1 Уравнением Лежандра называется уравнение вида или Это

Многочлены Лежандра.
Уравнением Лежандра называется уравнение вида
d
dy
[(1 − x 2 ) ] = −λ2 y
dx
dx
или (1 − x 2 )
d2y
dx
2
−x
dy
+ λ2 y = 0.
dx
Это уравнение имеет ограниченные решения только при λ2 = n (n + 1) n = 0,1, 2,... , т.е. если
уравнение имеет вид
d
dy
[( x 2 − 1) ] = n (n + 1) y где n = 0,1, 2, .
dx
dx
(*)
Оно обычно рассматривается на отрезке [– 1;1].
Уравнение Лежандра является линейным однородным дифференциальным уравнением
второго порядка. Общее решение такого уравнения является линейной комбинацией двух
частных решений. Из них только одно является ограниченным, а другое (неограниченное)
стремится к бесконечности при x → ±1 . Если y n (x) – ограниченное решение, то Cy n (x) , где C –
произвольная постоянная, также будет ограниченным решением. Если, при этом, y n (1) ≠ 0 то
можно выбрать C так, что будет выполняться условие Cy n (1) = 1 (“нормировать решение на
единицу”).
Можно доказать, что ограниченное решение уравнения Лежандра (*) является многочленом
степени n . Такой многочлен называется многочленом Лежандра и обозначается Pn (x) . Таким
образом,
многочленом Лежандра Pn (x) называется ограниченное решение уравнения Лежандра,
удовлетворяющее условию Pn (1) = 1 .
Для вычисления многочленов Лежандра
выведена формула
Pn ( x ) =
1
dn
n
2 n ! dx
n
( x 2 − 1) n n = 0,1,2,...
(формула Родрига).
По этой формуле можно найти
P0 ( x) = 1, P1 ( x) = x, P2 ( x) =
3 2 1
x − , ....
2
2
можно вычислять также по
рекуррентной формуле
Pn (x)
Pn +1 ( x) = x Pn ( x) +
x 2 − 1 dPn
n + 1 dx
.
Графики Pm (x) для m = 0,1,2,3
Свойства многочленов Лежандра. (А.Л., стр. 273)
10 Pn (1) = 1
20 При чётном n многочлен Pn (x) содержит только чётные степени x , при нечётном – только
нечётные степени x .
30 Pn (− x) = (_ − 1) n Pn ( x)
40 | Pn ( x) | ≤ 1 при | x |≤ 1 .
50 Многочлены Лежандра ортогональны на отрезке [−1,+1] , т.е.
60 Квадрат нормы многочлена Pn ( x) равен
2
,
2n + 1
+1
∫ P ( x) P ( x)dx = 0 при m ≠ n .
m
−1
+1
n
т.е. || Pn ( x) || 2 = ∫ | Pn ( x) | 2 dx =
−1
2
.
2n + 1
Свойства 50,60 позволяют найти коэффициенты разложения функции в ряд Фурье-Лежандра:
1
f ( x) =
∞
∞
∑
1
c n = (n + ) c n Pn ( x) .
2
∫
c n Pn ( x)
n =0
0
Пример. Струна длины l и линейной плотности ρ вращается с угловой скоростью ω вокруг
оси, на которой закреплён один из концов струны в плоскости, перпендикулярной к плоскости
вращения. В начальный момент точкам струны сообщены малые отклонения и скорости,
перпендикулярные к плоскости вращения. Составить уравнение колебаний и решить для него с
начальными и краевыми условиями.
Направим ось Ox вдоль струны и поместим начало O на ось вращения.
Пусть u ( x, t ) − отклонение точки струны от положения равновесия. Натяжение струны в точке
x равно центробежной силе, создаваемой вращением отрезка струны [ x, l ] :
l
∫
T ( x) = ω 2 x ρ dx =
ω2ρ
2
x
(l 2 − x 2 ). .
x2
Выделим отрезок [ x1 , x 2 ] оси Ox . Импульс этого отрезка при колебаниях равен
∂u
∫ ∂x ρ dx , а
x1
x2
производная импульса по времени –
∂ 2u
∫ ∂t
2
ρ dx . Пусть α – угол касательной к струне с осью Ox .
x1
Тогда sin α ≈ tg α =
∂u
. Сумма проекций натяжения на ось вращения равна
∂x
x2
x2
∂u
∂
∂u
ω2ρ ∂ 2
(T ( x) )dx =
(l − x 2 ) )dx .
2
∂x
∂x
∂x
∂x
x1
x1
r
r
r r
r
Силу Кориолиса можно не учитывать, так как F = [u , ω ], а в данном случае векторы u и ω
T ( x 2 ) sin α 2 − T ( x1 ) sin α 1 = T ( x 2 )
∂u
∂u
− T ( x1 )
=
∂x x
∂x x
2
1
∫
∫
коллинеарны.
По теореме о производной импульса
x2
∂ 2u
∫ ∂t
2
ρ dx =
x1
ω2ρ
2
x2
∫
x1
∂ 2
∂u
(l − x 2 ) )dx или
∂x
∂x
x2
∂ 2u
∫ ( ∂t
2
−
x1
ω2 ∂
2 ∂x
(l 2 − x 2 )
∂u
)dx = 0 .
∂x
Так как отрезок [ x1 , x 2 ] произвольный, а подынтегральная функция предполагается
непрерывной, получаем уравнение
∂ 2u
∂t 2
= a2
ω2
∂
∂u
((l 2 − x 2 ) ) = 0, где a 2 =
.
2
∂x
∂x
Функция u ( x, t ) удовлетворяет условиям u (0, t ) = 0, | u ( x, t ) |< ∞ и u ( x,0) = f ( x), u 't ( x,0) = F ( x) .
Функция f (x) определяет начальные отклонения, F (x) − начальные скорости. Для простоты
предположим, что F ( x) ≡ 0 .
Удобно сделать замену переменной x = l x' ; это равносильно тому, что за единицу длины
принимается длина струны l . Тогда уравнение примет вид
∂ 2u
∂t
2
= a2
∂
∂u
((1 − x' 2 ) ) = 0 .
∂x'
∂x'
Будем считать, что это преобразование уже делано.
Будем искать частное решение в виде u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Подставляя в уравнение и разделяя
переменные, получим
T ''
2
a T
=
[(1 − x 2 ) X ' ]'
= −λ2 , где λ2 – постоянная.
X
Получаем два уравнения:
T ' ' = −λ2 a 2T и [(1 − x 2 ) X ' ]' = −λ2 X .
2
Так как функция X (x) должна быть ограниченной, следует принять λ2 = n(n + 1), n = 0,1,2,... .
Второе уравнение есть уравнение Лежандра
[(1 − x 2 ) X ' ]' = − n(n + 1) X .
Его ограниченным решением служит функция Лагранжа с постоянным множителем:
X n ( x) = C n Pn ( x) .
Из первого уравнения находим
Tn (t ) = An cosλ n t + Bn sinλ n t .
Найденные частные решения имеют вид
u n ( x, t ) = X n ( x)Tn (t ) = Pn ( x)(C n An cosλ n t + C n Bn sinλ n t ) ,
т.е.
u n ( x, t ) = Pn ( x)(a n cosλ n t + bn sinλ n t ) .
Из того, что струна закреплена на левом конце, следует, что
u n (0, t ) = Pn (0)(a n cosλ n t + bn sinλ n t ) или 0 = Pn (0)(a n cosλ n t + bn sinλ n t ) при всех значениях t .
Следовательно, Pn (0) = 0. Но тогда индекс n должен быть нечётным: n = 2m + 1, m = 0,1,2,...
Таким образом, найдены частные решения
u 2 m +1 ( x, t ) = P2 m +1 ( x)(a 2 m +1cosλ 2 m +1t + b2 m +1 sinλ 2 m+1t ) , где λ 2 m +1 = (2m + 1)(2m + 2) , m = 0,1,2,...
Из однородности уравнения колебаний следует, что сумма решений также является
решением. Таким образом, найдено решение
u ( x, t ) =
∞
∑P
2 m +1 ( x )(a 2 m +1cosλ 2 m +1t
m =0
+ b2 m+1 sinλ2m+1t ) .
Согласно первому начальному условию,
f ( x) =
∞
∑a
2 m +1 P2 m +1 ( x )
.
m =0
3
2
1
Коэффициенты находятся по формулам a 2m+1 = (2m + ) ∫ f ( x) P2m+1) ( x)dx m = 0,1,2,... или
−1
1
∫
a 2 m+1 = (4m + 3) f ( x) P2 m+1) ( x)dx m = 0,1,2,... .
Используя предположение об отсутствии начальных
0
скоростей, можно показать, что b2m+1 = 0 m = 0.1,2,...
Таким образом, найденное решение имеет вид
u ( x, t ) =
∞
∑a
2 m +1 P2 m +1 ( x )cosλ 2 m +1t
,
m =0
3
2
1
где λ2m+1 = (2m + 1)(2m + 2) , a 2m+1 = (2m + ) ∫ f ( x) P2m+1) ( x)dx m = 0,1,2,... .
−1
3