWIQ IZMENQTX W PREDELAH OT 40 DO 120 gC S INTERWALOM 5 gC. pOSTROITX POLU^ENNU@ ZAWISIMOSTX W KOORDINATAH
! I k I SRAWNITX EE S TEORETI^ESKOJ.
4. sNQTX \KSPERIMENTALXNU@ ZAWISIMOSTX POROGA WOZBUVDENIQ KAPILLQRNOJ RQBI OT ^ASTOTY WNENEGO WOZDEJSTWIQ I SRAWNITX POLU^ENNU@ KRIWU@ S TEORETI^ESKOJ.
5. pRONABL@DATX WOZNIKNOWENIE PROSTRANSTWENNO-WREMENNOGO HAOSA
NA POWERHNOSTI VIDKOSTI S IZMENENIEM AMPLITUDY WNENEGO WOZDEJSTWIQ PRI RAZLI^NYH ZNA^ENIQH ^ASTOTY. sHEMATI^ESKI IZOBRAZITX KARTU REVIMOW NA PLOSKOSTI UPRAWLQ@]IH PARAMETROW
\AMPLITUDA | ^ASTOTA WNENEGO WOZDEJSTWIQ".
6. zARISOWATX HARAKTERNYE PROSTRANSTWENNYE STRUKTURY, WOZNIKA@]IE NA POWERHNOSTI VIDKOSTI W RAZLI^NYH OBLASTQH KARTY REVIMOW.
kONTROLXNYE WOPROSY
1. oPIITE OSNOWNYE QWLENIQ, KOTORYE NABL@DA@TSQ PRI PARAMETRI^ESKOM WOZBUVDENII KAPILLQRNOJ RQBI.
2. wYWEDITE URAWNENIE NEPRERYWNOSTI DLQ VIDKOSTI. kAK ONO BUDET
WYGLQDETX W SLU^AE NESVIMAEMOJ VIDKOSTI?
3. nAZOWITE OSNOWNYE DOPU]ENIQ, ISPOLXZUEMYE PRI WYWODE URAWNENIQ |JLERA.
4. zAPIITE DISPERSIONNOE URAWNENIE DLQ GRAWITACIONNO{
KAPILLQRNYH WOLN NA MELKOJ WODE. oPIITE METODIKU POLU^ENIQ
DISPERSIONNOGO URAWNENIQ IZ GIDRODINAMI^ESKIH URAWNENIJ.
5. kAKOJ TIP POWEpHNOSTNYH WOLN (GpAWITACIONNYE ILI KAPILLQpNYE WOLNY) pEALIZUETSQ PpI NABL@DENII pQBI fApADEQ? oTWET OBOSNUJTE.
6. kAKIE ^ASTOTY POWERHNOSTNYH WOLN MOGUT REALIZOWYWATXSQ W VID-
KOSTI BEZ WQZKOGO TRENIQ PRI PERIODI^ESKOM WNENEM WOZDEJSTWII
S ^ASTOTOJ ? ~TO IZMENITSQ DLQ SLU^AQ WQZKOJ VIDKOSTI?
7. oB_QSNITE, PO^EMU PRI NEBOLXOM PREWYENII ZNA^ENIQ AMPLITUDY WNENEGO WOZDEJSTWIQ POROGA WOZBUVDENIQ, KAPILLQRNAQ RQBX
ZANIMAET NEBOLXU@ OBLASTX POWERHNOSTI VIDKOSTI.
8. C ^EM SWQZANO USTANOWLENIE TOJ ILI INOJ KONKRETNOJ STRUKTURY NA
POWERHNOSTI VIDKOSTI? kAK POQWLQETSQ MODELXNOE URAWNENIE (33)?
wYWEDITE WELI^INU DISPERSIONNOGO PARAMETRA W URAWNENII (33),
PREDPOLAGAQ ODNOMERNYJ SLU^AJ, TO ESTX ~r = (x 0).
9. oPIITE METODIKU PROWEDENIQ \KSPERIMENTA.
pRILOVENIE 1
kAK SLEDUET IZ RAZDELA 4, PARY WOLN S WOLNOWYM WEKTOROM ~k, UDOWLETWORQ@]IM USLOWI@ j~kj = jk0 j (SM., (31)), BUDUT NARASTATX S MAKSIMALXNYM INKREMENTOM, PRI \TOM ORIENTACIQ WOLNOWYH PAR W PROSTRANSTWE
BUDET PROIZWOLXNA. sTRUKTURA NA POWERHNOSTI VIDKOSTI BUDET OPREDELQTXSQ NELINEJNOJ KONKURENCIEJ WOLN S RAZLI^NOJ ORIENTACIEJ WEKTORA
~k. w PERWU@ O^EREDX ONA SWQZANA S NELINEJNYM ZATUHANIEM WOLN. kOGDA
AMPLITUDA KAPILLQRNYH WOLN WOZRASTAET, IZ-ZA NELINEJNOSTI SREDY GENERIRU@TSQ GARMONIKI OSNOWNOJ WOLNY. aMPLITUDA WYSIH GARMONIK
PROPORCIONALXNA KWADRATU AMPLITUDY OSNOWNOJ GARMONIKI, A ZATUHANIE IH SU]ESTWENNO BOLXE, ^EM ZATUHANIE OSNOWNOJ WOLNY W SILU TOGO,
^TO IH WOLNOWYE ^ISLA kn nk0 . pO\TOMU GENERACI@ GARMONIK MOVNO RASSMATRIWATX KAK MEHANIZM NELINEJNOGO ZATUHANIQ, KOTOROE PRIWODIT K OGRANI^ENI@ AMPLITUDY WOLN. o^EWIDNO, ^TO NELINEJNOE ZATUHANIE OPREDELQET NE TOLXKO AMPLITUDU WOLN, NO I NAIBOLEE PREDPO^TITELXNU@ STRUKTURU NA POWERHNOSTI VIDKOSTI, KOTORAQ OBUSLAWLIWAETSQ
KONKURENCIEJ WOLNOWYH PAR S RAZLI^NOJ ORIENTACIEJ WOLNOWOGO WEKTO-
RA. oTMETIM, ^TO WELI^INA AMPLITUDY WOLNOWOGO WEKTORA WSEH PAKETOW
ODINAKOWA, ^TO I PRIWODIT K WOZNIKNOWENI@ REGULQRNYH STRUKTUR NA
POWERHNOSTI.
|FFEKT NELINEJNOGO ZATUHANIQ MOVNO U^ESTX W URAWNENIQH, OPISYWA@]IH \WOL@CI@ AMPLITUD PARAMETRI^ESKI WOZBUVDAEMYH PAR WOLN. w
RAMKAH PRIBLIVENIQ MEDLENNO MENQ@]IHSQ AMPLITUD WOLN W PROSTRANSTWE I WO WREMENI, MOVNO S POMO]X@ METODOW WOZMU]ENIJ ZAPISATX URAWNENIQ DLQ MEDLENNO MENQ@]IHSQ AMPLITUD WOLN. zDESX MY NE PRIWODIM
SOOTWETSTWU@]IH SOOTNOENIJ WSLEDSTWIE IH GROMOZDKOSTI I SLOVNOSTI DLQ ANALIZA (DLQ INTERESU@]IHSQ MOVNO POREKOMENDOWATX RABOTY
3, 16]). oDNAKO, OGRANI^IWAQSX ISSLEDOWANIEM ^ISTO STOQ^IH WOLN, PRI
OPREDELENNYH PREDPOLOVENIQH (W PERWU@ O^EREDX O NEBOLXOJ NADKRITI^NOSTI = cr ) ZADA^A MOVET BYTX SWEDENA K BOLEE PROSTOMU MODELXNOMU URAWNENI@.
pUSTX (~r t), PREDSTAWLQ@]AQ SOBOJ GLAWNU@ ^ASTX OTKLONENIQ UROWNQ POWERHNOSTI OT RAWNOWESNOJ, ZAPISYWAETSQ W WIDE 10]
(~r t) = (~r t)ej(=2)t + (~r t)e;j(=2)t :
(32)
mODELXNOE URAWNENIE DLQ KOMPLEKSNOGO POLQ OSNOWYWAETSQ NA PARAMETRI^ESKOM ANALOGE URAWNENIQ gINZBURGA { lANDAU 3], I MOVET BYTX
ZAPISANO W SLEDU@]EJ FORME 10]
@ = j ; 52 ; (1 + j)jj2 +
@t
+j(52 + k02 ) ; (~u 5):
(33)
dANNOE URAWNENIE U^ITYWAET OSNOWNYE OSOBENNOSTI PARAMETRI^ESKOJ
NEUSTOJ^IWOSTI, DISPERSI@ KAPILLQRNYH WOLN, WQZKU@ DISSIPACI@ I
NELINEJNOSTX. zDESX { PARAMETR AMPLITUDY WNENEJ SILY, { DISPERSIONNYJ PARAMETR I ~u { cKOROSTX SREDNEGO TE^ENIQ VIDKOSTI OKOLO POWERHNOSTI. lINEJNYE ^LENY URAWNENIQ (33) OTWETSTWENNY ZA DISPERSI@,
WSLEDSTWIE \TOGO, KAK NE SLOVNO POKAZATX, = 3=8k02. nELINEJNYJ ^LEN
WWEDEN FENOMENOLOGI^ESKI DLQ STABILIZACII PARAMETRI^ESKOJ NEUSTOJ^IWOSTI. mNIMAQ ^ASTX KO\FFICIENTA NELINEJNOSTI OPISYWAET NELINEJNYJ SDWIG ^ASTOTY 17]. pOSLEDNIJ ^LEN W URAWNENII OPISYWAET
SREDNEE TE^ENIE (ESLI ~u 6= 0) W SLOE VIDKOSTI.
dANNAQ MODELX, NESMOTRQ NA NEKOTORYE SERXEZNYE DOPU]ENIQ I UPRO]ENIQ, POZWOLQET OPISATX CELYJ RQD QWLENIJ, NABL@DAEMYH PRI WOZBUVDENII KAPILLQRNOJ RQBI. tAK, ^ISLENNOE MODELIROWANIE FORMIROWANIQ
SPIRALXNYH STRUKTUR PRI PARAMETRI^ESKOM WOZBUVDENII SLOQ VIDKOSTI
(SM., RAZDEL 1.4 I RIS. 5) MODELIROWALOSX IMENNO S POMO]X@ URAWNENIQ
(33).
pRILOVENIE 2
sWOJSTWA SILIKONOWOGO MASLA pms
-5
, G/SM3 ]
, G/(SM SEK)]102
, DIN/SM]
PLOTNOSTX DINAMI^ESKAQ WQZKOSTX POWERHNOSTNOE NATQVENIE
0,913
4,63
17,5
sPISOK LITERATURY
1] M.Faraday, Philos.Trans.R.Soc., London, 121 (1831) 319
2] Introduction to Faraday's Diary, ed by T.Martin, London: G.Bell, 1932
3] a.b.eZERSKIJ, m.i.rABINOWI^, w.p.rEUTOW, i.m.sTAROBINEC
pROSTRANSTWENNO{WREMENNOJ HAOS PRI PARAMETRI^ESKOM WOZBUVDENII KAPILLQRNOJ RQBI. v|tf, 91 (2070) 1986
4] eZERSKIJ a.b.,kIQKO s.w., mATUSOW s.w., rABINOWI^ m.i. dINAMIKA DOMENOW W PARAMETRI^ESKI WOZBUVDAEMOJ KAPILLQRNOJ RQBI.
iZW. wuzOW, pRIKLADNAQ NELINEJNAQ DINAMIKA. 2 (64) 1994
5] Ezersky A.B. Temporal intermittency of chaos in parametrically excited
capillary ripples. Europhys. Lett. 16 (661) 1991
6] A.Kudrolli, J.P.Gollub, Localized spatiotemporal chaos in surface
waves. Phys.Rev.E., 54 (R1052) 1996
7] A.Kudrolli, J.P.Gollub, Patterns and spatiotemporal chaos in
parametrically forced surface waves: a systematic survey at large aspect
ratio. Physica D, 97 (133) 1996
8] W.S.Edwards, S.Fauve, Phys.Rev.E, 47 (123) 1993
9] W.S.Edwards, S.Fauve, J.Fluid Mech., 278 (123) 1994
10] S.V.Kiyashko, L.N.Korzinov, M.I.Rabinovich, L.S.Tsimring, Rotating
spirals in Faraday experiment. Phys.Rev.E, 54 (5037) 1996
11] sTRUKTURY I PROSTRANSTWENNO-WREMENNOJ HAOS PARAMETRI^ESKI WOZBUVDAEMOJ KAPILLQRNOJ RQBI (OPISANIE K LABORATORNOJ RABOTE),
nIVNIJ nOWGOROD: nIVEGORODSKIJ UNIWERSITET.
12] s.w.kIQKO, sTRUKTURY PRI PARAMETRI^ESKOM WOZBUVDENII KAPILLQRNOJ RQBI W SLOE S PLAWNOJ NEODNORODNOSTX@ GLUBINY. tRUDY VI
wSEROSSIJSKOJ KOLY-SEMINARA "wOLNOWYE QWLENIQ W NEODNORODNYH
SREDAH", kRASNOWIDOWO, mOSKOWSKAQ OBLASTX, (101) 1998
13] m.i.rABINOWI^, d.i.tpUBECKOW, wWEDENIE W TEOpI@ KOLEBANIJ I
WOLN. m.: nAUKA, 1984.
14] r.fEJNMAN, r.lEJTON, m.s\NDS, fEJNMANOWSKIE LEKCII PO FIZIKE.
tOM 7. fIZIKA SPLONYH SRED. m.: mIR. 1977
15] l.d.lANDAU, e.m.lIFIC, tEORETI^ESKAQ FIZIKA. tOM VI. gIDRODINAMIKA. m.: nAUKA. 1988
16] S.T.Milner, Square pattern and secondary instabilities in driven
capillary ripples. J.Fluid.Mech., 1991 (81) 1991
17] A.S.Nikulin, L.N.Korzinov, M.I.Rabinovich, Phys.Lett.A., 173 (421)
1993
mETODI^ESKOE POSOBIE
koronowskij a a
hramow a e
.
.
.
.
pROSTRANSTWENNO WREMENNYE STRUKTURY RQBI fARADEQ
{
ORIGINAL-MAKET PODGOTOWLEN a.e. hRAMOWYM W PAKETE LATEX
gOSunc \kolledv", lICENZIQ 020773 OT 15.05.98
zAKAZ N. 81. pODPISANO K PE^ATI 1.09.98.
uSL. PE^.L. 1,86 (2,0). u^.{IZD.L. 2,1. tIRAV 100 \KZ.
410026, sARATOW, aSTRAHANSKAQ, 83
gOSunc \kOLLEDV"