УДК 681.3 Применение 2D моментов Лежандра для обработки двумерных дискретных сигналов Нго Хыу Фук В статье рассмотрен способ вычисления моментных лежандровых характеристик двумерного дискретного сигнала, инвариантных относительно преобразования поворота. Предлагаемый автором алгоритм может быть использован во многих задачах анализа сигналов. Моменты с полиномами Лежандра в качестве ядра были представлены Теагуе (Teague) [1]. Моменты Лежандра принадлежат классу ортогональных моментов[2,3,4], и они использовались, чтобы достигнуть близкого к нулю значения меры избыточности в наборе функций момента, так, чтобы моменты соответствовали независимым характеристикам объекта в пространстве. Прежде аффинные моментные инварианты не получались непосредственно из исходного момента Лежандра исследуемого изображения. В этом разделе мы вводим новый способ вычисления инвариантов 2D моментов Лежандра относительно сдвига, поворота и масштабирования, основанных на полиномах Лежандра. Полученные инварианты основаны на центральных моментах Лежандра. Они развиты для асимметричных и симметрических объектов. Мы решили проблемы, связанные с исчезновением нечетного порядка моментов Лежандра симметрических объектов. Масштабные инварианты построены, алгебраическим устранением масштабного множителя, содержавшегося в вычисленных моментах Лежандра. Масштабные инварианты остаются неизменными для удлиненных, сжатых и отраженных объектов. Инварианты поворотов тоже получены с использованием центральных моментов Лежандра. Они обобщены для различных изображений. Другая проблема, связанная с изменением размера объекта при сдвиге также решена. Мы также вводим новое понятие полутонового изображения для 2D моментов Лежандра. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА Рассмотрим основы теории моментов Лежандра[5,6]. 2D моменты Лежандра порядка m n определены как: 1 mn 1 1 (2m 1)(2n 1) Pm ( x) * Pn ( y) f ( x, y)dxdy 4 1 1 (1) где m, n = 0,1,2, … ∞, Pm и Pn – полиномы Лежандра и f x, y – непрерывная функция объекта. Полиномы Лежандра образуют полный ортогональный базис, определенный на интервале [-1,1]. Функция объекта f x, y определена на том же самом интервале. Для выполнения условия ортогональности, полинома Лежандра n-го порядка определен как: n Pn ( x) a nj x j (2) j 0 и a nj - коэффициенты Лежандра, определены: a nj (1) n j 1 2n n 2 2 n j ! где n-j = чётно j n j ! ! j! 2 Рекуррентное соотношение для полиномов Лежандра, (3) Pn (x ) задается следующим образом: ( 2n 1) xPn 1 ( x) (n 1) Pn 2 ( x) n Pn ( x) (4) где P0 ( x ) 1 , P1 ( x) x и n>1. Несколько первых полиномов Лежандра[5,6]: P0 ( x) 1 (5) P1 ( x ) x (6) P2 ( x) 1 2 3x 2 1 P3 ( x) 1 2 5 x 3 3x P4 ( x) 1 8 35x 4 30 x 2 3 P5 ( x) 1 8 63x 5 70 x 3 15 x (7) (8) (9) P6 ( x) 161 231x 6 315 x 4 105 x 2 5 (10) (11) 2 Поскольку область определения полиномов Лежандра принадлежит интервалу [-1,1], блок объекта N N пикселов с функцией интенсивности f i, j , 0 i, j ( N 1) , должен быть на область 1 x, y 1 . В результате этого, теперь выражение (1) может быть отображен выражено в дискретной форме как: N 1 N 1 mn mn Pm ( xi ) * Pn ( y j ) f (i, j ) i 0 j 0 где mn 2m 12n 1 N2 (12) – нормализующий коэффициент; x i , y j обозначает нормализованные координаты пиксела в интервале [-1,1], которые определены в соответствии с рис. 1: xi 2i 1 2 j 1 1 и y j 1. N N (13) Рис. 1: Положение xi рассчитано в дискретном интеграле. Однако, рассмотренный метод зависит от размера изображения. Сначала мы вычислим некоторые особенности изображения[4]. Предполагается, что мы имеем область R (рис. 3.3) содержащую N пикселов: а. Центр масс. x 1 N x , y ( x , y ) R 1 N y . ( x , y ) R (14) Центральные моменты порядка m n преобразованы: mn ( x x ) m ( y y)n ( x , y ) R (15) б. Ориентация. Ориентация определяется как угол оси минимального значения момента инерции. Это получено минимизацией относительно суммы 3 I ( ) D 2 ( m, n) ( x , y ) R ( y y ) cos ( x x ) sin 2 ( x , y ) R (16) В результате получим: 1 2 1,1 1 1 atan , 2 atan2 2,0 0, 2 ,2 1,1 2 2 2, 0 0, 2 1 if 1 0 and 2 0 1 if 1 * 2 0 2 1 if 1 0 and 2 0 (17) в. Рабочий прямоугольник. Рабочий прямоугольник – наименьший прямоугольник, содержащий объект, который также способствует выявлению его ориентации (Рис. 2). Мы используем преобразование: x cos y sin x sin y cos (18) Найдем min , max , min , max , если A1 ( x1 , y1 ) , A2 ( x2 , y 2 ) , A3 ( x3 , y3 ) , A4 ( x 4 , y 4 ) являются координатами точек, соответственно. Поскольку мы определили xi , j , yi , j как нормализованные координаты пиксела в диапазоне [-1,1], которые зависят от (i, j) – координат в рабочем прямоугольнике: 2dx0 x 1 i, j dx1 dx2 (19) dx1 j tan i y3 x3 tan , 2 2 где dx dx0 1 dx2 при при dx2 j tan i y 4 x4 tan , 2 2 max min max min и yi, j 2dy0 1 dy1 dy2 (20) где dy1 j tan i y1 x1 tan , dy2 j tan i y2 x2 tan , dy dy0 1 dy2 при при max min . max min В этом случае, нормализованная константа определена как: rpq min ( 2 p 1)(2q 1) max min max (21) 4 Эти значения используются для всех инвариантов моментов Лежандра относительно сдвига, поворота и масштабирования. Рис. 2: Область R (рабочий прямоугольник) используется для вычисления моментов. ИНВАРИАНТЫ 2D МОМЕНТОВ ЛЕЖАНДРА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОВОРОТА а. Теоретическая основа. После преобразования координат по формулам (19) и (20), мы можем использовать основную формулу: mn 1 1 (2m 1)(2n 1) 1 1 Pm ( x ) * Pn ( y ) f ( x , y )dx dy ; x , y [1,1] 4 Pm ( xi, j ) * Pn ( yi, j ) f (i, j ) или mn rmn ( i , j ) BR (22) (23) Предполагается, что масштабы объекта по осям x и y – a и b, соответственно инварианты 2D моментов Лежандра относительно сдвига, масштабирования и поворота могут быть получены следующим образом: t , s , mn 1 1 (2m 1)(2n 1) Pm (a ( x x0 ))Pn (b( y y0 )) 4 1 1 f ( x , y )dx dy ; (a, b) ( R {0}) Уравнение (24) формирует ядро инвариантов 2D моментов (24) Лежандра. Инварианты обозначены как mn . Эти моменты получены следующим образом: mn m n rmn rmn t , s , m 1 n 1 a b mk nd tkd, mk nd kd k 0 d 0 rkd k 0 d 0 rkd m n Нормализованные инварианты 2D моментов Лежандра (25) относительно аффинных преобразований mn , определены как : 5 mn 1 mn 00 ; ( m ) 0 0 ( n ) m, n 0,1,2...;and ξ 1,2... (26) б. Экспериментальные результаты В наших применениях, мы часто используем 3-й порядок 2D моментов Лежандра инвариантных относительно аффинных преобразований с 2 . Сначала определим три порядка 2D моментов Лежандра, инвариантных относительно сдвига , масштабирования и поворота Первый порядок: 3 01 00 ; 20 03 3 10 00 ; 30 02 01 10 Второй порядок: 20 3 20 00 ; 40 02 02 3 02 00 ; 20 04 11 3 11 00 ; 30 03 03 3 03 00 ; 20 05 21 3 21 00 ; 40 03 Третий порядок: 30 3 30 00 ; 50 02 12 3 12 00 . 30 04 Экспериментальные результаты для моментов полутонового 128x128 изображения объектов показаны в Таблице 1. 03 ИзображениеВращение 10 01 20 02 11 30 % 21 =0 deg =30 deg 1,938 1,946 1,825 1,850 2,009 1,709 1,751 1,894 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 1,931 1,939 1,819 1,845 2,002 1,703 1,747 1,889 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 1,844 2,002 1,705 1,745 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 1,821 1,844 2,003 1,745 1,889 0,3% 10 3 10 3 =100 1,932 deg 10 3 =-25 deg 1,933 10 3 1,94 10 3 1,94 10 3 1,82 10 3 10 3 10 3 1,705 10 3 1,89 0,32% 0,31% 6 =-50 1,937 1,946 1,823 deg 10 3 10 3 10 3 1,85 10 3 2,008 1,706 1,751 1,892 10 3 10 3 10 3 10 3 0,07% Таблица 1: 2D моменты Лежандра для повернутого полутонового изображения Список литературы: 1. M. Teague.Image analysis via the general theory of moments.// J. Opt, Soc, Am. 1980,70 (8).- pp. 920-930. 2. M.K. Mandal, T. Aboulnasr, S. Panchanathan. Image indexing using moments and wavelet.// IEEE Trans. Consumer Electron. 1996,42 (3) .- pp. 557-565. 3. J. Haddadnia, K. Faez, P. Moallem. Neural network based face recognition with moment invariant.// Proceedings of International Conference on Image Processing. 2001,Vol.-pp. 10181021. 4. H. Qjidaa, L. Radouane.Robust line fitting in a noisy image by the method of moments.// IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1999,21 (11) .- pp. 1216-1223. 5. Legendre moment. website http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/CVentry.html . 6. Legendre Polynomia. website http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html. _____________________________________________________________________________________ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ Нго Хыу Фук, аспирант кафедры вычислительной математики и программирования Московского авиационного института (государственного технического университета) e-mail: ngohuuphuc76@mail.ru 7