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Prof. K. Bongartz
A. Dönmez
BU Wuppertal
Fahbereih C - Mathematik
Abgabe am ∞
Übungen zur Analysis II
Blatt 12
Aufgabe.
Welhe der folgenden Aussagen sind wahr oder falsh?
Begründen Sie immer Ihre Antwort mithilfe eines Gegenbeispiels oder eines Beweises.
(i) Jede endlihe Teilmenge eines metrishen Raumes ist kompakt.
(ii) Sei fn : [0, 1] → R eine Funktionsfolge die gleihmäÿig gegen f : [0, 1] → R konvergiert.
(a) Sind alle fn stetig, so auh f .
(b) Sind alle fn dierenzierbar, so auh f .
(iii) Sei (X, d) ein metrisher Raum und A, B abgeshlossene Teilmengen mit A ∩ B = ∅.
Dann gibt es oene Mengen U, V mit U ∩ V = ∅ und A ⊆ U , B ⊆ V .
(iv) Sei V ein normierter Raum.
(a) Stets ist die Menge K = {v ∈ V : kvk ≤ 1} kompakt.
(b) Falls dim V < ∞ ist, ist die obige Menge K kompakt.
(v) Seien U ⊆ Rn , V ⊆ Rm oene Mengen. Seien f : U → V, g : V → U dierenzierbare
Abbildungen mit g ◦ f = idU . Dann folgt:
(a) n ≤ m.
(b) n = m.
() n ≥ m.
(vi) Sei f : Rn → Rm eine Abbildung.
(a) Ist ϕ ◦ f überall dierenzierbar ∀ ϕ : Rm → R linear, so ist f überall dierenzierbar.
(b) Ist f ◦ ψ überall dierenzierbar ∀ ψ : R → Rn linear, so ist f überall dierenzierbar.
(vii) Sei f : Rn → R eine C ∞ -Abbildung. In u0 habe f ein lokales Minimum.
Dann ist die Hesseshe Matrix positiv semi-denit.
(viii) Sei Q : M2×2 (R) → M2×2 (R) die Abbildung Q(A) = A2 .
(a) Q ist überall dierenzierbar.
(b) Q ist dierenzierbar mit Q′ (A) = 2A.
(ix) Seien U, V ⊆ Rn oene Mengen. Sei f : U → V eine bijektive C 1-Abbildung.
(a) f −1 ist auh dierenzierbar.
(b) Falls f ′ (x) invertierbar ∀ x, so ist f −1 auh dierenzierbar.
() Falls f −1 dierenzierbar ist, so ist f ′ (x) invertierbar ∀ x.
(x) Sei f : Rn → Rm eine dierenzierbare Abbildung.
Dann ist f ′ : Rn → HomR (Rn , Rm ) eine lineare Abbildung.
(xi) Sei M ⊆ Rn eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit, und es gelte m < n.
Dann ist M abgeshlossen in Rn .
(xii) Sei V ein R-Vektorraum, sei k · k eine Norm auf V . Dann ist auh k · k′ : V → R,
deniert durh kxk′ := kxk2 , eine Norm auf V .
(xiii) Jede Norm induziert eine Metrik.
(xiv) Jede Metrik wird von einer Norm induziert.
(xv) Seien (X, d), (X, d′ ) metrishe Räume. Dann ist (X, d) → (X, d′ ), x 7→ x stetig.