26 ÊÂÀÍT2001/¹2 Ïîìåëîâ Àðòåì Êèðîâ, ÔÌË, 7êë., Ïîïëàâñêèé Ìèõàèë Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 8 êë., Ðóáöîâ Àíäðåé Èâàíîâî, ëèöåé 33, 8 êë., Ñâåðäëèê Âàëåðèé Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 8 êë., Ñèäîðîâ Àëåêñåé Êîñòðîìà, øêîëà 32, 8 êë., Ñîòíåçîâ Ðîìàí ×åáîêñàðû, øêîëà 27, 8 êë., ×àëêèíà Íàòàëüÿ Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», 7 êë., Øàïîâàëîâà Âàëåíòèíà Ñòîêãîëüì, 8 êë., Øóëÿòüåâ Àíäðåé ×åáîêñàðû, øêîëà 34, 8 êë., Ùóêèí Äìèòðèé ×åáîêñàðû, øêîëà 27, 8 êë. Ïðåäëàãàåì âàøåìó âíèìàíèþ íåñêîëüêî çàäà÷ òóðíèðà è èõ ðåøåíèÿ, à òàêæå óñëîâèÿ çàäà÷ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. Çàäà÷è 1. Íà íåêîòîðîì ïîëå øàõìàòíîé äîñêè ñòîèò êîðîëü. Äâîå ïî î÷åðåäè ïåðåäâèãàþò åãî ïî äîñêå. Çàïðåùåíî âîçâðàùàòü êîðîëÿ íà ïîëå, ãäå îí òîëüêî ÷òî áûë. Âûèãðûâàåò òîò èãðîê, ïîñëå õîäà êîòîðîãî êîðîëü îêàæåòñÿ íà ïîëå, ãäå îí êîãäà-òî óæå ïîáûâàë. Êòî èç èãðîêîâ ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó ïðè ëþáîé èãðå ïðîòèâíèêà? È.Àêóëè÷ 2. Êîëÿ è Ïåòÿ èãðàþò â ìîðñêîé áîé ïî èçìåíåííûì ïðàâèëàì. Ó êàæäîãî èç íèõ èìååòñÿ êâàäðàòíîå êëåò÷àòîå ïîëå ðàçìåðîì 10 × 10. Ïåòÿ ðàññòàâëÿåò íà ñâîåì ïîëå êîðàáëè ðàçìåðîì 1 × 3, à Êîëÿ íà ñâîåì êîðàáëè ðàçìåðîì 1 × 4. Êîðàáëè íå äîëæíû ñîïðèêàñàòüñÿ äàæå âåðøèíàìè. Ïîáåäèòåëåì ñ÷èòàåòñÿ òîò, êòî ðàññòàâèë áîëüøå êîðàáëåé. Ìîæåò ëè êòî-òî èç èãðîêîâ ãàðàíòèðîâàòü ñåáå ïîáåäó? Â.Êàñêåâè÷ 3. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, êàñàåòñÿ åãî îñíîâàíèÿ â òî÷êå D, à áîêîâûõ ñòîðîí â òî÷êàõ E è F. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êó E ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé DF, ïîâòîðíî ïåðåñåêàåò âïèñàííóþ îêðóæíîñòü â òî÷êå P. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà P ïðèíàäëåæèò ñðåäíåé ëèíèè òðåóãîëüíèêà. Ä.Êàëèíèí 4. Îòðåçêè AC è BC ðàâíû è ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéäèòå ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê M, äëÿ êîòîðûõ ∠ AMC = = ∠ CMB. À.Åãîðîâ Ðåøåíèÿ 1. Íà÷èíàþùèé ìîæåò ïîáåäèòü ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè êîðîëÿ. Ñóòü ñòðàòåãèè â ñëåäóþùåì. Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî âåðòèêàëüíûõ õîäîâ, êîòîðûìè êîðîëü ìîæåò ñ èñõîäíîãî ïîëÿ äîéòè äî íèæíåé (ïåðâîé) ãîðèçîíòàëè, à òàêæå êîëè÷åñòâî âåðòèêàëüíûõ õîäîâ, êîòîðûìè êîðîëü ìîæåò äîéòè äî âåðõíåé (âîñüìîé) ãîðèçîíòàëè. Ïîñêîëüêó ñóììà ýòèõ ÷èñåë ðàâíà 8 1 = 7, òî îäíî èç íèõ íå÷åòíî. Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, íàäî ñäåëàòü íå÷åòíîå ÷èñëî õîäîâ, ÷òîáû äîéòè äî íèæíåé ãîðèçîíòàëè (ðèñ.2). Òîãäà ïåðâûé èãðîê ìîæåò ïîéòè ïðÿìî âíèç; íîìåð ãîðèçîíòàëè óìåíüøèòñÿ íà 1 è èç ÷åòíîãî ñòàíåò íå÷åòíûì. ×òî äåëàòü âòîðîìó? Åñëè îí ñäåëàåò ãîðèçîíòàëüíûé õîä èëè âåðíåòñÿ äèàãîíàëüíûì õîäîì íà èñõîäíóþ ãîðèçîíòàëü (ò.å. ïîéäåò íà îäíó èç çàêðàøåíÐèñ. 2 íûõ êëåòîê ðèñóíêà 2), òî ïåðâûé èãðîê ñðàçó ñìîæåò âûèãðàòü. Ïîýòîìó âòîðîé èãðîê áóäåò âûíóæäåí ñäåëàòü âåðòèêàëüíûé èëè äèàãîíàëüíûé õîä, ñïóñòèâøèñü åùå íèæå.  îòâåò ïåðâûé èãðîê îïÿòü ìîæåò ïîéòè âåðòèêàëüíî âíèç. Âòîðîìó, ÷òîáû íå ïðîèãðàòü, îïÿòü ïðèäåòñÿ îïóñòèòü êîðîëÿ åùå íèæå, è òàê áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ äî òîãî, êàê ïîñëå î÷åðåäíîãî õîäà ïåðâîãî èãðîêà êîðîëü ïîïàäåò íà íèæíþþ ãîðèçîíòàëü. Òîãäà âòîðîìó èãðîêó ïðèäåòñÿ ñäåëàòü ãîðèçîíòàëüíûé õîä èëè ïîäíÿòü êîðîëÿ ïî äèàãîíàëè ââåðõ, ïîñëå ÷åãî ïåðâûé èãðîê ïîáåæäàåò, ñòàâÿ êîðîëÿ íà ðàíåå ïðîéäåííîå ïîëå. Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû ðàçìåðû äîñêè áûëè èíûìè (íàïðèìåð, 9 × 9), òî íå êàæäîå èñõîäíîå ïîëîæåíèå êîðîëÿ ïðèíîñèëî áû âûèãðûø òîìó, êòî äåëàåò ïåðâûé õîä: 16 ïîëåé (ïîäóìàéòå, êàêèå èìåííî) áûëè áû âûèãðûøíûìè äëÿ âòîðîãî èãðîêà. 2. Êàæåòñÿ, ÷òî Ïåòÿ äîëæåí ïîáåäèòü âåäü åãî êîðàáëè ìåíüøå Êîëèíûõ. À íà ñàìîì äåëå ïðè ïðàâèëüíîé èãðå áóäåò íè÷üÿ. Äåëî â òîì, ÷òî Êîëÿ ìîæåò ðàññòàâèòü 12 êîðàáëåé (ðèñ.3), à Ïåòÿ íå ìîæåò ðàññòàâèòü áîëåå 12 êîðàáëåé. ×òîáû äîêàçàòü ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå, ðàññìîòðèì 12 êâàäðàòîâ ðàçìåðîì 2 × 2, çàêðàøåííûõ íà ðèñóíêå 4. Î÷åâèäíî, ëþáîé òðåõêëåòî÷íûé êîðàáëü ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó çàêðàøåííóþ êëåòêó, ïðè÷åì íèêàêèå äâà êîðàáëÿ íå 5. Ïóñòü n íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî n! ïðåäñòàâèìî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ðàçëè÷àþùèõñÿ íå áîëåå ÷åì âäâîå. Ñ.Êîíÿãèí Ðèñ. 1 6. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ëàäåé ìîæíî ðàññòàâèòü íà øàõìàòíîé äîñêå òàê, ÷òîáû êàæäàÿ áèëà ÷åòíîå ÷èñëî äðóãèõ? (Îäíà ëàäüÿ áüåò äðóãóþ, åñëè îíè ñòîÿò íà îäíîé âåðòèêàëè èëè ãîðèçîíòàëè è ìåæäó íèìè íåò äðóãèõ ëàäåé. Íàïðèìåð, ðàññòàíîâêà ëàäåé ðèñóíêà 1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è.) À.Øàïîâàëîâ Ðèñ. 3 Ðèñ. 4 ìîãóò ñîäåðæàòü çàêðàøåííûå êëåòêè èç îäíîãî è òîãî æå êâàäðàòà 2 × 2 (èíà÷å îíè áû ñîïðèêîñíóëèñü). Çíà÷èò, êîëè÷åñòâî êîðàáëåé íå ïðåâîñõîäèò êîëè÷åñòâà çàêðàøåííûõ êâàäðàòîâ, ò.å. íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà 12. Ìîðñêîé áîé, êàê ýòî íè ïàðàäîêñàëüíî, çàêîí÷èòñÿ âíè÷üþ.