ю п р сятп э д ¹ п ж р ыр жвь ппыр вь сж ыр × п ьь

S. Koenig
Halbeinfahe Lie-Algebren und Darstellungstheorie
WiSe 2012/2013
Halbeinfahe komplexe Lie-Algebren und Darstellungstheorie:
Übungsblatt 3
(a) Sei L eine endlih-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper k . Sei U(L)
die universelle einhüllende Algebra und G(L) die assoziierte graduierte Algebra. Zeigen Sie,
dass G(l) und U(L) keine Nullteiler enthalten.
(b) Sei L nun sogar halbeinfah über den komplexen Zahlen, zum Beispiel sl(n, C). Für
λ ∈ h sei ∆(λ) wie in der Vorlesung der universelle Höhstgewihtsmodul (Vermamodul)
∆(λ) := U(L) ⊗U(b+ ) Cλ . Zeigen Sie, dass ∆(λ) als n− -Modul frei vom Rang eins ist.
Sei ϕ : ∆(λ) → ∆(µ) ein Homomorphismus (von L-Moduln), der niht Null ist. Zeigen Sie,
dass ϕ injektiv ist.
Aufgabe 1.
Aufgabe 2. Sei L eine endlih-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper k .
(a) Zeigen Sie, dass U(L) ein L-Modul wird durh Fortsetzung von ad(x) für x ∈ L, das
heisst: ad(x) : y 7→ xy − yx für y ∈ U(L). Geben Sie an, wie x auf einem Produkt y1 · · · · · yn
operiert.
(b) Zeigen Sie, dass U(L) mit dieser Operation eine Summe von endlih-dimensionalen LModuln ist. Bestimmen Sie einige Summanden, die zum Beispiel 1 oder x ∈ L enthalten.
() Betrahten Sie U(L) als freien U(L)-Modul durh Linksmultiplikation. Ist dieser Modul
isomorph zu dem in (a) betrahteten?
Sei g eine halbeinfahe Lie-Algebra mit Cartan-Teilalgebra h und V eine irreduzible Darstellung von g.
(a) Zeigen Sie: Wenn V einen Gewihtsvektor besitzt, dann ist V eine direkte Summe von
Gewihtsräumen (bezüglih h).
(b) Zeigen Sie, dass V einen Gewihtsvektor besitzt, wenn es ein v ∈ V gibt mit v 6= 0, so
dass U(h) · v ein endlih-dimensionaler h-Modul ist.
() Formulieren und beweisen Sie eine Umkehrung der Aussage in (b).
Aufgabe 3.
Aufgabe 4. Sei g := sl(2, C). Zeigen Sie, dass das Element 1−E in U(g) niht invertierbar ist.
Sei I ein maximales Linksideal, das 1 − E enthält. Mit V wird der einfahe Quotientenmodul
U(g)/I bezeihnet. Zeigen Sie, dass V keinen Gewihtsvektor besitzt.
Bestimmen Sie alle sehsdimensionalen halbeinfahen komplexen Lie-Algebren,
ohne die Klassikation zu verwenden.
Aufgabe 5.
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17. Dezember 2012